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高二数学文科期末考试题


高二第一学期期末考试数学试卷

高二上学期数学期末考试试卷
一、选择题(60 分) 1. 在等差数列 {an } 中, a1 =3, a3 ? 9 则 a5 的值为
A . 15
?

B.6
2

C. 81

D. 9

2.在 ?ABC

中, B ? 60 , b ? ac ,则 ?ABC 一定是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形

3.椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的离心率为

A.

2 2
2

B.

3 4

C.

3 2 ? ?

D.

2 3

4.若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ? x | ? A.-10 B.-14 C. 10 D. 14

1 1? ? x ? ? ,则 a-b 的值是 2 3?

5.若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程 A. x ? 4 y ? 5 ? 0 B. 4 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0

6.抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是

A. 3

B.

7 5

C.

8 5

D.

4 3

7.若 f ? x ? ? A.4

1 ' ,则 f ?2? ? x 1 B. C. ? 4 4

D. ?

1 4

8.全称命题“所有被 5 整除的整数都是奇数”的否定 A.所有被 5 整除的整数都不是奇数 C.存在一个被 5 整除的整数不是奇数 B.所有奇数都不能被 5 整除 D.存在一个奇数,不能被 5 整除

9.双曲线

x2 y 2 ? ? 1? mn ? 0 ? 离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合, m n

则 mn 的值为

A.

3 16

B.

3 8

C.

16 3

D.

8 3

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高二第一学期期末考试数学试卷

x ?1 ? ? y ?1 10.已知变量 x, y 满足, ? 目标函数是 z ? 2 x ? y ,则有 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
A. z max ? 5, z min ? 3 C. z min ? 3, z 无最大值
2

B. z max ? 5 , z 无最小值 D. z 既无最大值,也无最小值
2 2

11.已知不等式 x -2x-3<0 的解集为 A, 不等式 x +x-6<0 的解集是 B, 不等式 x +ax+b<0 的解集是 A?B, 那么 a+b 等于 A.-3 B.1 C.-1 D. 3 12.过点(-1,0)作抛物线 y ? x2 ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为 A. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. 3x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

二.填空题:本大题共 4 个小题.每小题 4 分;共 16 分.将答案填在题中横线上. 13.抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点坐标为 .

1 14、数列?an ?的通项公式an ? n(n ? 1),则Sn为数列{ }的前n项 an 的和,则Sn = _________ .

B C 15.在 ?ABC 中, 三个角 A 、 、 成等差数列,AB ? 1, BC ? 4 , BC 边上的中线 AD 的长为 则

.

16.已知

2 3 ? ? 2, ( x ? 0, y ? 0) ,则 xy 的最小值是_________. x y

17.(本小题满分 8 分)

? p 是 ? q 的必要非充分条件,求实 2 2 已知 p : ?2 ? x ? 10 ; q : x ? 2x ? 1 ? m ? 0(m ? 0) ,若
数 m 的取值范围. 18.本小题满分 8 分已知在锐角Δ ABC 中, A、 C 所对的边分别为 a、 c, A ? ( 角 B、 b、 sin 求 b 的值. 19.(本小题满分 8 分。某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率 分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确 保可能的资金亏损不超过 1.8 万元, 问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元, 才能使可能的盈利最大? 20.(本小题满分 10 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ? (1)求数列{an}的通项公式;

2 2 .a=2, ?ABC ? 2 . S 3

1 S n , n ? 1, n ? N ? . 3

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高二第一学期期末考试数学试卷

(2)a2+ a4+ a6+?+ a2n 的值. 21. 设椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,一个顶点 ?2,0? ,离心率为

3 .(1)求椭圆的方程; 2

(2 若椭圆左焦点为 F1 ,右焦点 F2 ,过 F1 且斜率为 1 的直线交椭圆于 B ,求 ?ABF 的面积. 2

22.(本小题满分 12 分) 设 x1、x2(x1≠x2)是函数 f (x) ? ax3 ? bx 2 ? a 2 x(a ? 0) 的两个极值点. (1)若 x1=-1,x2=2,求函数 f(x)的解析式; (2)若 | x1 | ? | x 2 |? 2 2 ,求 b 的最大值.

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高二第一学期期末考试数学试卷

参考答案及评分标准
一.选择题:. 1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 二.填空题: 13. ?? 2,0? 三.解答题: ⒘ 14. 6. D 7.D 8.C 9.A 10.A 11.A 12.D

n n ?1

15. 3

16. 6

? ? p : B ? ?x | x ? ?2或x ? 10? ????????????4 分 ? ? p 是 ? q 的必要非充分条件,且 m ? 0 , ? A ? B ?m ? 0 (1) ? ? ? ?1 ? m ? ?2 (2) ????????????6 分 ? ?1 ? m ? 10 (3) ? 即 m ? 9 , 注意到当 m ? 9 时,(3)中等号成立,而(2)中等号不成立 ? m 的取值范围是 m ? 9 ????????????8 分
⒙解:因为锐角△ABC 中,A+B+C=?, sin A ?

? ? q : A = ?x | x ? 1 ? m或x ? 1 ? m?

解: 解:由 x2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,得 1 ? m ? x ? 1 ? m ??????1 分 ??????2 分

1 2 2 ,所以 cosA= ,???2 分 3 3
???5 分

因为 S?ABC ?

1 1 2 2 ? 2 ,则 bc=3 2 又 S?ABC ? bcsinA ? bc ? 2 2 3
1 3 2 2 2 ,c= 代入余弦定理: a =b +c -2bccos A 中得 3 b

将 a=2,cosA=

b4-6b2+9=0 解得 b= 3
解得 b= 3 ????????????8 分

⒚解:设投资人分别用 x万元、y 万元投资甲、乙两个项目,

? x ? y ? 10, ?0.3x ? 0.1y ? 1.5, ? 由题意知 ? ? x ? 0, ?y ? 0 ?
目标函数 z ? x ? 0.5 y ??????4 分

上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)是可行域 作直线 l0 : x ? 0.5 y ? 0, 关作平行于直线 0 的一组直线 ? 0.5 y ? z, z ? R, 与可行域相交,其中有一 l 条 直 线 经 过 可 行 域 上 的 M 点 , 此 时 纵 截 距 最 大 , 这 里 点
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M

是 直 线

高二第一学期期末考试数学试卷

x ? y ? 10和0.3 ? 0.1y ? 1.8 的交点
解方程组

????????????5 分

?x ? y ? 10, ? ?0.3x ? 0.1y ? 1.8

x ? 4, y ? 6
????????????6 分

此时 z ? 4 ? 0.5 ? 6 ? 7 (万元)

?当x ? 4, y ? 6 时 z 取得最大值.

????????????7 分

答:投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保 可能的亏损不超过 1.8 万元的前提下,使可能的盈利最大 20. 解:(1)由 a1=1, an ?1 ? ?????8 分

1 S n ,n=1,2,3,??,得 3 1 1 1 a2 ? S1 ? a1 ? , ????????????2 分 3 3 3 1 1 由 an ?1 ? an ? ( S n ? S n ?1 ) ? an (n≥2), 3 3 4 得 an ?1 ? an (n≥2), 3 1 4 n? 2 1 又 a2= ,所以 an= ( ) (n≥2) ??????6 分 3 3 3

n ? 1, ?1, ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an= ? 1 4 n ? 2 ??????7 分 ?3 ( 3 ) , n ? 2 ?
(2)由(1)可知 a2,a4,?,a2n 是首项为

4 2 1 ,公比为 ( ) ,且项数为 n 的等比数列, 3 3
??????10 分

4 1 ? ( )2n 1 3 ? 3 [( 4 )2 n ? 1] 所以 a2+a4+ a6+?+a2n= ? 3 1 ? ( 4 )2 7 3 3
21.(1)设椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? , ????????????1 分 a2 b2

由题意, a ? 2,

c 3 ? ,? c ? 3,b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ????????????3 分 a 2
?????????????????????4 分 A F1 B
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x2 ? y2 ? 1 ∴椭圆的方程为 4
(2) F1 ? 3,0 , F2

?

? ? 3,0?,设 A?x , y ?, B?x , y ?,
1 1 2 2

y

O

F2

x

第 22 题图

高二第一学期期末考试数学试卷

则直线 AB 的方程为 y ? x ? 3 .

?????5 分

?y ? x? 3 ? 由 ? x2 ,消 x 得 5 y 2 ? 2 3 y ? 1 ? 0 ???6 分 ? y2 ? 1 ?4 ?
∴ y1 ? y 2 ?

2 3 1 , y1 y 2 ? ? , y1 ? y 2 5 5 4 2 5

2

? ? y1 ? y 2 ? ? 4 y1 y 2 ?
2

32 ?????7 分 25

∴ y1 ? y 2 ?

????????????????????8 分

∴ S ?ABF1 ? S ?AF1F2 ? S ?BF1F 2 ?

1 1 1 ? F1 F2 ? y1 ? ? F1 F2 ? y 2 ? F1 F2 ? y1 ? y 2 2 2 2
????????????????????10 分

=

1 4 2 4 6 ?2 3? ? 2 5 5

22.解: f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? a 2 (a ? 0).

???????????????1 分

(1)? x1 ? ?1, x2 ? 2 是函数 f(x)的两个极值点,

? f ' ?? 1? ? 0 ? 3a ? 2b ? a 2 ? 0 即? ? ' 2 ? f ?2 ? ? 0 ?12 a ? 4b ? a ? 0
解得 a ? 6, b ? ?9

????????3 分

? f ( x) ? 6x 3 ? 9x 2 ? 36x.

????????????5 分

(2)∵x1、x2 是 f(x)是两个极值点,? f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0. ∴x1、x2 是方程 3ax ? 2bx ? a ? 0 的两个实根. ?????????????6 分
2 2

∵△= 4b2 + 12a3, ∴△>0 对一切 a > 0, b ? R 恒成立.

x1 ? x2 ? ? ? a ? 0,

2b a , x1 ? x2 ? ? , 3a 3 ? x1 ? x2 ? 0

4b 2 4 ? a ? 2 2 ,? b 2 ? 3a 2 ?6 ? a ? ? x1 | ? | x2 |?| x1 ? x2 |? 2 2. 得 | 2 3 9a

???8 分

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高二第一学期期末考试数学试卷

? b 2 ? 0, ? 3a 2 (6 ? a) ? 0, 0 ? a ? 6.
令 h(a) ? 3a 2 (6 ? a),则h?(a) ? ?9a 2 ? 36a.

0 ? a ? 4时, h?(a) ? 0 ? h(a) 在(0,4)内是增函数 4 ? a ? 6时, h?(a) ? 0
∴h(a)在(4,6)内是减函数. ??????10 分

∴a = 4 时,h(a)有极大值为 96,? h(a)在?0,6? 上的最大值是 96 ?????11 分 ∴b 的最大值是 4 6 ???????????????12 分

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高二第一学期期末考试数学试卷

高二年级数学上学期期末考试试卷(文科) 命题人 鞍山一中 李燕溪 校对人 李燕溪
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的. 1.椭圆

x2 ? y 2 ? 1的离心率是 2
B.

( )

A.

2 2

2

C.

1 2

D. 2

2. 2, 5,2 2, 11??则 4 2 是该数列中的 A 第9项 B 第 10 项 C 第 11 项 D 第 12 项

( )

3.在 ?ABC 中, ?A ? 30?, ?B ? 45?, BC ? 2. 则 AC 边长为

(

)

A. 2

B.

2 6 3

C.

2 2

D.

6 3
( )

4. 过抛物线 y=x2 上的点 M( A

30 ?

B

1 1 , )的切线的倾斜角是 2 4 45 ? 60 ? 90 ? C D

5.设 f ? x ? 在 ? a, b? 上的图象是一条连续不间断的曲线,且在 ? a, b ? 内可导, 则下列结论中正确的是 A. f ? x ? 的极值点一定是最值点 C. f ? x ? 在此区间上可能没有极值点 B. f ? x ? 的最值点一定是极值点 D. f ? x ? 在此区间上可能没有最值点 ( )

2 2 6.集合 A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x | x ? p ,若 A ? B 则实数 P 的取值范围是(

?

?

?

?



A. p ? ?1或p ? 3

B. p ? 3

C. p ? 9

D. p ? 9

7.已知数列 ?an ? ,如果 a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 ,?, an ? an?1 ,? ( n ? 2 )是首项为 1 公比为 等于 A. ( B. )

1 的等比数列,那么 an 3

3 1 (1 ? n ) 2 3

3 1 (1 ? n?1 ) 2 3

C.

2 1 (1 ? n ) 3 3

D.

2 1 (1 ? n?1 ) 3 3

x2 y2 x2 y2 ? ?1 和双曲线 ? ?1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程为 8. 已 知 椭 圆 3m 2 5n 2 2m 2 3n 2
( )

A. x ? ?

15 y 2

B. y ? ?

15 x 2

C. x ? ?

3 y 4

D. y ? ?

3 x 4

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高二第一学期期末考试数学试卷

9.已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? x ? a, b ? R, ab ? 0? 的图象如图所示 ( x1 , x2 为两个极值点),且 x1 ? x2 则有 A. a ? 0, b ? 0 C. a ? 0, b ? 0 B. a ? 0, b ? 0 D. a ? 0, b ? 0 (
y x2 O x1 x



10.已知直线 y=kx-k 及抛物线 y 2 ? 2 x ,则 A.直线与抛物线有且只有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 11 在椭圆 有 4个

( )

x2 y2 ? ? 1 上有一点 P,F1、F2 是椭圆的左、右焦点,△F1PF2 为直角三角形,则这样的点 P 40 20
( ) B 6个 C 8个 D 2个

A

12.已知梯形的两底的长度分别为 a, b ? a ? b? 。将梯形的两腰各分为 n 等份,连结两腰对应的分点,得到 n-1 条线段的长度之和为 A. ( ) C.

n ?a ? b? 2

B.

? n ? 1?? a ? b ?
2

? n ? 1?? a ? b ?
2

D. n ? a ? b ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.数列{ an }为等差数列, 且a5 ? 11 a8 ? 5, 则an ? ,

?0 ? x ? 4 ? 14.已知 x,y 满足条件 ?0 ? y ? 3 则 z=2x+5y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 8 ?
15.函数 y ?

x2 ? x ? 4 ( x ? 1) 的最小值是 x ?1

.

16. 给出下列三个命题 (1)设 f ? x ? 是定义在 R 上的可导函数. f 必要不充分条件
/

? x0 ? ? 0 是 x0 为 f ? x ? 极值点的

x2 y2 ? ? 1 的焦距与 m 有关 (2)双曲线 2 m ? 12 4 ? m2
(3)命题“中国人不都是北京人”的否定是“中国人都是北京人”。 其中正确命题的序号是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c, a=7, b=3, c=5,

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高二第一学期期末考试数学试卷

(1)求△ABC 中的最大角; (2)求角 C 的正弦值。 18.(本小题满分 12 分)要建一间地面面积为 25m2,墙高为 3m 的长方体形的简易工棚,已知工棚屋顶 每 1m2 的造价为 500 元,墙壁每 1m2 的造价为 400 元。问怎样设计地面的长与宽,能使总造价最低?最低 造价是多少? 19. (本小题满分 12 分)定义在 R 上的函数?( x )= x + a x + b x ( a , b 为常数),在 x =-1 处取得极值, ?( x )的图象在 P(1, ?(1))处的切线平行直线 y =8 x , (1) 求函数?( x )解析式; (2) 求函数?( x )极值。 20.(本小题满分 12 分)数列{ an }的前 n 项和记为 Sn , a 1=1, an?1 ? 2S n ? 1 (n≥1). (1) 求{ an }的通项公式; (2) 等差数列{ bn }的各项为正数,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 =15,又 a 1+ b 1, a2 + b2 , a3 + b3 成等比 数列,求 Tn 21.(本小题满分 12 分)已知曲线 C 上任意一点 M 到点 F(0,1)的距离比它到直线 l:y = ?2 的距离 小 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)若过点 P(2,2)的直线 m 与曲线 C 交于 A,B 两点,设 AP ? ? PB . (i)当λ =1 时,求直线 m 的方程; (ii)当△AOB 的面积为 4 2 时(O 为坐标原点),求λ 的值. 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ? x ? a ln x 在 ?1,2? 是增函数, g ?x? ? x ? a x 在(0,1)为减函数。
2
3 2

(1)求 f ?x ?、g ?x ? 的表达式; (2)当 b> ?1 时,若对于任意的 x∈(0,1 ],都有 f (x) ≥ 2bt ? 值范围.

1 在 t ∈(0,1 ]上恒成立,求 b 的取 t2

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文科答案
一、1A 2 C 3 C 4 B 5 C 6 C 7 A 8 D 9 C 10 C 11 B 12 C 二 13、21-2n 14、19 15、5 16、(1)(3) 17. (1) cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? ? A ? 1200 2bc 2

............6 分

(2)sin C ?
18 、 解

sin A 3 5 3 ?c ? ?5 ? a 2? 7 14
设 地 面 的 长 为 x ,

............12 分







25 x











y



y= 25 ? 500 ? 2(3 x ? 3 ?

25 ) ? 400 x

............6 分

25 ? 500 ? 2(3x ? 3 ?

25 ) ? 400 ? 25 ? 500 ? 6 ? 400 ? 2 25 ? 36500 x
............10 分

当且仅当 x=

25 时取等,即长、宽相等都为 5m 时总造价最低为 36500 元 x
............12 分

解: 19、(1)由题设知 ?

? f `(?1) ? 0, ?3 ? 2a ? b ? 0, ?a ? 2, ?? ?? ? f `(1) ? 8 ?3 ? 2a ? b ? 8 ?b ? 1.
............6 分

? ?( x )= x 3+2 x 2+ x ,
(2) f `(x) ? 3x 2 ? 4 x ? 1 , 令 f `(x) ? 0, 解得 x1 ? ? , x2 ? ?1 , 当 x 变化时,?( x ) f `(x) 的变化情况如下表:

1 3

............8 分

x
f `(x)
?( x )

(- ? , -1) + ↑

-1 0 0

(-1, ? - ↓

1 ) 3

?

1 3

(?

1 +?) 3
+

0

4 ↑ 27 1 4 ........12 分 ? ?( x )的极大值为?(-1)=0,极小值为?( ? )= ? 3 27 ?
20、 (1) 由 an?1 ? 2S n ? 1 ( n ≥ 1 ) 可 得 an ? 2S n?1 ? 1 ( n ≥ 2 ) , 两 式 相 减 得 a
n+1

- a n=2

a n,

? an?1 ? 3an (n ? 2) .


a

2

= 2S1+1=3, ? a2 ? 3a1 , 故 {

a

n

} 是 首 项 为 1 , 公 比 为 3 的 等 比 数 列 ,

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? an ? 3n?1 .

............6 分

(2)设{ b n}的公差为 d ,由 T3=15 可得 b 1+ b 2+ b 3=15,可得 b 2=5,故可设 b 1=5- d , b 3=5+ d . 2 又 a 1=1, a 2=3, a 3=9,由题意可得(5- d +1)(5+ d +9)=(5+3) ,解得 d 1=2, d 2=-10.

? 等差数列{ b n}的各项为正,? d =2,? Tn ? 3n ?
21、解: (1)解法一
2

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 2n . 2

............12 分

,即 设 M ( x, y ), 则由题意得 MF = y ? 2 ? 1  x ? ( y ? 1) ? y ? 2 ? 1.
2
2 2 2 当 y ≥-2 时; x ? ( y ? 1) ? y ? 1, 两边平方得 x ? 4 y ; 2 2 当 y <-2 时, x ? ( y ? 1) ? ? y ? 3

两边平方得 x 2 ? 8 y ? 8 ,因 y <-2,不合题意,舍去. 故点 M 的轨迹 C 的方程是: x 2 ? 4 y . ............4 分

解法二 ∵点 M 到点 F(0,1)的距离比它到直线 l:y =-2 的距离小 1. ∴点 M 在直线 l 的上方. ∴点 M 到 F(0,1)的距离与它到直线 l ':y =-1 的距离相等. ∴点 M 的轨迹 C 是以 F 为焦点 l 为准线的抛物线,所以曲线 C 的方程为 x 2 ? 4 y .
'

(2)当直线 m 的斜率不存在时,它与曲线 C 只有一个交点,不合题意, 当直线 m 与 x 轴不垂直时,设直线 m 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2),即y ? kx ? (2 ? 2k ) . 代入 x 2 ? 4 y  得,

x 2 ? 4kx ? 8(k ? 1) ? 0.



? ? 16( x 2 ? 2k ? 2) >0 对 k∈R 恒成立.
∴直线 m 与曲线 C 恒有两个不同的交点。 设交点 A,B 的坐标分别为 A( x1 , y1 )B( x2 , y2 ),则 x1 ? x2 ? 4k . (i)由 AP ? ? PB ,且λ =1 得,P 为 AB 的中点, ∴ x1 ? x2 ? 4 .把②代入得, 4k ? 4, k ? 1.∴直线 m 的方程是 x ? y ? 0 . ............6 分 (ii) AB ?

x1 x2 ? 8(k ? 1) .

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 =

(1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 4 (1 ? k 2 )( k 2 ? 2k ? 2) .

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高二第一学期期末考试数学试卷

点 O 到直线 m 的距离 d ?

2 ? 2k 1? k 2

.

S ?ABO =

1 AB · d ? 4 k ? 1 k 2 ? 2k ? 2 = 4 (k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 2

∵ S ?ABO = 4 2
4 2 4 2 ∴ 4 (k ? 1) ? (k ? 1) ? 4 2 , 即(k ? 1) ? (k ? 1) ? 2 ? 0 .

( k ? 1) 2 ? 1或(k ? 1) 2 ? ?2 (无实根) 由 (k ? 1) 2 ? 1解得,k ? 0或k ? 2 1°当 k=0 时,方程①的解为 x ? ?2 2 . 当 x1 = 2 2 , x2 ? ?2 2时,?=

2 ? x1 ? 3? 2 2 ; x2 ? 2
...........10 分

当 x1 ? ?2 2 , x2 ? 2 2 , ? ?

2 ? x1 ? 3? 2 2 . x2 ? 2

2°当 k=2 时,方程①的解为 4 ? 2 2 , 同理可得, ? ? 3 ? 2 2或?=3 ? 2 2 . 22、(1)∵ f ( x) ? 2 x ?
'

............12 分

a 2 ' ,依题意 f ( x) > 0( x ∈(1,2]), ∴ a < 2x , x
............2 分

∴ a ≤2. 又∵ g ( x) ? 1 ?
'

a 2 x

,依题意 g ' ( x) <0( x ∈(0,1)),∴ a > 2 x , ............4 分 ............6 分

∴ a ≥2. ∴ a =2,∴ f ( x) ? x2 ? 2ln x, g ( x) ? x ? 2 x 。 (2)∵ f ( x) ? 2 x ?
'

2 2( x ? 1)( x ? 1) ? , x x
............8 分

∴当 x ∈(0,1]时 f (x) 为减函数,其最小值为 1. 令 y ? 2bt ?

1 2 ,则 y ' ? 2b ? 3 . 2 t t

∵b>-1,t∈(0,1],∴ ∴函数 y ? 2bt ?

y ' >0 在(0,1]恒成立.

1 , t∈(0,1]为增函数,其最大值为 2b-1,依题意 在 t2
............14 分

?b ? ?1 ,解得-1<b≤1 为所求范围. ? ?2b ? 1 ? 1

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高二第一学期期末考试数学试卷

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