当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中数学竞赛讲义


几个初等函数的性质 一、基础知识 1.指数函数及其性质:形如 y=ax(a>0, a ? 1)的函数叫做指数函数,其定义域为 R,值域为 (0,+∞) ,当 0<a<1 时,y=ax 是减函数,当 a>1 时,y=ax 为增函数,它的图象恒过定点(0, 1) 。 1 m 2.分数指数幂: a n ? n a , a n ? n a m , a ? n ?

3. 对数函数及其性质: 形如 y=logax(a>0, a ? 1)的函数叫做对数函数, 其定义域为 (0, +∞) , 值域为 R,图象过定点(1,0) 。当 0<a<1,y=logax 为减函数,当 a>1 时,y=logax 为增函数。 4.对数的性质(M>0, N>0) ; 1)ax=M ? x=logaM(a>0, a ? 1); 2)loga(MN)= loga M+ loga N; 1 ?n 1 。 ,a ? n n a am m M )= loga M- loga N;4)loga Mn=n loga M; , N logc b 1 5)loga n M = loga M;6)aloga M=M; 7) loga b= (a,b,c>0, a, c ? 1). n logc a a 5. 函数 y=x+ (a>0) 的单调递增区间是 ? ?,? a 和 a ,?? , 单调递减区间为 ? a ,0 x 和 0, a 。 (请读者自己用定义证明) 3)loga( ? ? ? ? ? ? ? ? 6.连续函数的性质:若 a<b, f(x)在[a, b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)=0 在(a,b)上至少 有一个实根。 二、方法与例题 1.构造函数解题。 例 1 已知 a, b, c∈ (-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0. 【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈ (-1, 1)),则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要证原不等式成立,只需证 f(-1)>0 且 f(1)>0(因为-1<a<1). 因为 f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0, f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0, 所以 f(a)>0,即 ab+bc+ca+1>0. 例 2 (柯西不等式) 若 a1, a2,?,an 是不全为 0 的实数, b1, b2,?,bn∈ R, 则 ( ≥( 2 · ( ? bi ) ? ai2 ) i ?1 i ?1 n n ?a b i ?1 i n n i )2,等号当且仅当存在 ? ? R,使 ai= ?bi , i=1, 2, ?, n 时成立。 【证明】 令 f(x)= ( 因为 ? ai2 )x2-2( ? ai bi )x+ ? bi2 = ? (ai x ? bi ) 2 , i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 n n n n n n ?a i ?1 2 i >0,且对任意 x∈ R, f(x)≥0, 所以△=4( 展开得( ? ai bi )-4( ? ai2 )( ? bi2 )≤0. i ?1 n i ?1 i ?1 2 i n ?a i ?1 )( ?b i ?1 n 2 i )≥( ?a b i ?1 i n i )2。 等号成立等价于 f(x)=0 有实根,即存在 ? ,使 ai= ?bi , i=1, 2, ?, n。 1 1 ?? 1? 的最小值。 y? ? ?? ? x ??

相关文章:
高中数学奥赛讲义:竞赛中常用的重要不等式
高中数学奥赛讲义:竞赛中常用的重要不等式_学科竞赛_高中教育_教育专区。hao不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大,灵活性强,要求很高的技 巧,常常...
高中数学竞赛讲义01:集合与简易逻辑
高中数学竞赛讲义(一) 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示; 集合中的各个...
高中数学竞赛讲义(平几)
高中数学竞赛讲义(十六) ──平面几何 一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成) 梅涅劳斯定理 设 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若 三...
2017年高中数学联赛初赛复习讲义
2017年高中数学联赛初赛复习讲义_学科竞赛_高中教育_教育专区。联赛 2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷考生注意:1.本试卷共两大题(14 小题) ,全卷满分 ...
高中数学竞赛讲义-抽屉原理
高中数学竞赛讲义-抽屉原理_学科竞赛_高中教育_教育专区。数学教育网---数学试题-数学教案-数学课件-数学论文-竞赛试题-中高考试题信息 http://www.qyjzs.cn ...
高中数学竞赛资料收集
高中数学竞赛资料收集_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学竞赛资料收集_学科竞赛_高中教育_教育专区。收集了许多人介绍推荐的...
高中数学竞赛讲义_不等式
高中数学竞赛讲义_不等式_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛习题 不等式 一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b ? a-b>0; (2)a>b, b>c ? ...
高中数学竞赛讲义.
高中数学竞赛讲义._学科竞赛_高中教育_教育专区。2014-2015 年度高二数学竞赛讲义---数列专题一、基础知识 定义 1 数列,按顺序给出的一列数,数列{an}的一般形式...
高中数学竞赛培训讲义(word版43页)
高中数学竞赛培训讲义(word版43页)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 高中数学竞赛培训教材编者:全国特级教师 (一)集合与容斥原理 集合是一种基本数学语言、一种基...
高中数学竞赛讲义二
高中数学竞赛讲义(二)──二次函数与命题 一、基础知识 1.二次函数:当 0 时,y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次 , 另外配方可得 f...
更多相关标签: