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高中数学竞赛辅导讲义第十一讲 圆锥曲线


第十一章
一、基础知识

圆锥曲线

1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长 ( 大 于 两 个 定 点 之 间 的 距 离 ) 的 点 的 轨 迹 , 即 |PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定义: 平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同 一个常数 e(0&l

t;e<1)的点的轨迹(其中定点不在定直线上) ,即
| PF | = e (0<e<1). d

第三定义:在直角坐标平面内给定两圆 c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b ∈R+且 a≠b。从原点出发的射线交圆 c1 于 P,交圆 c2 于 Q,过 P 引 y 轴的平行线, Q 引 x 轴的平行线, 过 两条线的交点的轨迹即为椭圆。 2.椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标 轴建立坐标系,由定义可求得它的标准方程,若焦点在 x 轴上,列标 准方程为
x2 y2 + =1 a2 b2

(a>b>0),
ì x = a cos q ( q 为参数) 。 ? y = b sin q

参数方程为 í

若焦点在 y 轴上,列标准方程为
y2 y2 + =1 a2 b2

(a>b>0)。

3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆
x2 y2 + = 1, a2 b2

a 称半长轴长,b 称半短轴长,c 称为半焦距,长轴端点、短轴端点、 两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0);与左焦点对应的
a2 准线(即第二定义中的定直线)为 x = - ,与右焦点对应的准线为 c x= a2 c ;定义中的比 e 称为离心率,且 e = ,由 c2+b2=a2 知 0<e<1. c a

椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。
x2 y2 4.椭圆的焦半径公式:对于椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0) a b

是 它 的 两 焦 点 。 若 P(x, y) 是 椭 圆 上 的 任 意 一 点 , 则 |PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5.几个常用结论:1)过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为
x0 x y 0 y + 2 = 1; a2 b

2)斜率为 k 的切线方程为 y = kx ± a 2 k 2 + b 2 ; 3)过焦点 F2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为
l= 2ab 2 。 a 2 - c 2 cos 2 q

6.双曲线的定义,第一定义:

满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点 P 的轨迹; 第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(>1)的点的轨 迹。 7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线方程为
x2 y2 = 1, a2 b2

参数方程为 í

ì x = a sec j ( j 为参数) 。 ? y = b tan j

焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为
y2 x2 = 1。 a2 b2

8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线
x2 y2 = 1 (a, b>0), a2 b2

a 称半实轴长, 称为半虚轴长, 为半焦距, b c 实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为 F1(-c,0), F2(c, 0),对应的左、右准线方程分别为
x=a2 a2 c 2 2 2 ,x = . 离心率 e = ,由 a +b =c 知 e>1。两条渐近线方程为 c c a k x2 y2 x2 y2 x ,双曲线 2 - 2 = 1 与 2 - 2 = -1 有相同的渐近线,它们的四 a a b a b

y=±

个焦点在同一个圆上。若 a=b,则称为等轴双曲线。 9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线
x2 y2 = 1 ,F1 a2 b2

(-c,0), F2(c, 0)是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点,若 P 在右支上,则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a;若 P(x,y)在左支上,则 |PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是
2ab 2 。 a 2 - c 2 cos 2 q

10.抛物线:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的 轨迹叫做抛物线,点 F 叫焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过 焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 相交于 K,以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点 F 坐标为
p p 2 ( ,0) ,准线方程为 x = - ,标准方程为 y =2px(p>0),离心率 e=1. 2 2

11.抛物线常用结论:若 P(x0, y0)为抛物线上任一点, 1)焦半径|PF|= x +
p ; 2

2)过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0); 3)过焦点倾斜角为θ的弦长为
2p 。 1 - cos 2 q

12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为 O,从 O 出发的射 线为极轴记为 Ox 轴,这样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点 P,记|OP|=ρ,∠xOP=θ,则由(ρ,θ)唯一确定点 P 的位置, (ρ, θ)称为极坐标。 13.圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比为常 数 e 的点 P,若 0<e<1,则点 P 的轨迹为椭圆;若 e>1,则点 P 的轨 迹为双曲线的一支;若 e=1,则点 P 的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲

线统一的极坐标方程为 r = 二、方法与例题 1.与定义有关的问题。 例1

ep 。 1 - e cos q

已知定点 A(2,1) 是椭圆 ,F

x2 y2 + = 1 的左焦点,点 P 为椭圆 25 16

上的动点,当 3|PA|+5|PF|取最小值时,求点 P 的坐标。 [解] 见图 11-1,由题设 a=5, b=4, c= 5 2 - 4 2 =3, e =
c 3 = .椭圆左 a 5

准线的方程为 x = -

25 4 1 ,又因为 + < 1 ,所以点 A 在椭圆内部,又 3 25 16

点 F 坐标为(-3,0) ,过 P 作 PQ 垂直于左准线,垂足为 Q。由定义 知
5 | PF | 3 = e = ,则 |PF|=|PQ|。 | PQ | 5 3 5 3

所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+ |PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM ^ 左准 线于 M)。 所以当且仅当 P 为 AM 与椭圆的交点时,3|PA|+5|PF|取最小值,把 y=1 代入椭圆方程得 x = ±
5 15 5 15 ,又 x<0,所以点 P 坐标为 (,1) 4 4 x2 y2 = 1 右支上两点,PP' 延长线交右 a2 b2

例2

已知 P,P' 为双曲线 C:

准线于 K,PF1 延长线交双曲线于 Q, 1 为右焦点) (F 。求证:∠ P' F1K= ∠KF1Q. [证明] 记右准线为 l,作 PD ^ l 于 D, P' E ^ l 于 E,因为 P' E //PD, 则
| PK | | P ' K | = | PD | | P ' E |

, 又 由 定 义

| PF1 | | P ' F1 | =e= | PD | | P' E |

, 所 以

| PF1 | | PD | | PK | = = ,由三角形外角平分线定理知,F1K 为∠PF1P | P' F1 | | P' E | | P' K |

的外角平分线,所以∠ P' F1 K =∠KF1Q。 2.求轨迹问题。 例3 已知一椭圆及焦点 F,点 A 为椭圆上一动点,求线段 FA 中点 P

的轨迹方程。 [解法一] 利用定义,以椭圆的中心为原点 O,焦点所在的直线为 x
x2 y2 + =1 (a>b>0) 坐标为(-c, .F a2 b2
=

轴, 建立直角坐标系, 设椭圆方程:

0). 设 另 一 焦 点 为 F ' 。 连 结 AF ' , OP , 则 OP // AF ' 。 所 以 |FP|+|PO|= (|FA|+|A F ' |)=a. 所以点 P 的轨迹是以 F,O 为两焦点的椭圆(因为 a>|FO|=c) ,将此 椭圆按向量 m=( ,0)平移,得到中心在原点的椭圆:
c 2 x2 y2 + = 1 。由 a2 b2 4 4 1 2

1 2

平移公式知,所求椭圆的方程为
c 4( x + ) 2 2 2 + 4 y = 1. a2 b2

[解法二] 相关点法。设点 P(x,y), A(x1, y1),则 x =

x1 - c y , y = 1 ,即 2 2

x12 y12 x2 y2 x1=2x+c, y1=2y. 又因为点 A 在椭圆 2 + 2 = 1 上, 所以 2 + 2 = 1. 代入 a b a b c? ? 4? x + ÷ 4y2 c 2 得关于点 P 的方程为 è 2 ? + 2 = 1 。它表示中心为 ? - ,0 ? ,焦点 ? ÷ a b è 2 ?
2

分别为 F 和 O 的椭圆。 例4 长为 a, b 的线段 AB,CD 分别在 x 轴,y 轴上滑动,且 A,B,

C,D 四点共圆,求此动圆圆心 P 的轨迹。 [解] 设 P(x, y)为轨迹上任意一点, B, D 的坐标分别为 A(x- ,0), A, C, B(x+
a b b ,0), C(0, y- ), D(0, y+ ), 记 O 为原点,由圆幂定理知 2 2 2 a2 b2 = y2 4 4 a 2

|OA|?|OB|=|OC|?|OD| , 用 坐 标 表 示 为 x 2 x2 - y2 = a2 - b2 . 4

, 即

当 a=b 时,轨迹为两条直线 y=x 与 y=-x; 当 a>b 时,轨迹为焦点在 x 轴上的两条等轴双曲线; 当 a<b 时,轨迹为焦点在 y 轴上的两条等轴双曲线。 例5 在坐标平面内,∠AOB= ,AB 边在直线 l: x=3 上移动,求三
p 3

角形 AOB 的外心的轨迹方程。 [解] 设∠xOB=θ,并且 B 在 A 的上方, 则点 A, 坐标分别为 B(3, 3tan B θ),A(3,3tan(θ- )),设外心为 P(x,y),由中点公式知 OB 中点为 M ? , tan q ? 。 ? ÷
3 3 è2 2 ? 3? p ? 由外心性质知 y = ? tan q + tan?q - ? ÷. 再由 PM ^ OB 得 ? ÷÷ ? 2è è 3 ?? y3 tan q 2 ×tanθ=-1。结合上式有 3 x2

p 3

tan(q -

2?3 p ? ) ?tanθ= ? - x ÷. 3 3è2 ?


2 3

又 又

tanθ+ tan(q - ) = y.
3 = tan é ? p p ?ù = tan êq - ?q - ÷ú. 3 3 ?? ? è

p 3



é p p ù 所以 tanθ- tan(q - ) = 3 ê1 + tan q × tan?q - ?ú 两边平方,再将①,②代 ? ÷ 3 3? è ? ?

入得

( x - 4) 2 y 2 = 1 。即为所求。 4 12

3.定值问题。 例6
x2 y2 交双曲 过双曲线 2 - 2 = 1 (a>0, b>0)的右焦点 F 作 B1B2 ^ x 轴, a b

线于 B1,B2 两点,B2 与左焦点 F1 连线交双曲线于 B 点,连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证:H 的横坐标为定值。 [证明] 设点 B,H,F 的坐标分别为(asecα,btanα), (x0, 0), (c, 0),
b2 b2 则 F1,B1,B2 的坐标分别为(-c, 0), (c, - ), (c, ),因为 F1,H 分 a a

别是直线 B2F,BB1 与 x 轴的交点,所以
c= ab ab + ac sin a , x0 = . 2a sin a - b cos a a sin a + b cos a cx0 =



所以

a 2 b(b + c sin a ) 2a 2 sin 2 a + ab sin a cos a - b 2 cos 2 a

a 2 b(b + c sin a ) = 2 a sin 2 a + ab sin a cos a - b 2 + c 2 sin 2 a

=

a 2 b(b + c sin a ) 。 a sin a (a sin a + b cos a ) + (c sin a - b)(c sin a + b) a (b + c sin a ) , x0 a 2b a 2 sin a (c sin a - b) x0

由①得 a sin a + b cos a =

代入上式得 cx0 =

,



x=-

a2 (定值) 。 c

注:本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。 例7 设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F, 经过点 F 的直线交抛物线于

A,B 两点,点 C 在准线上,且 BC//x 轴。证明:直线 AC 经过定点。 [证明] 设 A? ?
? y12 , y1 è 2p
2 ? ? y2 ? ? p ? ?p ? ÷, B? ÷ ? 2 p , y 2 ÷ ,则 C ? - 2 , y 2 ÷ ,焦点为 F ? 2 ,0 ÷ ,所以 ÷ è ? è ? ? è ?

2 ? y2 p ? y12 y12 p ? p ? ? OA = ( , y1 ) ,OC = ? - , y 2 ÷ , FA = ( - , y1 ) , FB = ? - , y 2 ÷ 。由 ÷ 2p 2p 2 è 2 ? è 2p 2 ?

于 FA // FB ,所以

?y y y12 y2 p p p? ?y2- y 2 - 2 y1 + y1=0,即 ( y1 - y 2 )? 1 2 + ÷ =0。 ? 2p 2p 2 2p 2 2÷ è ? ?y y y1 y 2 p p? + = 0 。 所 以 ? 1 2 + ÷ y1 = 0 , 即 ? 2p 2p 2 2÷ è ?

因 为 y1 ? y 2 , 所 以

y12 ? p? y 2 - ? - ÷ y1 = 0 。所以 OA // OC ,即直线 AC 经过原点。 2p è 2? x2 y2 + = 1 上有两点 A,B,满足 OA ^ OB,O 为原点,求证: a2 b2

例8

椭圆

1 1 + 为定值。 2 | OA | | OB | 2

[证明]

设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB= + q ,则点 A,B 的

p 2

坐标分别为 A(r1cosθ, r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由 A,B 在 椭圆上有
r12 cos 2 q r12 sin 2 q r 2 sin 2 q r22 cos 2 q + = 1, 2 2 + = 1. a2 b2 a b2



1 cos 2 q sin 2 q = + r12 a2 b2 1 sin 2 q cos 2 q = + . r22 a2 b2





①+②得

1 1 1 1 + = 2 + 2 (定值) 。 2 2 | OA | | OB | a b

4.最值问题。 例9 设 A,B 是椭圆 x2+3y2=1 上的两个动点,且 OA ^ OB(O 为原点) ,

求|AB|的最大值与最小值。 [解] 由题设 a=1,b=
r 3 ,记|OA|=r1,|OB|=r2, 1 = t ,参考例 8 可得 3 r2

1 1 1 1 1 1 1 2 + 2 =4。设 m=|AB| = r12 + r22 = (r12 + r22 )( 2 + 2 ) = (2 + t 2 + 2 ) , 2 4 4 r1 r2 r1 r2 t 1 cos 2 q sin 2 q 1 a2 - b2 1 1 1 因为 2 = 2 + 2 = 2 + 2 2 sin 2 q ,且 a2>b2,所以 2 ? 2 ? 2 , r1 a b a a b a r1 b

所以 b≤r1≤a,同理 b≤r2≤a.所以 ? t ? 。又函数 f(x)=x+ 在
éb2 ê 2 ?a ù é a2 ù ,1ú 上单调递减, ê1, 2 ú 上单调递增, 在 所以当 t=1 即|OA|=|OB|时, ? ? b ? b a a b 2 3 。 3

b a

a b

1 x

|AB|取最小值 1;当 t = 或 时,|AB|取最大值

例 10

设一椭圆中心为原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,若圆 C: 2

3 x 2 + ( y - ) 2 = 1 上点与这椭圆上点的最大距离为 1 + 7 ,试求这个椭圆 2

的方程。 [解]
3 设 A, 分别为圆 C 和椭圆上动点。 B 由题设圆心 C 坐标为 ? 0, ? , ? ÷ è 2?

半径|CA|=1,因为|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1,所以当且仅当 A,B,C 共线, 且|BC|取最大值时, |AB|取最大值 1 + 7 , 所以|BC|最大值为 7 . 因为 e =
3 ;所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为 2

x2 y2 2t, 3t ,t,椭圆方程为 2 + 2 = 1 ,并设点 B 坐标为 B(2tcosθ,tsin 4t t 3 θ ) , 则 |BC|2=(2tcos θ )2+ ? t sin q - ? =3t2sin2 θ -3tsin θ ? ÷ è 2?
2

+ +4t2=-3(tsinθ+ )2+3+4t2. 若t ? , 则当 sinθ=-1 时, |BC|2 取最大值 t2+3t+ < 7 , 与题设不符。 若 t> ,则当 sinθ= 所以椭圆方程为
1 2 1 时, |BC|2 取最大值 3+4t2, 3+4t2=7 得 t=1. 由 2t 1 2 9 4

9 4

1 2

x2 + y2 = 1。 4

5.直线与二次曲线。 例 11 若抛物线 y=ax2-1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点, 试

求 a 的取值范围。 [解] 抛物线 y=ax2-1 的顶点为(0,-1),对称轴为 y 轴,存在关于直

线 x+y=0 对称两点的条件是存在一对点 P(x1,y1), P' (-y1,-x1),满足 y1=a x12 - 1 且-x1=a(-y1)2-1,相减得 x1+y1=a( x12 - y12 ),因为 P 不在直线 x+y=0 上,所以 x1+y1≠0,所以 1=a(x1-y1),即 x1=y1+ . 所以 ay12 + y1 + - 1 = 0. 此方程有不等实根,所以 D = 1 - 4a( - 1) > 0 ,求 得 a > ,即为所求。 例 12 若直线 y=2x+b 与椭圆
x2 + y 2 = 1 相交, (1)求 b 的范围; (2) 4 3 4 1 a 1 a 1 a

当截得弦长最大时,求 b 的值。 [解] 二方程联立得 17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ>0,得 - 17 <b< 17 ; 设 两 交 点 为
2

P(x1,y1),Q(x2,y2) , 由 韦 达 定 理 得

4 17 - b 2 |PQ|= 1 + k | x1 - x 2 |= 5 ? 。所以当 b=0 时,|PQ|最大。 17

三、基础训练题 1.A 为半径是 R 的定圆⊙O 上一定点,B 为⊙O 上任一点,点 P 是 A 关于 B 的对称点,则点 P 的轨迹是________. 2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值 m2(>0),则动点的轨 迹是________. 3.椭圆
x2 y2 + = 1 上有一点 P,它到左准线的距离是 10,它到右焦点 100 36

的距离是________. 4.双曲线方程
x2 y2 + = 1 ,则 k 的取值范围是________. | k | -2 5 - k

x2 y2 0 5.椭圆 + = 1 ,焦点为 F1,F2,椭圆上的点 P 满足∠F1PF2=60 , 100 64

则ΔF1PF2 的面积是________. 6.直线 l 被双曲线
x2 - y 2 = 1 所截的线段 MN 恰被点 A(3,-1)平分, 4

则 l 的方程为________. 7.ΔABC 的三个顶点都在抛物线 y2=32x 上,点 A(2,8) ,且ΔABC 的重心与这条抛物线的焦点重合,则直线 BC 的斜率为________. 8.已知双曲线的两条渐近线方程为 3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0,一条 准线方程为 5y+4=0,则双曲线方程为________. 9.已知曲线 y2=ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交 点,如果过这两个交点的直线的倾斜角为 450,那么 a=________. 10.P 为等轴双曲线 x2-y2=a2 上一点, ________. 11.已知椭圆
x2 y2 x2 y2 + 2 = 1 与双曲线 2 - 2 = 1 有公共的焦点 F1,F2,设 a12 b1 a 2 b2 | PF1 | + | PF2 | 的取值范围是 | PO |

P 是它们的一个焦点,求∠F1PF2 和ΔPF1F2 的面积。 12.已知(i)半圆的直径 AB 长为 2r; (ii)半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直,垂足为 T,设|AT|=2a(2a< ); (iii)半圆上有相异 两点 M, 它们与直线 l 的距离|MP|, N, |NQ|满足 |AM|+|AN|=|AB|。
| MP | | NQ | = = 1. 求证: AM AN r 2

y2 13.给定双曲线 x - = 1. 过点 A(2,1)的直线 l 与所给的双曲线 2
2

交于点 P1 和 P2,求线段 P1P2 的中点的轨迹方程。 四、高考水平测试题 1. 双曲线与椭圆 x2+4y2=64 共焦点, 它的一条渐近线方程是 x + 3 y =0, 则此双曲线的标准方程是_________. 2.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,若 A,B 在抛 物线准线上的射影分别是 A1,B1,则∠A1FB1=_________. 3.双曲线
x2 y2 = 1 的一个焦点为 F1,顶点为 A1,A2,P 是双曲线上 a2 b2

任一点,以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为 _________. 4.椭圆的中心在原点,离心率 e = ,一条准线方程为 x=11,椭圆上 有一点 M 横坐标为-1, 到此准线异侧的焦点 F1 的距离为_________. M
x2 y2 5 . 4a +b =1 是 直 线 y=2x+1 与椭圆 2 + 2 = 1 恰有一个 公共点 的 a b
2 2

1 3

_________条件.
ì x = m + 2t 2 6.若参数方程 ? (t 为参数)表示的抛物线焦点总在一条 í ? y = 2m + 2 2t ?

定直线上,这条直线的方程是_________.
x2 y2 7.如果直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 + = 1 总有公共点, 5 m

则 m 的范围是_________.

x2 y2 8.过双曲线 - = 1 的左焦点,且被双曲线截得线段长为 6 的直线 9 6

有_________条. 9.过坐标原点的直线 l 与椭圆
( x - 3) 2 y 2 + = 1 相交于 A,B 两点,若以 6 2

AB 为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点 F,则直线 l 的倾斜角为 _________. 10.以椭圆 x2+a2y2=a2(a>1)的一个顶点 C(0,1)为直角顶点作此椭 圆的内接等腰直角三角形 ABC,这样的三角形最多可作_________个. 11.求椭圆
x2 y2 + = 1 上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。 a2 b2 x2 y2 + = 1 的左焦点和中心,对于过点 F 的椭 a2 b2

12.设 F,O 分别为椭圆

圆的任意弦 AB,点 O 都在以 AB 为直径的圆内,求椭圆离心率 e 的取 值范围。
x2 y2 13.已知双曲线 C1: 2 - 2 = 1 (a>0),抛物线 C2 的顶点在原点 O,C2 a 2a

的焦点是 C1 的左焦点 F1。 (1)求证:C1,C2 总有两个不同的交点。 (2)问:是否存在过 C2 的焦点 F1 的弦 AB,使ΔAOB 的面积有最大值 或最小值?若存在,求直线 AB 的方程与 SΔAOB 的最值,若不存在,说 明理由。 五、联赛一试水平训练题

1.在平面直角坐标系中,若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2 表示的曲 线为椭圆,则 m 的取值范围是_________. 2.设 O 为抛物线的顶点,F 为焦点,且 PQ 为过 F 的弦,已知|OF|=a, |PQ|=b,ΔOPQ 面积为_________.
x2 y2 3.给定椭圆 2 + 2 = 1 ,如果存在过左焦点 F 的直线交椭圆于 P,Q a b

两点,且 OP ^ OQ,则离心率 e 的取值范围是_________. 4.设 F1,F2 分别是双曲线
x2 y2 = 1 (a>b>0)的左、右焦点,P 为双曲 a2 b2

线上的动点,过 F1 作∠F1PF2 平分线的垂线,垂足为 M,则 M 的轨迹为 _________. ,另两边 5.ΔABC 一边的两顶点坐标为 B(0, 2 )和 C(0, - 2 ) 斜率的乘积为 - ,若点 T 坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值为 _________. 6.长为 l(l<1)的线段 AB 的两端点在抛物线 y=x2 上滑动,则线段 AB 的中点 M 到 x 轴的最短距离等于_________. 7.已知抛物线 y2=2px 及定点 A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,M 是 抛物线上的点,设直线 AM,BM 与抛物线的另一个交点分别为 M1,M2, 当 M 变动时,直线 M1M2 恒过一个定点,此定点坐标为_________.
x2 y2 ,又在圆 8.已知点 P(1,2)既在椭圆 2 + 2 = 1 内部(含边界) a b 1 2

a 2 + 2b 2 x +y = 外 部 ( 含 边 界 ) 若 a,b ∈ R+, 则 a+b 的 最 小 值 为 , 3
2 2

_________. 9.已知椭圆
x2 y2 + = 1 的内接ΔABC 的边 AB,AC 分别过左、右焦点 4 3

F1,F2,椭圆的左、右顶点分别为 D,E,直线 DB 与直线 CE 交于点 P, 当点 A 在椭圆上变动时,试求点 P 的轨迹。 10.设曲线 C1:
x2 2 + y 2 = 1 (a 为正常数)与 C2:y =2(x+m)在 x 轴上 2 a

方有一个公共点 P。 (1)求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; (2)O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 时,试求 ΔOAP 面积的最大值(用 a 表示) 。 11.已知直线 l 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴 上,若点 A(-1,0)和 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上,求直线 l 和抛物线的方程。 六、联赛二试水平训练题 1.在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD,在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F,延长 DF 交 BC 于 G,求证:∠GAC=∠EAC。 2.求证:在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点,每段长都为 1 的闭折线,它的每个顶点坐标都是有理数。 3.以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与ΔAB0B1 的边 ABi 交于 Ci(i=0,1),在 AB0 的延长线上任取点 P0,以 B0 为圆心,B0P0 为半径作圆弧 P0 Q0 交 C1B0 的
1 2

延长线于 Q0;以 C1 为圆心,C1Q0 为半径作圆弧 Q0P1 交 B1A 的延长线于 P1;B1 为圆心,B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1;以 C0 为圆 心,C0Q1 为半径作圆弧 Q1 P0' ,交 AB0 的延长线于 P'0 。求证: (1)点 P'0 与点 P0 重合,且圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相内切于 P0; (2)P0,Q0,P1,Q1 共圆。 4.在坐标平面内,从原点出发以同一初速度 v0 和不同发射角(即发 射方向与 x 轴正向之间 的夹角)α(α∈[0,π],α≠ )射出的质 点,在重力的作用下运动轨迹是抛物线,所有这些抛物线组成一个抛 物线族,若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直,则称这个交 点为正交点。证明:此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧, 并求此椭圆弧的方程(确定变量取值范围) 。 5.直角ΔABC 斜边为 AB,内切圆切 BC,CA,AB 分别于 D,E,F 点, AD 交内切圆于 P 点。若 CP ^ BP,求证:PD=AE+AP。 6.已知 BC ^ CD,点 A 为 BD 中点,点 Q 在 BC 上,AC=CQ,又在 BQ 上 找一点 R,使 BR=2RQ,CQ 上找一点 S,使 QS=RQ,求证:∠ASB=2∠ DRC。 答案: 基础训练题 1.圆。设 AO 交圆于另一点 A' , A' ' 是 A 关于 A' 的对称点。则因为 AB ^ BA' , AP ^ A' ' P ,所以 P 在以 AA' ' 为直径的圆上。 2.圆或椭圆。设给定直线为 y=±kx(k>0),P(x,y)为轨迹上任一点,
p 2

? | kx + y | ? ? | -kx + y | ? ÷ = m 2 。化简为 2k2x2+2y2=m2(1+k2). 则? 2 ÷ + ? ? ÷ ? 2 ÷ è k +1 ? è 1+ k ?

2

2

当 k≠1 时,表示椭圆;当 k=1 时,表示圆。 3. 由题设 a=10,b=6,c=8, 12. 从而 P 到左焦点距离为 10e=10× 所以 P 到右焦点的距离为 20-8=12。 4.-2<k<2 或 k<5.由(|k|-2)(5-k)<0 解得 k>5 或-2<k<2. 5.
64 3 . 设两条焦半径分别为 m,n,则因为|F1F2|=12,m+n=20.由余弦 3 256 , 3 8 =8, 10

定 理 得 122=m2+n2-2mncos600, 即 (m+n) 2-3mn=144. 所 以 mn =
S DPF = 1 3 64 3 mn ? = . 2 2 3

1

F2

6.3x+4y-5=0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 得

x12 x2 2 - y12 = 1, 2 - y 2 = 1. 两式相减 4 4

( x1 + x 2 )( x1 - x 2 ) x +x y + y2 -(y1+y2)(y1-y2)=0. 由 1 2 = 3, 1 = -1 , 得 4 2 2

y 2 - y1 3 3 = - 。故方程 y+1= - (x-3). 4 4 x 2 - x1

7.-4.设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 BC 的斜率为

y1 + y 2 + 8 =0,所以 y1+y2=-8,故直线 3

y 2 - y1 y 2 - y1 32 = 2 = = -4. 2 x 2 - x1 y 2 y1 y1 + y 2 32 32

( y - 1) 2 ( x - 2) 2 8. =1 。 由 渐 近 线 交 点 为 双 曲 线 中 心 , 解 方 程 组 9 16 ì3x - 4 y - 2 = 0, 4 得中心为(2,1),又准线为 y = - ,知其实轴平行于 y í 5 ?3x + 4 y - 10 = 0

( y - 1) 2 ( x - 1) 2 y -1 x -1 轴,设其方程为 =1。其渐近线方程为 ± =0。所 2 2 a b a b

以 y-1= ± (x-1).由题设 = ,将双曲线沿向量 m=(-2,-1)平移后中 心在原点, 其标准方程为
ì x' = x - 2, y2 x2 平移后准线 - 2 =1。 由平移公式 í 2 a b ? y' = y - 1

a b

a b

3 4

9 a2 a 3 为 y=- = , 再 结 合 = , 解 得 a2=9 , b2=16 , 故 双 曲 线 为 5 c b 4 ( y - 1) 2 ( x - 2) 2 =1。 9 16

9.2.曲线 y2=ax 关于点(1,1)的对称曲线为(2-y)2=a(2-x), 由? í
ì y 2 = ax, ?(2 - y ) 2 = a (2 - x) ?

得 y2-2y+2-a=0,故 y1+y2=2,从而 k =

y1 - y 2 = x1 - x 2

a ( y1 - y 2 ) a a = = =1,所以 a=2. 2 2 y1 - y 2 y1 + y 2 2

10. (2, 2 2 ]。设 P(x1,y1)及

| PF1 | + | PF2 | = t ,由|PF1|=ex1+a | PO | 2 2 x1 2 x12 - a 2 = t ,即 x12 = a 2t 2 。因 2t 2 - 8

,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1, 所以

x12 ? a 2 ,所以

a 2t 2 t2 ? a 2 (a ? 0) ,所以 2 ? 1 即 2<t≤2 2 . 2t 2 - 8 2t - 8

11. 解 : 由 对 称 性 , 不 妨 设 点 P 在 第 一 象 限 , 由 题 设
2 |F1F2|2=4 (a12 - b12 ) = 4(a 2 + b22 ) =4c2,又根据椭圆与双曲线定义

ì| PF1 | + | PF2 |= 2a1 , ? 解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2. í ?| PF1 | + | PF2 |= 2a 2 , ?

在ΔF1PF2 中,由余弦定理

cos ?F1 PF2 =

| PF1 | 2 + | PF2 | 2 - | F1 F2 | 2 2 | PF1 | × | PF2 |

(a1 + a 2 ) 2 + (a1 - a 2 ) 2 - (2c) 2 = 2(a1 + a 2 )(a1 - a 2 ) =
2 2 (a12 - c 2 ) - (c 2 - a 2 ) b12 - b2 = 2 . 2 2 a12 - a 2 b1 + b2

从而 ?F1 PF2 = arccos

2 b12 - b2 . 2 b12 + b2

又 sin∠F1PF2= 1 - cos 2 ?F1 PF2 =
1 2

2b1 b2 , 2 b12 + b2

所以 S DF PF = | PF1 | × | PF2 | sin ?F1 PF2 = b1 b2 .
1 2

12.解:以直线 AB 为 x 轴,AT 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,则 由定义知 M,N 两点既在抛物线 y2=4ax 上,又在圆[x-(a+r)]2+y2=r2 上,两方程联立得 x2+(2a-2r)x+2ra+a2=0,设点 M,N 坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2), x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a, 则 |AN|=|NP|=x2+a. |AB|=2r,所以 |AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|. 得证。 13.解:若直线 l 垂直于 x 轴,因其过点 A(2,1),根据对称性,P1P2 的中点为(2,0) 。 若 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y-1=k(x-2),即 y=kx+1-2k. ①

将①代入双曲线方程消元 y 得 (2-k2)x2+2k(2k-1)x-(4k2-4k+3)=0. ②

这里 k ? ± 2 且Δ=[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k2-4k+3)=8(3k2-4k+3)>0, 设 x1,x2 是方程②的两根,由韦达定理
x1 + x 2 = 2k (2k - 1) 2k (2k - 1) = . 2-k2 k2 -2



由①,③得

y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)
4(2k - 1) . k2 -2

=k(x1+x2)+2(1-2k)=



设 P1P2 的中点 P 坐标(x,y),由中点公式及③,④得
x= x1 + x 2 k (2k - 1) y + y 2 2(2k - 1) = 2 ,y = 1 = 2 , 2 2 k -2 k -2

消去 k 得
( x - 1) 2 7 8 1 ( y - )2 2 = 1. 7 4

点(2,0)满足此方程,故这就是点 P 的轨迹方程。 高考水平测试题 1. x2 36 y2 x2 y2 = 1. 由椭圆方程得焦点为 (±4 3 ,0) , 设双曲线方程 2 - 2 = 1 , 12 a b b a b a 1 3

渐近线为 y = ± x. 由题设 = 以 b2=12, a2=36.

,所以 a2=3b2,又 c = 4 3 ,c2=a2+b2. 所

2. 900。见图 1,由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|,有∠1=∠BFB1,∠2= ∠AFA1,又∠1=∠3,∠2=∠4,所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。 3.相切,若 P(x,y)在左支上,设 F1 为左焦点,F2 为右焦点,M 为 PF1
1 1 2 2 1 1 和 (-a-ex)+a= (a-ex)=|MO|,所以两圆外切。当 P(x,y)在右支上 2 2

中点,则|MO|= |PF2|= (a-ex),又|PF1|=-a-ex,所以两圆半径之

时,同理得两圆内切。 4.
10 . 与 F1 对应的另一条准线为 x=-11,因|MF1|与 M 到直线 x=-11 3 | MF1 | 1 10 = ,所以|MF1|= . 10 3 3

距离 d1 之比为 e,且 d1=|xm+11|=10.所以

5. 充要。 y=2x+1 代入椭圆方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2 (1-b2)=0. 将



若Δ=(4a2) 2-4(b2+4a2)a2 (1-b2)=0,则直线与椭圆仅有一个公共点, 即 b2+4a2=1;反之,4a2+b2=1,直线与椭圆有一个公共点。 6.y=2(x-1)。消去参数得(y-2m) 2=4(x-m),焦点为 í 线 y=2(x-1)上。 7.1≤m<5。直线过定点(0,1),所以 0 < 所以 5>m,所以 1≤m<5。 8.3.双曲线实轴长为 6,通径为 4,故线段端点在异支上一条,在 同支上有二条,一共有三条。 9. 或 p 。设直线 l: y=kx 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2),把 y=kx 代入椭圆方程得(1+3k2)x2-6x+3=0,由韦达定理得
p 6
5 6 1 ≤1.又因为焦点在 x 轴上, m ì x = m + 1, 它在直 ? y = 2m,

x1 + x 2 = x1 x 2 =

6 , 1 + 3k 2

① ②

3 . 1 + 3k 2

因 F(1,0) ,AF ^ BF,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即 x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0. 把①,②代入③得 k 2 = , k = ±
1 3


3 p 5 ,所以倾斜角为 或 p . 3 6 6

10.3.首先这样的三角形一定存在,不妨设 A,B 分别位于 y 轴左、 右两侧,设 CA 斜率为 k(k>0),CA 的直线方程为 y=kx+1,代入椭圆 方程为(a2k2+1)x2+2a2kx=0,得 x=0 或 x =
2a 2 k 1 + k 2 |CA|= 2 2 . a k +1 2a 2 k 1 + k 2 ,利用|CA|=|CB|可得 a 2k 2 + 1 2a 2 k 2a 2 k ,于是 A(- 2 2 ,0) , a k +1 a2k 2 +1

由题设,同理可得|CB|= (k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0, 解得

k=1 或 k2-(a2-1)k+1]=0。①

对于①,当 1<a< 3 时,①无解;当 a = 3 时,k=1;当 a> 3 时,① 有两个不等实根,故最多有 3 个。 11.解 设焦点为 F1,F2,椭圆上任一点为 P(x0,y0),∠F1PF2=θ,根据

余弦定理得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cosθ,

又 |PF1|+|PF2|=2a , 则 4c2=(2a)2-2|PF1|?|PF2|(1+cos θ ), 再 将 |PF1|=a+ex0, 2|=a-ex0 及 a2=b2+c2 代入得 4b2=2(a2-e2 x02 )(1+cosθ). |PF
2b 2 于是有 cos q = 2 2 2 - 1. a - e x0 2b 2 - a 2 由 0 ? x ? a ,得 b ? a - e x ? a ,所以 ? cos q ? 1 。因θ∈[0, a2
2 0 2 2 2 2 2 0 2

π],所以 cosθ为减函数,故 0 ? q ? arccos? ?

? 2b 2 - a 2 2 è a

? ÷. ÷ ?

当 2b2>a2 即 a < 2b 时,

2b 2 - a 2 2b 2 - a 2 p p < ,q ? [0, ] ,sin > 0 ,arccos 2 2 2 2 a a é ? ? 2b 2 - a 2 2 è a ?ù 2bc 2 2 ÷ú = 2 ;当 2b ≤a 时, ÷ ?? a

θ为增函数,sinθ取最大值 sin êarccos? ? arccos 12.解

2b 2 - a 2 p ? ,θ∈[0,π],则 sinθ最大值为 1。 2 a2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),若 AB 斜率不为 0,设为 k,直线 AB

方程为 y=k(x+c),代入椭圆方程并化简得 (b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2 (k2c2-b2)=0. ①

则 x1,x2 为方程①的两根,由韦达定理得
x1 + x 2 = 2a 2 k 2 c , b2 + a2k 2



x1 x 2 =

a 2 (k 2 c 2 - b 2 ) . b2 + a2k 2


- b2k 2 . a2k 2 + b2

因为 y1y2=k2(x1+c)(x2+c),再由②,③得 y1 y 2 =

k 2 (a 2 c 2 - b 4 ) - a 2 b 2 所以 OA × OB =x1x2+y1y2= ,O 点在以 AB 为直径的圆内, a2k 2 + b2

等价 OA × OB <0, k2(a2c2-b4)-a2b2<0 对任意 k∈R 成立, 即 等价于 a2c2-b2 ≤0,即 ac-b2≤0,即 e2+e-1≤0.所以 0<e≤
5 -1 . 2

若斜率不存在,问题等价于

b2 5 -1 5 -1 > c. 即 e < ,综上 0 < e < . a 2 2

13.解 (1)由双曲线方程得 b = 2a, c = 3a ,所以 F1( - 3a ,0),抛 物线焦点到准线的距离 p = 2 3a ,抛物线
y 2 = -4 3ax.



把①代入 C1 方程得
2 x 2 + 4 3ax - 2a 2 = 0.



Δ=64a2>0,所以方程②必有两个不同实根,设为 x1,x2,由韦达定理得 x1x2=-a2<0,所以②必有一个负根设为 x1,把 x1 代入①得 y2= - 4 3ax1 , 所以 y = ±2 - 3ax1 (因为 x1≠0) ,所以 C1,C2 总有两个不同交点。 (2)设过 F1( - 3a ,0)的直线 AB 为 my=(x+ 3 a),由 ? í
ì y 2 = -4 3ax, ?my = x + 3a ?



y2+4 3 may-12a2=0,因为Δ=48m2a2+48a2>0,设 y1,y2 分别为 A,B 的纵 坐标,则 y1+y2= 4 3ma ,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以 S Δ
AOB

=

1 3 |y1-y2|?|OF1|= a? 4 3 a? m 2 + 1 = 6a 2 m 2 + 1 ? 6a 2 ,当且仅当 2 2

m=0 时,SΔAOB 的面积取最小值;当 m→+∞时,SΔAOB→+∞,无最大值。 所以存在过 F 的直线 x= - 3a 使ΔAOB 面积有最小值 6a2.

联赛一试水平训练题 1.m>5.由已知得
x 2 + ( y + 1) 2 x - 2y + 3 12 + (-2) 2 = 5 ,说明(x,y)到定点(0,-1)与到 m

定直线 x-2y+3=0 的距离比为常数

5 5 , 由椭圆定义 <1, 所以 m>5. m m 2a 2a 4a + = ,所以 1 - cos q 1 - cos(p + q ) sin 2 q

2. a ab . 因 为 b=|PQ|=|PF|+|QF|=
sin q = 2

a 1 。所以 SΔOPQ= absinθ= a ab . b 2

3. ê

é 5 -1 ? ,1÷ 。设点 P 坐标为(r1cosθ,r1sinθ),点 Q 坐标为(-r2sin ÷ 2 ? ? 1 1 1 1 + 2 = 2 + 2 ,RtΔOPQ 2 r1 r2 a b

θ,r2cosθ),因为 P,Q 在椭圆上,可得 斜边上的高为
5 -1 ≤e<1. 2 r1 r2 r +r
2 1 2 2

=

ab a +b
2 2

≤|OF|=c. 所以 a2b2≤c2(a2+b2),解



4.以 O 为圆心, 为半径的圆。 a 延长 F1M 交 PF2 延长线于 N, OM // F2N, 则
=

1 2

而|F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a,所以|OM|=a. 5.t∈(0,1]时|AT|min= 2 - t 2 ,t>1 时|AT|min=|t-2|.由题设 kAB?kAC=- , 设 A(x,y),则
y- 2 y+ 2 1 x2 y2 × = (x≠0),整理得 + =1(x≠0),所 x x 2 4 2 ? è x2 2 ? 1 2 2 ÷ = (x-2t) +2-t .因为|x|≤2,所 ÷ 2 ? 1 2

以|AT|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+ ? 2 ?

以当 t∈(0,1]时取 x=2t,|AT|取最小值 2 - t 2 。当 t>1 时,取 x=2,

|AT|取最小值|t-2|. 6.
l2 . 设 点 4 1 2

M(x0,y0) , 直 线 AB 倾 斜 角 为 θ , 并 设
1 2 1 2 1 2

A(x0- x0 - cos q , y 0 - sin q ), B(x0+ cos q , y 0 + sin q ),因为 A, 在抛物 B 线上,所以
1 1 y 0 - sin q = ( x0 - cos q ) 2 , 2 2 1 1 y 0 + sin q = ( x0 + cos q ) 2 , 2 2

① ② ③

由①,②得
1 2

2x0cosθ=sinθ.
1 2

所以 y 0 = ( x0 - cos q ) 2 + sin q = (
1 x

1 1 1 + l 2 cos 2 q ) - . 2 4 4 cos q

因为 l2<1,所以函数 f(x)= + l 2 x .在(0,1]在递减, 所以 y 0 ? (1 + l 2 ) - = 小值
l2 . 4 ? y2 ? ? y2 2 pa ? ÷. 设 M ? 0 , y 0 ÷, M 1 ? 1 , y1 ? 2p ? 2p ÷ b ? è è ? ? ? y2 ? ÷, M 2 ? 2 , y 2 ÷ ,由 A,M,M1 共线得 ÷ ? 2p ÷ ? è ? 1 4 1 4 l2 。当 cosθ=1 即 l 平行于 x 轴时,距离取最 4

7. ? a, ?
è

y1=

by 0 - 2 pa 2 pa ,同理 B,M,M2 共线得 y 2 = ,设(x,y)是直线 M1M2 y0 - b y0 - b

上的点,则 y1y2=y(y1+y2)-2px,将以上三式中消去 y1,y2 得 y02(2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0. 当 x=a,y=
2 pa 2 pa ? 时上式恒成立,即定点为 ? a, ? ÷. b b ? è

8. 3 + 6 。由题设 所以 a+b≥

1 4 2 2 2 + 2 ? 1 且 a +2b ≤15,解得 5≤b ≤6. 2 a b

t+4 b2 t+4 2 而 + t+4 +b = + t + 4 (t=b -4∈[1,2]), 2 t t b -4 t+4 t-2 2(t - 2) ? ? ,又 t≤2 t t+4+ 6 3t + t (t + 4)

? 6+ 3 ? t+4 - 6 ? 3-

可得上式成立。 9.解 设 A(2cosθ, 3 sin q ), B(2cosα, 3 sinα),C(2cosβ, 3 sin

β ) , 这 里 α ≠ β , 则 过 A , B 的 直 线 为 lAB :
3 (sin q - sin a ) ( x - 2 cos q ) + 3 sin q = y ,由于直线 AB 过点 F1(-1,0),代 2(cos q - cos a )

入 有 3 (sin θ -sin α )?(1+2cos θ )=2 3 sin θ (cos θ -cos α ) , 即 2sin( α - θ )=sin θ -sin α =2 sin
q +a , 故 2 a -q a +q a q a q a q 2 cos + cos = 3 cos cos + sin sin = 0 ,即 tan ? tan = -3 。 2 2 2 2 2 2 2 2 q -a 2

? cos

又 lBD: y =

3 sin a 3 a 3 3 ( x + 2) = tan ?(x+2)= ( x + 2) ,同理得 q 2(1 + cos a ) 2 2 2 tan 2

tan

b q 1 3 sin b × tan = - 。lCE: y = (x-2)= 2 2 3 2(cos b - 1)

3 ( x - 2) 3 3 q - 2 = tan ?(x-2). b 2 2 tan 2

qù é 2 q ê 2 tan 2 - 2 - 6 3 tan 2 ú q 两直线方程联立,得 P 点坐标为 ê , ú ,消去 tan 得 2 ê tan 2 q + 1 tan 2 q + 1 ú ê ú 2 2 ? ?

点 P(x,y)在椭圆

x2 y2 + = 1 上(除去点(-2,0),(2,0)). 4 27

10. 解

ì x2 + y 2 = 1, ( 1 ) 由 ?a2 消 去 y 得 x2+2a2x+2a2m-a2=0, ① 设 í ? y 2 = 2( x + m) ?

f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2,问题(1)转化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯 一解或等根。只需讨论以下三种情况: 1 .Δ=0,得 m =
0

a2 +1 2

,此时 xp=-a2,当且仅当-a<-a2<a 即 0<a<1 时

适合;20。f(a)?f(-a)<0,当且仅当-a<m<a 时适合;30。f(-a)=0 得 m=a, 此时 xp=a-2a2, 当且仅当-a<a-2a2<a 即 0<a<1 时适合。 f(a)=0 令
2 2 得 m=-a,此时 xp=-a-2a .由于-a-2a <-a,从而 m≠-a.综上当 0<a<1

时, m =

a2 +1 或-a<m≤a;当 a≥1 时,-a<m<a. 2 1 2 1 , 故 当 -a<m ≤ a 时 , 2

(2) Δ OAP 的 面 积 S = ay p . 因 为 0<a<

0<-a2+ a a 2 + 1 - 2m < a ,由唯一性得 xp=-a2+.当 m=a 时,xp 取最小值。 由 于 xp>0 , 从 而 x p = 1 2

x2 p a
2

时 取 值 最 大 , 此 时 xp = 2 a - a2 , 故

a2 +1 1 S = a a - a ;当 m = 时,xp=-a2,yp= 1 - a 2 ,此时 S = a 1 - a 2 . 以 2 2

下比较 a a - a 2 与 a 1 - a 2 的大小。令 a a - a 2 = a 1 - a 2 ,得 a = , 故当 0<a≤ 时, a(1 - a) ? a 1 - a 2 , a 此时 S max
1 2 1 3 1 2

1 2

1 1 2 3 1 1 1 = a 1- a2 ; 当 <a< 2 3 2

时,有 a a(1 - a) > a 1 - a 2 ,此时 S max = a a - a 2 . 11.解:设 A,B 关于 l 的对称点分别为 A1(x2,y2),B1(x1,y1),则 AA1 中点 A2 ? ? 所以
? x2 - 1 y 2 ? , ÷ 在 l 上, 2 ÷ è 2 ?

y2=k(x2-1)



又 l ^ AA1,所以
y2 1 =- . k x2 + 1



由①,②得
ì k 2 -1 x2 = 2 , ? ? k +1 í ? y = - 2k . ? 2 k 2 +1 ? 16k ì ? x1 = 1 + k 2 , ? ? ÷ 在 l 上, l ^ BB1,解得 í 且 2 ÷ ? ? y = 8(k - 1) . ? 1 1+ k 2 ?

? x 8 + y1 同理, BB1 中点 B2 ? - 1 , 由 ? 2 2 è

设抛物线方程为 y2=2px,将 A1,B1 坐标代入并消去 p 得 k2-k-1=0. 所以 k =
1± 5 1± 5 2 ,由题设 k>0,所以 k = ,从而 p = 5. 2 2 5 1± 5 4 x ,抛物线 C 的方程为 y 2 = 5 x. 2 5

所以直线 l 的方程为 y = 联赛二试水平训练题

1 . 以 A 为 原 点 , 直 线 AC 为 x 轴 , 建 立 直 角 坐 标 系 , 设 C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB),则直线 DF 的方程为
x- f + f - xD y = 0. kx D


c - xB y = 0. - kx B

直线 BC 的方程为 c×①-f×②得

x-c+



(c-f)x+ [cf ? + ÷ - (c + f )] y = 0. k ? xD xB ÷ è ?

1

? 1

1 ?



③表示一条直线,它过原点,也过 DF 与 BC 的交点 G,因而③就是直 线 AG 的方程。 同理 ,直线 AE 的方程为 (c-f)x+ [cf ? + ÷ - (c + f )] y = 0. k ? xD xB ÷ è ?
1 ? 1 1 ?



③,④的斜率互为相反数,所以∠GAC=∠EAC。 2.证明 假设这样的闭折线存在,不妨设坐标原点是其中一个顶点,
? a1 c1 , è b1 d1 ?a c ? ? a c ÷, A ? n n ÷ 其中 i , i ÷ …, n = ? b , d ÷ , bi d i ? è n n?

记它为 A0, 其他顶点坐标为: 1 ? A ?

都是既约分数,并记 An+1=A0.若 p 与 q 奇偶性相同,则记 p≡q,否则 记 p≠q,下面用数学归纳法证明。 bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n),ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。
?a 当 k=1 时,由 ? 1 ?b è 1 ? ? c1 ÷ +? ÷ ?d ? è 1
2

? a2 × d 2 ÷ = 1 ,得 1 2 1 = d12 - c12 ,因为 a1,b1 互质, ÷ b1 ?

2

所以 d1 被 b1 整除,反之亦然(即 b1 被 d1 整除) 。 因此 b1=±d1,从而 b12 = d12 = a12 + c12 .a1 , c1 不可能都是偶数(否则 b1 也是 偶数,与互质矛盾) ;不可能都是奇数,因为两个奇数的平方和模 8 余 2 不是 4 的倍数, 也不可能是完全平方数, 因此, 1≠c1,b1≡d1≡1, a 并且 a1+c1≠0=a0+c0.

设结论对 k=1,2,…,m-1≤n 都成立,令

a m a m -1 a c m c m -1 c = , = . bm bm -1 b d m d m -1 d
2 2

a c a c 这里 , 是既约分数,因为每一段的长为 1,所以 ? ? + ? ? =1,与 ? ÷ ? ÷ b d èb? èd ?

k=1 情况类似:a≡c,d≡b≡1,又因为 数

a m a a m -1 abm -1 + ba m -1 = + = ,分 bm b bm -1 bbm -1

am 既约,所以 bm 是 bbm-1 的一个因子,bm≡1. bm

同理可知 dm≡1,又 am≡abm-1+bam-1(同理 cm≡cdm-1+dcm-1). 因 此 (am+cm-am-1-cm-1) ≡ (abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1) ≡

am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡1. 所以 am+cm≠am-1+cm-1,结论成立,于是在顶点数 n+1 为奇数时,an+1+cn+1 ≠a0+c0,故折线不可能是闭的。 3.证明 (1)由已知 B0P0=B0Q0,并由圆弧 P0Q0 和 Q0P0,Q0P1 和 P1Q1,

P1Q1 和 Q1P1 分 别 相 内 切 于 点 Q0 , P1 , Q1 , 得 C1B0+B0Q0=C1P1 , B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1 以 及 C0Q1=C0B0+ B0 P' 0 , 四 式 相 加 , 利 用 B1C1+C1B0=B1C0+C0B0,以及 P' 。在 B0P0 或其延长线上,有 B0P0=B0 P'0 ,从 而可知点 P'0 与点 P0 重合。由于圆弧 Q1P0 的圆心 C0,圆弧 P0Q0 的圆 心 B0 以及 P0 在同一直线上,所以圆弧 Q1P0 和 P0Q0 相内切于点 P0。 (2) 现分别过点 P0 和 P1 引上述相应相切圆弧的公切线 P0T 和 P1T 交 于点 T。 又过点 Q1 引相应相切圆弧的公切线 R1S1, 分别交 P0T 和 P1T 于点 R1 和 S1,连接 P0Q1 和 P1Q1,得等腰ΔP0Q1R1 和ΔP1Q1S1,由此 得∠P0Q1P1=π-∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π-(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠

Q1P1P0),而π-∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0,代入上式后,即得∠P0Q1P1= π- (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0). 同理得∠P0Q0P1=π- (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0),所以 P0,Q0,Q1,P1 共圆。 4.证明 2ax0+b. 引理的证明:设(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=k(x-x0),代入抛物线方 程得 ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0. 又
2 y 0 = ax0 + bx0 + c

1 2

1 2

引理:抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)处的切线斜率是



故①可化简成

(x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0,



因为②只有一个实根,所以 k=2ax0+b.引理得证。 设 P(x0,y0)为任一正交点,则它是由线 y=x?tan a 1 y=x?tan a 2 g ?x2 与 2 2v cos a 1
2 0

g ?x2 的交点, 则两条切线的斜率分别为 (由引理) 2 2v cos a 2
2 0

k =-

gx0 gx0 + tan a 1 , k 2 = - 2 + tan a 2 . 2 v0 cos a 1 v0 cos 2 a 2

又由题设 k1k2=-1,所以
? gx0 ? tan a 1 ? v0 cos 2 a 1 è ?? gx0 ÷? tan a 2 - 2 ÷? v0 cos 2 a 2 ?è ? ÷ = -1. ÷ ?


y0 gx = tan a 1 - 2 0 2 , x0 2v0 cos a 1

又 因 为 P(x0,y0) 在 两 条 抛 物 线 上 , 所 以

y0 gx = tan a 2 - 2 0 2 , 代入③式得 x0 2v0 cos a 2 ? 2 y0 ? ? x - tan a 1 è 0 ?? 2 y 0 ? ÷? ÷? x - tan a 2 ÷ = -1. ÷ ?è 0 ?

(※)

又因为 tanα1,tanα2 是方程
2v0 , gx0 2v0 gx0

gx0 y gx ?t2-t+ 0 + 0 =0 的两根,所以 2 2v0 x0 2v0

tanα1+tanα2=


? ÷。 ÷ ?

tanα1?tanα2=

? y 0 gx0 ? ? x + 2v 2 0 è 0



把④,⑤代入(※)式得
? v ? ?y- 0 ÷ ? 2 4g ÷ v0 è ? + x0 = 1? 0 ? y < v0 ?. 2 2 ? ÷ 2 y0 y 0 + x0 = 0 ,即 2 2 ? 2g ÷ g v0 v0 è ? 16 g 2 8g 2
2

5.证明

以 C 为原点,CB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,设∠

ADC= θ , |PD|=r. 各 点 坐 标 分 别 为 D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tan θ),B(x0,0),P(x1-rcosθ,rsinθ). 则 lAB 方程为
x y + = 1 , x1x+x0?cotθ?y-x1x0=0,因为 lAB 与圆相 即 x0 x1 tan q

切,可得 x1? x12 + x02 × cot 2 q = | x12 + x0x1?cotθ-x1x0|,约去 x1,再两边平 方得
2 2 x12 + x0 cot 2 q = x12 + 2 x1 x0 (cot q - 1) + x0 (cot q - 1) 2 , 所 以 x0 =

2(cot q - 1) ?x1. 2 cot q - 1



又因为点 P 在圆上, 所以(rcos q )2+(x1-rsin q )2= x12 , 化简得 r=2x1sin q . ② 要 DP=AP+AE ? 2DP=AD+AE ? 2r= 4sin q cos q . ③ 证
x1 tan q +x1tan q -x1 ? 1+sin q -cos q = sin q

又因为 CP ^ PB ,所以 CP × BP = 0. 因为 BP =(x1-x0-rcosθ,rsinθ), CP =(x1-rcosθ,rsinθ), 所以 (x1-rcosθ)(x1-rcosθ-x0)+r2sin2θ=0. ④

把②代入④化简得
x12 [(1 - sin 2q ) 2 + (1 - cos 2q ) 2 ] = x1 x0 (1 - sin 2q ).



由①得 x0=x1?

2 + 2(cos 2q - sin 2q ) . 2 + 2 cos 2q - sin 2q
2

代入⑤并约去 x1,化简得 4sin 2 q -3sin2 q =0,因为 sin2 q ≠0,所以 sin2 q = ,又因为 sin q =
3 4 AC CD > =cos q ,所以 sin q -cos q >0. AD AD 1 2 3 2

所以 sin q -cos q = 1 - sin 2q = ,所以 1+sin q -cos q = =4sin q cos q ,即 ③成立。所以 DP=AP+AE。 6.证明 设 BC=d,CD=b,BD=c,则 AC=CQ= ,取 BC 中点 M,
c 2

则 AM ^ BC,以 M 为原点,直线 BC 为 x 轴建立直角坐标系,则各 点坐标分别为 B(- ,0) ,C ( ,0) , D( , b) , A(0, ) , S ( d - c,0) ,因为
1 CR = (d + c) 3 d 2 d 2 d 2 b 2 d c R ( - ,0) 6 3 5 6 2 3















tan ?DRC =

b 1 (d + c) 3

=

3b 3b , tan ?ASQ = . (d + c) 5d - 4c

因为 0<∠DRC< ,0<∠ASQ<π,所以只需证 tan∠ASQ=tan2∠DRC,
6b 3b d +c ,化简得 9d2-9c2-9b2=0 即 d2=b2+c2,显然成立。 = 即 2 5d - 4c ? 3b ? 1- ? ÷ èd +c?

p 2

所以命题得证。


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