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广东省广州市执信中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


2015-2016 学年广东省广州执信中学高二下学期期中考试数学(理)试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密 封线内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题

卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目指 定区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整. 第一部分选择题(共 50 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知 U ? R,函数 y ? log 2 ( 2 ? x ) 的定义域为 M , N ? { x | x2 ? 2 x ? 0} ,则下列结论正确的是( A. M ? ( CU N ) ? ? B. M ? N ? N C. M ? N ? U D. M ? ( CU N ) 2.设复数 z 满足(1+i) z = 2,其中 i 为虚数单位,则 z=( ) . A.1-i B.1+i C.2+2i D.2-2i 3.若 ) .

1 1 ? ? 0 ,则下列不等式正确的是( a b
C. a ? b

) . D.

A. a ? b ? ab B. | a |?| b |

? 4.已知函数 f(x)=sin(ω x+ )-1(ω >0)的导数 f?(x)的最大值为 3,则 f(x)的图象的一条对称轴的方 6 程是 ( ) . ? ? ? ? A.x= B.x= C.x= D.x= 9 6 3 2 5.今年是我校建校 95 周年,11 月 20 日举行庆祝活动,学校要从朱老师、周老师、肖老师、左老师、徐 老师五名老师中选派四人分别负 责纪念品派发、校园巡查、接待组织、会场组织等四项不同工作,若其中 朱老师和周老 师只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( ) . A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.48 种 1 }(n ? N *) 的前 n 项和为( 6.已知函数 f ( x) ? x a ? bx 的导数为 f ?( x) ? 2 x ? 1,则数列 { ). f ( n) A.

b a ? ?2 a b

n ?1 n

B.

n ?1 n
C.24

C.

n?2 n ?1
D.18 ) .

D.

n n ?1

7.某一简单几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( A. 48 B. 12 2

) .

8.执行如右图所示的程序框图,输出的 z 值为( A.21 B.28 C.36 D.45

x2 y 2 9.已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b
的右焦点为 F ,上顶点为 A ,若
-1-

与 AF 平行且在 y 轴上的截距为

3 ? 2 的直线 l 恰好与圆

C2 : x2 ? ( y ? 3)2 ? 1相切,
则求椭圆 C1 的离心率为( ) .

3 2 2 C. 2
A.

B. D.

1 2

5 2

10.给出下列函数:① f ( x ) ? x cos x ; ② f ( x ) ? e x ? x ;③ f ( x ) ? ln( 1 ? x2 ? x ) .
?a ? 0 ,使得 ?
a ?a

f ( x )dx ? 0 的函数是(
B.①③ D.①②③



A.①② C.②③

11 .下列图象中,有一个是函数 f ( x ) ?

f (?1) 等于(

1 3 x ? ax2 ? ( a2 ? 1) x ? 1( a? R, a ? 0)的导函数 f ?( x ) 的图象,则 3

).

① 1 A. 3 1 B.- 3

② 7 C. 3



④ 1 5 D.- 或 3 3

12.设直线 y ? t 与曲线 y ? x( x ? 3 )2 的三个交点分别为 A( a, t ) 、 B( b, t ) 、 C ( c, t ) ,且 a ? b ? c .现给 出如下结论: ① t 的取值范围是(0,4);② a 2 ? b 2 ? c 2 为定值;③ abc 的取值范围是(0,4). 其中正确结论的个数为( ) . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答卷的相应位置. 13.

?

2

?2

( x 2 ? 3 sin x)dx ?
.

?x ? y ? 3 ? 0 ? 14.若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?y ? 0 ?
15.已知圆 ( x ? 1)
2

? y 2 ? 4 与抛物线 y 2 ? mx(m ? 0) 的准线交于 A、B 两点,且 | AB |? 2 3 ,则 m 的值
-2-

为__________。 16.在△OAB 中 OC ? OA , OD ? OB ,

????

? 1 ??? 4

????

AD 与 BC 交于点 M,设 OA ? a , OB ? b ,

??? ?

?

??? ?

? 1 ??? 2

?

???? ? ? ? ? ? ???? ? OM ? ma ? nb (m, n ? R) a b OM 以 , 为基底表示 .设
则 m ? __________, n ? __________。 三、解答题:请在答卷的相应位置作答 17. (本小题满分 10 分)

? ?? ? ? 已知 A、B、C 是△ABC 的内角,向量 m ? (?1, 3) , n ? ? cos A ? 1,sin A? ,且 m ? n .
(1)求角 A; (2)若 1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan B . cos 2 B

18. (本小题满分 10 分) 在一个不透明的箱子里装有 5 个形状完全相同的小球,球上分别标有数 字 1、2、3、4、5.甲先从箱子 中摸出一个小球,记下球上所标数字后,再将该小球放回箱子中摇匀,乙从该箱子中摸出一个小球. (1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同为平局) ,求甲获胜的概率; (2)若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于 6,则甲获胜,否则乙获胜.请问甲,乙两人谁获胜 的概率大?

19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , 侧 面 AA 1C1C ? 侧 面 ABB 1A 1 , AC ? AA 1 ?

2 AB ,

?AA1C1 ? 60? , AB ? AA1 , H 为棱 CC1 的中点, D 在棱 BB1 上, A1 D ? 面 AB1 H . (1)求证: D 为 BB1 的中点; (2)求二面角 C1 ? A1 D ? A 的余弦值.

20. (本小题满分 13 分) 函数 f ( x ) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? (1)求 f ( ) 的值; (2)数列 ?an ? 满足: an ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ?? ? f ( 数列 ?an ? 是等差数列吗?请给予证明; (3)令 bn ?

1 , 2

1 2

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) , n

4

4an ? 1 证明: 当 n ? 2 时, Tn ? Sn .

2 2 2 , Tn ? b12 ? b2 , S n ? 32 ? ? b3 ? ??? bn

16 n

21. (本小题满分 12 分)

-3-

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 的左、右两个焦点为 F1 , F2 ,离心率为 ,又抛物线 C2 : y 2 ? 4mx(m ? 0) 与 2 2 a b 椭圆 C1 有公共焦点 F2 (1,0) .
已知椭圆 C1 : (1)求椭圆和抛物线的方程; 值范围. 22.(本小题满分 13 分)

? 的取 (2)设直线 l 经过椭圆的左焦点 F 1 且与抛物线交于不同两点 P、Q 满足 F 1P ? ? FQ 1 ,求实数
2 2 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ln x ? ax ? 2 .

????

????

?

?

(1)当 a ? ?1 时,求 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,设函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 ,且函数 g ? x ? 有且仅有一个零点,若 e?2 ? x ? e ,

?

?

g ? x ? ? m ,求 m 的取值范围.
2015-2016 学年度第二学期 高二级理科数学期中考试答卷 O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 线??????????????????????O 成绩:

注意事项:1、本答卷为第二部分非选择题答题区. 考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区域 内的相应位置上答题,超出指定区域的答案无效. 2、如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要 求作答的答案无效. 题号 得分 一 二 17 18 19 20 21 22 总分

班级:_______________姓名:_______________学号:_______________

二.填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答卷的相应位置) 13. 14. 15. 16. ,

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 解:

-4-

18. (本小题满分 10 分) 解:

19. (本小题满分 12 分) 解:

-5-

___

????????????????????? 20. (本小题满分 12 分) 解:

21. (本小题满分 14 分) 解:

O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 线??????????????????????O

-6-

22. (本小题满分 12 分) 2015-2016 学年第二学期高二(理科)数学期中考试答案 解: 一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 A 5 C 6 D 7 C 8 C 9 C 10 B 11 B 12 D

1.B.分析: M ? (??,2) , N ? (0, 2) ,所以 N ? M ,故有 M ? N ? N . 2.A.分析 : z ? 3.D.分析:由

2 2(1 ? i) ? ?1? i . 1 ? i (1 ? i )(1 ? i )

1 1 b a ? ? 0 左右同时乘于 ab>0,可得 b<a<0,所以 ABC 都不对,D 中 ? 0, ? 0 利用基本 a b a b b a 不等式可得 ? ? 2 . a b
-7-

2 ? ? ? ? 4.A.解析:f?(x)=ω cos(ω x+ ),则 ω =3,则由 3x+ =2kπ + ,即 x= kπ + (k∈Z),由此可知 6 6 2 3 9 ? x= 为 f(x)的图象的一条对称轴. 9 2 5.C.分析:情况一,朱老师和周老师都被选中,则选派方案有 A2 ? A32 ? 12 种;情况二,朱老师和周老
1 1 3 师其中一人被选中,则选派方案有 C2 ? C2 ? A3 ? 24 种,所以选派方案共有 36 种.

6.D.分析:有导数可知 a=2,b=1,所以 f ( x) ? x 2 ? x ,则数列为 所以 Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?(

1 1 1 1 ? 2 ? ? , f ( n) n ? n n n ? 1

1 1 1 1 1 n . ? )?( ? ) ? 1? ? n ?1 n n n ?1 n ?1 n ?1 7.C.分析:几何体是一个侧放的长方体,变成分别为 2 2,2 2, 3 ,体积为 V ? (2 2) ? (2 2) ? 3 ? 24 0 1 8 1? 2 ???8 36 ? 2 ,所以 z=36. 8.C.分析: S ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
9.C.直线 l 的方程为 bx ? cy ? (3 ? 2)c ? 0 ,? 直线 l 与圆 C2 : x2 ? ( y ? 3)2 ? 1相切,

1 1 1 2

1 1 2 3

?d ?

3c ? 3c ? 2c b2 ? c 2

? 1, b2 ? c 2 , e ?
a ?a

2 . 2

10.B.分析:满足

?

f ( x )dx ? 0 说明函数 f(x)是奇函数,①③都是奇函数.
2 2 2

11 . B .解析:∵ f?(x) = x + 2ax + a - 1=(x + a) - 1 ,又 a≠0,∴ f′(x)的图象为第三个,所以 1 1 f?(0)=0,故 a=-1,f(-1)=- +a+1=- . 3 3 12 . D .分析: a 、 b 、 c 是方程 f(x)=t 的三个根,所以 x( x ? 3)2 ? t ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) ,化简可得
2 ,所以 a ? b ? c ? 6 , ab ? ac ? bc ? 9 , t ? abc , x3 ? 6 x2 ? 9 x ? t ? x3 ?( a ? b ? c )x ?( ab ? ac? bc ) x? abc ?c( 0 , 4 ) 又 f(x) 在 x=1 取 得 极 大 值 为 4 , 在 x=3 取 得 极 小 值 为 0 , 所 以 t ? a b ,

a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? 2(ab ? ac ? bc) ? 18 . 二、填空题 16 1 3 13. ; 14. 6 ;15. 8 ;16. , . 3 7 7 → → → → 16.解析:设OM=ma +nb(m,n∈R),则AM=OM-OA=(m-1)a+nb, → → → 1 1 AD=OD-OA= b-a=-a+ b, 2 2
1 3 , 7 7

m-1=-λ → → ? ? ∵A、M、D 三点共线,∴AM=λ AD,∴? 1 n= λ ? ? 2

,消去 λ 得 m+2n=1. ①

→ → → → → → 1 1 ? 1? 而CM=OM-OC=?m- ?a+nb,CB=OB-OC=b- a=- a+b, 4 4 ? 4? 1 1 → → ? ?m- =- μ 4 ∵C、M、B 三点共线,∴CM=μ CB,∴? 4 ?n=μ ?
? ?m+2n=1 由①②可得:? ?4m+n=1 ?

,消去 μ 即 4m+n=1. ②

1 ? ?m=7 ,解得? 3 ? ?n=7 …………………1 分
-8-

三、解答题

17.解: (1)∵ m ? n ,∴ (?1, 3) ? (cos A ?1,sin A) ? 0

?

?

即 3 sin A ? cos A ? 1 ? 0

…………………2 分 …………………4 分

? 2(sin A ?

5? ? ? ? ,∴ A ? ? ,即 A ? .…………………5 分 6 6 6 6 6 3 1 ? sin 2 B 1 ? 2sin B cos B ? ? ?3 , (2)由题知 …………………7 分 cos 2 B cos 2 B ? sin 2 B 2 2 整理得 sin B ? sin B cos B ? 2cos B ? 0 ? cos B ? 0 ,∴ tan 2 B ? tan B ? 2 ? 0 , …………………8 分 解得∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1 …………………9 分 2 2 当 tan B ? ?1 时, cos 2B ? cos B ? sin B ? 0 ,故舍去, ∴ tan B ? 2 …………………10 分 18.解:用 ( x, y ) ( x 表示甲摸到的数字, y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则
∵0 ? A ? ?,?

3 1 ? 1 ? cos A ? ) ? 1 ,故 sin( A ? ) ? 6 2 2 2

?

? A?

?

?

基本事件有:?1,1? 、?1, 2 ? 、?1,3? 、?1, 4 ? 、(1,5) 、? 2,1? 、? 2, 2 ? 、? 2,3? 、? 2, 4 ? 、( 2、 5) 、? 3,1? 、? 3, 2 ? 、

5) 、 ? 4,1? 、 ? 4, 2 ? 、 ? 4,3? 、 ? 4, 4 ? 、 (4,5) 、 (5,1) 、 (5,2) 、 (5,3) 、 (5,4) 、 (5,5) 共 ? 3,3? 、 ? 3, 4 ? 、 (3、
25 个; …………………2 分 (1).设: 甲获胜的的事件为 A, 则事件 A 包含的基本事件有:? 2,1? 、? 3,1? 、? 3, 2 ? 、? 4,1? 、? 4, 2 ? 、? 4,3? 、

(5,1) 、 (5,2) 、 (5,3) 、 (5,4) ,共有 10 个;…………………4 分 10 2 则 P ( A) ? ? .…………………6 分 25 5 (2).设:甲获胜的的事件为 B,乙获胜的的事件为 C. 事件 B 所包含的基本事件有: ?1,1? 、 ?1, 2 ? 、 ?1,3? 、

?1, 4 ? 、 ? 2,1? 、 ? 2, 2 ? 、 ? 2,3? 、 ? 3,1? 、 ? 3, 2 ? 、 ? 4,1? ,共有 10 个;
10 2 ? ,…………………8 分 25 5 3 所以 P (C ) ? 1 ? P ( B ) ? . …………………9 分 5
则 P (B) ? 则乙获胜的概率大. ……………………10 分 19.解: (向量法) (1)连接 AC1 ,因为 ? ACC1 为正三角形,H为棱 CC1 的中点, 所以 AH ? CC1 ,从而 AH ? AA1 ,又 面AAC 1 1C ? 面ABB 1A 1

面AAC 1 1C ? 面ABB 1A 1 ? AA 1 , AH ? 面AAC 1 1C 所以 AH ? 面ABB1 A 1
设 A 为原点,建立空间直角坐标系 A-xyz,如图所示 不妨设 AB ? 2 ,则 AA 1 ? 2, A 1 (0,2,0), B 1 ( 2,2,0) 设 D( 2, t,0) ,则 AB1 ? ( 2, 2,0), A 1D ? ( 2, t ? 2,0) 因为 A 1D ? 面AB 1H , AB 1 ? 面AB 1H ,所以 A 1 D ? AB 1

…………………2 分

????

???? ?

…………………4 分 …………………5 分

???? ???? ? 所以 AB1 ? A 1D ? 2 ? 2(t ? 2) ? 0 ,解得 t=1,
即 D( 2,1,0) ,所以 D 为 BB1 的中点.

???? ? ???? ? (2)由 C1 (0,1, 3) 可知, A 1D ? ( 2, ?1,0) , AC 1 1 ? (0, ?1, 3) , ? 设平面 C1 A1D 的法向量为 n ? ( x, y, z) , ? ???? ? ? ? ? ?n ? A1 D ? 0 ? 2x ? y ? 0 ? y ? 2x 由 ? ? ????? 可得 ? ,解得 ? ,……8 分 n ? A C ? 0 ? y ? 3 z ? 0 y ? 3 z ? ? ? ? ? ? 1 1 ? 令 x ? 3 ,则 n ? (3,3 2, 6) ,………9 分

…………………6 分 …………7 分

-9-

由(1)可知平面 AA1D 的一个法向量为 AH ? (0,0, 3) ,…10 分

????

? ???? ? ???? n ? AH 3 2 22 所以 cos ? n, AH ?? ? ???? ? ,………11 分 ? 11 | n || AH | 33 ? 3
所以二面角 C1 ? A1 D ? A 的余弦值为 (几何法) (1)设 AB ?

22 .…… …12 分 11

2a ,由 AC ? AA1 ? 2 AB ,所以 AC ? AA1 ? 2a ,……3 分

因为 A1 D ? 面 AB1 H , AB1 ? 面AB1H ,所以 A1D ? AB1 ,……4 分 从而 ?DA 1B 1 ? ?A 1B 1 A ? 90? ,所以 ? A 1DB 1 ?? AB 1A 1

DB1 A1 B1 ,故 DB1 ? a ,所以 D 为 BB1 的中点.…6 分 ? B1 A1 A1 A (2)连接 AC1 ,由 ?AA 1C1 为正三角形, 1C1 ? 60? 可得 ? AA
所以 取 AA1 中点 M,连接 C1M ,则 C1M ? AA1 ,………7 分 因为面 AA 1C1C ? 面 ABB 1A 1 , 面AAC 1 1C ? 面ABB 1A 1 ? AA 1

C1M ? 面AAC 1 1C ,所以 C1M ? 面ABB 1A 1,
作 MN ? A1 D 于 N,连接 C1 N ,则 C1 N ? A1 D 所以 ?MNC1 是二面角 C1 ? A1 D ? A 的平面角,………9 分 经计算得 C1M ? 3a , MN ? 所 以 cos ?MNC1 ?

6 33 a , C1 N ? a ,…………10 分 3 3

22 ,…………11 分 11 22 故二面角 C1 ? A1 D ? A 的余弦值为 .…………12 分 11 1 1 1 1 1 1 1 20.解: (1)因为 f ( ) ? f (1 ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? .所以 f ( ) ? .……2 分 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 (2)令 x ? ,得 f ( ) ? f (1 ? ) ? , n n 2 n 1 n ?1 1 ) ? .…………………………………………………………4 分 即 f( )? f( n n 2 1 n ?1 a n ? f (0) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) , n n
又 an

? f (1) ? f (

n ?1 1 ) ? ? ? f ( ) ? f (0) n n

两式相加:

1 n ?1 n ?1 2a n ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f (1) ? f (0)] ? ……7 分 n n 2
所以 an ?

n ?1 n ?1?1 n ?1 1 , n ? N ? ,又 a n ?1 ? a n ? ? ? . 4 4 4 4

故数列{an} 是等差数列.………………………………………………………………8 分 (3) bn

?

4 4a n ? 1

?

4 , 当n ? 2时 n
1 1 1 ? 2 ??? 2 ) 2 2 3 n
- 10 -

∴ Tn

2 2 2 ? 16 (1 ? ? b1 ? b2 ? ? ? bn

? 16(1 ?

1 1 1 ? ? ?? ? ) ………………………………10 分 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1)

1 1 1 1 1 ) ? ( ? ) ??? ( ? )] 2 2 3 n ?1 n 1 16 ? 16(2 ? ) ? 32 ? ? Sn , n n 所以 Tn ? Sn ……………………………………………………………………13 分 ? 16[1 ? (1 ?
数学归纳法证明如下: (1) n ? 2 时 T2 ? 16(1 ? (2)假设 n ? k 时 16(1 ?

1 5 16 ) ? 16 ? ? 20, S2 ? 32 ? ? 24, T2 ? S2 2 2 4 2

1 1 1 16 ? 2 ? ?? ? 2 ) ? 32 ? 2 2 3 k k , 1 1 1 1 16 16 16 16 16(1 ? 2 ? 2 ? ?? ? 2 ? ) ? 32 ? ? ? 32 ? ? 2 2 2 3 k (k ? 1) k (k ? 1) k (k ? 1)k

? 32 ?

即 n ? k ? 1 时不等式成立, 由(1)和(2)当 n ? 2 时证明: Tn ? Sn 21.解: (1)椭圆中 c ? 1, e ? 所以椭圆 方程为: 由抛物线中

16 16 16 16 ? ? ? 32 ? k k k ?1 k ?1

1 ,所以 a ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 3 ,…………………1 分 2
…………………2 分

x2 y 2 ? ?1 4 3

p ? 1 ,所以 p ? 2 , …………………3 分 2 2 故抛物线方程为: y ? 4 x 。 …………………4 分 (2)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , …………………5 分 ? y ? k ( x ? 1) 与抛物线方程联立得: ? 2 消去 x ,整理得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ………6 分 y ? 4 x ? ?k ? 0 因为直线和抛物线有两个交点,所以 ? ,解得 ?1 ? k ? 1 且 k ? 0 ……7 分 2 2 4 ?(2k ? 4) ? 4k ? 0 4 ? 2k 2 , x1 x2 ? 1 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? k2 ???? ???? ? x1 ? 1 ? ? ( x2 ? 1) 又F …………………8 分 1P ? ? FQ 1 ,所以 ? y ? ? y ? 1 2 2 2 又 y ? 4 x ,由此得 4x1 ? ? 4x2 ,即 x1 ? ? 2 x2 1 由 x1 x2 ? 1 ,解得 x1 ? ? , x2 ? …………………9 分

?

1 4 4 ? 2k 4 ? 2 ? 2 ,所以, ? ? ? 2 ? 2 。 …………………10 分 2 ? k k k 1 4 2 又因为 0 ? k ? 1 ,所以 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 , …………………11 分 ? k 解得 ? ? 0 且 ? ? 1 . …………………12 分 2 2 22 .解:(1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ( x ? 2 x)ln x ? x ? 2 ,定义域为 ? 0, ?? ? ,
又 x1 ? x2 ?
2

f ?( x) ? ? 2x ? 2? ln x ? ? x ? 2? ? 2x. …………………3 分

- 11 -

? f ?(1) ? ?3 ,又 f (1) ? 1, f ( x) 在 1, f ?1? 处的切线方程 3x ? y ? 4 ? 0. ……………5 分
2 2 (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 x ln x ? ax ? 2 ? x ? 2, 即 a ?

?

?

?

?

令 h( x ) ?

1 ? ( x ? 2) ? ln x , …………………7 分 x

1 ? ( x ? 2) ? ln x , x

则 h?( x) ? ?

2 ?x ? 2 ? , ? t ?( x ) ? 0 , t ( x ) 在 (0, ??) 上 是 减 函 数 , 又 x x ?t ?1? ? h? ? 1? ? 0 所以当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,当1 ? x 时, h? ? x ? ? 0 ,
令 t ( x) ? 1 ? x ? 2 ln x , t ?( x) ? ?1 ? , 所以 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减,?h ? x ?max ? h(1) ? 1.………8 分 因为 a ? 0 , 所以当函数 g ? x ? 有且仅有一个零点时, a ? 1 .
?2 2 2 当 a ? 1 , g ? x ? ? x ? 2 x ln x ? x ? x ,若 e ? x ? e, g ( x) ? m, 只需证明 g ( x)max ? m,

1 1 2 ? 2 ln x 1 ? x ? 2 ln x ? ? ? . …………………8 分 x2 x x2 x2

?

?

…………………10 分

g?( x) ? ? x ?1??3 ? 2ln x ? 令 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? e ,又? e ?2 ? x ? e , ,
? 函数 g ( x) 在 (e , e ) 上单调递增,在 (e ,1) 上单调递减,在 (1, e) 上单调递增,11 分
3 ? 1 ?3 2 又 g (e ) ? ? e ? 2e 2 , g (e) ? 2e ? 3e, 2 3 3 3 ? ? ? 1 ?3 3 2 2 2 ? g (e ) ? ? e ? 2e ? 2e ? 2e ? 2e(e ? ) ? g (e). 2 2 ? 3 2
?2 ? 3 2 ? 3 2

3 ? 2

即 g (e

?

3 2

) ? g (e) , g ( x) max ? g (e) ? 2e 2 ? 3e, ? m ? 2e 2 ? 3e. ………13 分

- 12 -


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