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直线与椭圆的弦长公式


直线和椭圆的位置关系 (2)
江苏省射阳中等专业学校 王茜

回顾:直线与椭圆的位置关系

种类:

相离(没有交点 ) 相切(一个交点) 相交(两个交点)

直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法

? Ax ? By ? C ? 0 ? 2 由方程组: ?

x 2 y ? 2 ? 2 ?1 b ?a

消去y

mx2+nx+p=0(m≠ 0) = n2-4mp
>0 =0 <0
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点

通法
相交 相切 相离

练习
x y 当m为何值时,直线y=x+m与椭圆 + =1相交? 16 9 相切?相离?
2 2

教学目标
通过本节课的教学,要求掌握直线和 椭圆相交的弦长公式,以及能够用点差法 解决弦中点问题。

知识点1:弦长问题
x2 y 2 若直线 l : y ? kx ? m与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 a b 交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )则|AB|叫做弦长。

弦长公式:

| AB |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2

2

| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | 1 | AB |? 1 ? 2 k 1 ( y1 ? y2 ) ? 1 ? 2 | y1 ? y2 | k
2

例1:已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A,B两点,求弦AB之长.

的右焦点,

方法与过程:
(1)联立方程组; (2)消去其中一个未 知数,得到二元一 次方程; (3)韦达定理; (4)弦长公式.

x2 变式1:已知椭圆 ? y 2 ? 1, 过椭圆右焦点的直线l交 4 8 椭圆于A, B两点,且 AB = ,求直线l方程。 5

练习
已知椭圆ax ? by ? 1于直线x ? y ? 1 ? 0交于A, B两点,
2 2

且 AB ? 2 2,若AB的中点M与椭圆中心连线的斜率 2 为 ,求a, b的值。 2

知识点2:弦中点问题
例 :已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程. 解法一:

韦达定理→中点坐标→斜率

例 :已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.
解后反思

中点弦问题 求解关键在 于充分利用 “中点”这 一条件,灵 活运用中点 坐标公式及 韦达定理

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造 出中点坐标和斜率.

练习
x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分, 如果椭圆被 36 9

求这条弦所在直线方程。

小结
1、弦长的计算方法:

弦长公式:
2 |AB|= 1 ? k 2 · (x1 ? x2) ? 4 x1 x2

=

1 1? 2 · (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 k

(适用于任何曲线)

2、弦中点问题的两种处理方法: (1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; (2)点差法:设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的 斜率。

课后作业
x2 2 ? 1、已知椭圆 +y =1,过左焦点F作倾斜角为 的直线 9 6 交椭圆于A,B两点,求弦AB的长 x2 2 2、已知椭圆 +y =1及点( B 0, ? 2),过椭圆的左焦 2 点F1与B的直线交椭圆于C、D两点,椭圆的右焦点为F2,
求?CDF2的面积。 x2 y 2 3、已知椭圆 + =1某一条弦AB被( P 1,1 )平分, 9 4 求直线AB所在的直线方程。

谢谢!


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