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扬州闰土教育江苏省扬州中学2014~2015学年第二学期开学检测高三数学试卷


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江苏省扬州中学 2014~ 2015 学年第二学期开学检测
高三数学卷
注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上) 1.已知集合

A ? {?11 ▲ . , , 3} , B ? {1,3,5} ,则 A ? B ? 2.复数

a ? 2i ( i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i
▲ .





3.右图是一个算法的流程图,则最后输出的 S ?

4.从 1,3,5,7 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的和小 于 9 的概率是 ▲ . 5.已知样本 7,5, x,3, 4 的平均数是 5,则此样本的方差为 6.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? 在 [0, ▲ .

开始
S ? 0, n ? 1

?
6

)(? ? 0) 的最小正周期为 π,则 f (x)
▲ .

n≤6

N 输出 S 结束

?
2

] 上的单调递增区间为 [a , b] ,则实数 a ? b ?

Y S ?S ?n
n?n?2

7.已知体积相等的正方体和球的表面积分别为 S1 , S 2 ,则 ( ▲ .

S1 3 ) 的 S2

(第 3 题图)





8. 抛物线 y 2 ? ?12 x 的准线与双曲线 于 ▲ .

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角形的面积等 6 2

9.已知 x ?

2 x2 ? 2 x ? 1 3 ,则 的最小值为 2 x ?1





10.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 f ( x) ? sin x ? 3a cos x ( a 为常数)在点 ( 处的切线与直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直,则 a 的值为 ▲
2

?

, f ( )) 3 3

?



B ?1 =___▲___. A 12 . 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f ( x)? x | ? x 2. | 若关 于 x 的 方 程
11.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 an ? S n ? An ? Bn ? 1 ( A ? 0 )则

f 2 ( x)? a f( x ) ?

? b 0 ( a,? b 恰有 R ) 10 个不同实数解,则 a 的取值范围为
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___▲



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13.在直角 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 2 3 ,斜边 BC 上有异于端点两点 B、C 的两点

E、F ,且 EF =1 ,则 AE ? AF 的取值范围是





a 14 . 已 知 三 个 正 数 a, b, c 满 足 a ? b ? c3? ,

3b2 ? a(a ? c) ? 5b2 ,则
是 ▲ .

b ? 2c 的最小值 a

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分解答应写出文字 证明过程或演算步骤)
15(本小题满分 14 分) 设平面向量 a = (cos x,sin x) , b ? (cos x ? 2 3,sin x) , c ? (sin ? ,cos ? ) , x ? R . (1)若 a ? c ,求 cos(2 x ? 2? ) 的值; (2)若 ? ? 0 ,求函数 f ( x) ? a ? (b ? 2c) 的最大值,并求出相应的 x 值.

说明、

16(本小题满分 14 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, D 为棱

C1 B1

A1

BC 的中点,

AB ? BC, BC ? BB1 ,
ABC ; 求证:(1) A 1B ? 平面
(2) A 1B ∥平面 AC1 D .
C D B A

AB ? A1B ? 1, BB1 ? 2 .

17(本小题满分 14 分)

x2 y 2 2 2 2 2 ) ,焦距为 2. 如图,椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 C2 : x ? y ? b ,已知椭圆 C1 过点 (1, a b 2
(1) 求椭圆 C1 的方程; 我要去看得更远的地方
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(2) 椭圆 C1 的下顶点为 E ,过坐标原点 O 且与坐标轴不重合的任意直线 l 与圆 C2 相交于点 A、B ,直线

EA、EB 与椭圆 C1 的另一个交点分别是点 P、M .设 PM 的斜率为 k1 ,直线 l 斜率为 k2 ,求

k2 的值. k1

18(本小题满分 16 分) 在距 A 城市 45 千米的 B 地发现金属矿,过 A 有一直线铁路 AD.欲运物资于 A, B 之间,拟在铁路线 AD 间 的某一点 C 处筑一公路到 B. 现测得 BD ? 27 2 千米,?BDA ? 45 (如图) .已知公路运费是铁路运费的 2 倍, 设铁路运费为每千米 1 个单位,总运费为 y .为了求总运费 y 的最小值,现提供两种方案:方案一:设 AC ? x 千 米;方案二设 ?BCD ? ? . (1)试将 y 分别表示为 x 、 ? 的函数关系式 y ? f ( x) 、 (2)请选择一种方案,求出总运费 y 的最小值,并指出 C 点
B C

y ? g (? ) ;
A

的位置.

19(本小题满分 16 分)
D

已知数列 {an } 、 {bn } 满足 b1 =an , bk ?1bk ? ak ?1ak ? 0 ,其中

k ? 2,3,

,n , 则称

{bn } 为 {an } 的“生成数列” .
(1)若数列 a1,a2,a3,a4,a5 的“生成数列”是 1, 2,3, 4,5 ,求 a1 ; (2)若 n 为偶数,且 {an } 的“生成数列”是 {bn } ,证明: {bn } 的“生成数列”是 {an } ; (3)若 n 为奇数,且 {an } 的“生成数列”是 {bn } ,{bn } 的“生成数列”是 {cn } ,?,依次将数列 {an } ,{bn } ,

{cn } ,?的第 i (i ? 1, 2,

, n) 项取出,构成数列 ?i : ai , bi , ci ,



探究:数列 ?i 是否为等比数列,并说明理由.

20(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b , g ( x) ? ln x .
2

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(1)记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求 F ( x) 在 [1, 2] 的最大值; ( 2 )记 G ( x) ?

1 f ( x) ,令 a ? ?4m , b ? 4m2 (m ? R) ,当 0 ? m ? 时,若函数 G ( x) 的 3 个极值点为 2 g ( x)

x1 , x2 , x3 ( x1 ? x2 ? x3),
(ⅰ)求证: 0 ? 2 x1 ? x2 ? 1 ? x3 ; (ⅱ)讨论函数 G ( x) 的单调区间(用 x1 , x2 , x3 表示单调区间) .

高三第二学期期初联考数学附加题
(考试时间:30 分钟 总分:40 分)
21. ( [选做题]请考生在 A、 B、 C、D 四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前两题记分. A. (本小题满分 10 分,几何证明选讲) 如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B ,C,PC=2PA ,D 为 PC 的中点, AD 的延长线交⊙O 于点 E . 证明: AD· DE =2PB .
2

A P B

O D E C

B. (本小题满分 10 分,矩阵与变换) 设矩阵 M ? ?

4? ?1 2 ? ?2 ?0 2 ? ,N ?? ,若 MN ? ? ? ? ? ,求矩阵 M 的特征值. ?x y? ? ?1 ?1 ? ?5 13?

C. (本小题满分 10 分,坐标系与参数方程选讲)

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在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为: ?

?x ? 1? t (t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半 ? y ? 2 ? 2t

轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.直线 l 与圆相交于 A ,B 两点,求线段 AB 的长.

D. (本小题满分 10 分,不等式选讲) 已知实数 x, y, z 满足 3x ? 2 y ? z ? 1 ,求 x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 的最小值.

[必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,四棱锥 P -ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA ⊥平面 ABCD,AP =1,AD= 3 ,E 为线段 PD 上一点, 记

PE 1 2 ? ? . 当 ? ? 时,二面角 D ? AE ? C 的平面角的余弦值为 . PD 2 3
(1)求 AB 的长; (2) 当? ?

1 时, 求直线 BP 与直线 CE 所成角的余弦值. 3

P E A D

B

C

23. (本小题满分 10 分)
n?1 已 知 数 列 ?an ? 通 项 公 式 为 an ? A t ? B n ? 1 , 其 中 A, B, t 为 常 数 , 且 t ? 1 , n ? N ? . 等 式

?x

2

? 2 x ? 2 ? ? b0 ? b1 ? x ? 1? ? b2 ? x ? 1? ? ??? ? b20 ? x ? 1? ,其中 bi ?i ? 0,1, 2, ???, 20? 为实常数.
10 2 20

(1)若 A ? 0, B ? 1 ,求

?a b
n ?1 10 n ?1

10

n 2n

的值;

(2)若 A ? 1, B ? 0 ,且

? ? 2a

n

? 2n ? b2 n ? 211 ? 2 ,求实数 t 的值.
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高三第二学期期初联考数学参考答案
一、填空题 1. {?1,1,3,5} ; 6. 2.4; ; 8. 3 3 ; 3.9; 9. 2 2 ? 2 ; 4.

? ; 3

2 ; 3 2 ; 3

5.2;

7.

6

?

10. ?

11.3;

12. (?2, ?1) ;

13.[

11 18 ,9) ; 14. ? . 4 5

二、解答题
15.解: (1)若 a ? c ,则 a ? c ? 0 , 即 cos x sin ? ? sin x cos ? ? 0,sin ? x ? ? ? ? 0 所以 cos ? 2x ? 2? ? ? 1? 2sin (2)若 ? ? 0, c ? ? 0,1? 则
2

???2 分 ???4 分 ???6 分

? x ? ? ? ? 1.

f ? x ? ? a ? b ? 2c ? ? cos x,sin x ? ? cos x ? 2 3,sin x ? 2

?

? cos x cos x ? 2 3 ? sin x ? sin x ? 2 ? ? 1 ? 2sin x ? 2 3 cos x 2 ? ? ? 1 ? 4sin ? x ? ? ? 3 ? ?
f(
m

?

?

?

?

?

??? 10 分

???12 分 所 以

?

?

?
6

.x)

a

?

???14 x 分5 x

?

,

k

16.证明: (1)因为 AB ? BC, BC ? BB1 , AB

BB1 ? B, AB、BB1 ? 平面ABB1 ,
???3 分

所以 BC ? 平面ABB1,又AB1 ? 平面ABB1 ,所以 AB1 ? BC ;

2 2 2 又因为 AB ? A 1 B ? AB . 1 ? AB ? A 1B ,所以 A 1B ? 1, BB 1 ? 2 ? AA 1 ,得 AA

???6 分 我要去看得更远的地方
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又 AB、BC ? 平面ABC,AB

BC ? B ,所以 A1B ? 平面 ABC ;

???8 分

D、E 分别为 BC、AC (2)连接 AC 的中点,所以 DE / / A 1 交 AC1 与点 E ,连接 DE ,在 ?A 1 BC 中, 1 1B ,
又A 1B ? 平面AC1D, DE ? 平面AC1D ,所以 A 1B ∥平面 AC1 D . ???14 分

C1 B1 E C D

A1

A B

17.解: (1)解法一:将点代入椭圆方程,解方程组,求得 a2 ? 2, b2 ? 1 ,所以椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

???4 分

解法二:由椭圆的定义求得 2a ? 2 2 ,所以椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2
???4 分

说明:计算错全错. (2)由题意知直线 PE , ME 的斜率存在且不为 0, PE ? EM , 不妨设直线 PE 的斜率为 k (k ? 0) ,则 PE : y ? kx ? 1,

4k ? x? 2 , ? y ? kx ? 1, ? ? x ? 0, ? 2k ? 1 ? 由 ? x2 得? 或 ? 2 2 ? ? y ? 1, ? y ? 2k ? 1 , ? y ? ?1, ?2 ? 2k 2 ? 1 ?
4k 2k 2 ? 1 ? P( 2 , 2 ) . 2k ? 1 2k ? 1
用? ???6 分

?4k 2 ? k 2 1 , ), 去代 k ,得 M ( k 2 ? k2 2 ? k2
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???8 分

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则 k1 ? k PM ?

k 2 ?1 3k

???10 分

2k ? x ? , ? ? y ? kx ? 1, ? x ? 0, ? k 2 ?1 由? 2 得 或 ? ? 2 2 ? x ? y ? 1, ? y ? k ? 1 , ? y ? ?1, ? k 2 ?1 ?
? A( 2k k 2 ? 1 , ). k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 k 3 ,所以 2 ? . ? 2k k1 2
???12 分

则 k2 ? kOA

???14 分

评讲建议:此题还可以求证直线 PM 恒过定点,求 ?PME 面积的最大值. 18. 解:(1)在 ?ABD 中,由余弦定理解得 AD=63 方案一:在 ?ABC 中,

???2 分

BC2 ? x 2 ? 452 ? 2x ? 45cos A ? x 2 ? 452 ? 72x ? ( x ? 36)2 ? 272
? f ( x) ? AC ? 2 BC ? x ? 2 ( x ? 36) 2 ? 27 2
方案二:在 ?BCD 中, ???5 分

BC ?

27 2 27 27 2 27(sin? ? cos? ) , CD ? , sin 45? ? sin(? ? 45? ) ? sin ? sin? sin ? sin ?
2 sin ? ? cos ? 2 ? cos ? ? ) ? 36 ? 27 sin ? sin ? sin ?
???9 分

g (? ) ? AC ?1 ? BC ? 2 ? AD ? CD ? 2 BC ? 63 ? 27 (

(2)若用方案一,则

y ? x ? 2 x 2 ? 72x ? 452 ? ( y ? x) 2 ? 4( x 2 ? 72x ? 452 ) ? 3x 2 ? 2( y ? 144) x ? y 2 ? 8100? 0
???11 分

由 ? ? 0 得 ( y ?144 )2 ? 3( y 2 ? 8100 ) ? 0 ? y 2 ? 72y ? 891? 0 ? y ? 36 ? 27 3 ???14 分

? ymin ? 36 ? 27 3 ,这时 x ?

144 ? y ? 36 ? 9 3 ,C 距 A 地 (36 ? 9 3) 千米 3
???16 分

若用方案二,则 y? ? 27

sin 2 ? (2 ? cos? ) cos? 1 ? 2 cos? ? 27 2 sin ? sin 2 ?

???11 分

g (? ) 在 (0, ) ? ,在 ( , ? ) ? 3 3
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?

?

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1 2 ? 36 ? 27 3 ? ymin ? 36 ? 27 3 2 ? 这时 ? ? ,C 距 A 地 (36 ? 9 3) 千米 3 2?
19. (1)解: b1 ? a5 ? 1 , 同理, a3 ?

???14 分

???16 分

a4a5 ? 4 ? 5 ? a4 ? 20
???4 分

3 1 , a2 ? 10, a1 ? . 5 5

(写对一个 ai 得 1 分,总分 4 分) (2)证明:

b1 ? bn
b1b2 ? a1a2 b2b3 ? a2 a3 bn ?1bn ? an ?1an
???7 分

∵ n 为偶数,将上述 n 个等式中第 2 , 4 , 6 ,?, n 这

n 个式子两边取倒数,再将这 n 个式子相乘得: 2

b1 ?

1 1 ? b2 b3 ? ? b4 b5 b1b2 b3 b4

1 b n? 1b n

? a n?

1 1 ? a2 a3? ? a4 a5 a1 a2 a3 a4

1
n? 1 n

a a
???9 分

∴ bn ? a1 因为 a1 ? bn , ak ?1ak ? bk ?1bk (k ? 2,3,

, n)

所以根据“生成数列”的定义,数列 {an } 是数列 {bn } 的“生成数列”. ???10 分

(3)证明:因为

bi ?

ai ?1ai (i ? 2,3, bi ?1
, n)

, n)



bi 1 ? (i ? 2,3, ai ?1 所以 ai bi ?1

.

所以欲证 ?i 成等差数列,只需证明 ?1 成等差数列即可. 对于数列 {an } 及其“生成数列” {bn }

???12 分

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b1 ? bn
b1b2 ? a1a2 b2b3 ? a2 a3 bn ?1bn ? an ?1an
∵ n 为奇数,将上述 n 个等式中第 2,4,6,?, n ? 1 这

n ?1 个式子两边取倒数,再将这 n 个式子相乘得: 2

b1 ?

1 1 ? b2b3 ? ? b4b5 b1b2 b3b4

1 1 1 ? bn?1bn ? an ? ? a2 a3 ? ? a4 a5 bn?2bn?1 a1a2 a3a4

1 ? an?1an an?2 an?1



2 an b a b bn ? ? n ? n ? 1 a1 an a1 a1

因为 a1 ? bn , ak ?1ak ? bk ?1bk (k ? 2,3,

, n)
2 an ? b12 ? a1c1 a1

数列 {bn } 的“生成数列”为 {cn } ,因为 b1 ? cn , c1 ? bn ? 所以 a1 , b1 , c1 成对比数列. 同理可证, b1 , c1 , d1; c1 , d1 , e1, 所以 ?i 成等差数列.

也成等比数列. 即 ?1 是等比数列. ???16 分

20.解: (1) F ( X ) ? x 2 ? ax ? b ? ln x ( x ? 0 )

F ' ( X ) ? 2x ? a ?

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? x x

???2 分

令 F ' ( x) ? 0 ,得 x1 ?

? a ? a2 ? 8 ? a ? a2 ? 8 ? 0 , x2 ? ?0 4 4
???3 分

F'(X ) ?
列表如下:

2?x ? x1 ??x ? x 2 ? x

x F ' ?x ? F ' ?x ?

?0, x2 ?
- 递减

x2
0 极小值

?x2, ? ??
+ 递增

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易知 F ?x ?max ? max?F ?1?, F ?2?? 而 F ?1? ? F ?2? ? ?a ? b ? 1? ? ?2a ? b ? 4 ? ln 2? ? ?a ? ln 2 ? 3 所以当 a ? ln 2 ? 3 时, F ?x?max ? F ?1? ? a ? b ? 1 当 a ? ln 2 ? 3 时, F ?x ?max ? F ?2? ? 2a ? b ? 4 ? ln 2 ???5 分

(2) (ⅰ) G?x ? ? 令 h? x ? ? 2 ln x ?

x ? 4 m x ? 4m , G ' ?x ? ? ln x
2 2

2m ? ?x ? 2m ?? ? 1? ? 2 ln x ? ? x ? ln x
2

2m 2 x ? 2m ? 1, h' ? x ? ? x x2

又 h?x ? 在 ?0, m? 上单调减,在 ?m,??? 上单调增,所以 h?x?min ? h?m? ? 2 ln m ? 1 因为函数 G ?x ? 有 3 个极值点,所以 2 ln m ? 1 ? 0 所以 0 ? m ? 所以当 0 ? m ?

1 e

???7 分

1 1 时, h?m ? ? 2 ln m ? 1 ? 1 ? 2 ln ? 1 ? ln 4 ? 0 , h?1? ? 2m ? 1 ? 0 2 2

从而函数 G ?x ? 的 3 个极值点中,有一个为 2 m ,有一个小于 m ,有一个大于 1???9 分 又 x1 ? x2 ? x3 ,所以 0 ? x1 ? m , x2 ? 2m , x3 ? 1 即 0 ? x1 ?

x2 , x2 ? 2m ? 1 ? x3 ,故 0 ? 2 x1 ? x2 ? 1 ? x3 2

???11 分

(ⅱ)当 x ? ?0, x1 ? 时, h? x ? ? 2 ln x ?

2m ? 1 ? 0 , x ? 2m ? 0 ,则 G' ?x? ? 0 ,故函数 G?x ? 单调减; x 2m ? 1 ? 0 , x ? 2m ? 0 ,则 G' ?x? ? 0 ,故函数 G?x ? 单调增; 当 x ? ?x1 , x2 ?时, h? x ? ? 2 ln x ? x 2m ? 1 ? 0 , x ? 2m ? 0 ,则 G' ?x? ? 0 ,故函数 G?x ? 单调减; 当 x ? ?x2 ,1? 时, h? x ? ? 2 ln x ? x 2m ? 1 ? 0 , x ? 2m ? 0 ,则 G' ?x? ? 0 ,故函数 G?x ? 单调减; 当 x ? ?1, x3 ? 时, h? x ? ? 2 ln x ? x 2m ? 1 ? 0 , x ? 2m ? 0 ,则 G' ?x? ? 0 ,故函数 G?x ? 单调增; 当 x ? ?x3 ,??? 时, h? x ? ? 2 ln x ? x

综上,函数 G ?x ? 的单调递增区间是 ? x1 , x 2 ? ?x3 ,??? ,单调递减区间是 ?0, x1 ? ? x 2 ,1? ?1, x3 ? 。 ???16 分 (列表说明也可)

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注意:各题如有其他不同的解法,请对照以上答案相应给分.

\

高三第二学期期初联考数学附加题参考答案
21. [选做题] A. (本小题满分 10 分,几何证明选讲) 证明:由切割线定理得 PA 2 =PB· PC. 因为 PC=2PA ,D 为 PC 的中点,所以 DC=2PB ,BD= PB . 由相交弦定理得 AD· DE =BD· DC, 2 所以 AD· DE =2PB . B. (本小题满分 10 分,矩阵与变换) 解: x ? 4, y ? 3 ; 矩阵 M 的特征值为 ?1 或 5. ???5 分 ???10 分 ???5 分 ???10 分

C. (本小题满分 10 分,坐标系与参数方程选讲) 解:直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0 ; 圆 C 的普通方程为: ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ; 圆心 C 到直线 l 的距离为: d ? ???2 分 ???4 分

|2?4| 12 ? 22

?

2 ; 5

???7 分

所以 AB = 2 r ? d ? 2 1 ?
2 2

4 2 5 ? . 5 5

???10 分

D. (本小题满分 10 分,不等式选讲)

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1 ? ? 解:由柯西不等式, ?( x)2 ? ( 2 y )2 ? ( 3z )2 ? ? ?32 ? ( 2)2 ? ( )2 ? ? (3x ? 2 y ? z )2 ? 1 , ? ? ? 3 ?
???4 分 所以 x2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ≥

3 , 34

当且仅当

x 2y 3z 9 3 1 ? ? ,即 x ? , y ? , z ? 时,等号成立, 1 3 2 34 34 34 3

所以 x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 的最小值为 [必做题] 22. (本小题满分 10 分)

3 . 34

???10 分

解:(1)因为 PA ⊥平面 ABCD,ABCD 为矩形,所以 AB ,AD,AP 两两垂直. 如图,以 A 为坐标原点,AB ,AD,AP 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 Axyz,则 D(0,

(0,1, ) 2,0),E , AE ? (0,1, ) .
设 B (m,0,0)(m>0),则 C(m,2,0),=(m,2,0). 设 n1 =(x,y,z)为平面 ACE 的法向量,

1 2

1 2

?mx ? 2 y ? 0, 2 ? 则即 ? 可取 n1 = ( , ?1, 2) . 1 m y ? z ? 0, ? ? 2
又 n2 =(1,0,0)为平面 DAE 的法向量,

???3 分 ???4 分

2 2 2 由题设易知|cos 〈n1 ,n2 〉|= ,即 ? ,解得 m=1. 3 4 ? 5m 2 3
即 AB =1. (2)易得 PB ? (1, 0, ?1), EC ? (1, ???6 分

4 2 ,? ) 3 3

| cos ? PB, EC ?|?

5 58 5 58 ,所以直线 BP 与直线 CE 所成角的余弦值为 . ???10 分 58 58

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23. (本小题满分 10 分) 23 . ( 1 )
2

?x

2

? 2 x ? 2? ? 1 ? ? x ? 1?
10
20

?

2 10

?

?

0 1 2 10 C10 ? C10 ? x ? 1? ? C10 ? x ? 1? ??? ?C10 ? x ? 1? 2 4

20

? b0 ? b1 ? x ? 1? ? b2 ? x ? 1? ? ??? ? b20 ? x ? 1?
比较可知 b2n ? C10 , ? n ? 1, 2, ???,10? ;
n

???2 分 ???3 分

而 A ? 0, B ? 1 时 an ? At n?1 ? Bn ? 1 ? n ? 1 , 所以

?a b
n ?1

10

n 2n

n n n , ? ? ? n ? 1? C10 ? ? nC10 ? ? C10 n ?1 10 n ?1 n ?1

10

10

10



T ?
1 1 ? C1 0 0 0
1

? nC
n ?1

n 10

0 1 2 10 ? 0 ? C10 ? 1? C10 ? 2 ? C10 ? ??? ? 10 ? C10



T

也 即 ?









T ?
1 0

?
0

? C2 ?

2 1
1 1 1

?
0

0

1 0 ? 210 得 ?2 C ?1 , ? 1相 C00加 ? 1T ? 10 0 ?

T ? 5 ? 210







? anb2n ? ? nC n ?1 ?0C n ? 5 ?
n ?1 n? 1 n? 1

1 2 ?00 ? 2 ?

0

. 1

6

1

4

3

???5 分

( 2 ) 当
10

A ?1 B ,?
10

时 0 ,
10

an ? At n?1 ? Bn ? 1 ? t n?1 ? 1 , 结 合 ( 2 ) 中 结 论 可 知
10 10

n n ② ? ? 2n C10 ? ? 2an ? 2n ? b2n ? 2? anb2n ? ? 2nb2n ? 2? ?t n?1 ? 1? C10 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1

10 10 ?1 ? ? 2 ? ?1 ? t ? ? 1 ? 210 ? 1? ? ??1 ? 2 ? ? 1? ? ?t ? ?

?

?

=

2 2 10 ?1 ? t ? ? ? 211 ? 2 ? 310 ? 1 t t
???8 分

? 211 ? 2





2 2 10 ?1 ? t ? ? ? 310 ? 1 ? 0 ③, t t

因为②为关于 t 的递增的式子,所以关于 t 的方程最多只有一解,而观察③可知,有一解 t ? 2 ,综上可知:

t ? 2.

???10 分

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