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高中数列经典习题(含答案)


1、在等差数列{an}中,a1=-250,公差 d=2,求同时满足下列条件的所有 an 的和, (1)70≤n≤200;(2)n 能被 7 整除.

2、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a3=12, S12>0,S13<0.(Ⅰ)求公差 d 的取值范围; (Ⅱ)指出 S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由.

3

、数列{ an }是首项为 23,公差为整数的等差数列,且前 6 项为正,从第 7 项开始变为负的,回答下列各问:(1) 求此等差数列的公差 d;(2)设前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值;(3)当 S n 是正数时,求 n 的最大值.

4、设数列{ an }的前 n 项和 S n .已知首项 a1=3,且 S n?1 + S n =2 a n ?1 ,试求此数列的通项公式 an 及前 n 项和 S n .

5、已知数列{ an }的前 n 项和 S n ?

1 1 n(n+1)(n+2),试求数列{ }的前 n 项和. 3 an

6、 已知数列{ an }是等差数列,其中每一项及公差 d 均不为零,设 ai x 2 ? 2ai ?1 x ? ai ?2 =0(i=1,2,3,…)是关于 x 的一组方 程.回答:(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为 mi ,求证

1 1 1 1 , , ,…, ,…也成等差数列. m1 ? 1 m2 ? 1 m3 ? 1 mn ? 1

2 7、如果数列{ an }中,相邻两项 an 和 a n ?1 是二次方程 xn ? 3nxn ? cn =0(n=1,2,3…)的两个根,当 a1=2 时,试求 c100 的值.

8、 有两个无穷的等比数列{ an }和{ an },它们的公比的绝对值都小于 1,它们的各项和分别是 1 和 2,并且对于一切自然 数 n,都有 a n ?1 ,试求这两个数列的首项和公比.

9、有两个各项都是正数的数列{ an },{ bn }.如果 a1=1,b1=2,a2=3.且 an , bn , a n ?1 成等差数列, bn , a n ?1 , bn ?1 成等比数列, 试求这两个数列的通项公式.

10、若等差数列{log2xn}的第 m 项等于 n,第 n 项等于 m(其中 m?n),求数列{xn}的前 m+n 项的和。

11、设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且 a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3 分别求出{an}及{bn}的前 10 项的和 S10 及 T10.

12、已知等差数列{an}的前项和为 Sn,且 S13>S6>S14,a2=24. (1)求公差 d 的取值范围; (2)问数列{Sn}是否成存在最大项,若存在求,出最大时的 n,若不存在,请说明理由.

13、设首项为正数的等比数列,它的前 n 项和为 80,前 2n 项的为 6560,且前 n 项中数值最大的项为 54,求此数列 的首项和公比.

14、设正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且存在正数 t,使得对所有正整数 n,t 与 an 的等差中项和 t 与 Sn 的等比中项 相等,求证数列{ S n }为等差数列,并求{an}通项公式及前 n 项和.

15、已知数列 ? an ?是公差不为零的等差数列,数列 abn 是公比为 q 的等比数列,且 b1 ? 1, b2 ? 5, b3 ? 17. ①求 q 的值; ②求数列 ?bn ?前 n 项和.

? ?

16、 若 a、b、c 成等差数列,且 a+1、b、c 与 a、b、c+2 都成等比数列,求 b 的值.

答案: 1、 解: a1=-250, d=2, an=-250+2(n-1)=2n-252 同时满足 70≤n≤200, n 能被 7 整除的 an 构成一个新的等差数列{bn}. b1=a70=-112, b2=a77=-98,…, bn′=a196=140 其公差 d′=-98-(-112)=14. 由 140=-112+(n′-1)14, 解得 n′=19 ∴{bn}的前 19 项之和 S ? 19 ? (?112 ) ? 2、解: (Ⅰ)依题意,有 S12

19 ? 18 ? 14 ? 266 . 2 12 ? (12 ? 1) ? 12 a1 ? ?d ? 0 2

S13 ? 13a1 ?

?2a ? 11d ? 0 (1) 13 ? (13 ? 1) ? d ? 0 ,即 ? 1 2 ? a1 ? 6d ? 0 (2)
(3)

由 a3=12,得 a1=12-2d

将(3)式分别代入(1),(2)式,得

?24 ? 7d ? 0 24 ? d ? ?3 . ,∴ ? ? 7 ? 3? d ? 0

(Ⅱ)由 d<0 可知 a1>a2>a3>…>a12>a13. 因此,若在 1≤n≤12 中存在自然数 n,使得 an>0,an+1<0,则 Sn 就是 S1,S2,…,S12 中的最大值. 由于 S12=6(a6+a7)>0, S13=13a7<0,即 a6+a7>0, a7<0. 由此得 a6>-a7>0.因为 a6>0, a7<0,故在 S1,S2,…,S12 中 S6 的值最大. 3、 (1)由 a6=23+5d>0 和 a7=23+6d<0,得公差 d=-4.(2)由 a6>0,a7<0,∴S6 最大, S6=8.(3)由 a1=23,d=-4,则

1 S n = n(50-4n),设 S n >0,得 n<12.5,整数 n 的最大值为 12. 2
4、∵a1=3, ∴S1=a1=3.在 Sn+1+Sn=2an+1 中,设 n=1,有 S2+S1=2a2.而 S2=a1+a2.即 a1+a2+a1=2a2.∴a2=6. 由 Sn+1+ Sn=2an+1,……(1) Sn+2+Sn+1=2an+2,……(2) (2)-(1),得 Sn+2-Sn+1=2an+2-2an+1,∴an+1+an+2=2an+2-2an+1 即 an+2=3an+1 此数列从第 2 项开始成等比数列,公比 q=3.an 的通项公式 an= ?

? 3,当n ? 1时, n ?1 ?2 ? 3 ,当n ? 2时.

此数列的前 n 项和为 Sn=3+2× 3+2× 32+…+2× 3n – 1=3+ 5、 an = S n - S n ?1 = 则

2 ? 3(3 n ?1 ? 1) n =3 . 3 ?1

1 1 1 n(n+1)(n+2)- (n-1)n(n+1)=n(n+1).当 n=1 时,a1=2,S1= × 1× (1+1)× (2+1)=2,∴a1= S1. 3 3 3
n(n + 1) 是 此 数 列 的 通 项 公 式 。 ∴

an



1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) =1- = . n ?1 n ?1 a1 a2 an 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) 2 2 3 n n ?1
6、 (1)设公共根为 p,则 ai p ? 2ai ?1 p ? ai ?2 ? 0 ① ai ?1 p ? 2ai ?2 p ? ai ?3 ? 0 ②则②-① ,得 dp2+2dp+d=0,d≠0 为
2 2

公 差 , ∴ (p + 1)2=0. ∴ p= - 1 是 公 共 根 .( 直 接 观 察 也 可 以 看 出 公 共 根 为 - 1).(2) 另 一 个 根 为 mi , 则 mi + ( - 1)=

? 2ai ?1 a 1 1 2d 2d 1 .∴ mi +1= ? 即 }是以- 为公差的等差数列. ? ?2 ? ? ? i ,易于证明{ 2 mi ? 1 ai ai ai mi ? 1 2d

7、 解由根与系数关系, an + a n ?1 =-3n,则( a n ?1 + an?2 )-( an + a n ?1 )=-3,即 an?2 - an =-3.∴a1,a3,a5…和 a2,a4,a6…

都是公差为-3 的等差数列,由 a1=2,a1+a2=-3,∴a2=-5.则 a 2 k =-3k-2,∴a100=-152, a 2 k ?1 =-3k+5,∴a101=-148, ∴c100= a100 ? a101=22496 8、设首项分别为 a 和 b,公比 q 和 r. 则有 q ?1, r ?1 .依据题设条件,有 上面的①,②,③ 可得(1-q)2 q 2 n ? 2 =2(1-r) r
n ?1

b a =1,① =2,② aqn?1 1? r 1? q

?

?

2

? br n?1 ,③ 由

.令 n=1,有(1-q)2=2(1-r),④设 n=2.则有(1-q)2q2=2(1-r)r,⑤ 由④和

⑤,可得 q2=r,代入④ 得(1-q)2=2(1-q2).由于 q≠1,∴有 q= ?

1 1 4 16 ,r = .因此可得 a=1-q= ,b=2(1-r)= . 9 3 3 9

4 16 ? ? ?a?3 ?b ? 9 2 ∴? 和 经检验,满足 a n ? bn 的要求. 1 ? 1 ?q ? ? ?r ? 3 ? 9 ?
1 ? 1 1 ?bn ? (a n ? a n ?1 ) bn ( bn ?1 ? bn ?1 ) .∵ bn >0, 9、依据题设条件,有 ? 由此可得 bn ? ( bn ?1bn ? bn bn ?1 ) = 2 2 2 ? a ? b b n n ?1 ? n ?1
则 2 bn ?

bn?1 ? bn?1

(n ? 1) 2 。∴{ bn }是等差数列.∴ bn = . 2
2



2 an ? bn ?1bn ?

1 n 2 (n ? 1) 2 ? n(n ? 1) ? n(n ? 1) ? =? , ∴ = a n ? 2 2 2 ? 2 ?

10、2m+n-1 11、解:设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则:

?2(1 ? 2d ) ? q 2 3 2 解得: d ? ? , q ? ? ? 4 8 2 ? 1 ? 2d ? q
∴S10 ? 10a1 ? 45d ? ?

55 1 ? q10 31(2 ? 2 ) , T10 ? b1 ? 8 1? q 32

12、解:(1)由题意: ?

S13 ? S 6 ? a7 ? a8 ? ? ? a13 ? 7a10 ? 0 ? a2 ? 8d ? 0 48 ∴? ? d ? (?3,? ) 17 ?S14 ? S 6 ? a7 ? a8 ? ? ? a14 ? 4(a10 ? a11 ) ? 0 ?2a2 ? 17d ? 0 ?

(2)由(1)知,a10>0,a10+a11<0,∴ a10>0>a11,又公差小于零,数列{an}递减, 所以{an}的前 10 项为正,从第 11 项起为负,加完正项达最大值。 ∴ n=10 时,Sn 最大。 13、解:设该等比数列为{an},且公比为 q 若 q=1,则 Sn=na1,S2n=2na1,与题意不符,故 q≠1。

? 1? qn S ? a ? 80 1 ? a ? n 1? q 两式相除,得 1+qn=82,qn=81,∴ 1 ? 1 ? 2n q ?1 ?S 2 n ? a1 1 ? q ? 6560 ? 1? q ?
q=a1+1>1,数列{an}为递增数列,前 n 项中最大的项为 an=a1qn-1= 解得:a1=2,q=3

a1 ? 81 ? 54 q

14、证明:由题意:

t ? an ? tS n 即 2 tS n ? t ? an 2

当 n=1 时, 2 tS1 ? t ? a1 ? t ? S1 ,?( S1 ? t ) 2 ? 0, S1 ? t
2 2 当 n≥2 时, 2 tS n ? t ? a n ? t ? S n ? S n ?1 ? ( S n ? t ) ? ( S n ?1 ) ? 0

( S n ? S n ?1 ? t )( S n ? S n ?1 ? t ) ? 0 。
因为{an}为正项数列,故 Sn 递增, ( S n ? S n?1 ? t ) ? 0 不能对正整数 n 恒成立, ∴ S n ? S n?1 ? t 即数列{ S n }为等差数列。公差为 t

S n ? S1 ? (n ? 1) t ? n t ,? S n ? tn 2 , an ? t ? 2 tS n ? 2nt,? an ? (2n ? 1)t
所以数列{ S n }为等差数列,{an}通项公式为 an=(2n-1)t 及前 n 项和 Sn=tn2。 15、①3② 3 ? n ? 1
n

16、设 a、b、c 分别为 b-d、b、b+d,由已知 b-d+1、b、b+d 与 b-d、b、b+d+2 都成等比数列,有

?b 2 = (b-d+1)(b+d) ? ? 2 ?b = (b-d)(b+d+ 2) ?
整理,得
2 2 2 ? ? b = b - d + b+ d ? 2 2 2 ? ?b = b -d + 2b- 2d

① ②

∴b+d=2b-2d 即 b=3d 代入①,得 9d2=(3d-d+1)(3d+d) 9d2=(2d+1)·4d 解之,得 d=4 或 d=0(舍) ∴b=12


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