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2013年吉林省实验中学高考数学二模试卷(理科)


2013 年吉林省实验中学高考数学二模试卷(理科)

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2013 年吉林省实验中学高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 分)满足条件 A∪{0,1,2}={0,1,2,3}的所有集合 A

的个数是( (5 ) A.6 B.7 C.8 D.16 2. 分) (5 (2008?天津)把函数 y=sinx(x∈R)的图象上所有点向左平行移动 点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是( A. x∈R , B. ,x∈R C. 个单位长度,再把所得图象上所有 ) , x∈R D. x∈R ) ,

3. 分)命题甲:p 是 q 的充分条件;命题乙:p 是 q 的充分必要条件,则命题甲是命题乙的( (5 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…log3a10=( (5 ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35 5. 分)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 (5 么 f(x)在[2,3]上是( A.增函数 ) B.减函数
2

,若 f(x)在[﹣1,0]上是减函数,那

C.先增后减得函数
t﹣2

D.先减后增的函数 )

6. 分)已知某质点的位移 s 与移动时间 t 满足 s=t ?e ,则质点在 t=2 的瞬时速度是( (5 A.4 B.6 C.8 D.16 7. 分) (5 (2012?湛江)已知数列{an}中 A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,3)

,且{an}单调递增,则 k 的取值范围是( C.(﹣∞,2)
2 2 2



D.(﹣∞,3] )

8. 分) (5 (2012?陕西) 在△ ABC 中, A, C 所对边长分别为 a, c, a +b =2c , cosC 的最小值为 角 B, b, 若 则 ( A. B. C. D.

9. 分) (5 (2011?江西)已知数列{an}的前 n 项和 sn 满足:sn+sm=sn+m,且 a1=1,那么 a10=( A.1 B.9 C.10 D.55
2



10. 分)如图是函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象,则函数 g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是( (5



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A.





B.(1,2)

C.

( ,1)

D.(2,3)

11. 分) (5 (2012?大连)已知正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在两项 am,an,使得 的最小值为( A. ) B. C. D.不存在

,则

12. 分) (5 (2011?陕西)函数 f(x)= A.没有零点 C. 有且仅有两个零点

﹣cosx 在[0,+∞)内 ( ) B. 有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 分)已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2= _________ . (5 14. 分) (5 (2011?杭州)定义在(﹣1,1)上的函数 f(x)=﹣5x+sinx,如果 f(1﹣a)+f(1﹣a )>0,则实数 a 的取值范围为 _________ . 15. 分) (5 (2012?天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x﹣m) (x﹣2)<0},且 A∩B=(﹣1,n) .则 m= _________ ,n= _________ . 16. 分)定义一个对应法则 f:P(m,n)→P( , )(m≥0,n≥0) (5 , .现有点 A(2,6)与点 B(6,2) ,点 M 是线段 AB 上一动点,按定义的对应法则 f:M→M′.当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M′所经过的路线长度为 _________ . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)在△ ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 sinA= (1)求 A+B 的值; (2)若 a﹣b= ,求 a、b、c 的值. , . ,
2

18. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的最大值和最小值; (Ⅱ)若不等式|f(x)﹣m|<2 在

上恒成立,求实数 m 的取值范围.

19. 分) (12 (2007?陕西) 如图, 在底面为直角梯形的四棱锥 P﹣ABCD 中, AD∥BC, ∠ABC=90°, PA⊥平面 ABCD, PA=4,AD=2,AB=2 ,BC=6. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求二面角 P﹣BD﹣D 的大小.
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20. (12 分)已知数列{an}满足 (1)求证:数列{an+1﹣an}是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)记数列{an}的前 n 项和 Sn,求使得 Sn>21﹣2n 成立的最小整数 n.



21. (12 分)设 x1,x2(x1≠x2)是函数 f(x)=ax +bx ﹣a x(a>0)的两个极值点. (1)若 x1=﹣1,x2=2,求函数 f(x)的解析式; (2)若 ,求 b 的最大值.

3

2

2

(3)若 x1<x<x2,且 x2=a,g(x)=f'(x)﹣a(x﹣x1) ,求证:



22. (12 分)已知 Sn=1+ + +…+ , (n∈N ) ,设 f (n)=S2n+1﹣Sn+1,试确定实数 m 的取值范围,使得对于一切 大于 1 的自然数 n,不等式 恒成立.

*

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2013 年吉林省实验中学高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 分)满足条件 A∪{0,1,2}={0,1,2,3}的所有集合 A 的个数是( (5 ) A.6 B.7 C.8 D.16 考点: 专题: 分析: 解答: 子集与真子集. 计算题. 根据并集的定义 A∪{0,1,2}={0,1,2,3},可知集合 A 中必含有元素 3,利用此信息进行一一列举; 解:∵A∪{0,1,2}={0,1,2,3}, ∴3∈A, 所以 A 可取: {3}; {0,3}、{1,3}、{2,3}、{0,1,3}、{0,2,3}、{1,2,3}、{0,1,2,3},一共 8 个, 故选 C; 点评: 此题主要考查子集的性质,以及并集的定义,是一道基础题;
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2. 分) (5 (2008?天津)把函数 y=sinx(x∈R)的图象上所有点向左平行移动 点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是( A. x∈R 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 常规题型. 分析: 根据左加右减的性质先左右平移,再进行 ω 伸缩变换即可得到答案. 解答: 解:由 y=sinx 的图象向左平行移动 个单位得到 y=sin(x+ ) ,
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个单位长度,再把所得图象上所有 ) , x∈R D. x∈R ,



B.

,x∈R

C.

再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍得到 y=sin(2x+



故选 C 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,平移变换时注意都是对单个的 x 或 y 来运作的. 3. 分)命题甲:p 是 q 的充分条件;命题乙:p 是 q 的充分必要条件,则命题甲是命题乙的( (5 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 常规题型. 分析: 根据命题甲成立的情况下,命题乙不一定成立,得到充分性不成立;再根据命题乙成立时必定有命题甲成 立,得到必要性成立,由此可得正确选项. 解答: 解:先看充分性 当“p 是 q 的充分条件”成立,说明由 p 可以推出 q,
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www.jyeoo.com 但由 q 不一定能推出 p,因此不一定有“p 是 q 的充分必要条件” 故充分性不能成立, 再看必要性 当“p 是 q 的充分必要条件”成立,说明由 p 可以推出 q, 由 q 也可以推出 p,因此“p 是 q 的充分条件”成立 所以必要性成立 故选 B 点评: 本题以命题真假的判断和充分必要条件的判断为载体,考查了充分条件、必要条件等知识点,属于基础题. 4. 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…log3a10=( (5 ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35 考点: 等比数列的性质;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据等比中项的性质可知 a5a6=a4a7,进而根据 a5a6+a4a7=18,求得 a5a6 的值,最后根据等比数列的性质 5 求得 log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6) 答案可得. 解答: 解:∵a5a6=a4a7, ∴a5a6+a4a7=2a5a6=18 ∴a5a6=9 5 ∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6) =5log39=10 故选 B 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.解题的关键是灵活利用了等比中项的性质.
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5. 分)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 (5 么 f(x)在[2,3]上是( A.增函数 ) B.减函数

,若 f(x)在[﹣1,0]上是减函数,那

C.先增后减得函数

D.先减后增的函数

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由偶函数的性质可以得出[0,1]上的单调性,再由
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可得出函数的周期是 2,由此两个性

质即可研究出函数在[2,3]上的单调性. 解答: 解:由题意 ,故有

所以函数的周期是 2

又函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数且在[﹣1,0]上是减函数,故在[0,1]上增 由上性质知,f(x)在[2,3]上的单调性与在[0,1]上的单调性相同,故 f(x)在[2,3]上是增函数. 故选 A 点评: 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合,此类题是函数性质考查中的一个比较重要的类型,求解本题的关 键是正确理解函数的性质并能熟练运用这些性质做出判断,本题根据恒等式得出函数的周期性是对函数周 期性考查的一种比较新颖的方法.本题易因对恒等式理解不透未能得出周期而导致解题失败. 6. 分)已知某质点的位移 s 与移动时间 t 满足 s=t ?e ,则质点在 t=2 的瞬时速度是( (5 A.4 B.6 C.8 D.16 考点: 变化的快慢与变化率. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求出 s 关于 t 的导数,再把 t=2 代入其导函数即可.
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2

t﹣2



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www.jyeoo.com ﹣ ﹣ ﹣ 解答: 解:∵s=t2?et 2,∴s′=(t2+2t)et 2,∴s′(2)=(22+2×2)e2 2=8. ∴则质点在 t=2 的瞬时速度是 8. 故选 C. 点评: 正确求导和理解导数的几何意义是解题的关键. 7. 分) (5 (2012?湛江)已知数列{an}中 A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,3) ,且{an}单调递增,则 k 的取值范围是( C.(﹣∞,2) D.(﹣∞,3] )

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题. 分析: 该题需注意变量 n 的特殊性,根据函数的单调性可得 an+1﹣an>0 对于 n∈N*恒成立,建立关系式,解之即 可求出 k 的取值范围. 解答: 解:∵数列{a }中 ,且{a }单调递增
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n

n

∴an+1﹣an>0 对于 n∈N 恒成立即(n+1) ﹣k(n+1)﹣(n ﹣kn)=2n+1﹣k>0 对于 n∈N 恒成立 * ∴k<2n+1 对于 n∈N 恒成立,即 k<3 故选 B. 点评: 本题主要考查了数列的性质,本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解,注意 n 的取值是解题的关键, 属于易错题. 8. 分) (5 (2012?陕西) 在△ ABC 中, A, C 所对边长分别为 a, c, a +b =2c , cosC 的最小值为 角 B, b, 若 则 ( A. B. C. D.
2 2 2

*

2

2

*



考点: 专题: 分析: 解答:

余弦定理. 计算题. 通过余弦定理求出 cosC 的表达式,利用基本不等式求出 cosC 的最小值.
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解:因为 a +b =2c , 2 所以由余弦定理可知,c =2abcosC, cosC= = .

2

2

2

故选 C. 点评: 本题考查三角形中余弦定理的应用,考查基本不等式的应用,考查计算能力. 9. 分) (5 (2011?江西)已知数列{an}的前 n 项和 sn 满足:sn+sm=sn+m,且 a1=1,那么 a10=( A.1 B.9 C.10 D.55 )

考点: 等比数列的前 n 项和;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,用赋值法,令 n=1,m=9 可得:s1+s9=s10,即 s10﹣s9=s1=a1=1,进而由数列的前 n 项和的性质, 可得答案. 解答: 解:根据题意,在 sn+sm=sn+m 中, 令 n=1,m=9 可得:s1+s9=s10,即 s10﹣s9=s1=a1=1, 根据数列的性质,有 a10=s10﹣s9,即 a10=1, 故选 A. 点评: 本题考查数列的前 n 项和的性质,对于本题,赋值法是比较简单、直接的方法.
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www.jyeoo.com 2 10. 分)如图是函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象,则函数 g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是( (5 )

A.





B.(1,2)

C.

( ,1)

D.(2,3)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 由二次函数图象的对称轴确定 a 的范围,据 g(x)的表达式计算 g( )和 g(1)的值的符号,从而确定
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零点所在的区间. 解答: 解:由函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象得 0<b<1,f(1)=0,从而﹣2<a<﹣1, 而 g(x)=lnx+2x+a 在定义域内单调递增, g( )=ln +1+a<0, g(1)=ln1+2+a=2+a>0, ∴函数 g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是( ,1) ; 故选 C. 点评: 本题主要考查了导数的运算,以及函数零点的判断,同时考查了运算求解能力和识图能力,属于基础题.
2

11. 分) (5 (2012?大连)已知正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在两项 am,an,使得 的最小值为( A. ) B. C. D.不存在

,则

考点: 等比数列的通项公式;基本不等式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: 由正项等比数列{a }满足:a =a +2a ,知 q=2,由存在两项 a ,a ,使得 n 3 2 1 m n
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,知 m+n=6,由此

能求出

的最小值.

解答: 解:∵正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1, ∴
2



即:q =q+2,解得 q=﹣1(舍) ,或 q=2, ∵存在两项 am,an,使得 ∴ ∴ , , ,

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www.jyeoo.com ∴ 所以,m+n=6, ∴ 所以, =( )[ (m+n)]= (5+ + 的最小值是 . )≥ (5+2 )= , ,

点评: 本题考查等比数列的通项公式的应用,解题时要认真审题,仔细解答.注意不等式也是高考的热点,尤其 是均值不等式和一元二次不等式的考查,两者都兼顾到了. 12. 分) (5 (2011?陕西)函数 f(x)= A.没有零点 C. 有且仅有两个零点 ﹣cosx 在[0,+∞)内 ( ) B. 有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 根据余弦函数的最大值为 1,可知函数在[π,∞)上为正值,在此区间上函数没有零点,问题转化为讨论函 数在区间[0,π)上的零点的求解,利用导数讨论单调性即可. 解答: 解:f′(x)= +sinx
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①当 x∈[0.π)时,

>0 且 sinx>0,故 f′(x)>0

∴函数在[0,π)上为单调增 取 x= <0,而 >0

可得函数在区间(0,π)有唯一零点 ②当 x≥π 时, >1 且 cosx≤1 故函数在区间[π,∞)上恒为正值,没有零点 综上所述,函数在区间[0,+∞)上有唯一零点 点评: 在[0,+∞)内看函数的单调性不太容易,因此将所给区间分为两段来解决是本题的关键所在. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 分)已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2= ﹣6 . (5 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由公差 d 的值为 2,根据等差数列的通项公式分别表示出 a3 和 a4,由 a1,a3,a4 成等比数列,利用等比数 列的性质列出关于首项 a1 的值,再由公差 d 的值,利用等差数列的通项公式即可求出 a2 的值. 解答: 解:由等差数列{an}的公差为 2,得到 a3=a1+4,a4=a1+6, 又 a1,a3,a4 成等比数列, 2 ∴(a1+4) =a1?(a1+6) , 解得:a1=﹣8, 则 a2=a1+d=﹣8+2=﹣6. 故答案为:﹣6 点评: 此题考查了等差数列的通项公式,以及等比数列的性质,熟练掌握通项公式及性质是解本题的关键.
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14. 分) (5 (2011?杭州)定义在(﹣1,1)上的函数 f(x)=﹣5x+sinx,如果 f(1﹣a)+f(1﹣a )>0,则实数 a 的取值范围为 (1, ) .
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2

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www.jyeoo.com 考点: 正弦函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 分析: 函数 f(x)=﹣5x+sinx 且定义域为(﹣1,1) ,可判断此函数为奇函数,且为在定义域内为单调递减函数,
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所以 f(1﹣a)+f(1﹣a )>0?f(1﹣a)>﹣f(1﹣a ) ,然后进行求解即可. 解答: 解:∵f(x)=﹣5x+sinx, ∴f(﹣x)=5x﹣sinx=﹣(﹣5x+sinx)=﹣f(x) ,又 x∈(﹣1,1) ∴f(x)为奇函数; ∴f(1﹣a)+f(1﹣a )>0?f(1﹣a)>﹣f(1﹣a )=f(a ﹣1) , 又 f′(x)=﹣5+cosx<0, ∴f(x)为减函数; ∴﹣1<1﹣a<a ﹣1<1, 解得: . 故答案为: . 点评: 此题考查了利用函数的单调性及奇偶性求解抽象函数的不等式,还考查了不等式的求解及集合的交集. 15. 分) (5 (2012?天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x﹣m) (x﹣2)<0},且 A∩B=(﹣1,n) .则 m= ﹣1 ,n= 1 . 考点: 专题: 分析: 解答: 集合关系中的参数取值问题. 探究型. 由题意,可先化简 A 集合,再由 B 集合的形式及 A∩B=(﹣1,n)直接作出判断,即可得出两个参数的值 解:A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|﹣5<x<1}, 又集合 B={x∈R|(x﹣m) (x﹣2)<0},A∩B=(﹣1,n) . 所以 m=﹣1,n=1 故答案为﹣1,1 点评: 本题考查集合关系中的参数取值问题,解题的关键是理解交的运算及一元二次不等式的解集的形式,本题 一定的探究性,考查分析判断推理的能力
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2

2

2

2

2

2

16. 分)定义一个对应法则 f:P(m,n)→P( , )(m≥0,n≥0) (5 , .现有点 A(2,6)与点 B(6,2) ,点 M 是线段 AB 上一动点,按定义的对应法则 f:M→M′.当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M′所经过的路线长度为 .

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题. 分析: 本题以定义的一种新的变换为入手点,主要考查直线与圆的有关知识,解答本题的关键是弄懂定义的本质, 由定义的新法则 f:P(m,n)→P( , ) (m≥0,n≥0) .点 A(2,6)与点 B(6,2) ,点 M 是线段 AB 上一动点,而不难知道由变换得到点的轨迹是圆的一部分.然后根据弧长公式,易得答案. 解答: 解:由题意知 AB 的方程为:x+y=8, 2 2 2 2 设 M(x,y) ,则 M′(x ,y ) ,从而有 x +y =8,
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易知 A(2,6)→A′( 不难得出∠A′OX= 故答案为 .

) ,B(6,2)→B′( , 则∠A′OB′=

) , , M 的对应点 M′所经过的路线长度为 点 ;

, ∠B′OX=

点评: 这是一道新运算类的题目,其特点一般是“新”而不“难”,处理的方法一般为:根据新运算的定义,将已知中 的数据代入进行运算,易得最终结果.弄懂定义的本质是解题关键;针对本题,通过阅读题意,不难知道 由变换得到点的轨迹是圆的一部分.
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www.jyeoo.com 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)在△ ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 sinA= (1)求 A+B 的值; (2)若 a﹣b= ,求 a、b、c 的值. ,

考点: 余弦定理;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余弦函数;正弦定理. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)△ ABC 中,A、B 为锐角,sinA= ,sinB= ,可求得 cosA,cosB,利用两角和与差的余弦公式
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可求 A+B 的值; (2)由 a﹣b= ,利用正弦定理求得 a,b 的值,再由 C= ,利用余弦定理求 c 即可.

解答: 解: (1)∵△ABC 中,A、B 为锐角, ∴A+B∈(0,π) , 又 sinA= ∴cosA= ,sinB= ,cosB= , , ? ﹣ ? = ,

∴cos(A+B)=cosAcosB﹣sinAsinB= ∴A+B= . ,sinB= = , 得: =

(2)∵sinA= ∴由正弦定理



∴a= b,又 a﹣b= ∴b=1,a= . 又 C=π﹣(A+B)=π﹣
2 2 2

, , ×(﹣ )=5.

=

∴c =a +b ﹣2abcosC=2+1﹣2×1×

∴c= . 综上所述,a= ,b=1,c= . 点评: 本题考查正弦定理与余弦定理,考查同角三角函数间的基本关系与两角和的余弦公式及应用,由正弦定理 求得 a,b 的值是关键,属于中档题. 18. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的最大值和最小值; (Ⅱ)若不等式|f(x)﹣m|<2 在 上恒成立,求实数 m 的取值范围. , .

考点: 正弦函数的定义域和值域;函数恒成立问题;三角函数的化简求值. 专题: 计算题.
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www.jyeoo.com 分析: (Ⅰ)利用降幂公式将 f(x)化简为 f(x)=1+2sin(2x﹣ (Ⅱ)|f(x)﹣m|<2?f(x)﹣2<m<f(x)+2,而 x∈[ ) ,即可求得 f(x)的最大值和最小值; , ],可求得 2x﹣ ∈[ , ],从而可

求得 f(x)max=3,f(x)min=2,于是可求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=[1﹣cos( =1+sin2x﹣ cos2x ) …(3 分) ], ≤ , ,即 2≤1+2sin(2x﹣ )≤3, +2x)]﹣ cos2x

=1+2sin(2x﹣ 又∵x∈[ ∴ ,

≤2x﹣

∴f(x)max=3,f(x)min=2.…(7 分) (Ⅱ)∵|f(x)﹣m|<2?f(x)﹣2<m<f(x)+2, ∵x∈[ , ],…(9 分)

由(1)可知,f(x)max=3,f(x)min=2, ∴m>f(x)max﹣2=1 且 m<f(x)min+2=4, ∴1<m<4,即 m 的取值范围是(1,4) .…(14 分) 点评: 本题考查三角函数恒成立问题,着重考查正弦函数的定义域和值域,考查三角函数的化简求值与辅助角公 式的应用,属于中档题. 19. 分) (12 (2007?陕西) 如图, 在底面为直角梯形的四棱锥 P﹣ABCD 中, AD∥BC, ∠ABC=90°, PA⊥平面 ABCD, PA=4,AD=2,AB=2 ,BC=6. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求二面角 P﹣BD﹣D 的大小.

考点: 平面与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ)要证 BD⊥平面 PAC,只需证明 BD 垂直平面 PAC 内的两条相交直线 PA,AC 即可. (Ⅱ)过 E 作 EF⊥PC,垂足为 F,连接 DF,说明∠EFD 为二面角 A﹣PC﹣D 的平面角,推出 Rt△ EFC∽Rt△ PAC,通过解 Rt△ EFD,求二面角 P﹣BD﹣D 的大小. 解答: 证明: (Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD.∴BD⊥PA.
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.∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,∴∠AEB=90°,即 BD⊥AC.

又 PA∩AC=A.∴BD⊥平面 PAC. (Ⅱ)过 E 作 EF⊥PC,垂足为 F,连接 DF. ∵DE⊥平面 PAC,EF 是 DF 在平面 PAC 上的射影,由三垂线定理知 PC⊥DF,∴∠EFD 为二面角 A﹣PC ﹣D 的平面角. 又∠DAC=90°﹣∠BAC=30°,
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www.jyeoo.com ∴DE=ADsinDAC=1, 又 ,∴ , ,PC=8. . ,∴ . .

由 Rt△ EFC∽Rt△ PAC 得 在 Rt△ EFD 中, ∴二面角 A﹣PC﹣D 的大小为

点评: 本题考查平面与平面垂直的判定,二面角及其度量,考查逻辑思维能力,空间想象能力,计算能力,是中 档题. 20. (12 分)已知数列{an}满足 (1)求证:数列{an+1﹣an}是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)记数列{an}的前 n 项和 Sn,求使得 Sn>21﹣2n 成立的最小整数 n. 考点: 数列的求和;等比关系的确定. 专题: 综合题. 分析: (1)由 an+2+2an﹣3an+1=0,得 an+2﹣an+1=2(an+1﹣an) ,数列{an+1﹣an}就以 a2﹣a1=3 不首项,公比为 2 的 等比数列,由此能够求出数列{an}的通项公式. n (2)利用分组求和法得 Sn=3(2 ﹣1)﹣2n>21﹣2n,由眦能求出使得 Sn>21﹣2n 成立的最小整数. 解答: (1)证明:
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∴an+2﹣an+1=2(an+1﹣an) 2﹣a1=3 ,a ∴数列{an+1﹣an}是以 3 为首项,公比为 2 的等比数列, n﹣1 ∴an+1﹣an=3?2 (3 分) ∴n≥2 时, an﹣an﹣1=3?2
n﹣2



… a3﹣a2=3?2, a2﹣a1=3, n﹣2 n﹣3 n﹣1 以上 n﹣1 个式子累加得 an﹣a1=3?2 +3?2 +…+3?2+3=3(2 ﹣1) n﹣1 ∴an=3?2 ﹣2 当 n=1 时, 从而可得 也满足 (6 分)

(2)解:由(1)利用分组求和法得
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www.jyeoo.com 0 1 n﹣1 Sn=(3?2 ﹣2)+(3?2 ﹣2)+…(3?2 ﹣2) 0 1 n﹣1 =3(2 +2 +…+2 )﹣2n =
n

﹣2n

=3(2 ﹣1)﹣2n(9 分) n Sn=3(2 ﹣1)﹣2n>21﹣2n, n n 3 得 3?2 >24,即 2 >8=2 , ∴n>3 ∴使得 Sn>21﹣2n 成立的最小整数 4. (12 分) 点评: 本题主要考查了利用利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式,累加法的应用是求解通项的 关键,分组求和及等比数列的求和公式的应用是解答(2)的关键 21. (12 分)设 x1,x2(x1≠x2)是函数 f(x)=ax +bx ﹣a x(a>0)的两个极值点. (1)若 x1=﹣1,x2=2,求函数 f(x)的解析式; (2)若 ,求 b 的最大值.
3 2 2

(3)若 x1<x<x2,且 x2=a,g(x)=f'(x)﹣a(x﹣x1) ,求证:



考点: 函数在某点取得极值的条件;函数解析式的求解及常用方法;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 分析: (1)求导函数,根据 x1=﹣1,x2=2 是函数 f(x)的两个极值点,即可求得函数 f(x)的解析式; 2 2 (2)根据 x1,x2 是函数 f(x)的两个极值点,可知 x1,x2 是方程 3ax +2bx﹣a =0 的两根,从而 ,利用 利用导数,即可求得 b 的最大值; (3) 根据 x1, 2 是方程 3ax +2bx﹣a =0 的两根, x 可得 f' (x) (x﹣x1) x﹣x2) 根据 =3a ( , 可得 ,进而有 =
2 2 2 2 2

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,可得 b =3a (6﹣a) ,令 h(a)=3a (6﹣a) ,

, ,利用配方法

即可得出结论. 解答: 解: (1)求导函数,可得 f′(x)=3ax +2bx﹣a , ∵x1=﹣1,x2=2 是函数 f(x)的两个极值点, ∴f'(﹣1)=0,f'(2)=0, 2 2 ∴3a﹣2b﹣a =0,12a+4b﹣a =0, 解得 a=6,b=﹣9. ∴f(x)=6x ﹣9x ﹣36x.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (2)∵x1,x2 是函数 f(x)的两个极值点,∴f'(x1)=f'(x2)=0. 2 2 2 3 ∴x1,x2 是方程 3ax +2bx﹣a =0 的两根,故有△ =4b +12a >0 对一切 a>0,b∈R 恒成立. ∴ ∵a>0,∴x1?x2<0, ∴ ﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,
3 2 2 2

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www.jyeoo.com 由
2 2





∴b =3a (6﹣a) . 2 2 ∵b ≥0,∴3a (6﹣a)≥0,∴0<a≤6. 2 2 令 h(a)=3a (6﹣a) ,则 h′(a)=36a﹣9a . 当 0<a<4 时,h′(a)>0,∴h(a)在(0,4)内是增函数; 当 4<a<6 时,h′(a)<0,∴h(a)在(0,4)内是减函数; ∴当 a=4 时,h(a)是极大值为 96, ∴h(a)在(0,6)上的最大值是 96,∴b 的最大值是 .…(8 分) 2 2 (3)∵x1,x2 是方程 3ax +2bx﹣a =0 的两根.∴f'(x)=3a(x﹣x1) (x﹣x2) ∵ ∴ ∵x1<x<x2, ∴ ═ ,∴ …(10 分)

=﹣3a 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的极值、单调性,考查不等式的证明,正确求导,理解极值的意义是 解题的关键.
*

22. (12 分)已知 Sn=1+ + +…+ , (n∈N ) ,设 f (n)=S2n+1﹣Sn+1,试确定实数 m 的取值范围,使得对于一切 大于 1 的自然数 n,不等式 恒成立.

考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: 先求函数的最小值,从而要使对于一切大于 1 的正整数 n,不等式
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恒成立.所以只要 成立即可. 解答: 解:由题意,f(n)=S2n+1﹣Sn+1= ∵函数 f(n)为增函数, ∴f(n)min=f(2)= 要使对于一切大于 1 的正整数 n,不等式 所以只要 > 成立即可. + +…+ (n∈N*)



恒成立.



,得 m>1 且 m≠2

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www.jyeoo.com 2 此时设[logm(m﹣1)] =t,则 t>0 于是 ,解得 0<t<1
2

由此得 0<[logm(m﹣1)] <1 解得 m> 且 m≠2.

点评: 本题考查利用最值法解决恒成立问题,考查不等式的求解,考查学生计算能力,关键是利用函数的单调性 求函数的最小值.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:xintrl;lcb001;wfy814;qiss;minqi5;wsj1012;孙佑中;zhwsd;sllwyn;俞文 刚;zlzhan;danbo7801;xiaozhang;吕静(排名不分先后)
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