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高一数学全部知识点总结


高 一 数 学 知 识 点 总 结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性 互异性 无序性 (1)集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可

能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 ; B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 ? ? A?B 或 B?A 2. “相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子 集,记作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真 子集。 ? 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确 定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记作: y=f(x), x∈A. 其 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的 定义域。 ? 相同函数的判断方法: ①表达式相同(与表示自变量和 函数值的字母无关) ;②定义域一致 (两点必须同时具 备) 2.值域 : 先考虑其定义域 5.映射 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是

唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一 个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增减函数 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说 函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区 间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左 到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u)的单调性密切相关,其规律: “同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能 把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) 9、函数的解析表达式 函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间 的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要 求出函数的定义域. 10.函数最大(小)值 第二章 基本初等函数 一、指数函数 ? 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0。 当 n 是 奇 数 时 , n an ? a , 当 n 是 偶 数 时 , ?a (a ? 0) n a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0) 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
m ? n



?

1
m n

?

1
n m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

a a ? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 r r r ?s (1) a · a ? a (a ? 0, r, s ? R) ;

r s rs (2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? R) ; r r s (3) (ab) ? a a (a ? 0, r, s ? R) .

(二)指数函数及其性质 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零 和 1. 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5 4 4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递 增 非奇非偶函数 函数图象都过 定点(0,1) 二、对数函数 (一)对数 ? 指数式与对数式的互化 幂值 真数

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递 减 非奇非偶函数 函数图象都过 定点(0,1)

a b = N ? log a N = b

底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○ log a ( M · N ) ? log a M + log a N ; M 2 ○ log a ? log a M - log a N ; N 3 ○ log a M n ? n log a M (n ? R) . 注意:换底公式 log c b log a b ? ( a ? 0 , a ? 1; ? 0 , c ? 1 ; ? 0 ) 且 且 . c b log c a 利用换底公式推导下面的结论 1 n (1) log a b n ? log a b ; (2) log a b ? . log b a m
m

(二)对数函数 2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2 1.5

0<a<1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都 过定点(1, 0)

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定 点(1,0)

(三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x ? (a ? R) 的函数称为幂 函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点 (1,1) ; (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时, 幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数. 在 第一象限内, x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限 当 地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限 地逼近 x 轴正半轴.


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