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【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件:6.4 数列的通项与求和


6.4 数列的通项与求和

第六章

6.4

数列的通项与求和 -2-

考纲要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.

第六章

6.4

数列的通项与求和 -3-


数列求和的常用方法 1.公式法 (1)直接用等差、等比数列的求和公式. (2)掌握一些常见的数列的前 n 项和. ①1+2+3+…+n=
(+1) 2

;

n2 ; ③2+4+6+…+2n= n(n+1) ;
②1+3+5+…+(2n-1)= ④12+22+32+…+n2= ⑤1 +2 +3 +…+n =
3 3 3 3

(+1)(2+1) 6 (+1) 2 2

;
2 (n+1) 4
2

=

.

第六章

6.4

数列的通项与求和 -4-

2.倒序相加法 如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一 常数,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法,如 n 项和公式即是用此法推导的. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之 积构成的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求,如 n 项和公式就是用此法推导的. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从 而求得其和.

等差

数列的前

等比

数列的前

第六章

6.4

数列的通项与求和 5 -5-

想一想你能举出几种常见的拆项公式吗? 答案:裂项相消法的核心是将一个式子拆成两个式子的差的形

式,常见的拆项公式有: (1)(+1) = ? +1; (2)(+) =
1 1 1 1 1 + 1 1 1 1

; ; ;

(3)(2-1)(2+1) = 2 (4)(+1)(+2) = 2 (5)
1 + + 1 1 1

1 1 2-1 2+1

1 1 ? (+1) (+1)(+2)

= ( + ? ).

第六章

6.4

数列的通项与求和 -6-

5.分组转化法 把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化成等差 数列或等比数列,然后由等差、等比数列求和公式求解. 6.并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 例如 Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.

第六章

6.4

数列的通项与求和 -7-

基础自测
1.
1 1 1 1 + + +…+ 等于( 1×4 4×7 7×10 (3-2)(3+1) 3+1

)
1 +1

A.

B.

3 3+1

C.1-

D.3-

1 3+1

关闭

Sn=

1 3

1-

1 4

+

1 1 4 7

-

+…+

1

3 -2 3 +1

-

1

= · 13

1

1 3 +1

=

3 +1

.故选 A.
关闭

A
解析 答案

第六章

6.4

数列的通项与求和 -8-

2 -1 321 2.已知数列{an}的通项公式是 an= ,其前 n 项和 Sn= ,则项数 n 等于( 2 64

)

A.13

B.10

C.9

D.6

关闭

∵ an=

2 -1 2

=1- ,
2

1

∴ Sn=n1

1 2

+ 2 +…+
2 1

1

1 2

=n-1+ .而
2

1

321 64

=5+ ,
64

1

关闭

∴ n-1+ =5+ .∴ n=6. 2 64 D
解析

关闭

答案

第六章

6.4

数列的通项与求和 -9-

3.数列{(-1)n(2n-1)}的前 2 016 项和 S2 016 等于( A.-2 016 B.2 016 C.-2 015

) D.2 015

关闭

S2 016=-1+3-5+7+…-(2×2 015-1)+(2×2 016-1)=2 + 2 + … + 2=2 016.
1 008 个 2 相加

故选 B B.
解析

关闭

答案

第六章

6.4

数列的通项与求和 -10-

4.(2013 辽宁高考)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x2-5x+4=0 的两个根,则 S6= .

关闭

因为 x2-5x+4=0 的两根为 1 和 4,又数列{an}是递增数列, 所以 a1=1,a3=4,所以 q=2.

关闭

63 所以 S = 6

1·(1-26 ) 1-2

=63.
解析 答案

第六章

6.4

数列的通项与求和 -11-

5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 an=n· 2n,则 Sn=

.

关闭

∵ Sn=2+2·22+3·23+…+n·2n,① ∴ 2Sn=22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1.② ①-②,得 -Sn=2+2 +2 +…+2 -n·2 + 2.1)· (n2
n+1
2 3 n n+1

=

2(1-2 ) 1 -2

-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,∴ Sn=(n-1)·2n+1
关闭

+2
解析 答案

第六章

6.4

数列的通项与求和 -12-

考点一 分组转化法求和
【例 1】 已知函数 f(x)=2x-3x-1,点(n,an)在 f(x)的图象上,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求使 an<0 的 n 的最大值; (2)求 Sn.
关闭

(1)依题意 an=2n-3n-1,∴ an<0,即 2n-3n-1<0.函数 f(x)=2x-3x-1 在[1,2]上为 减函数,在[3,+∞)上为增函数.当 n=3 时,23-9-1=-2<0,当 n=4 时,24-12-1=3>0,∴ 2n-3n-1<0 中 n 的最大值为 3. (2)Sn=a1+a2+…+an=(2+2 +…+2 )-3(1+2+3+…+n)-n= n=2n+1 (3 +5) 2
2 n

2(1-2 ) 1 -2

-3·

( +1) 2

-

-2.
答案

考点一

考点二

考点三

第六章

6.4

数列的通项与求和 -13-

方法提炼 1.数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形, 转化为等差数列或等比数列或可求数列的前 n 项和的数列求和. 2.常见类型及方法 (1)an=kn+b,利用等差数列前 n 项和公式直接求解; (2)an=a·qn-1,利用等比数列前 n 项和公式直接求解; (3)an=bn± cn,数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,采用分组求和法求 {an}的前 n 项和.

考点一

考点二

考点三

第六章

6.4

数列的通项与求和 -14-

举一反三 1

3 9 25 65 ·2 +1 求和:(1)Sn= + + + +…+ ; 2 4 8 16 2 1 2 +

(2)Sn=

+

2

1 2 + 2 +…+





1 2 + .

考点一

考点二

考点三

第六章

6.4

数列的通项与求和 -15-

解:(1)由于 an= ∴ Sn= 1 +
1 2 1 1 21 1 2

·2 +1 2 1 22

=n+ ,
2

1

+ 2+ =
1 2

+ 3+
1 1 1- 2 2 1 12

1 23

+…+ + ?
1 2

1 2

=(1+2+3+…+n)+

1 2

+

2 + 3 +…+

( +1) 2

2

+

=

( +1) 2

+1.
2

(2)当 x=± 1 时,Sn=4n.当 x≠± 1 时, Sn= + 4 + 2 +
1 4 1 4 1 2

+ +

2

1 2

2

+…+ +
1



1

= 2 + 2 +
1 2

1 2

+

+…+ 2 + 2 +
2 ( 2 -1) 2 -1

+…+

=

+

2 -2 (1- -2 ) 1- -2

=(x2+x4+…+x2n)+2n+
( 2 -1)( 2 +2 +1) 2 ( 2 -1)

+

+2n=

+2n.

4, = ±1,
2 ( 2 -1)

∴ Sn=

( 2 -1)( 2 +2 +1)

+ 2n(x ≠ ±1).

考点一

考点二

考点三

第六章

6.4

数列的通项与求和 -16-

考点二 裂项相消法求和
【例 2】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,….
∴ 又
+1

(1)由 Sn=n2an-n(n-1) 知,当 n≥2 时,Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1),即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1), +1

1 2

关闭

(1)证明数列
1 -1 bn(2)设 n=

Sn-



S =1 对 n≥2 成立.
3 +3
+1



是等差数列,并求 Sn;
5 12

2,求证:b1+b2+…+bn< .

1+1 1

S1=1,∴
2

是首项为 1,公差为 1 的等差数列.∴

+1

Sn=1+(n-1)·1,

∴ Sn=

+1

.


(2)bn=

3 +3 2

=

1 ( +1)( +3) 1 1 2 2 1 4

=
1 3

1 1 5

1

2 +1 +3 1

-

1

,
1 +2

∴ b1+b2+…+bn=
5 12

? + ? +…+ ?

+

1 +1

?

1 +3

=

1 5

2 6 +2 +3

-

1

-

1

<

.
答案 考点一 考点二 考点三

第六章

6.4

数列的通项与求和 -17-

方法提炼 1.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最 后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.将通项裂项后,有时候需要调 整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等. 2.一般情况如下,若{an}是等差数列,则
1 1 1 2 +2 1 +1 1 1 1 +1 1 +2

=

,

=

.此外根式在分母上时可考虑利用分母有理化相消求和.

考点一

考点二

考点三

第六章

6.4

数列的通项与求和 -18-

举一反三 2 已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和 S4=14,且
关闭 a1,a3,a7 成等比数列. 41 + 6d = 14, (1)设公差为 d.由已知得 (1)求数列{an}的通项公式;(1 + 2d)2 = 1 (1 + 6d), 联立解得 d=1 或 d= 1 0(舍去), (2)设 Tn 为数列 的前 n 项和,若 Tn≤λan+1 对一切 n∈N*恒成立, ∴ a1=2,故 an=n+1. +1

(2)λ 的最小值 = . = ? ,∴ Tn= ? + ? +…+ ? = 求实数 +1 ( +1)( +2) +1 +2 2 3 3 4 +1 +2
1 2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

?

1 +2

=

2( +2)

.


∵ Tn≤λan+1,∴
1 16

2( +2) 1

≤λ(n+2).∴ λ≥

2( +2)

2 .又

2( +2 )2

=

1 2 + +4
4



1 2(4+4)

=

.∴ λ 的最小值为 .
16

答案 考点一 考点二 考点三

第六章

6.4

数列的通项与求和 -19-

考点三

错位相减法求和

【例 3】 (2013 山东高考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn+ cn=b2n(n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Rn.
+1 =λ(λ 2

为常数),令

考点一

考点二

考点三

第六章

6.4

数列的通项与求和 -20-

解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由 S4=4S2,a2n=2an+1 得 41 + 6d = 81 + 4d, 1 + (2n-1)d = 21 + 2(n-1)d + 1. 解得 a1=1,d=2.因此 an=2n-1,n∈N*.

考点一

考点二

考点三

第六章

6.4

数列的通项与求和 -21-

(2)由题意知:Tn=λ故 cn=b2n=
2 -2

2

,所以 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1= -1
1 -1 4 1 1 4 1 3 4



2

+ -1



-1 2 -2

=

-2 2 -1

.

2

=(n-1) 2 -1
1 0 4 1 2 4 3 4

,n∈N*.
1 2 4

所以 Rn=0×
1 4

+1×

+2×

+3×
4

1 3

Rn=0×

1 1 4

+1×

+2×
1 1 4 1 4

+…+(n-2)×
1 2 4

4 1 -1

+…+(n-1)×
1 4

1 -1 4

,则
1 1 4 4 1 14

+(n-1)×

,
1 4

两式相减得 Rn= 1)× Rn=
1 9 1 4

+

+

1 3 4 1 9

+…+
3 +1 4 -1

1 -1 4

-(n-1)×

=

-(n-

= ?
3 3 +1 4 -1

1

1+3 3

,整理得 Rn=

4-

.所以数列{cn}的前 n 项和

4-

.

考点一

考点二

考点三

第六章

6.4

数列的通项与求和 -22-

方法提炼 1.用错位相减法求和时,应注意: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便 下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式. 2.利用错位相减法求和时,转化为等比数列求和.若公比是个参数(字 母),则应先对参数加以讨论,一般情况下分等于 1 和不等于 1 两种情况分别 求和.

考点一

考点二

考点三

第六章

6.4

数列的通项与求和 -23-

举一反三 3 已知数列{an}是首项 a1=1 的等比数列,且 an>0,{bn}是首
项为 1 的等差数列,又 a5+b3=21,a3+b5=13. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列
2

的前 n 项和 Sn.

考点一

考点二

考点三

第六章

6.4

数列的通项与求和 -24-

解:(1)设数列{an}的公比为 q,{bn}的公差为 d,则由已知条件得 = 2, 4 + 1 + 2d = 21, 解之,得 2 + 1 + 4d = 13, = 2 或 = -2(舍去). ∴ an=2n-1,bn=1+(n-1)×2=2n-1.

考点一

考点二

考点三

第六章

6.4

数列的通项与求和 -25-

(2)由(1)知 ∴ Sn= +
2 1 2 1 1 3 2

2 5

=

2 -1 2

. +
2 -1 2

+ 2
3

2

+…+ 3

2 -3 2 -1

.①

∴ Sn= 2 + 3 +…+
2 2 1 2 1 2

2 -3 2 2 2

+

2 -1 2 +1 2 2

.②
2 2

①-②,得 Sn= +
2 -1 2 +1

2 +

3 +…+

?

2 -1 2 +1

= +
2 2 -1 2 +1

1

1 2

+

1 2

2 +…+

1 2 -1

?

= +
2

1

1 1 -1 12 2 1 12

?

2 -1 2 +1

= +12

1

1 -1 2

?

.

∴ Sn=3-

2 +3 2

.
考点二 考点三

考点一

第六章

6.4

数列的通项与求和 -261 2 3 4

1.在各项均为正数的等比数列{an}中,a3a5=4,则数列{log2an}的前 7 项和等 于( A.7 ) B.8 C.27 D.28

关闭

A

2 在各项均为正数的等比数列{an}中,由 a3a5=4,得4 =4,a4=2. 设 bn=log2an,则数列{bn}是等差数列,且 b4=log2a4=1. 7( + ) 所以{bn}的前 7 项和 S7= 1 7 =7b4=7. 2

关闭

解析

答案

第六章

6.4

数列的通项与求和 -271 2 3 4
1

2.已知等比数列{an}的首项为 1,若 4a1,2a2,a3 成等差数列,则数列 项和为( A.
31 16

的前 5

) B.2 C.
33 16

D.

16 33

关闭

设数列{an}的公比为 q,则有 4+q2=2×2q,解得 q=2,所以 an=2n-1. 所以 S5= = . 16 A 故选 A.
解析
11 5 2 1 12

1



=

1 2 -1

,

31

关闭

答案

第六章

6.4

数列的通项与求和 -281 2 3 4

3.已知在数列{an}中,a1=3,点(an,an+1)在直线 y=x+2 上,则数列{an}的通项公 式为 .

关闭

∵点(an,an+1)在直线 y=x+2 上,∴an+1=an+2,即 an+1-an=2. ∴数列{an}是以 3 为首项,2 为公差的等差数列,∴an=3+2(n-1)=2n+1.
关闭

an=2n+1
解析 答案

第六章

6.4

数列的通项与求和 -291 2 3 4

4.(2013 浙江高考)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an; 2 由题意得 5a =(2a2+2) (2)若 (1) d< 0,求|a1|+|a |+…+|a 3·a 2|+|a 31 n|. ,
关闭

即 d2-3d-4=0.故 d=-1 或 d=4. 所以 an=-n+11,n∈N*或 an=4n+6,n∈N*. (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.因为 d<0,由(1)得 d=-1,an=-n+11,则当
1 2 21 2

n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=- n2+ n.当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11= n2- n+110.
2 2 1 21

综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=

2 2 1 2 21 - n + 110,n 2 2

- 2 +

1

21

n,n ≤ 11, ≥ 12.
答案


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