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河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试理科数学试题 Word版含答案(已解析)


河北省衡水中学 2015 届高三上学期四调考试数学(理)试题
一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一项是符合要 求的) 1.已知向量 = ( )

【答案】C 【解析】 ∵ a ? b ? (a)2 ? 2a ? b ? (b) 2 ? 50 ,又 a ? (2,1), a ? b ? 10 , ∴ b<

br />
? ?2 ?
2

?

? ?

?

?

? ?

??

? ? 50 ? 5 ? 20 ? 25 ? b ? 5 ,

故答案为:C 【考点】数量积的应用 【难度】1 2.已知 A. 【答案】A 【解析】 ∵z ? 的共轭复数,复数 B. c.1 D.2 ( )

3 ? i 1 ? 3i 3 ?i 2 3 ? 2i 3 1 ? ? ?? ? i, ?8 4 4 ?2 ? 2 3i ?2 1 ? 3i 1 ? 3i

?

?

?? ??

?

?

2 ? 3? ?1? 1 3 1 ∴z ?? ? i ,∴ z ? z ? ? ? ? . ?? 4 ? ? ?? 4 4 4 ? ? ?4?

2

故答案为:A 【考点】复数综合运算 【难度】1 3. 某学校派出 5 名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流, 每所中学至少派一名教师, 则不同的分配方法有( ) A.80 种 B.90 种 C.120 种 D.150 种 【答案】D 【解析】 有二类情况: (1) 其中一所学校 3 名教师, 另两所学校各一名教师的分法有 C5 A3 ? 60 种, (2)
3 3

其中一所学校 1 名教师,另两所学校各两名教师的分法有
1 C5 2 C4 3 A3 ? 90 种,∴共有 150 种. 2

故答案为:D

-1-

【考点】排列组合综合应用 【难度】 2 4.曲线 A. 【答案】A 【解析】 ∵y? B. 处的切线方程为( C. ) D.

x x?2? x 2 ? y? ? ? ,∴曲线在点 2 x?2 ( x ? 2) ( x ? 2)2

(-1,-1)处切线的斜率为 2,∴所求切线方程为 y ? 2 x ? 1 , 故答案为:A 【考点】导数的概念和几何意义 【难度】 2 5.等比数列 A. 2 6 B. 29 C. 215 【答案】D 【解析】 因为 a1 ? 2, a8 ? 4 , 又 f ?( x) ? ? x ? a1 ?? x ? a2 ??? x ? a8 ? ? x ?? x ? a1 ?? x ? a2 ??? x ? a8 ??? ? ?
4 12 所以 f ?(0) ? a1a2 ? a8 ? ? a1a8 ? ? 8 ? 2 , 4

( D. 2
12



故答案为:D 【考点】等比数列;函数求导运算 【难度】2 6.经过双曲线: 的右焦点的直线与双曲线交于两点 A,B,若 AB=4,则这样的直线

有几条( ) A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 【答案】B 【解析】 因为 AB=4 而双曲线的实轴长是 4,所以直线 AB 为 x 轴时成立,即端点在双曲线两支上的线 段 AB 只有一条,另外端点在双曲线右支上的线段 AB 还有两条,所以满足条件得直线有三条. 故答案为:B 【考点】双曲线 【难度】 2 7.设函数 , 则 ( )

-2-

A. C. 【答案】D 【解析】

在 在

单调递增 单调递增

B. D.

在 在

单调递减 单调递增

f ( x) ? 2 cos(? x ? ? ? ) ,因为 T ? ? ,所以 ? ? 2 , 4
又因为 f (? x) ? f ( x), ? ?

?

?

2

,所以 ? ? 在

?

4

, 单调递增,

所以 f ( x) ? 2 cos 2 x ,经检验

故答案为:D 【考点】两角和与差的三角函数;周期性和对称性;函数的单调性与最值 【难度】2 8.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:根据下表可得回归方程 的 b =10.6,据此模型预报广告费用为 10 万元时销售额为( ) 中

A. 112.1 万元 【答案】C 【解析】

B.113.1 万元

C.111.9 万元

D.113.9 万元

7 , 43 )代入回归方程得 a ? 5.9 , 2 所以广告费用为 10 万元时销售额为 10.6 ?10 ? 5.9 ? 111.9 (万元) ,
把样本中心点( 故答案为:C 【考点】变量相关 【难度】 2 9.椭圆 C 的两个焦点分别是 F1,F2 若 C 上的点 P 满足 率 e 的取值范围是 ( ) ,则椭圆 C 的离心

【答案】C 【解析】 ∵ PF1 ?

3 F2 F2 ? 3c, ∴ PF2 ? 2a ? 3c ,由三角形中, 2

两边之和大于第三边得 ?

?2c ? 3c ? 2a ? 3c 1 c 1 ? ? ? , ?2c ? 2a ? 3c ? 3c 4 a 2

-3-

故答案为:C 【考点】椭圆 【难度】2 10.已知直三棱柱

,的各顶点都在球 O 的球面上,且 ,若球 O 的体积为 ,则这个直三棱柱的体积等于( )

【答案】B 【解析】 由球的体积公式得球的半径 R=

5 ,由 AB=AC=1,

BC= 3 得△ABC 是顶角是 120°的等腰三角形, 其外接圆半径 r=1,所以球心到三棱柱底面的距离为 2, 所以此三棱柱的体积为

1 ?1?1? sin120? ? 4 ? 3 , 2

故答案为:B 【考点】空间几何体的表面积与体积 【难度】 3 11.在棱长为 1 的正方体 的点 P 的个数为( 中,着点 P 是棱上一点,则满足 )

A.4 【答案】B 【解析】

B.6

C .8

D.12

2 2 2 若点 P 在棱 AD 上,设 AP=x,则 CP ? PD ? DC ? ?1 ? x ? ? 2 , 2

所以 x ?

?1 ? x ?

2

? 2 ? 2 ,解得 x ?

1 , 2

同理点 P 可以是棱 AB, AA?, C?C, C?B?, C ?D? 的中点, 显然点 P 不能在另外六条棱上, 故答案为:B 【考点】立体几何综合 【难度】3 12.定义在实数集 R 上的函数

的图像是连续不断的,若对任意实数 x,存在实常数 t

-4-

使得

恒成立,则称

是一个“关于£函数” .有下列“关于 t 函数”的结

论:① f ( x) ? 0 是常数函数中唯一一个“关于 t 函数” ; ②“关于

1 函数”至少有一个零点;③ f ( x) ? x2 是一个“关于 t 函数”. 2
) C .3 D.0

其中正确结论的个数是 ( A.1 B.2 【答案】A 【解析】

①不正确, f ( x) ? c ? 0 ,取 t= -1 则 f(x-1)-f(x)=c-c=0,即

f ( x) ? c ? 0 是一个“关于-1 函数” ;
1 1 1 1 函数” ,则 f ( x ? ) ? f ( x) ? 0 ,取 x=0,则 f ( ) ? f (0) ? 0 , 2 2 2 2 1 1 1 , ( 0 f) 异号, 若 f ( ), f (0) 任意一个为 0, 则函数 f(x)有零点, 若 f ( ), f (0) 均不为 0, 则 f( ) 2 2 2
②正确,若 f(x)是“关于 由零点存在性定理知在 ? 0, ? 内存在零点; ③不正确,若 f ( x) ? x2 是一个“关于 t 函数” ,则 ( x ? t )2 ? ?tx2

? ?

1? 2?

?t ? 1 ? 0 ? ? ?t ?1? x2 ? 2tx ? t 2 ? 0 恒成立,则 ? 2t ? 0 所以 t 不存在. ?t 2 ? 0 ?
故答案为:A 【考点】函数综合 【难度】4 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。把每小题的答案填在答题纸的相应位 置) 13.已知圆 ,若圆 C 上存在点 P,使 得 ,则删的最大值为__________. 【答案】6 【解析】 设 P ?3 ? cos? ,4 ? sin ? ? ,则

??? ? ??? ? AP ? (3 ? cos? ? m, 4 ? sin ? ), BP ? (3 ? cos? ? m, 4 ? sin ? ) ,
2 因为∠APB=90°,所以 AP ? BP ? ? 3 ? cos ? ? ? m ? ? 4 ? sin ? ? ? 0 2 2

??? ? ??? ?

? m2 ? 26 ? 6cos? ? 8sin ? ,

-5-

4 3 ?3 ? ? m2 ? 26 ? 10 ? cos ? ? sin ? ? ? 26 ? 10sin(? ? ? ) ,其中 tan ? ? , 5 4 ?5 ?
所以 m ? 36 ? m ???6,6? ,故 m 的最大值为 6.
2

故答案为:6 【考点】曲线参数方程 【难度】 3 14.抛物线 上一点 P 到直线 _____________. 【答案】 5

的距离与到点 Q(2,2)的距离之差的最大值为

【解析】 设此抛物线的焦点 F(1,0),则 P 到准线 x= -1 的距离等于 PF, 由 PF-PQ≤QF= 5 得所求最大值为 5 . 故答案为: 5 【考点】抛物线 【难度】2 15. 【答案】40 【解析】 的展开式中各项系数的和为 2.则该展开式中常数项为____________。

a ?? 1? ? 因为 ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2, x ?? x? ?
所以,当 x=1 时, ?1 ? a ?? 2 ? 1? ? 2 ? a ? 1 ,
5 3 2 3 3 所以该展开式中常数项为: C5 ? ?1? 2 ? C5 2 ? ?1? ? 40 3 2

5

故答案为:40 【考点】二项式定理与性质. 【难度】 2 16.一个几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则这个几 何体的俯视图可能是下列图形中的__________________. (填入所有可能的图形前的编号)① 锐角角三角形;②直角三角形;③钝角三角形;④四边形;⑤扇形;⑥圆. 【答案】② 【解析】 若俯视图是四边形,则此四边形也是边长为 1 的正方形, 即几何体是棱长为 1 的正方体,其体积为 1,不合题意; 若俯视图是扇形或圆,则体积值中含π ,所以俯视图不会是扇形或圆; 若俯视图是锐角三角形或钝角三角形,

-6-

则在正视图或侧视图正方形中还有一条竖直的实线或虚线, 所以俯视图不会是锐角三角形或钝角三角形; 若俯视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,如下图,

则此几何体体积为

1 1 ? 1? 1? 1 ? , 2 2

且满足正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形. 故这个几何体的俯视图可能是②. 故答案为:② 【考点】空间几何体的三视图与直观图 【难度】 3 三、解答题(共 6 个题,共 70 分,把每题的答案填在答卷纸的相应位置) 17. (本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 (1)求角 A 的大小; (2)若 的周长的取值范围, 【答案】见解析 【解析】

1 1 c ? b, ∴ sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2 1 又∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,∴ sinC=-cosAsinC, 2 1 2? ∵sinC≠0,∴cosA= - ,∵A∈(0,π ) ,∴A= ; 2 3
解:(1)∵ a cos c ? (2)由正弦定理得 b ?

sin B 2 2 ? sin B, c ? sin C , sin A 3 3

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ? sin B ? sin( A ? B) ? 3 3

=1 ?

? 2 ?1 3 2 ? sin B ? cos B ? 1? sin( B ? ) . ? ? ? ? 2 3 3?2 3 ? 2? ? ? 3 ? ? ?? ,? B ? ? 0, ? ,? sin( B ? ) ? ? ,1? , 3 3 ? 2 ? 3? ? ? ? ? 3 ? ? 1? 2 ?

∵A?

故△ABC 的周长的取值范围为 ? ? 2, 【考点】三角函数综合 【难度】3

-7-

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ,若 (1)求数列 (2)求数列 【答案】见解析 【解析】 解: (1)由题意知数列 ?an ? 是公差为 2 的等差数列, 又因为 a1 =3,所以 an ? 2n ? 1,当 n=1 时, b1 ? S1 ? 4 ; 当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? n ? 2n ? 1 ? ?? n ? 1? ? 2 ? n ? 1? ? 1? ? 2n ? 1 ,
2 2



的通项公式;

?

?

?

?

对 b1 ? 4 不成立. 所以数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? ?

?4, (n ? 1) ?2n ? 1, (n ? 2)

(2)n=1 时, T1 ?

1 1 ? , b1b2 20

当 n ? 2 时,

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? bnbn?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?

所以 Tn ?

n ?1 6n ? 1 1 1?1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 20 ? 10n ? 15 ? 20 ? 2n ? 3? 20 2 ? 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ? 6n ? 1 20 ? 2n ? 3?

n=1 仍然适合上式,综上得, Tn ? 【考点】数列综合应用 【难度】3 19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱柱 (1)证明: (2)求二面角

面 ABCD,AB∥DC, ; 的正弦值; 所成角的正弦值为 ,求线段 AM

(3)设点 M 在线段 C1E 上,且直线 AM 与平面 的长.

-8-

【答案】见解析 【解析】 解:如图,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得 A(0,0,0) , B(0,0,2) ,C(1,0,1) , B1 (0, 2, 2), C1 (1, 2,1), E(0,1,0) .

证明:易得 B1C1 ? (1,0, ?1), CE ? ? ?1,1, ?1? , 于是 B1C1 ? CE ? 0 ,∴ B1C1 ? CE -----2 分 (2) B1C ? (1, ?2, ?1) .

???? ?

??? ?

???? ? ??? ? ????

设平面 B1CE 的法向量 m ? ( x, y, z) ,

??

???? ?? ? ? B1C ? m ? 0 ? x ? 2 y ? z ? 0 ?? 则 ? ??? , ? ?? ?? x ? y ? z ? 0 ? ?CE ? m ? 0
消去 x 得 y+2z=0,不妨取 z=1,可得一个法向量 m ? ? ?3, ?2,1? 由(1) B1C1 ? CE ,又 CC1 ? B1C1 ,可得 B1C1 ? 平面 CEC1 , 故 B1C1 ? (1,0, ?1) 为平面 CEC1 的一个法向量,

??

???? ?

?? ???? ? ?? ???? ? m ? B1C1 ?4 2 7 ?? ?? 于是 cos ? m, B1C1 ?? ??? ?????? , 7 | m | ?| B1C1 | 14 ? 2
21 21 , 故二面角 B1 ? CE ? C1 的正弦值为 , 7 7 ??? ? ???? ? (3) AE ? (0,1,0), EC1 ? (1,1,1) ,
从而 sin ? m, B1C1 ?? 设 EM ? ? EC1 ? ? ? , ? , ? ? ,0 ? ? ? 1 ,有 AM ? AE ? EM ? (?, ? ? 1, ? ) .

?? ???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

??? ? ???? ?

-9-

可取 AB ? (0,0, 2) 为平面 ADD1 A 1 的一个法向量, 设θ 为直线 AM 与平面 ADD1 A 1 所成的角,则

??? ?

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? AM ? AB ? ??? ? sin ? ? cos ? AM , AB ? ? ???? | AM | ? | AB |
? 2?

? 2 ? ? ? ? 1? ? ? 2 ? 2
2

?

?
3? 2 ? 2? ? 1

于是

?
3? 2 ? 2? ? 1
2

?

2 1 1 ? ? ? (? ? ? 舍去) , 6 3 5

∴ AM ?

【考点】立体几何综合 【难度】3 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 ,右焦点到右顶点的距离为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在与椭圆 C 交于 A,B 两点的直线 成立?若存在,求出实数 m 的取值范 围,若不存在,请说明理由。 【答案】见解析 【解析】

x2 y 2 解:(1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0 ) ,半焦距为 c , a b
依题意 e ?

c 1 ? ,由右焦点到右顶点的距离为 1 得:a-c=1. a 2

解得 c=1,a=2, 所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 .

x2 y 2 ? ? 1. 4 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)存在直线 l ,使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立,理由如下:
所以椭圆 C 的标准方程

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 ? 3 ? 4k ? x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
由 ? ? ? 8km ? ? 4 3 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 12 ? ? 0 得 3 ? 4k 2 ? m2 .
- 10 -

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ? 若 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立,

8km 4m2 ? 12 . , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

即 OA ? 2OB ? OA ? 2OB ? OA ? OB ? 0 , 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0

??? ?

??? ?2

??? ?

??? ?2

??? ? ??? ?

? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m 2 ? 0

? ?1 ? k 2 ? ?

4m2 ? 12 8km ? km ? ? m2 ? 0 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

化简得 7m2 ? 12 ? 12k 2 ,

7 2 3 m ? 1 代入 3 ? 4k 2 ? m2 得: m 2 ? . 12 4 12 2 又由 7m2 ? 12 ? 12k 2 ? 12 得 m ? , 7
将k ?
2

所以 m ?
2

12 2 21 2 21 ,解得 m ? ? 或m ? , 7 7 7

所以实数 m 的取值范围是 ? ? ??, ?

? ?

? 2 21 ? ? 2 21 ? , ?? ? ? ? ? ? 7 ? ? ? 7 ?

【考点】圆锥曲线综合 【难度】4 21. (本小题满分 12 分) 已知 (1)若 (2)若 的单调减区间是 求实数 a 的值;

对于定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; ,且 的最大值.

(3)设 h(x)有两个极值点 【答案】见解析 【解析】

解: (1)依题意得 h( x) ? x2 ? ax ? ln x,( x ? 0) ,则 h?( x) ?

2 x 2 ? ax ? 1 ( x ? 0) . x

要使 h(x)的单调减区间是 ? ,1? ,则 h?(1) ? h?( ) ? 0 ,解得 a=3.

?1 ? ?2 ?

1 2

- 11 -

另一方面当 a=3 时, h?( x) ?

2 x 2 ? 3 x ? 1 ? 2 x ? 1?? x ?1? ? ( x ? 0) x x

由 h?( x) ? 0 解得 x ? ? ,1? ,即 h(x)的单调减区间是 ? ,1? . 综上所述 a=3. (2)由题意得 x ? ax ? ln x( x ? 0),? a ? x ?
2

?1 ? ?2 ?

?1 ? ?2 ?

ln x ( x ? 0) , x

设 ? ( x) ? x ?

ln x x 2 ? ln x ? 1 ( x ? 0) ,则 ? ?( x) ? x x2

∵ y ? x2 ? ln x ? 1 在 ? 0, ??? 上是正数,且 x=1 时,y=0 . ∴当 x∈(0,1)时 ? ?( x) ? 0 ;当 x∈ ?1, ?? ? 时 ? ?( x) ? 0 , ∴ ? ( x) 在(0,1)内是减函数,在 ?1, ?? ? 是增函数. ∴ ?min ( x) ? ? (1) ? 1,? a ? 1 即 a ? ? ??,1?

(3)由题意得 h( x) ? x2 ? ax ? ln x,( x ? 0) ,则 h?( x) ?

2 x 2 ? ax ? 1 ( x ? 0) . x

∴方程 2x2 ? ax ? 1 ? 0( x ? 0) 有两个不相等的实根 x1 , x2 ,且 x1 ? ? 0,

? ?

1? ? 2?

又∵ x1 x2 ?

1 1 2 ,? x2 ? ? ?1, ?? ? ,且 ax1 ? 2x12 ? 1, ax2 ? 2x2 ?1 2 2 x1

2 2 从而 h( x1 ) ? h( x2 ) ? x1 ? ax1 ? ln x1 ? x2 ? ax2 ? ln x2

?

? ?

?

2 2 2 ? ? 2 ? ?? ? x1 ? ? 2 x1 ? 1? ? ln x1 ? ? ? x2 ? ? 2 x2 ? 1? ? ln x2 ?

2 ? x2 ? x12 ? ln

x1 1 2 2 ? x2 ? 2 ? ln 2 x2 ( x2 ? 1) x2 4 x2
2

1 2 ? 2 x 2 ? 1? ? 0( x ? 1) , 设 ? ( x) ? x ? 2 ? ln 2 x ( x ? 1) ,则 ? ?( x) ? 4x 2 x3
2

∴ ? ( x) 在 ?1, ?? ? 内是正数,∴ ? ( x2 ) ? ? (1) ? 即 h( x1 ) ? h( x2 ) ?

3 ? ln 2 , 4

3 3 ? ln 2 ,∴ m ? ? ln 2 , 4 4

- 12 -

所以 m 的最大值为

3 ? ln 2 . 4

【考点】导数的综合运用 【难度】4 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定题目。如果多做,则按所 做的第一个题目计分。 22. (本小题满分 10 分) 如图,四边形 ABCD 内接于圆 求对角线 BD、AC 的长.



【答案】见解析 【解析】 解:如图,延长 DC,AB 交于点 E,

∵∠BAD=60°,∴∠ECB=60°, ∵∠ABC=90°,BC=3,CD=5, ∴∠EBC=90°,∴∠E=30° ∴EC=2BC=2 ? 3=6,∴EB= 3 BC=3 3 , ∴ED=DC+CE=5+6=11,∵ EC ? ED ? EB ? ?EB ? AB ? ∴ 6 ?11 ? 3 3 ? 3 3 ? AB ,解得 AB ?

?

?

13 3 , 3

∴AC= 32 ? (

13 3 2 14 3 , ) ? 3 3
BD BE ? AC CE

∵∠EDB=∠EAC,∠E=∠E ∴△EDB∽△EAC,∴

- 13 -



AC ? BE BD ? ? CE

14 3 ?3 3 3 ?7 6

【考点】圆 【难度】3 23. (本小题满分 10 分) 已知直线 l 的参教方程为



直线 l 与曲线 c 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 P. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求

1 1 ? 的值. PA PB

【答案】见解析 【解析】 解: (1)利用极坐标公式,把曲线 C 的极坐标方程 ? ? 2 2 sin(? ? 化为 ? 2 ? 2? sin ? ? 2? cos? , ∴曲线 C 的直角坐标方程是 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y , 即 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ;
2 2

?
4

)

1 ? x? t ? 2 ? (2)把直线 l 的参数方程 ? ? y ? 1? 3 t ? ? 2
代入曲线 C 的方程 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 得
2 2

?t1 ? t2 ? ?1 , t 2 ? t ?1 ? 0 , ∴ ? ?t1 ? t2 ? 1


1 1 t ?t 1 1 ? ? ? ? 1 2 ? PA PB t1 t2 t1t2

?t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2

? 12 ? 4 ? ? ?1? ? 5 .
【考点】曲线参数方程;简单曲线的极坐标方程 【难度】3

- 14 -

24. (本小题满分 10 分) 设函数 (1)当 a=4 时,求不等式, (2)若 【答案】见解析 【解析】

的解集: 的取值范围,

解: (1)当 a=4 时,不等式 f ( x) ? 5 为 x ?1 ? x ? 4 ? 5 , 所以 ?

?x ? 1 ?1 ? x ? 4 ? x ? 4 或? 或? ,解得 x ? 0 或 x ? 5 ??2 x ? 5 ? 5 ?3 ? 5 ?2 x ? 5 ? 5

故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 x | x ? 0或x ? 5 . (2)因为 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a ? ? x ? 1? ? ? x ? a ? ? a ? 1 (当 x=1 时等号成立) 所以 f ( x)min ? a ?1 ,由题意得 a ? 1 ? 4 ,解得 a ? ?3 或 a ? 5 . 【考点】绝对值不等式 【难度】3

?

?

- 15 -


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河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试数学理试题
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