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福建省福州八中2008—2009学年高三第二次质量检查数学试题(文科)


福建省福州八中 2008—2009 学年高三第二次质量检查数学试题(文科)
考试时间:120 分钟 注意事项: 准考证号码填写说明:准考证号码共九位,每位都体现不同的分类,具体如下: 级别代号 科类代号 教学班代号 行政班代号 行政班座号 试卷满分:150 分

0

6

0

0

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0

答题卡上科目栏内必须填涂考试科目

一、选择题:每小题 5 分共 60 分,每小题仅有一个正确选项 1
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http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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若集合 A ? {?1,1} , B ? {x | m x ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为 A. 1 B. ?1 C. 1 或 ?1 D. 1 或 ?1 或 0





2

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要得到 y ? 3 sin( 2 x ? A.向左平移

?
4

) 的图象只需将 y=3sin2x 的图象
B.向右平移





? 个单位 4 ? 个单位 8

? 个单位 4 ? 个单位 8
1 4 1 , x ? ? 时取得最小值- ,则 2 9 2

C.向左平移

D.向右平移

3.已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在同一周期内, x ? 该函数解析式为 A. y ? C. y ? (

?
9

时取得最大值 )

1 x ? 1 ? sin( ? ) B. y ? sin( 3 x ? ) 2 3 6 2 6 1 ? sin( 3 x ? ) 2 6
D. y ?

1 x ? sin( ? ) 2 3 6
( D. a51 ? 51 ( ) )

4.已知等差数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a101 ? 0 ,则有 A. a1 ? a101 ? 0
2 3

B. a1 ? a101 ? 0
n ?1

C. a1 ? a101 ? 0

5.数列 1, a, a , a ,?, a A.

,?的前 n 项的和为
1 ? a n?1 1? a
C.

1 ? an 1? a

B.

1 ? a n?2 1? a

D.以上均不正确 ( )

6.某数列既成等差数列也成等比数列,那么该数列一定是 A.公差为 0 的等差数列 C.常数数列 1,1,1… B.公比为 1 的等比数列 D.以上都不对

7.已知数列{ an}的前 n 项和为 Sn=4n -n+2,则该数列的通项公式为 A. an=8n+5(n∈N*) C. an=8n+5(n≥2) 8.下列函数中,以π 为周期的偶函数是 A. y ?| sin x | C. y ? sin( 2 x ? B. y ? sin | x | B. an=8n-5(n∈N*) D. an ? ?
? ?5 (n ? 1)

2





?8n ? 5(n ? 2, n ? N + ) ?





2 2 0 0 0 0 2 9.函数 y ? 2cos x 的一个单调增区间是 (8 ) 8 1 1 ? π 3π ? ?π ? ? π π? ? π? 0 0 A. ? , ? B. ? ,π ? C. ? ? , ? D. ? 0, ? 2 2 4 4 ? 2 4 4? 2? ? ? ? ? ? 8 8 10.某工厂六年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年产量保持不变,

?

3

)

D. y ? sin( x ?

?

2

)

则该厂六年来这种产品的总产量 C 与时间 t 的函数关系可用图象表示的是 ... (
C C C C



O

3

6

t

O

3

6

t

O

3

6

t

O

3

6

t

A.
3

B.
2

C.

D. (
2

11.如果函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, (a, b, c ? R) 在 R 上不单调,则 A. a ? 3b
2



B. a ? 3b
2

C. a ? 3b
2

D. a ? 3b

12..偶函数 f ( x)(x ? R) 满足: f (?4) ? f (1) ? 0 ,且在区间[0,3]与 [3,??) 上分别递减和递增,则不等 式 x f ( x) ? 0 的解集为
3

( B. (?4,?1) ? (1,4)



A. (??,?4) ? (4,??) C. (??,?4) ? (?1,0) 二、填空题:每小题 4 分共 16 分

D. (??,?4) ? (?1,0) ? (1,4)

13.在等比数列 ?an ? 中, 若 a1 , a10 是方程 3x ? 2 x ? 6 ? 0 的两根,则 a4 ? a7 =______.
2

14.若函数 f(χ )是偶函数,且当χ <0 时,有 f(χ )=cos3χ +sin2χ ,则当χ >0 时,f(χ )的表达式为 15.已知数列的 S n ? n 2 ? n ? 1 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 =_____________。 16.定义在 ?? ?,??? 上的偶函数 f ?x ? 满足 f ?x ?1? ? ? f ?x ? ,且在 ?? 1,0? 上是增函数,下面是关于 f ?x ?

的判断:① f ?x ? 是周期函数;② f ?x ? 的图像关于直线 x=1 对称; ③ f ?x ? 在[0,1]上是增函数; ④ f ?2? ? f ?0? 。 其中正确的判断是 (把你认为正确的判断都填上)

三、解答题:共六大题满分 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分)设集合 P={ x|x -x-6<0},Q={x|x-a≥0} (1)设 P ? Q,求实数 a 的取值范围. (2)若 P ? Q= ? ,求实数 a 的取值范围
2

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? 3 cos x ?
2

1 3 ( x ? R) 2

(1)求 f (x) 的最小正周期; (2)求 f (x) 的单调区间; (3)求 f (x) 图象的对称轴,对称中心.

19. (本小题满分 12 分) (1)在等差数列 {an } 中, a1 ? a6 ? 12, a4 ? 7 ,求 an 及前 n 项和 Sn ; (2)在等比数列 {an } 中, S 3 ?

7 198 , S6 ? , ,求 an . 2 2

20. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的二次函数 f ( x) = x + (2t - 1) x + 1 - 2t . (1)求证:对于任意 t ? R ,方程 f ( x) = 1 必有实数根;

2

(2)若

1 2

< t<

3 4

,求证:方程

f ( x) = 0 在区间 (- 1, 0)及(0, ) 上各有一个实数根.
2

1

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? mx ? m x ? 1 (m 为常数,且 m>0)有极大值 9.
3 2 2

(1)求 m 的值; (2)若斜率为-5 的直线是曲线 y ? f ( x) 的切线,求此直线方程.

22. (本小题满分 14 分)已知数列{an}中 2an?1 ? an ? an?2 ,且 a1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn ? an x
n

? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12 .

? x ?R ? ,求数列{b }前 n 项和的公式.
n

参考答案 一、选择题: 题号 选项 1 D 2 C 3 B 4 C 5 D 6 B 7 D 8 A 9 B

二、填空题: 13.-2 三、解答题: 17. (本小题满分 12 分)解: p ? x ? 2 ? x ? 3 , Q ? x x ? a (1)? P ? Q,? a ? ?2; (2)? P ? Q ? ? ,? a ? 3. 18. (本小题满分 12 分) 解: f ( x) ? 14. cos 3 x ? sin 2 x 15.100 16.①②④

22 00 00 108 8 11 A0 0 22 88

11 C

12 D

?

?

?

?

………………2 分

……………………7 分 ………………………12 分

?1 ? 1 cos 2 x ? 1 1 3 sin 2 x ? 3 ? 3 = ? sin 2 x ? cos 2 x ? ?2 ? 2 2 2 2 ? ?

= sin( 2 x ? (1)T=π ; (2)由 ?

?
3

)

………………………3 分 ………………………5 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? (k ? z )

可得单调增区间 [k? ? ( k ? z) , 由

?
12

, k? ?

5 ?] 12

………………………7 分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

3? ? 2k? (k ? z ) 2

可得单减区间 [k? ? (3)由 2 x ? 由 2x ?

5 11 ? , k? ? ? ]( k ? z ) ; ………………9 分 12 12

?
3

?

?
2

? k? 得对称轴为 x ?

5? k? ? (k ? z ) 12 2
…………12 分

?
3

? k? 得对称中心为 x ?

k? ? ? , k ? Z. 2 6

19. (本小题满分 12 分)解: (1)数列 ?an ? 是等差数列,因此 a1 ? a6 ? a3 ? a4 ? 12 , 由于 a4 ? 7

? a3 ? 5,? d ? 2 ? an ? 5 ? (n ? 3) ? 2 ? 2n ? 1 ………3 分
又 a1 ? 1,? S n ? n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n2 2

……………6 分

S a1 (1 ? q 6 ) 7 a1 (1 ? q 3 ) 3 (2) S 3 ? ? 由 6 ? 1 ? q ? 28得q ? 3 …9 分 S 6 ? 98 ? S3 2 1? q 1? q
所以 a1 ?

7 7 ? 3 n ?1 , an ? 26 26

……………………12 分

20. (本小题满分 12 分)解: (1)由 f (1) = 1 知 f ( x) = 1 必有实数根. 或由 D = (2t - 1) + 8t = (2t + 1) (2)当
1 2 < t< 3
2 2

0 得 f ( x) = 1 必有实数根.

…………5 分

3 时,因为 f (- 1) = 3 - 4t = 4( - t ) > 0 , 4 4

1 f (0) = 1 - 2t = 2( - t ) < 0 , 2
1 1 1 3 f ( ) = + (2t - 1) + 1 - 2t = - t > 0 , 2 4 2 4

……………10 分

1 所以方程 f ( x) = 0 在区间 (- 1, 0) 及(0, ) 上各有一个实数根. ………12 分 2
21. (本小题满分 12 分) 解:(1) f’(x)=3x +2mx-m =(x+m)(3x-m)=0,则 x=-m 或 x= 当 x 变化时,f’(x)与 f(x)的变化情况如下表:
2 2

1 m, 3

……2 分

x f’(x) f (x)

(-∞,-m) +

-m 0 极大值

(-m,

1 m) 3

1 m 3
0 极小值

(

1 m ,+∞) 3
+



从而可知,当 x=-m 时,函数 f(x)取得极大值 9, 即 f(-m)=-m +m +m +1=9,∴m=2. (2)由(Ⅰ)知,f(x)=x +2x -4x+1, 依题意知 f’(x)=3x +4x-4=-5, ∴x=-1 或 x=-
2 3 2 3 3 3

……………4 分 ……………6 分

1 . ………………8 分 3 1 68 )= , 3 27 68 1 =-5(x+ ), 27 3
…………………12 分 ………………10 分

又 f(-1)=6,f(-

所以切线方程为 y-6=-5(x+1),或 y- 即 5x+y-1=0,或 135x+27y-23=0. 22. (本小题满分 14 分)

解.由 2an?1 ? an ? an?2 得{an }为等差数列 (1)由 a1 ? a2 ? a3 ? 12得3a2 ? 12, 所以a2 ? 4 , 又 a1 ? 2,? d ? 2, an ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n; (2) bn ? an x n ? 2nxn

…………………………1 分 ……………………2 分 ……………………4 分 ……………………5 分

S n ? 2x ? 4x 2 ? 6x 3 ? ? ? 2(n ? 1) x n?1 ? 2nxn xSn ? 2x 2 ? 4x 3 ? ??? ? 2(n ? 1) x n ? 2nxn?1 (1 ? x)S n ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? ? ? 2x n ? 2nxn?1
当 x=1 时,易得 S n ? n(n ? 1) 当 x ? 1时 , (1 ? x) S n ? ………………………8 分 ………………………10 分 …13 分

2 x(1 ? x n ) 2 x(1 ? x n ) 2nxn?1 ? 2nxn?1 S n ? ? 1? x 1? x (1 ? x) 2

( x ? 1), ?n(n ? 1) ? n n?1 因此, Sn ? ? 2 x ?1 ? x ? 2nx ? ?1 ? x ?2 ? 1 ? x ( x ? 1) ?

…………………14


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