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广东省珠海市2015届高三数学上学期9月摸底试卷 理(含解析)


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广东省珠海市 2015 届高三上学期 9 月摸底数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1. (5 分)已知全集 U={0,±1,±2},集合 M={0},

则?UM=() A. {±1,±2} B. {0,±1,±2} C. {0,±1} D. {0,±2} 2. (5 分)复数(2+i)i 的虚部是() A. 1 B. ﹣1

C. 2

D. ﹣2

3. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 s 值是()

A. 7

B. 67

C. 39

D. 1525

4. (5 分)等比数列{an}中,a3=﹣3,则前 5 项之积是() 5 5 6 A. 3 B. ﹣3 C. 3 5. (5 分)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()

D. ﹣3

6

-1-

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A.

B. 16π

C.

D. 8π

6. (5 分)向量 =(0,1,﹣1) , =(0,1,0) ,则 与 的夹角为() A. 0° B. 30° C. 45° D. 60°

7. (5 分)在区间[0,2]上随机取两个数 x,y 其中满足 y≥2x 的概率是() A. B. C. D.

8. (5 分)下列命题中是真命题的是() A. ? α 、β ∈R,均有 cos(α +β )=cosα ﹣cosβ B. 若 f(x)=cos(2x﹣φ )为奇函数,则 φ =kπ ,k∈Z C. 命题“p”为真命题,命题“q”为假命题,则命题“¬p∨q”为假命题 3 D. x=0 是函数 f(x)=x ﹣2 的极值点

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,考生作答 6 小题,满分 25 分.其中 14~15 题 是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应 位置. 9. (5 分)不等式|3x﹣4|≤4 的解集是.
3

10. (5 分)

的展开式中 x 的系数为 10,则实数 a=.

11. (5 分)

=.

12. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=x+y 的最大值为.

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13. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C:x =﹣2py(p>0)的焦点 F,点 M(p,yM)∈C, 若 M 为圆心的圆与曲线 C 的准线相切,圆面积为 36π ,则 p=.

2

(几何证明选讲选做题) 14. (5 分)如图,在 Rt△ABC 中,斜边 AB=12,直角边 AC=6,如果以 C 为圆心的圆与 AB 相切 于 D,则⊙C 的半径长为.

(极坐标选做题) 15.以直角坐标系的原点为极点,x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,在两种坐标系中取相 同的单位长度,点 A 的极坐标为(2 C 上的点 B 与点 A 距离的最大值为. , ) ,曲线 C 的参数方程为 ,则曲线

三、解答题:本题共有 6 个小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 2 16. (12 分)已知函数 f(x)=2 sinx?cosx+2cos x,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)已知 f( )= ,α ∈[0,π ],求 cos(α + )的值.

17. (12 分)某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查,对 15~65 岁的人群随机 抽取 1000 人的样本,进行了一次“是否是电影明星追星族”调查,得到如下各年龄段样本人 数频率分布直方图和“追星族”统计表: “追星族”统计表 组数 分组 “追星族”人数 占本组频率 一 [15,25) a 0.75 二 [25,35) 200 0.40 三 [35,45) 5 0.1 四 [45,55) 3 b 五 [55,65] 2 0.1 (1)求 a,b 的值. (2)设从 45 岁到 65 岁的人群中,随机抽取 2 人,用样本数据估计总体,ξ 表示其中“追星 族”的人数,求 ξ 分布列、期望和方差.
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18. (14 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、 G 分别为 AB、C1D1、DC 中点, AB=2,AD= AC1=3 (1)求证:C1E∥平面 AFC. (2)求二面角 F﹣AC﹣G 的正切值.



19. (14 分)已知数列{an},an≠2,an+1=

,a1=3.

(1)证明:数列{

}是等差数列.
n+2 n+1

(2)设 bn=an﹣2,数列{bnbn+1}的前 n 项和为 Sn,求使(2n+1)?2 ?Sn>(2n﹣3)?2 +192 成立的最小正整数 n.

20. (14 分)焦点在 x 轴的椭圆 C1:

+

=1(3≤a≤4) ,过 C1 右顶点 A2(a,0)的直线 l:

y=k(x﹣a) (k>0)与曲线 C2:y=x ﹣ (1)若 C1 的离心率为

2

相切,交 C1 于 A2、E 二点.

,求 C1 的方程.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)求|A2E|取得最小值时 C2 的方程.

21. (14 分)已知函数 f(x)= (1)若函数 f(x)在(a﹣1,a+1) (a>1)上有极值点,求实数 a 的范围. (2)求证:x≥1 时,x(x+1)f(x)> .

广东省珠海市 2015 届高三上学期 9 月摸底数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1. (5 分)已知全集 U={0,±1,±2},集合 M={0},则?UM=() A. {±1,±2} B. {0,±1,±2} C. {0,±1} D. {0,±2} 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用补集的定义及运算法则求解. 解答: 解:∵全集 U={0,±1,±2},集合 M={0},则 ∴?UM={±1,±2}. 故选:A. 点评: 本题考查集合的补集的求法,是基础题,解题时要认真审题. 2. (5 分)复数(2+i)i 的虚部是() A. 1 B. ﹣1

C. 2

D. ﹣2

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 先将复数化简为代数形式,再根据复数虚部的概念作答. 2 解答: 解: (2+i)i=2i+i =﹣1+2i,根据复数虚部的概念,虚部是 2 故选 C 点评: 本题考查了复数的计算,复数的实部、虚部的概念.属于基础题,复数 z=a+bi(a, b∈R)的实部为 a,虚部为 b(勿记为 bi) . 3. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 s 值是()

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A. 7

B. 67

C. 39

D. 1525

考点: 程序框图. 专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 通过循环,计算 s,k 的值,当 k=4 时退出循环,输出结果即可. 解答: 解:k=1,满足判断框,第 1 次循环,s=2,k=2, 第 2 次判断后循环,s=6,k=3, 第 3 次判断并循环 s=39,k=4, 第 3 次判断退出循环, 输出 S=39. 故选:C. 点评: 本题考查循环结构,注意循环条件的判断,循环计算的结果,考查计算能力. 4. (5 分)等比数列{an}中,a3=﹣3,则前 5 项之积是() 5 5 6 A. 3 B. ﹣3 C. 3

D. ﹣3

6

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 5 1+2+3+4 5 分析: 设{an}是等比数列的公比为 q,则前 5 项之积是(a1) q =(a3) ,即可得出结论. 解答: 解:设{an}是等比数列的公比为 q,则 5 1+2+3+4 5 5 前 5 项之积是(a1) q =(a3) =﹣3 , 故选:B. 点评: 本题考查等比数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础. 5. (5 分)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()

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A.

B. 16π

C.

D. 8π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据已知中的三视图可得:该几何体是一个圆锥,求出圆锥的底面半径和高,代入 圆锥体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个圆锥, 圆锥的底面直径为 4,则底面半径 r=2,高 h=4, 故该几何体的体积 V= = ,

故选:A. 点评: 本题考查学生的空间想象能力,分析出几何体是形状是解答的关键,难度不大,是 基础题.

6. (5 分)向量 =(0,1,﹣1) , =(0,1,0) ,则 与 的夹角为() A. 0° B. 30° C. 45° D. 60°

考点: 空间向量的数量积运算. 专题: 空间向量及应用. 分析: 利用向量的夹角公式即可得出. 解答: 解:设 与 的夹角为 θ . =1, ∴cosθ = = , = = . ,

∵θ ∈[0,π ],∴θ =45°. 故选:C. 点评: 本题考查了向量的夹角公式,属于基础题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 7. (5 分)在区间[0,2]上随机取两个数 x,y 其中满足 y≥2x 的概率是() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 该题涉及两个变量,故是与面积有关的几何概型,分别表示出满足条件的面积和整 个区域的面积,最后利用概率公式解之即可. 解答: 解:在区间[0,2]上随机取两个数 x,y,对应区域的面积为 4, 满足 y≥2x,对应区域的面积为 ∴所求的概率为 . 故选:B. 点评: 本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解,解题的关键是准确求出区域的面积, 属于中档题. 8. (5 分)下列命题中是真命题的是() A. ? α 、β ∈R,均有 cos(α +β )=cosα ﹣cosβ B. 若 f(x)=cos(2x﹣φ )为奇函数,则 φ =kπ ,k∈Z C. 命题“p”为真命题,命题“q”为假命题,则命题“¬p∨q”为假命题 3 D. x=0 是函数 f(x)=x ﹣2 的极值点 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: A,举例说明,令 α = ,β = ,验证即可; ,k∈Z,从而可判断其正误; =1,

B,f(x)=cos(2x﹣φ )为奇函数? ﹣φ =kπ +

C,命题“p”为真命题? ¬p 为假命题,利用命题真值表判断即可; 2 3 D,f′(x)=3x ≥0 恒成立,可知函数 f(x)=x ﹣2 在 R 上单调递增,无极值点. 解答: 解:A,α = ,β = 时,cos( + )=0≠cos ﹣cos ,故 A 错误; ,k∈Z,故 B

B,若 f(x)=cos(2x﹣φ )为奇函数,则﹣φ =kπ +

,k∈Z,φ =﹣kπ ﹣

错误; C,命题“p”为真命题,命题“q”为假命题,则¬p 为假命题,故命题“¬p∨q”为假命题, 正确; 2 3 D,∵f′(x)=3x ≥0 恒成立,故函数 f(x)=x ﹣2 在 R 上单调递增,无极值点,故 D 错误. 综上所述,命题中是真命题的是 C, 故选:C. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考全称命题的真假判断及真值表的应用,考 查余弦函数的奇偶性及函数的单调性与极值,属于中档题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,考生作答 6 小题,满分 25 分.其中 14~15 题 是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应 位置. 9. (5 分)不等式|3x﹣4|≤4 的解集是{x|0≤x≤ }.

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 首先对不等式去绝对值可得到﹣1≤x﹣2≤1,然后求解 x 的取值范围即得到答案. 解答: 解:由不等式|3x﹣4|≤4, 首先去绝对值可得到﹣4≤3x﹣4≤4; 移项后得:0≤3x≤8 解得:0≤x≤ . 故答案为:{x|0≤x≤ }. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式来解.计 算量小较容易.
3

10. (5 分)

的展开式中 x 的系数为 10,则实数 a=2.

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令 x 的指数为 3,列出方程求出 a 的 值. 解答: 解:∵Tr+1=C5 ?x
r 5﹣r

?(

) =a C5 x

r

r

r 5﹣2r



又令 5﹣2r=3 得 r=1, 1 1 ∴由题设知 C5 ?a =10? a=2. 故答案为 2 点评: 本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题. 11. (5 分) =e﹣1.

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 由于
x ′

=
x

,即可得出答案. =e﹣1.

解答: 解:∵(e ) =e ,∴ 故答案为 e﹣1. 点评: 理解微积分基本定理是解题的关键.

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12. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=x+y 的最大值为 3.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 画出满足约束条件的可行域,并求出各角点的坐标,代入目标函数的解析式,分别 求出对应的函数值,比较后可得答案.

解答: 解:满足约束条件

的可行域如下图所示,

∵目标函数 z=x+y ∴zO=0+0=0, zA=0+1.5=1.5, zB=1+2=3, 故目标函数 z=x+y 的最大值为 3 故答案为:3 点评: 本题考查的知识点是简单线性规划,角点法是解答此类问题最常用的方法,常用来 求解选择和填空题. 13. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C:x =﹣2py(p>0)的焦点 F,点 M(p,yM)∈C, 若 M 为圆心的圆与曲线 C 的准线相切,圆面积为 36π ,则 p=6. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出圆的半径,M 为圆心的圆与曲线 C 的准线相切,可得 M 到准线的距离为 6,再结 合 M(p,yM)∈C,即可求出 p 的值. 解答: 解:∵圆面积为 36π , ∴圆的半径为 6,
2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵M 为圆心的圆与曲线 C 的准线相切, ∴M 到准线的距离为 6, ∴ ﹣yM=6, ∵M(p,yM)∈C, ∴yM=﹣ , ∴p=6, 故答案为:6. 点评: 本题考查抛物线的性质,考查学生的计算能力,比较基础. (几何证明选讲选做题) 14. (5 分)如图,在 Rt△ABC 中,斜边 AB=12,直角边 AC=6,如果以 C 为圆心的圆与 AB 相切 于 D,则⊙C 的半径长为 .

考点: 与圆有关的比例线段;圆的切线的性质定理的证明. 专题: 直线与圆. 分析: 在 Rt△ABC 中,利用勾股定理即可得出 BC.又 AB 与⊙C 相切与点 D,连接 CD,得到 CD⊥AB.利用 S△ABC= ,即可得出⊙C 的半径 CD. = =6 .

解答: 解: 在 Rt△ABC 中, 斜边 AB=12, 直角边 AC=6, ∴ ∵AB 与⊙C 相切与点 D,连接 CD,∴CD⊥AB. ∴S△ABC= ,∴ = .

∴⊙C 的半径长为 . 故答案为 . 点评: 熟练掌握勾股定理、圆的切线的性质和“等面积变形”是解题的关键. (极坐标选做题) 15.以直角坐标系的原点为极点,x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,在两种坐标系中取相 同的单位长度,点 A 的极坐标为(2 C 上的点 B 与点 A 距离的最大值为 5. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. , ) ,曲线 C 的参数方程为 ,则曲线

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 把参数方程、极坐标化为直角坐标方程,求得 A 到圆心 C 的距离 AC,再加上半径, 即为所求. 解答: 解:把点 A 的极坐标(2 , )化为直角坐标为(2,2) ,

把曲线 C 的参数方程为
2

,消去参数,化为直角坐标方程为(x﹣2) +(y+2)

2

=1,表示以 C(2,﹣2)为圆心、半径等于 1 的圆. 求得 AC=4,则曲线 C 上的点 B 与点 A 距离的最大值为 AC+r=4+1=5, 故答案为:5. 点评: 本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法,点和圆的位置关系, 属于基础题. 三、解答题:本题共有 6 个小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 2 16. (12 分)已知函数 f(x)=2 sinx?cosx+2cos x,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)已知 f( )= ,α ∈[0,π ],求 cos(α + )的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;两角和与差的余弦函数;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用三角恒等变换化简 f(x) ,求出它的最小正周期; (2)由 f( )= 求出 sin(α + )的值. sinx?cosx+2cos x
2

)的值,考虑 α 的取值范围,求出 α +

的取值范围,

从而求出 cos(α +

解答: 解: (1)f(x)=2 = sin2x+cos2x+1 =2( sin2x+ cos2x)+1 )+1,x∈R

=2sin(2x+

∴f(x)的最小正周期为 T=

=π .

(2)∵f( =2sin(α + = , ∴

)=2sin[2( )+1

)+

]+1



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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵α ∈[0,π ], ∴ ∴ ∴ ∴ , , 时, . ,

点评: 本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的求值问题,解题时应注意三角函数 的化简以及由值求角和由角求值时角的范围,是中档题. 17. (12 分)某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查,对 15~65 岁的人群随机 抽取 1000 人的样本,进行了一次“是否是电影明星追星族”调查,得到如下各年龄段样本人 数频率分布直方图和“追星族”统计表: “追星族”统计表 组数 分组 “追星族”人数 占本组频率 一 [15,25) a 0.75 二 [25,35) 200 0.40 三 [35,45) 5 0.1 四 [45,55) 3 b 五 [55,65] 2 0.1 (1)求 a,b 的值. (2)设从 45 岁到 65 岁的人群中,随机抽取 2 人,用样本数据估计总体,ξ 表示其中“追星 族”的人数,求 ξ 分布列、期望和方差.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;极差、方差与标准差;离散型随 机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由频率分布直方图能求出 a=300,b=0.1. (2) .由[45,65]范围内的样本数据知,抽到追星族的概率为 能求出 ξ 分布列、期望和方差.
- 13 -

,ξ ~B(2,

) ,由此

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: (本小题满分 12 分) 解: (1)由题设知[15,25)这组人数为 0.04×10×1000=400,?(1 分) 故 a=0.75×400=300,?(2 分) [45,55)这组人数为 0.003×10×1000=30, 故 b= ?(3 分)

综上,a=300,b=0.1.?(4 分) (2) .由[45,65]范围内的样本数据知,抽到追星族的概率为 ξ ~B(2, )?(6 分) ,

故 ξ 的分布列是: ξ 0 p 0.81 ?(8 分) ξ 的期望是 ξ 的方差是

1 0.18

2 0.01

?(10 分) ?(12 分)

点评: 本题考查频率分布直方图的应用,考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的求 法,是中档题,解题时要注意二项分布的性质的合理运用. 18. (14 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、 G 分别为 AB、C1D1、DC 中点, AB=2,AD= AC1=3 (1)求证:C1E∥平面 AFC. (2)求二面角 F﹣AC﹣G 的正切值. ,

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由已知条件推导出四边形 AEC1F 是平行四边形,由此能证明 C1E∥平面 AFC. (2)由已知得 FG⊥平面 ABCD,过 F 做 FH⊥AC 于 H,又 AC⊥FG,由已知得∠FHG 就是二面角 F ﹣AC﹣G 的平面角,由此能求出二面角 F﹣AC﹣G 的正切值. 解答: (本小题满分 14 分)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (1)证明:在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, ∵E、F 分别为 AB、C1D1 中点, ∴AE∥C1F 且 AE=C1F, ∴四边形 AEC1F 是平行四边形, ∴C1E∥AF,?(3 分) ∵AF? 平面 AFC,C1E?平面 AFC, ∴C1E∥平面 AFC.?(5 分) (2)解:∵长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, F、G 分别为 C1D1、DC 中点, ∴FG⊥平面 ABCD,?(7 分) 过 F 做 FH⊥AC 于 H,又 AC⊥FG, ∴AC⊥平面 FGH,∴GH⊥AC, ∴∠FHG 就是二面角 F﹣AC﹣G 的平面角,?(9 分) ∵ ,在△ACG 中,GH?AC=AD?CG, ∴ ,?(11 分) ,

∴直角三角形 FGH 中, ?(13 分)

∴二面角 F﹣AC﹣G 的正切值为

.?(14 分)

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角的正切值的求法,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养.

19. ( 14 分)已知数列{an},an≠2,an+1=

,a1=3.

(1)证明:数列{

}是等差数列.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)设 bn=an﹣2,数列{bnbn+1}的前 n 项和为 Sn,求使(2n+1)?2 ?Sn>(2n﹣3)?2 +192 成立的最小正整数 n. 考点: 数列的求和;等差关系的确定. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列的定义,进行证明即可; (2)确定数列{bnbn+1}的通项,利用裂项法求和,即可得出结论. 解答: (1)证明:由 得 ?(2 分)
n+2 n+1

∵an≠2,∴





?(5 分)

∴数列

是公差为 2 的等差数列. ?(6 分)

(2)解:由①知

?(7 分)

∴ ∴ ∴

, ?(9 分) = ?(11 分)

故 即 2 >64=2 ,故 n>5?(13 分) ∴使
n+1 6

等价于 n?2 >(2n﹣3)?2 +192

n+2

n+1

成立的最小正整数 n=6.

?(14

分) 点评: 本题考查等差数列的证明,考查数列通项公式及其前 n 项和公式的求法,其中涉及 错裂项法求和在问题中的应用.

20. (14 分)焦点在 x 轴的椭圆 C1:

+

=1(3≤a≤4) ,过 C1 右顶点 A2(a,0)的直线 l:

y=k(x﹣a) (k>0)与曲线 C2:y=x ﹣

2

相切,交 C1 于 A2、E 二点.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (1)若 C1 的离心率为 ,求 C1 的方程.

(2)求|A2E|取得最小值时 C2 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由 C1 的离心率 得 a =9,即可求出 C1 的方程.
2

(2)利用韦达定理,表示出|A2E|,利用换元,导数法,即可求|A2E|取得最小值时 C2 的方程. 解答: 解: (1)由 C1 的离心率 得 a =9?(2 分)
2



?(3 分)

(2)l 与 C2 方程联立消 y 得 由 l 与 C2 相切知△=k ﹣3ak=0,由 k>0 知 k=3a?(5 分) 2 2 2 3 2 4 2 2 l 与 C1 方程联立消 y 得(4+a k )x ﹣2a k x+a k ﹣4a =0?①?(6 分) 设点 E(xE,yE) ,则 ∵l 交 C1 于 A2、E 二点,∴xE、a 是①的二根, ∴ ,故 ?(8 分)
2



=

?(10 分)

令 t=a ∈[9,16],则

2



,则

在 t∈[9,16]上恒成立 故 f(t)在[9,16]上单减 ?(12 分) 故 t=16 即 a=4,k=12 时 f(t)取得最小值,则|A2E|取得最小值 此时 ?(14 分)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查椭圆、抛物线的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查导数知识的运用, 难度大.

21. (14 分)已知函数 f(x)= (1)若函数 f(x)在(a﹣1,a+1) (a>1)上有极值点,求实数 a 的范围. (2)求证:x≥1 时,x(x+1)f(x)> .

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数 的最值. 分析: (1)求导数,确定函数的单调性,利用函数 f(x)在(a﹣1,a+1) (a>1)上有极 值点,建立不等式,即可求实数 a 的范围. (2)设 h(x)=x(x+1)f(x)﹣ [1,+∞)上单调递增,即可得出结论. 解答: (1)解:∵f(x)= ∴f′(x)=﹣ , , ,则 h′(x)=2+ +lnx+ ,证明 h(x)在

∴(0,1)上,f′(x)>0, (1,+∞)上,f′(x)<0, ∴函数在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∵函数 f(x)在(a﹣1,a+1) (a>1)上有极值点,





∴1<a<2; (2)证明:设 h(x)=x(x+1)f(x)﹣ ∵x≥1,∴h′(x)>0, ∴h(x)在[1,+∞)上单调递增, ∴h(x)≥h(1)=2﹣ >0, ,则 h′(x)=2+ +lnx+

∴x≥1 时,x(x+1)f(x)>



点评: 本题考查函数的单调性,考查函数的极值,考查不等式的证明,正确运用函数的单 调性是关键.

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