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【名师一号届高考数学大一轮总复习第五章数列计时双基练等比数列及其前n项和理北师大版-课件


计时双基练三十一

等比数列及其前 n 项和
)

A 组 基础必做 1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 解析 根据等比数列的性质,若 m+n=2k(m,n,k∈N+),则 am,

ak,an 成等比数列。 答案 D 1 2.(2015·课标全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足 a1= ,a3a5=4(a4-1),则 a2=( 4 A.2 C. 1 2 B.1 D. 1 8 )

解析 ∵a3a5=4(a4-1), ∴a4=4(a4-1),解得 a4=2。 1 1 3 又 a4=a1q ,且 a1= ,∴q=2,∴a2=a1q= 。 4 2 答案 C 3.已知数列-1,x,y,z,-2 成等比数列,则 xyz=( A.-4 C.-2 2 B.±4 D.±2 2
2 2

)

解析 根据等比数列的性质,xz=(-1)×(-2)=2,y =2,又 =q (q 为公比),故 -1

y

2

y<0,所以 y=- 2,所以 xyz=-2 2。
答案 C 4.(2015·山西四校联考)等比数列{an}满足 an>0,n∈N ,且 a3·a2n-3=2 (n≥2),则 当 n≥1 时,log2a1+log2a2+?+log2a2n-1=( A.n(2n-1) C.n
2 * 2n

) B.(n+1) D.(n-1)
2 2n 2

2

解析 由等比数列的性质,得 a3·a2n-3=an=2 ,从而得 an=2 。 解法一:log2a1+log2a2+?+log2a2n-1=log2[(a1a2n-1)·(a2a2n-2)·?·(an-1an+1)an]= log22
n(2n-1)

n

=n(2n-1)。
2 2

解法二:取 n=1,log2a1=log22=1,而(1+1) =4,(1-1) =0,排除 B,D;取 n=2,

1

log2a1+log2a2+log2a3=log22+log24+log28=6,而 2 =4,排除 C,选 A。 答案 A 5. 设各项都是正数的等比数列{an}, Sn 为前 n 项和, 且 S10=10, S30=70, 那么 S40=( A.150 C.150 或-200 B.-200 D.400 或-50
2

2

)

解析 依题意, 数列 S10, S20-S10, S30-S20, S40-S30 成等比数列, 因此有(S20-S10) =S10(S30 -S20),即(S20-10) =10(70-S20),故 S20=-20 或 S20=30;又 S20>0,因此 S20=30,S20-
2

S10=20,S30-S20=40,故 S40-S30=80。S40=150。
答案 A 6.已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,若存在 m∈N ,满足 {an}的公比为( A.-2 C.-3 解析 设公比为 q,若 q=1,则 ) B.2 D.3
*

S2m a2m 5m+1 =9, = ,则数列 Sm am m-1

S2m =2,与题中条件矛盾,故 q≠1。 Sm

a1?1-q2m? 1-q S2m m m ∵ = =q +1=9,∴q =8。 Sm a1?1-qm? 1-q


a2m a1q2m-1 m 5m+1 = =q =8= , am a1qm-1 m-1
3

∴m=3,∴q =8, ∴q=2。 答案 B 7.等比数列{an}中,Sn 表示前 n 项和,a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q 为________。 解析 由 a3=2S2+1,a4=2S3+1 得

a4-a3=2(S3-S2)=2a3,
∴a4=3a3,∴q= =3。 答案 3 8.(2016·云南省昆明市七校模拟调研)在等比数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,若 q =2,且 a2 与 2a4 的等差中项为 18,则 S5=________。 解析 依题意得 a2+2a4=36, q=2, 则 2a1+16a1=36, 解得 a1=2, 因此 S5= =62。 2×?1-2 ? 1-2
5

a4 a3

2

答案 62 1 9. 已知数列{an}是等比数列, a2=2, a5= , 则 a1a2a3+a2a3a4+?+anan+1an+2=________。 4

a5 1 1 a2 3 解析 设数列{an}的公比为 q,则 q = = ,解得 q= ,a1= =4。易知数列{anan+1an a2 8 2 q
+2

1 3 }是首项为 a1a2a3=4×2×1=8, 公比为 q = 的等比数列, 所以 a1a2a3+a2a3a4+?+anan+1an 8

? 1? 8?1- n? ? 8 ? 64 -3n = (1-2 )。 +2= 1 7 1- 8
答案 64 -3n (1-2 ) 7

10.已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8。 (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的前 n 项和 Tn。 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,
? ?a1+d=2, ?a1+4d=8, ?

则由已知得?

∴a1=0,d=2。 ∴an=a1+(n-1)d=2n-2。 (2)设等比数列{bn}的公比为 q, 则由已知得 q+q =a4, ∵a4=6,∴q=2 或 q=-3。 ∵等比数列{bn}的各项均为正数, ∴q=2。 ∴{bn}的前 n 项和 Tn=
2

b1?1-qn? 1×?1-2n? n = =2 -1。 1-q 1-2

11.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=4an-3(n∈N+)。 (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)若数列{bn}满足 bn+1=an+bn(n∈N+),且 b1=2,求数列{bn}的通项公式。 解 (1)证明:依题意 Sn=4an-3(n∈N+),n=1 时,a1=4a1-3,解得 a1=1。

因为 Sn=4an-3,则 Sn-1=4an-1-3(n≥2),所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1, 4 整理得 an= an-1。 3 4 又 a1=1≠0,所以数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列。 3
3

?4?n-1 (2)因为 an=? ? ,由 bn+1=an+bn(n∈N+), ?3? ?4?n-1 得 bn+1-bn=? ? 。 ?3? ?4?n-1 1-? ? ?3? ?4?n-1 可得 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1)=2+ =3? ? -1(n≥2), 当 4 ?3? 1- 3
n=1 时也满足,所以数列{bn}的通项公式为 bn=3·? ?n-1-1(n∈N+)。 3
B 组 培优演练 1 1.已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N+),且 a2+a4+a6=9,则 log (a5+a7+ 3

?4? ? ?

a9)的值是(
1 A.- 5 C.5

) B.-5 D.
*

1 5

解析 由 log3an+1=log3an+1(n∈N ),得 log3an+1-log3an=1 且 an>0,即 log3 解得

an+1 =1, an

an+1 3 =3,所以数列{an}是公比为 3 的等比数列。因为 a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q ,所以 an
1 3 1 3

a5+a7+a9=9×33=35。所以 log (a5+a7+a9)=log 35=-log335=-5。
答案 B 2.(2015·兰州、张掖联考)已知数列{an}的首项为 1,数列{bn}为等比数列且 bn= 若 b10·b11=2,则 a21=________。 解析 ∵b1= =a2,b2= ,∴a3=b2a2=b1b2, ∵b3= ,∴a4=b1b2b3,?,an=b1b2b3·?·bn-1, ∴a21=b1b2b3·?·b20=(b10b11) =2 =1 024。 答案 1 024 3.若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积,则称该数列为“m 积数列”。 若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 014 积数列”,且 a1>1,则当其前 n 项的乘积取 最大值时 n 的值为________。 解析 由题可知 a1a2a3·?·a2 014=a2 014,
10 10

an+1 , an

a2 a1

a3 a2

a4 a3

4

故 a1a2a3·?·a2 013=1, 由于{an}是各项均为正数的等比数列且 a1>1, 所以 a1 007=1,公比 0<q<1, 所以 a1 006>1 且 0<a1 008<1,故当数列{an}的前 n 项的乘积取最大值时 n 的值为 1 006 或 1 007。 答案 1 006 或 1 007 4.已知等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公比是 q,且 满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q。 (1)求 an 与 bn; (2)设 cn=3bn-λ ·2 ,若数列{cn}是递增数列,求 λ 的取值范围。 3 解 (1)由已知可得?
2

an

? ?q+3+a2=12, ?3+a2=q , ?
2

所以 q +q-12=0, 解得 q=3 或 q=-4(舍),从而 a2=6, 所以 an=3n,bn=3
n-1



(2)由(1)知,cn=3bn-λ ·2 =3 -λ ·2 。 3 由题意,cn+1>cn 对任意的 n∈N 恒成立, 即3
n+1
*

an

n

n

-λ ·2
n

n+1

>3 -λ ·2 恒成立,
n

n

n

亦即 λ ·2 <2·3 恒成立,

?3?n 即 λ <2·? ? 恒成立。 ?2? ?3?n 由于函数 y=? ? 是增函数, ?2?
3 ? ?3?n? 所以?2·? ? ?min=2× =3, 2 ? ?2? ? 故 λ <3,即 λ 的取值范围为(-∞,3)。

5


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