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陕西省西安市西工大附中2015届高考数学模拟试卷(理科)(5月份)


陕西省西安市西工大附中 2015 届高考数学模拟试卷(理科) (5 月份)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)复数 A.﹣1 B . ﹣i 计算的结果是() C. D.

2. (5 分)若 sin20°=a,则 sin230°的值为() 2 2 2

A.2a ﹣1 B.1﹣a C.a ﹣1 3. (5 分) ( A.﹣5 ﹣2x ) 的展开式中常数项是() B. 5 C.﹣10
2 5

D.1﹣2a

2

D.10

4. (5 分)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 a1=12,S6=S11,则必有() A.a17=0 B.a6+a12=0 C.S17>0 D.a9<0 5. (5 分)已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.6

B. 9

C.12

D.18

6. (5 分)如图是函数 y=2sin(ωx+?) (ω>0)图象的一部分,则 ω 和 ? 为()

A.ω=

,?=﹣

B.ω= ,?=﹣
10

C.ω=

,?=﹣

D.ω=

,?=﹣

7. (5 分)展开(a+b+c) 合并同类项后的项数是()

A.11

B.66

C.76

D.134

8. (5 分)已知随机变量 X 的取值为 0,1,2,若 P(X=0)= ,EX=1,则 DX=() A. B. C. D.

9. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣2y 的最大值为()

A.4

B. 3

C. 2

D.1

10. (5 分)已知三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点均在半径为 1 的球面上,且满足 ? A.2 =0, ? =0,则三棱锥 P﹣ABC 的侧面积的最大值为() B. 1 C. D.

?

=0,

11. (5 分)已知抛物线 y =8x 的焦点与双曲线 率为() A. B.
3 2

2

﹣y =1 的一个焦点重合,则该双曲线的离心

2

C.

D.

12. (5 分)已知函数 f(x)=ax ﹣3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取 值范围是() A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,﹣1)

二.填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知 ω>0,函数 取值范围是. 14. (5 分)如图,输入正整数 m,n,满足 n≥m,则输出的 p=; 在 上单调递减,则 ω 的

15. (5 分)若直线 y=kx+1 被圆 x +y ﹣2x﹣3=0 截得的弦最短,则实数 k 的值是. 16. (5 分)将全体正整数排成如图的一个三角形数阵,按照此排列规律,第 10 行从左向右的 第 5 个数为.

2

2

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 5 小题,共 70 分) 17. (12 分)从某批产品中,有放回地抽取产品两次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A:“取 出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P(A)=0.96. (Ⅰ)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p; (Ⅱ)若该批产品共 20 件,从中任意抽取 2 件,X 表示取出的 2 件产品中二等品的件数,求 X 的分布列与期望. 18. (12 分)已知数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,且 a1≠a2,当 n∈N+时,恒有 Sn=pnan(p 为常 数) . (Ⅰ)求常数 p 的值; (Ⅱ)当 a2=2 时,求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< .

19. (12 分)四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC⊥底面 ABCD,且 ∠ABC=45°AB=2,BC=2 ,SA=SB= . (1)求证:SA⊥BC; (2)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值.

20. (12 分)已知定点 C(﹣1,0)及椭圆 x +3y =5,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两 点. (Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标是 (Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 M,使 说明理由. 21. (12 分) (Ⅰ)已知正数 a1、a2 满足 a1+a2=1,求证:a1log2a1+a2log2a2≥﹣1; (Ⅱ)若正数 a1、a2、a3、a4 满足 a1+a2+a3+a4=1,求证:a1log2a1+a2log2a2+a3log2a3+a4log2a4≥ ﹣2. ,求直线 AB 的方程; 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请

2

2

四、选做题请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,⊙O 和⊙O′相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长交⊙O 于点 E.证明: (Ⅰ)AC?BD=AD?AB; (Ⅱ)AC=AE.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.已知椭圆 C: + =1,直线 l: + =1.

(I)以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求椭圆 C 与直线 l 的极坐标方程;

(Ⅱ) 已知 P 是 l 上一动点, 射线 OP 交椭圆 C 于点 R, 又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|?|OP|=|OR| . 当 点 P 在 l 上移动时,求点 Q 在直角坐标系下的轨迹方程.

2

【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5| (Ⅰ)证明:﹣3≤f(x)≤3; 2 (Ⅱ)求不等式 f(x)≥x ﹣8x+15 的解集.

陕西省西安市西工大附中 2015 届高考数学模拟试卷(理 科) (5 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)复数 A.﹣1 B . ﹣i 计算的结果是() C. D.

考点: 专题: 分析: 解答: =

复数代数形式的混合运算;虚数单位 i 及其性质. 数系的扩充和复数. 首先求底数的 2014 次幂,然后在矩形复数的乘法运算. 解:原式 = = =i× = ;

故选 C. 2 3 4 点评: 本题考查了复数的运算;注意明确 i =﹣1,i =﹣i,i =1. 2. (5 分)若 sin20°=a,则 sin230°的值为() 2 2 2 A.2a ﹣1 B.1﹣a C.a ﹣1 考点: 同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值.

D.1﹣2a

2

专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用诱导公式、二倍角的余弦公式求得 sin230°的值. 解答: 解:若 sin20°=a,则 sin230°=sin(270°﹣40°)=﹣cos40° 2 2 2 =﹣(1﹣2sin 20°)=2sin 20°﹣1=2a ﹣1, 故选:A. 点评: 本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用,属于基础题. 3. (5 分) ( A.﹣5 ﹣2x ) 的展开式中常数项是() B. 5 C.﹣10 D.10
2 5

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 0,求出 r 的值,即可求得常数项. 解答: 解: ( 令 ﹣2x ) 的展开式的通项公式为 Tr+1=
2 5

?(﹣2) ?

r



=0,求得 r=1,故展开式中常数项是﹣2×

=﹣10,

故选:C. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数, 二项式系数的性质,属于基础题. 4. (5 分)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 a1=12,S6=S11,则必有() A.a17=0 B.a6+a12=0 C.S17>0 D.a9<0 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意结合等差数列的性质求得 a9=0,则答案可求. 解答: 解:在等差数列{an}中,由 S6=S11,得 a7+a8+a9+a10+a11=0, 即 5a9=0,∴a9=0, 则 a6+a12=2a9=0. 故选:B. 点评: 本题考查了等差数列的性质,考查等差数列的求和,是基础题. 5. (5 分)已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.6

B. 9

C.12

D.18

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体,分别计算底面面 积和高,代入锥体体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体, 其底面面积 S= 高 h=3, 故该几何体的体积 V= =9, ,

故选:B 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 6. (5 分)如图是函数 y=2sin(ωx+?) (ω>0)图象的一部分,则 ω 和 ? 为()

A.ω=

,?=﹣

B.ω= ,?=﹣

C.ω=

,?=﹣

D.ω=

,?=﹣

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 把特殊点代入函数的解析式,结合五点法作图求出 ω 和 ? 的值. 解答: 解:把(0,﹣1)代入可得 sin?=﹣ ,结合五点法作图可得 ?=﹣ 再把( ,0)代入,可得 2sin(ω? ﹣ ﹣ )=0, , .

结合五点法作图可得 ω?

=π,求得 ω=

故选:A. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+?)的部分图象求解析式,五点法作图,属于基础 题. 7. (5 分)展开(a+b+c) 合并同类项后的项数是() A.11 B.66 C.76
10

D.134

考点: 二项式系数的性质. 专题: 应用题;排列组合. 分析: 用隔板法,把题目中问题模拟成 10 个球排成一排,中间放入 2 块隔板,

将这 10 个球分成 3 堆,每一堆放入一个盒子内,隔板放置的位置是
10 x y


z

解答: 解:将(a+b+c) 展开合并同类项后,每一项都是 m?a ?b ?c 的形式, 且 x+y+z=10,其中 m 是实数,x、y、z∈N; 相当于说,已知 3 个非负整数的和为 10,求有多少组解; 这就跟 2 隔板放 10 个小球一样了,一共 12 个位置, 找 2 个位置给挡板,剩下位置放小球,所以有 C12 种, 10 2 所以, (a+b+c) 的展开式中,合并同类项之后的项数为 C12 =66. 故选:B. 点评: 本题考查了排列与组合的应用问题,解题的关键是根据题意,把问题模拟为某一实 验的形式,根据实验结果得出结论.
2

8. (5 分)已知随机变量 X 的取值为 0,1,2,若 P(X=0)= ,EX=1,则 DX=() A. B. C. D.

考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: 由设 P(X=1)=p,P(X=2)=q,因为 E(X)=1,可求得 X=1,X=2 的概率.并求 得方差. 解答: 解:设 P(X=1)=p,P(X=2)=q,因为 E(X)=0× 又 p+q= ,② 由①②得,p= ,q= , ∴D(X)= , ①

故选:A. 点评: 本题主要考查随机变量的期望值的逆向求法和方差的求法,属于中档题型.

9. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣2y 的最大值为()

A.4

B. 3

C. 2

D.1

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=x﹣2y 表示直线在 y 轴上的 截距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可. 解答: 解:画出可行域(如图) ,z=x﹣2y?y= x﹣ z,

由图可知, 当直线 l 经过点 A(1,﹣1)时, z 最大,且最大值为 zmax=1﹣2×(﹣1)=3. 故选:B.

点评: 本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力,以及利用几何意义求 最值,属于基础题.

10. (5 分)已知三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点均在半径为 1 的球面上,且满足 ? A.2 =0, ? =0,则三棱锥 P﹣ABC 的侧面积的最大值为() B. 1 C. D.

?

=0,

考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 由已知,三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点均在半径为的球面上,且满足: ,则在 P 点处 PA,PB,PC 两两垂直,球直径等于以 PA, PB,PC 为棱的长方体的对角线,由基本不等式易得到三棱锥 P﹣ABC 的侧面积的最大值. 解答: 解:∵ ,

∴PA,PB,PC 两两垂直, 又∵三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点均在半径为 1 的球面上, ∴以 PA,PB,PC 为棱的长方体的对角线即为球的一条直径. 2 2 2 ∴4=PA +PB +PC , 2 2 2 2 2 2 则由基本不等式可得 PA +PB ≥2PA?PB,PA +PC ≥2PA?PC,PB +PC ≥2PB?PC, 2 2 2 即 4=PA +PB +PC ≥PA?PB+PB?PC+PA?PC 则三棱锥 P﹣ABC 的侧面积 S= (PA?PB+PB?PC+PA?PC)≤2, 则三棱锥 P﹣ABC 的侧面积的最大值为 2, 故选 A 点评: 本题考查的知识点是棱锥的侧面积,基本不等式,棱柱的外接球,其中根据已知条 件,得到棱锥的外接球直径等于以 PA,PB,PC 为棱的长方体的对角线,是解答本题的关键.

11. (5 分)已知抛物线 y =8x 的焦点与双曲线 率为() A. B.

2

﹣y =1 的一个焦点重合,则该双曲线的离心

2

C.

D.

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先求出抛物线 y =8x 的焦点坐标 F,从而得到双曲线 能求出 a ,进而能求出此双曲线的离心率. 2 解答: 解:抛物线 y =8x 的焦点坐标为 F(2,0) , ∵双曲线 ﹣y =1)的一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合,
2 2 2 2

﹣y =1 的一个焦点 F,由此

2

∴双曲线
2

﹣y =1 的一个焦点为 F(2,0) ,
2

2

∴a +1=4,解得 a =3, ∴此双曲线的离心率 e= .

故选:C. 点评: 本题考查双曲线的离心率的求法,涉及到抛物线、双曲线的简单性质,是中档题. 12. (5 分)已知函数 f(x)=ax ﹣3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取 值范围是() A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,﹣1) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 综合题;导数的概念及应用. 分析: 分类讨论: 当 a≥0 时, 容易判断出不符合题意; 当 a<0 时, 由于而 ( f 0) =1>0, x→+∞ 时,f(x)→﹣∞,可知:存在 x0>0,使得 f(x0)=0,要使满足条件 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则必须极小值 f( )>0,解出即可. 解答: 解:当 a=0 时,f(x)=﹣3x +1=0,解得 x=± 题意,应舍去; 当 a>0 时,令 f′(x)=3ax ﹣6x=3ax(x﹣ )=0,解得 x=0 或 x= >0,列表如下: x (﹣∞,0) 0 0 (0, ) ﹣ 0 ( ,+∞) +
2 2 3 2

,函数 f(x)有两个零点,不符合

f′(x)+

f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∵x→﹣∞,f(x)→﹣∞,而 f(0)=1>0, ∴存在 x<0,使得 f(x)=0,不符合条件:f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,应舍去. 当 a<0 时,f′(x)=3ax ﹣6x=3ax(x﹣ )=0,解得 x=0 或 x= <0,列表如下: x (﹣∞, ) ( ,0) 0 (0,+∞)
2

f′(x)﹣ 0 + 0 ﹣ f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 而 f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞, ∴存在 x0>0,使得 f(x0)=0, ∵f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0, ∴极小值 f( )>0,化为 a >4, ∵a<0,∴a<﹣2. 综上可知:a 的取值范围是(﹣∞,﹣2) . 故选:C. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法,考查了 推理能力和计算能力,属于难题. 二.填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知 ω>0,函数 取值范围是 ω≤ . 在 上单调递减,则 ω 的
2

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 根据题意, 得函数的周期 T= 减区间满足: ≥π, 解得 ω≤2. 又因为 (k∈Z) ,而题中 ∈( 的 ,

) .由此建立不等关系,解之即得实数 ω 的取值范围. 解答: 解:∵x∈ ∴ ∵函数 ∴周期 T= ≥π,解得 ω≤2 ∈( , 在 ,ω>0, ) 上单调递减,



的减区间满足:

,k∈Z

∴取 k=0,得

,解之得

ω≤

故答案为:

ω≤

点评: 本题给出函数 y=Asin(ωx+φ)的一个单调区间,求 ω 的取值范围,着重考查了正弦 函数的单调性和三角函数的图象变换等知识,属于基础题. 14. (5 分)如图,输入正整数 m,n,满足 n≥m,则输出的 p= ;

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算并输出变量 P 的值,模拟程序的运行,用表格对程序运行过程中各变量的 值进行分析,不难得到输出结果. 解答: 解:第一次循环:k=1,p=1,p=n﹣m+1; 第二次循环:k=2,p=(n﹣m+1) (n﹣m+2) ; 第三次循环:k=3,p=(n﹣m+1) (n﹣m+2) (n﹣m+3) … 第 m 次循环:k=m,p=(n﹣m+1) (n﹣m+2) (n﹣m+3)…(n﹣1)n 此时结束循环,输出 p=(n﹣m+1) (n﹣m+2) (n﹣m+3)…(n﹣1)n=An m 故答案为:An . 点评: 本题考查了循环结构的程序框图、排列公式,考查了学生的视图能力以及观察、推 理的能力,要注意对第 m 次循环结果的归纳,这是本题的关键. 15. (5 分)若直线 y=kx+1 被圆 x +y ﹣2x﹣3=0 截得的弦最短,则实数 k 的值是 1. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题.
2 2 m

分析: 先判断直线过圆内的一个定点,再利用直线与圆的位置关系即垂径定理,判断直线 的斜率 解答: 解:直线 y=kx+1 过定点 M(0,1) ,圆 x +y ﹣2x﹣3=0 的圆心为(1,0) ,半径为 r=2,显然点 M 在圆内 2 2 若直线 y=kx+1 被圆 x +y ﹣2x﹣3=0 截得的弦最短,则圆心(1,0)与点 M(0,1)的连线 与直线 y=kx+1 垂直, 即 k× =﹣1,故 k=1
2 2

故答案为 1 点评: 本题主要考查了直线方程和圆的一般方程,直线与圆的位置关系,圆的几何性质及 应用,属基础题 16. (5 分)将全体正整数排成如图的一个三角形数阵,按照此排列规律,第 10 行从左向右的 第 5 个数为 50.

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 先找到数的分布规律,求出第 n﹣1 行结束的时候一共出现的数的个数,再求第 n 行 从左向右的第 5 个数,代入 n=10 可得. 解答: 解:由排列的规律可得,第 n﹣1 行结束的时候共排了 1+2+3+…+(n﹣1) = = 个数, +5,

∴第 n 行从左向右的第 5 个数为

把 n=10 代入可得第 10 行从左向右的第 5 个数为 50, 故答案为:50. 点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的 相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 5 小题,共 70 分) 17. (12 分)从某批产品中,有放回地抽取产品两次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A:“取 出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P(A)=0.96. (Ⅰ)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p; (Ⅱ)若该批产品共 20 件,从中任意抽取 2 件,X 表示取出的 2 件产品中二等品的件数,求 X 的分布列与期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)设该批产品中任取 1 件是二等品为事件 B,根据事件 A 的概率求得事件 B 的 概率即可.

(Ⅱ)利用超几何分布求得随机变量的概率,并求得 X 的分布列. 解答: 解: (Ⅰ)∵事件 A:“取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”,设事件 B:“该批产 品中任取 1 件是二等品” 2 ∴P(B)=1﹣p =0.96 求得 p=0.2. (Ⅱ)∵该批产品共 20 件,由(Ⅰ)知其二等品有 20×0.2=4 件, 显然 X=0,1,2.故 所以 X 的分布列为 X 0 1 P ∴EX= = . . .

2

点评: 本题主要考查随机变量的概率分布列,以及超几何分布的概率求法,属于中档题型. 18. (12 分)已知数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,且 a1≠a2,当 n∈N+时,恒有 Sn=pnan(p 为常 数) . (Ⅰ)求常数 p 的值; (Ⅱ)当 a2=2 时,求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< .

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 n=1 时,a1=S1,可得 p=1 或 a1=0,舍去 p=1,通过 n=2,求得 p; (Ⅱ)通过当 n=1 时,a1=S1,n>1 时,an=Sn﹣Sn﹣1,化简整理,即可得到通项; (Ⅲ)化简 bn,并由放缩法,结合裂项相消求和,即可得证. 解答: 解: (Ⅰ)当 n=1 时,a1=S1,∴a1=pa1,?p=1 或 a1=0, 当 p=1 时,Sn=nan 则有 S2=2a2?a1+a2=2a2?a1=a2 与已知矛盾, ∴p≠1,只有 a1=0. 当 n=2 时,由 S2=2pa2?a1+a2=2pa2,∵a1=0 又 a1≠a2∴a2≠0 ∴ ; , ,

(Ⅱ)∵a2=2, 当 n>2 时,









当 n=1 时,a1=2×1﹣2=0 也适合. ∴an=2n﹣2. (Ⅲ)证明: 当 n=1,2 时,显然成立, 当 n≥3 时有 . ,

点评: 本题考查数列的通项和求和的关系,同时考查不等式的证明方法:放缩法,及裂项 相消求和,考查运算能力,属于中档题. 19. (12 分)四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC⊥底面 ABCD,且 ∠ABC=45°AB=2,BC=2 ,SA=SB= . (1)求证:SA⊥BC; (2)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)过 S 作 SO⊥BC 于 0,连 OA,易得 SO⊥底面 ABCD,OA⊥OB,以 O 为原点, OA 为 x 轴, OB 为 y 轴,OS 为 z 轴,建立空间直角坐标系 O﹣xyz,分别求出 SA 与 BC 的 方向向量,代入向量数量积公式,求出其数量积为 0,即可得到 SA⊥BC (2)求出直线 SD 的方向向量,及平面 SAB 的法向量,代入向量夹角公式,即可求出直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值. 解答: 证明: (1)由侧面 SBC⊥底面 ABCD,交线 BC,过 S 作 SO⊥BC 于 0,连 OA,得 SO⊥底面 ABCD. (2 分) ∵SA=SB, ∴Rt△ SOA≌Rt△ SOB,得 OA=OB,又∠ABC=45°, 故△ AOB 为等腰直角三角形,OA⊥OB. (4 分) 如图,以 O 为原点,OA 为 x 轴,OB 为 y 轴,OS 为 z 轴,建立空间直角坐标系 O﹣xyz, 则 则 ∴ , 故 SA⊥BC. (7 分) (6 分) ,

解: (2) 设 n=(x,y,z)为平面 SAB 的一个法向量, 由 取 x=l,得 (10 分) 而 , 设直线,SD 与平面 SAB 所成的角为 θ, 则

故直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值为

(14 分)

点评: 本题考查的知识是直线与平面所成的解,直线与直线垂直的判定,其中建立适当的 空间坐标系,将空间线线及线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键. 20. (12 分)已知定点 C(﹣1,0)及椭圆 x +3y =5,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两 点. (Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标是 (Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 M,使 说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;直线的一般式方程. 专题: 综合题;压轴题;开放型;转化思想. 分析: (1)根据题意,设出直线 AB 的方程,将直线方程代入椭圆,用设而不求韦达定理 方法表示出中点坐标,此时代入已知 AB 中点的横坐标即可求出直线 AB 的方程. (2)假设存在点 M,使 为常数.分别分当直线 AB 与 x 轴不垂直时以及当直线 AB 与 ,求直线 AB 的方程; 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请
2 2

x 轴垂直时求出点 M 的坐标.最后综合两种情况得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1) , 2 2 2 2 2 2 将 y=k(x+1)代入 x +3y =5,消去 y 整理得(3k +1)x +6k x+3k ﹣5=0.

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

由线段 AB 中点的横坐标是

,得



解得

,适合(1) . ,或 .

所以直线 AB 的方程为

(Ⅱ)解:假设在 x 轴上存在点 M(m,0) ,使 ①当直线 AB 与 x 轴不垂直时,由(Ⅰ)知 所以

为常数.

=(k +1)x1x2+(k ﹣m) (x1+x2)+k +m 将(3)代入,整理得

2

2

2

2

=

注意到

是与 k 无关的常数,从而有

,此时 ,

②当直线 AB 与 x 轴垂直时, 此时点 A, B 的坐标分别为 当 时,亦有 ,使 为常数.

综上,在 x 轴上存在定点

点评: 本题考查直线的一般方程以及直线与圆锥曲线的关系求法.通过运用设而不求韦达 定理方法,以及向量垂直关系的利用求解.考查对知识的综合运用,属于中档题. 21. (12 分) (Ⅰ)已知正数 a1、a2 满足 a1+a2=1,求证:a1log2a1+a2log2a2≥﹣1; (Ⅱ)若正数 a1、a2、a3、a4 满足 a1+a2+a3+a4=1,求证:a1log2a1+a2log2a2+a3log2a3+a4log2a4≥ ﹣2. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;对数的运算性质;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用.

分析: (Ⅰ)先求函数 f(x)=xlog2x+(1﹣x)log2(1﹣x) (x∈(0,1) )的最小值.得出 a1,a2 的大小关系,即可证明. (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论可推知: ,整理式子,利用此式即可

得到证明. 解答: 解: (Ⅰ)证明:先求函数 f(x)=xlog2x+(1﹣x)log2(1﹣x) (x∈(0,1) )的最 小值 ∵f'(x)=(xlog2x)'+[(1﹣x)log2(1﹣x)]'= ﹣log2(1﹣x)于是 当 0< 当 所以 , 是减函数, 是增函数, =log2x

时,f'(x)=log2x﹣log2(1﹣x)<0,f(x)在区间 时,f'(x)=log2x﹣log2(1﹣x)>0,f(x)在区间 时取得最小值, ,∴f(x)≥﹣1

∵a1>0,a2>0,a1+a2=1,∴a2=1﹣a1,由①得 ∴a1log2a1+a2log2a=a1log2a1+(1﹣a1)log2(1﹣a2)≥﹣1 (Ⅱ)证明:∵a1+a2+a3+a4=1,设 a1+a2=1﹣(a3+a4)=x 则 ,由(Ⅰ)的结论可得: ?a1log2a1+a2log2a2﹣

(a1+a2)log2x≥﹣x?a1log2a1+a2log2a2≥﹣x+xlog2x…① 同理∵a2+a3=1﹣x 有:a3log2a3+a4log2a4≥﹣(1﹣x)+(1﹣x)log2(1﹣x)…② ①+②得:a1log2a1+a2log2a2+a3log2a3+a4log2a4≥﹣1+xlog2x+(1﹣x)log2(1﹣x) 由于 f(x)=xlog2x+(1﹣x)log2x≥﹣1 ∴a1log2a1+a2log2a2+a3log2a3+a4log2a4≥﹣2 点评: 本题主要考查导数在证明不等式中的应用,属于中档题型,2015 届高考中时有涉及. 四、选做题请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,⊙O 和⊙O′相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长交⊙O 于点 E.证明: (Ⅰ)AC?BD=AD?AB; (Ⅱ)AC=AE.

考点: 与圆有关的比例线段;相似三角形的判定;相似三角形的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ)先由 AC 与⊙O′相切于 A,得∠CAB=∠ADB,同理得到∠ACB=∠DAB,即 可得到△ ACB∽△DAB,进而得到结论; (Ⅱ)由 AD 与⊙O 相切于 A,得∠AED=∠BDA,再结合∠ADE=∠BDA,得到 △ EAD∽△ABD,最后结合第一问的结论即可得到 AC=AE 成立. 解答: 证明: (Ⅰ)由 AC 与⊙O′相切于 A, 得∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB, 所以△ ACB∽△DAB, 从而 ,

即 AC?BD=AD?AB. (Ⅱ)由 AD 与⊙O 相切于 A, 得∠AED=∠BAD, 又∠ADE=∠BDA, 得△ EAD∽△ABD, 从而 ,即 AE?BD=AD?AB.

结合(Ⅰ)的结论,AC=AE.

点评: 本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用.属于基 础题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.已知椭圆 C: + =1,直线 l: + =1.

(I)以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求椭圆 C 与直线 l 的极坐标方程; 2 (Ⅱ) 已知 P 是 l 上一动点, 射线 OP 交椭圆 C 于点 R, 又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|?|OP|=|OR| . 当 点 P 在 l 上移动时,求点 Q 在直角坐标系下的轨迹方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;坐标系和参数方程. 分析: (I)将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 分别代入椭圆方程和直线方程,化简整理即可得到极坐标 方程; (II)设 Q(ρ,θ) ,由|OQ|?|OP|=|OR| 结合(Ⅰ)即可得到所求直角坐标方程. 解答: 解: (I)椭圆 C: + =1,直线 l: + =1,
2

将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 分别代入上式,化简可得, C: (II)设 Q(ρ,θ) , 由|OQ|?|OP|=|OR|
2

,l:



结合(Ⅰ)可得,ρ? 由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得

=



2x +3y ﹣4x﹣6y=0. 点评: 本题考查极坐标和直角坐标的互化,考查运算求解的能力,属于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5| (Ⅰ)证明:﹣3≤f(x)≤3; (Ⅱ)求不等式 f(x)≥x ﹣8x+15 的解集. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论.
2

2

2

分析: (Ⅰ)分 x≤2、2<x<5、x≥5,化简 f(x)=

,然后即可证明

﹣3≤f(x)≤3 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知当 x≤2 时,当 2<x<5 时,当 x≥5 时,分别求出 f(x)≥x ﹣8x+15 的解 集.

解答: 解: (Ⅰ)f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|=

当 2<x<5 时,﹣3<2x﹣7<3, 所以,﹣3≤f(x)≤3 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 2 当 x≤2 时,f(x)≥x ﹣8x+15 的解集为空集; 2 当 2<x<5 时,f(x)≥x ﹣8x+15 的解集为{x|5﹣ ≤x<5} 2 当 x≥5 时,f(x)≥x ﹣8x+15 的解集为{x|5≤x≤6} 2 综上:不等式 f(x)≥x ﹣8x+15 的解集:{x|5﹣ ≤x≤6} 点评: 本题是中档题,考查绝对值不等式的求法,考查分类讨论思想的应用,考查计算能 力,常考题型.


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