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16-17版1.1.2集合的基本关系


阶 段 一

阶 段 三

1.1.2
阶 段 二

集合间的基本关系
学 业 分 层 测 评

1.理解集合之间的包含与相等的含义.?重点?? 2.能识别给定集合的子集、真子集,会判断集合间的关系.?难点、易混点?? 3.在具体情境中,了解空集的含义.?难点?

/> [基础· 初探] 教材整理 1 子集与真子集

阅读教材 P6~P7 第一段,完成下列问题. 1.子集与真子集 概念 定义 如果集合 A 中任意一个 元 素都是集合 B 中的元素,称 集合 A 为集合 B 的子集 符号表示 A? B (或 B ? A) 图形表示

子 集

真 子 集

如果集合 A?B,但存在 元素 x∈B,且x?A , 则称集合 A 是集合 B 的 真子集. A (或 B B A)

2.Venn 图 用平面上封闭曲线 的内部代表集合,这种图称为 Venn 图. 3.集合的相等 (1)条件: A?B 且 B ? (2)表示:A=B; (3)Venn 图: . A;

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)0?{x|x<5,x∈N}.( ) ) )

(2)设 A 是一个集合,则 A?A.(

(3)若集合 A 中有 3 个元素,则集合 A 共有 7 个真子集.(

【解析】 (1)×.“?”用来表示集合与集合间的关系,所以(1)错误. (2)×.集合 A 是它本身的子集,但不是真子集,故(2)错误. (3)√.若集合 A 的元素个数为 n,则其真子集的个数为 2n-1,(3)正确.
【答案】 (1)× (2)× (3)√

教材整理 2

空集

阅读教材 P7 第二段和第三段,完成下列问题. 不含任何 1.定义: 元素的集合,叫做空集. 2.符号表示为: ? . 3.规定:空集是任何集合的 子集 .

下列说法正确的个数是(

)

①?=0;②?={0};③?={?};④0∈?;⑤0∈{0};⑥?∈{?};⑦??{0}; ⑧??{?}. A.3 C.5 B.4 D.6

【解析】 ?表示空集,集合中不含有任何元素,所以①②③④不正确;{0} 是单元素集,只含有一个元素 0,所以⑤正确;集合{?}是单元素集,只含有一 个元素?,所以⑥正确;由于空集?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子 集,所以⑦与⑧正确,因此,有 4 个说法正确,故选 B.
【答案】 B

教材整理 3

子集的性质

阅读教材 P7“思考”以下部分,完成下列问题. 子集的性质: (1)任何一个集合是它本身的 子集 ,即 A? A; (2)对于集合 A,B,C,如果 A ? B,且 B ? C,那么 A?C .

对于集合 A,B,C,若 A?B,且 B

C,那么 A 与 C 的关系是________.

【解析】 由子集的性质可知 A 【答案】 A C

C.

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型]

子集、真子集问题
(1)已知集合 A={x|x=3k, k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则 A 与 B 之间最适合的关系是( A.A?B C.A B ) B.A?B D.A B

(2)下列命题中正确的有________(写出全部正确的序号). ①{2,4,6}?{2,3,4,5,6};②{菱形}? {矩形};③{x|x2=0}?{0};④{(0,1)}? {0,1};⑤{1}∈{0,1,2};⑥ {x|x>1}?{x|x≥2}.

【精彩点拨】 利用子集、真子集的定义进行判断.

【自主解答】 (1)因为 A 中元素是 3 的整数倍, 而 B 的元素是 3 的偶数倍, 所以集合 B 是集合 A 的真子集,故选 D.

(2)根据子集的定义,①显然正确;②中只有正方形才既是菱形,也是矩形, 其他的菱形不是矩形;③中集合{x|x2=0}中的元素只有一个“0”,因此是集合{0} 的子集;④中 {(0,1)}的元素是有序实数对,而{0,1}是数集,元素不同;⑤中两 个集合之间使用了“∈”符号,这是用来表示元素与集合的关系时使用的符号, 不能用在集合与集合之间;⑥中两集合的关系应该是{x|x>1} 因此正确的是①、③,错误的是②、④、⑤、⑥. {x|x≥2}.

【答案】 (1)D (2)①③

1.判断集合间关系的方法 (1)用定义判断.判断一个集合 A 中的元素是否全部属于另一个集合 B,若 是,则 A?B,否则 A 不是 B 的子集. (2)数形结合判断.利用数轴或 Venn 图判断. 2.写有限集合的子集时,要注意两个特殊的子集?和自身,按照元素个数 分类写出,避免重复或遗漏.

[再练一题] 1.写出满足条件?? M ?{0,1,2}的所有集合 M.

【解】 ∵?? M ?{0,1,2},∴M 中元素个数为 1 或 2. 当 M 中只有 1 个元素时,可以是{0},{1},{2}; 当 M 中只有 2 个元素时,可以是{0,1},{0,2},{1,2}. ∴所求集合 M 可以是{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},共有 6 个.

集合的相等
? b? 集合?1,a,a?={0,a2,a+b},则 a2 016+b2 015 的值为( ? ?

)

A.0 C.-1

B.1 D.± 1

【精彩点拨】 根据集合相等的定义求出字母 a 与 b 的值,注意集合中元 素互异性的应用.

【自主解答】

? b? ∵?1,a,a?={0,a2,a+b},又 ? ?

a≠0,

b ∴a=0,∴b=0.∴a2=1,∴a=± 1. 又 a≠1,∴a=-1,∴a2 016+b2 015=(-1)2 016+02 015=1.
【答案】 B

1.若两集合相等,则集合中的元素完全相同. b 2.本题以“0”为着眼点,a中 a 不为 0 为突破口进行解题. 3.解含字母的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性(如本例中 a= 1 舍去).

[再练一题] 2.(2016· 中山高一检测)设 A={4,a},B={2,ab},若 A=B,则 a+b= ________. 【导学号:97030010】
? ?4=ab A={4,a},B={2,ab},A=B,所以? ? ?a=2,

【解析】 因为 b=2,所以 a+b=4.
【答案】 4

解得 a=2,

[探究共研型]

由集合间的关系求参数

探究 1 设集合 A={1,2},若 B?A,则集合 B 可能是什么? 【提示】 ?,{1},{2},{1,2}.

探究 2 “空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集”,正确吗? 【提示】 正确.

探究 3

设集合 A={x|ax+1=0}, B={x|ax2+x+1=0}, C={x|a+1<x<2a},

那么集合 A,B,C 可能是空集吗?若可能是空集,实数 a 的值或范围分别是什 么?
1 【提示】 集合 A,B,C 可能是空集.当 a=0 时,集合 A 是空集,当 a>4 时,集合 B 是空集,当 a≤1 时,集合 C 是空集.

已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且 B?A.求 实数 m 的取值范围.
【精彩点拨】 讨论集合B → 列不等式?组? → 求m的取值范围

【自主解答】

∵B?A,

(1)当 B=?时,m+1≤2m-1,解得 m≥2. ?-3≤2m-1 ? (2)当 B≠?时,有?m+1≤4 ?2m-1<m+1, ? 综上得 m≥-1.

解得-1≤m<2,

1.解决此类问题通常先化简所给集合,再用数轴表示所给集合,然后列出 不等式(组),解端点之间的大小关系,求出参数的取值范围. 2.列不等式(组)时要根据具体的题目条件确定不等号中是否含有“等号”. 3. 对集合 B 分类讨论是解决此类题目的关键, 注意不要忽视对 B=?的讨论.

[再练一题] 3.已知集合 P={x|x2=1},集合 Q={x|ax=1},若 Q?P,那么 a 的取值是 ________.
【解析】 由题意得 P={-1,1},

又因为 Q?P, 若 Q=?,则 a=0,此时满足 Q?P, 若 Q≠?,则
? ? ? 1 ? ? Q= x x=a ? ? ? ? ? 1 ?,由题意知, =1 a ? ?

1 或a=-1,解得 a=± 1.综上可

知,a 的取值是 0,± 1.

【答案】 0,± 1

1.集合 A={-1,0,1},A 的子集中含有元素 0 的子集共有( A.2 个 C.6 个 B.4 个 D.8 个

)

【解析】 根据题意,在集合 A 的子集中,含有元素 0 的子集有{0}、{0,1}、 {0,-1}、{-1,0,1}四个,故选 B.
【答案】 B

2.已知集合 M={x|- 5<x< 3,x∈Z},则下列集合是集合 M 的子集的为 ( ) A.P={-3,0,1} B.Q={-1,0,1,2} C.R={y|-π<y<-1,y∈Z} D.S={x||x|≤ 3,x∈N}

【解析】 集合 M={-2,-1,0,1},集合 R={-3,-2},集合 S={0,1}, 不难发现集合 P 中的元素-3?M,集合 Q 中的元素 2?M,集合 R 中的元素-3? M,而集合 S={0,1}中的任意一个元素都在集合 M 中,所以 S?M.故选 D.
【答案】 D

3.(2016· 宁波高一检测)①0∈{0},②??{0},③{0,1}?{(0,1)},④{(a,b)} ={(b,a)}.上面关系中正确的个数为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

【解析】 ①正确,0 是集合{0}的元素;②正确,?是任何非空集合的真子 集;③错误,集合{0,1}含两个元素 0,1,而{(0,1)}含一个元素点(0,1),所以这两 个集合没关系;④错误,集合{(a,b)}含一个元素点(a,b),集合{(b,a)}含一个 元素点(b,a),这两个元素不同,所以集合不相等.故选 B.
【答案】 B

4. 设集合 A={x|1<x<2}, B={x|x<a}, 若 A?B, 则 a 的取值范围是( 学号:97030011】 A.{a|a≤2} C.{a|a≥1} B.{a|a≤1} D.{a|a≥2}

)【导

【解析】 由 A={x|1<x<2},B={x|x<a},A?B,则{a|a≥2}. 【答案】 D

5.已知集合 A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出 A 的所有子集.

【解】 因为 A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N}, 所以 A={(0,2),(1,1),(2,0)}. 所以 A 的子集有: ?, {(0,2)}, {(1,1)}, {(2,0)}, {(0,2), (1,1)}, {(0,2), (2,0)}, {(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

学业分层测评(三)
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