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河北省沧州市第一中学2015-2016学年高一数学上学期第二次月考试题(新)


沧州市一中 2015-2016 学年第一学期第二次月考 高一数学试卷
考场 考号 姓名 班级 注意事项: (1)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分 钟。 (2)答题前,请务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题卡 或答题纸上。 (3)作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字

笔写在答题纸上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,请保持卡面清洁和答题纸清洁,不折叠、不破损。 (4)考试结束后,请将 I 卷答题卡或答题纸一并交回。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1、已知全集 U ? R, 集合A ? {x | lg x ? 0}, B ? {x | 2x ? 1}, 则A ? B ? A、 (??,0] B、 (??,1] C、 [0,??) 2、已知 是第四象限角, D、 [1,??) ,则 () ( )

?

A、

B、

C、

D、 ?

5 13
)

3、函数 f ? x ? ? log3 x ? x ? 3 的零点所在的区间是( A、 (0,1) B、 (1, 2) C、 (2,3)
2 x ? x2

D、 (3, 4)

?1? y ?? ? 4、函数 ?2?

的值域为(



1? ? 1? ?1 ? ? 0, , ?? ?? , ? ? ? C、 ? A、 ? 2? ? 2? ? D、 ? 0, 2? ?2 ? B、 ?

1

5、已知 f ? x ? ? ?

? ?cos ? x, x ? 0 则 ? ? f ? x ? 1? ? 1, x ? 0

?4? f ? ?? ?3?

? 4? f ? ? ? 的值为( ? 3?



A、 1 B、 ? 1 C、

2

2

?1 D、1
)

y
?

6、下列函数中,图象的一部分如右图所示的是(

?? ?? ? ? A、 y ? sin ? x ? ? B、 y ? cos ? 2 x ? ? 6? 6? ? ? ?? ?? ? ? C、 y ? cos ? 4 x ? ? D、 y ? sin ? 2 x ? ? 3? 6? ? ?

?

1

6 O ? 12 ?1

x

7、已知 f ? x ? ? log a ?2 ? ax ? 在区间 ?0,1? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A、 ?1,??? B、 ?1,2? C、 ?1,2? D、 ?2,???



8、函数 y ? ln sin x , x ? ? ?

? ? ? ? ?? ,0 ? ? ?0, ? 的图象是( ? 2 ? ? 2?

)

9、函数

的图象向左平移

个单位后,所得函数为奇函数,则函数

f ( x) 在
A、 B、

上的最小值为()

C、

D、
2

10 、 已 知 f ( x) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x) ?

l g x设 ,

6 3 5 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则( 5 2 2

)

A、 c ? a ? b B、 a ? b ? c C、 b ? a ? c D、 c ? b ? a 11、 已知函数 f ? x ? ? ? 的取值范围() A、 (0,9) B、 (2,9) C、 (9,11) D、 (2,11)

? ? log 3 x , 0 ? x ? 9 , 若 a , b, c 均不相等, 且 f ? a ? ? f ?b? ? f ? c ? , 则 abc ? ?? x ? 11, x ? 9

? x, 0 ? x ? 1 ? f ? x ? ? ?? 1 ? x 12 、 设 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 R , 且对任意的 x? R 都有 ?? 2 ? ? 1, ?1 ? x ? 0 ? ? ?

f ? x ?1? ? f ? x ?1? ,若在区间 ? ?1,3? 上函数 g ? x ? ? f ? x ? ? mx ? m 恰有四个不同零点,则 m
实数的取值范围是( )

A、 ?0, ? B、 ?0, ? C、 ? 0, ? D、 ? 0, ? 2 4 2 4

? 1? ? ?

? 1? ? ?

? ?

1? ?

? ?

1? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13、已知 sin(3? ? ? ) ? ?2sin(

?
2

? ? ) ,则 sin ? cos ? 等于.

14 、 函 数 f ? x ? 对 于 任 意 实 数 x 满 足 条 件 f ? x ? 2 ? ? ________. f(f ( 5) ?) 15、关于函数 f ? x ? ? 4sin(2 x ?

1 , 若 f ?1? ? ?5 , 则 f ( x)

?
3

) ( x ? R ) ,有下列论断:

①函数 y ? f ? x ? 的表达式可改写为 y ? 4 cos(2 x ?
? π ? ②函数 y ? f ? x ? 的图象关于点 ? ? ,0 ? 对称; ? 6 ?

?
6

);

③函数 y ? f ? x ? 的图象可由 y ? 4sin 2 x 向左平移

? 个单位得到; 3
3

11? 5? ? 上单调递减。 ④函数 y ? f ? x ? 在区间 ?? ,? ? ? ? 12 12 ? 其中正确的是.(将你认为正确的论断的序号都填上)
2 ? ? x ? x, x ? 0 16、设函数 f ? x ? ? ? 2 若 f ? f ?a ?? ? 2 ,则实数 a 的取值范围是______. ? ?? x , x ? 0

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17、 (本小题满分 10 分)函数 f ( x) ? sin(? x ? (Ⅰ)若 f ?

3? )(? ? 0)的最小正周期为? 4

? ? ? ? 24 ? ? ? ,且 ? ? (0, ? ) ,求 tan ? 的值. ? 2 8 ? 25 (Ⅱ)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图像(完成列表并作图) 。
①列表

x
y
②描点,连线

y
1
1 2

0
1 ? 2

3? 8

7? 8

?
x

x

?1

18、 (本小题满分 12 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部 租出,当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维 护费 150 元。未租出的车每辆每月需要维护费 50 元。
4

(Ⅰ)当每辆车的月租金为 3600 元时,能租出多少辆车? (Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月利润最大?最大月收益是多少?

19、 (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? 2sin(

?
6

? 2 x) ? a .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (Ⅱ)若 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) 的最小值为 ?2 ,求 a 的值.

20、 (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ka x ? a? x (a ? 0 且 a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数; (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 f ?1? ? 0 ,试求不等式 f ( x ? 2x) ? f ? x ? 4? ? 0 的解集。
2

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? 2m cos x ? 4m ?1 , m ? R .
2

(Ⅰ)当 m ?

1 时,求函数的最值并求出对应的 x 值; 2

(Ⅱ)如果对于区间 ? ?

? ? ?? , 上的任意一个 x ,都有 f ( x) ? 5 恒成立,求 m 的取值范围. ? 2 2? ?

5

22、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) 的定义域为 ??1,1? ,若对于任意的 x, y ?? ?1,1? ,都有

f ( x ? y) ? f ( x)+f (y), 且 x ? 0 时 f ( x) ? 0 。
(Ⅰ)判断函数 f ( x) 的奇偶性并证明; (Ⅱ)用定义判断函数 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)设 f (1) ? 1, 若f ( x) ? m2 ? 2am ? 1 对所有 x ???1,1? , a ???1,1? 恒成立, 求实数 m 的取值范 围。

6

高一数学第一学期第二次月考答案 一选择题 BDCAD,BBBAA,CD, 二填空题 13. ?

2 5

14. ?

1 5

15.①②④

16. a ?

2

三解答题 17. (Ⅰ)?函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
由 f(

2?

3? )(? ? 0)的最小正周期为? , 4

?
2

?

?
8

?

??

?? ? 2.

)?

∵0 ?? ?? ∴ tan ? ? ?

24 24 得: cos ? ? ? , 25 25 7 ∴ sin ? ? 25

7 . 24

(II)由(Ⅰ)知 f ( x) ? sin(2 x ? (1)列表

3? ) ,于是有 4

x

0

? 8
-1

3? 8
0

5? 8
1

7? 8
0

?
? 2 2

y

?

2 2

[0, ? ]上图像如下 (2)描点,连线函数 y ? f ( x)在区间

18. 解:
7

(Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出的车为 88 辆车。 (II) 设 每 辆 车 的 月 租 金 定 为

3600 ? 3000 ? 12 辆,所以这时租出了 50

x 元 , 则 租 赁 公 司 的 月 收 益 为

x ? 3000 ? x ? 3000 x2 ? f ( x) ? ?100 ? ( x ? 150) ? ? 50 ? ? 162 x ? 21000 ? 50 ? 50 50 ? 1 ? ? ( x ? 4050)2 ? 307050, 50
所以当 x ? 4050 时, f ( x) 取最大值,最大值为 307050,即当每辆车的月租金为 4050 时,租赁 公司的月收益最大,最大收益为 307050 元。 19. (Ⅰ) ? k? ? , k? ? ? k ? Z 6 3? ?

?

?

??

f ( x) ? ?2sin(2 x ? ) ? a 6 (II)

?

? ? ? 5? ? ? ?? ? x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? ? , ? , ??2sin(2 x ? ? ) ? ? ?2,1? 6 ? 6 6 ? ? 2 ?, 6
??2 ? a ? ?2 ? a ? 0
20.(I) ? f ( x) 是定义域为 R 的奇函数

? f (0) ? 0,? k ? 1 ? 0,? k ? 1.
经检验,符合题意. ? k ? 1. (II) ? f (1) ? 0,? a ? 又 a ? 0, a ? 1 ,

1 ? 0, a

? a ? 1 ? f (x) ? a x ? a? x 为增函数
? f ( x) 在 R 上为增函数
原不等式化为 f ( x ? 2 x) ? f(4 ? x)
2

? x 2 ? 2 x ? 4 ? x 即 x 2 ? 3x ? 4 ? 0
8

? x ? 1 或 x ? ?4

? 原不等式的解集为 (??, ?4) ? (1, ??)
21.(I)

当 cos x ? 1 时,即x ? 2k? ? ? , k ? Z时,f ( x ) ? 9 ??? max 3 4 2 当 cos x ? -1时,即x ? 2k? ? ? , k ? Z时,f ( x) min ? 0???
f ( x) ? ? cos2 x ? 2m cos x ? 4m

(II)

令 cos x ? t ? ?0,1?

则原函数可以化为 g (t ) ? ?t 2 ? 2m t ? 4m

当m ? 0时,f ( x) max ? g (0) ? 4m ? 5 5 ? m ? ,? m ? 0 4

当0 ? m ? 1时,f ( x) max ? g (m) ? m2 ? 4m ? 5 ? ?5 ? m ? 1,? 0 ? m ? 1 当m ? 1时,f ( x) max ? g (1) ? 6m ? 1 ? 5 ? m ? 1,? m ? 1 综上所述, m ? 1
22 解(I)证明:令 x ? y ? 0, 得 f (0) ? f (0) ? f (0), 所以f (0) ? 0, 令y ? ? x, 得f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 0,

? f (? x) ? ? f ( x), ? f ( x)为奇函数。
(II) ? f ( x) 是定义在 ??1,1? 上的奇函数

? 设 -1 ? x1 ? x2 ? 1,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (?x1 ) ? f ( x2 ? x1 )
? x ? 0 时, f ( x) ? 0, ? f ( x2 ) ? f ( x1 ),
? f ( x) 在 ??1,1? 上为单调增函数.
(3) ? f ( x) 在 ??1,1? 上为单调增函数

9

? f ( x) 在 ??1,1? 上的最大值为 f (1) ? 1
要使 f ( x) ? m2 ? 2am ? 1对所有 x ???1,1? , a ???1,1? 恒成立 只要 m2 ? 2am ? 1 ? 1即 m2 ? 2am ? 0 恒成立 令 g (a) ? m2 ? 2am ? ?2am ? m2



?

g ( ?1) ? 0, g (1) ? 0, 即

?

2 m ? m2 ? 0 ?2 m ? m2 ? 0

? m ? 2 或 m ? ?2.

10


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