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2014高三数学一轮复习:1.2命题及其关系


[备考方向要明了] 考 什 么 1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则q” 形式的命题的逆命 题、否命题和逆否 命题,会分析四种 命题的相互关系. 3.理解必要条件、充 分条件与充要条件 的意义. 怎 么 考 1.对命题及其关系的考查主要有以下 两种方式: (1)考查简单命题的真假判断,其中结 合命题的四种形式、充要条件以及 复合命题、全称命题等组成的混合 选项问题是命题的重点,如2009年 高考T12. (2)考查命题的四种形式,以原命题 的否命题、逆否命题的形式为考 查重点.

怎 么 考 2.对充要条件的考查,主要从以下三个方面命题: (1)以其他知识模块内容为背景,考查充要条件的判断,多

以函数的性质、不等式的性质及其应用、解析几何中的
直线与圆、圆锥曲线的位置关系以及空间中的线面位置 关系等为主.

(2)以其他知识模块内容为背景,考查充要条件的探求,尤
其要注意逻辑联结词“非”与充要条件相结合的问题. (3)考查利用条件和结论之间的充要条件关系求解参数的取 值范围,如2008年高考T20第(1)问.

[归纳 知识整合] 1 .命题 能够 判断真假 的语句叫做命题.其中判断为真的 语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系:

(2)四种命题的真假关系:

①两个命题互为逆否命题,它们有 相同 的真假性;
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假 性 没有关系 . [探究] 1.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题 这4个命题中,真命题的个数可能有几个?

提示:由于原命题与逆否命题是等价命题;逆命题与
否命题是等价命题,所以真命题的个数可能为0,2,4.

3.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q ,那么称p是q的充分条件,同时称 q是p 的必要条件.

(2)如果

p?q,且q?p

,那么称p是q的充分必要

条件,简称为p是q的充要条件,记作p?q.

[探究] 2.“p是q的充分不必要条件”与“p的一个 充分不必要条件是q”两者的说法相同吗?

提示:两者说法不相同.“p的一个充分不必要条
件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”,显然这与 “p是q的充分不必要条件”是截然不同的. 3.命题“若p,则q”的逆命题为真,逆否命题为 假,则p是q的什么条件?

提示:逆命题为真,即q?p,逆否命题为假,即
p?/ q,故p是q的必要不充分条件.

[自测 牛刀小试]
1.(教材改编题)给出命题:“若x2+y2=0,则x=y=0”, 在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是 ________.

解析:逆命题为:若x=y=0,则x2+y2=0,是真命
题. 否命题为:若x2+y2≠0,则x≠0或y≠0,是真命题. 逆否命题为:若x≠0或y≠0,则x2+y2≠0,是真命题. 答案:3

1 2. (2013· 江苏东台期中)“x>1”是“x<1”的________条件(充 分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要). 1 1 解析:由“x>1”可推出“x<1”,但由“x<1”推不出

1 “x>1”,如 x=-1 时,x<1,但-1<1.

答案:充分不必要

3.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题 是 ________________________. 解析:原命题的否命题是既否定题设又否定结论,故

“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是:
若是“f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数”. 答案:若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数

π 4.(2012· 湖南高考)命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命 4 题是________________.
π 解析:命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是 4 π “若 tan α≠1,则 α≠ ”. 4 π 答案:若 tan α≠1,则 α≠ 4

1 5.(2012· 天津高考)设 x∈R,则“x> ”是“2x2+x-1>0” 2 的________条件.

解析:由不等式 2x2+x-1>0,即(x+1)(2x-1)>0,得 1 1 x> 或 x<-1,所以由 x> 可以得到不等式 2x2+x-1>0 2 2 1 1 成立, 但由 2x +x-1>0 不一定得到 x> , 所以“x> ” 2 2
2

是“2x2+x-1>0”的充分不必要条件.
答案:充分不必要

四种命题及其真假判断
[例1] 在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、 逆否命题)中,真命题的个数记为f(p),已知命题p:“若两条 直线l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0平行,则a1b2- a2b1=0”.那么f(p)等于________.

[自主解答] 原命题p显然是真命题,故其逆否命题也是
真命题.而其逆命题是:若a1b2-a2b1=0,则两条直线l1与l2 平行,这是假命题,因为当a1b2-a2b1=0时,还有可能l1与l2

重合,逆命题是假命题,从而否命题也为假命题,故f(p)=2.
[答案] 2

————— ———————————— 判断四种命题间的关系的方法
(1)在判断四种命题之间的关系时,首先要注意分清命

题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关
系.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原 命题,也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否

命题”.
(2)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必 须保留大前提,也就是大前提不动;对于由多个并列条件

组成的命题,在写其他三种命题时,应把其中一个(或n个)
作为大前提. ——————————————————————————

1.设原命题是“当 c>0 时,若 a>b,则 ac>bc”,写出它 的逆命题、 否命题与逆否命题, 并分别判断它们的真假. 解:“当 c>0 时”是大前提,写其他命题时应该保留,
原命题的条件是 a>b,结论是 ac>bc. 逆命题:当 c>0 时,若 ac>bc,则 a>b.它是真命题; 否命题:当 c>0 时,若 a≤b,则 ac≤bc.它是真命题; 逆否命题: c>0 时, ac≤bc, a≤b.它是真命题. 当 若 则

充分条件、必要条件的判断
[例2] (1)(2012· 浙江高考改编)设a∈R,则“a=1”

是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行”
的____________条件. (2)下面四个条件中,使a>b成立的充分不必要的条件 是____________(填正确的序号) . ①a>b+1;②a>b-1;③a2>b2;④a3>b3 .

[自主解答]“a=1”是“直线 l1: ax+2y-1=0 与直线 l2: a 2 -1 x+2y+4=0 平行”的充要条件.由 = ≠ ,解得 a=1. 1 2 4 (2)对于①,a>b+1?a-b>1>0?a>b,但a=2,b=1

满足a>b,而a=b+1,不满足a>b+1,故①项正确.对于
②,a>b-1不能推出a>b,排除②;对于③,由a2>b2不能 推出a>b,如a=-2,b=1,(-2)2>12,但-2<1,故③错 误;对于④,a>b?a3>b3,它们互为充要条件,排除④. [答案] (1)充分必要 (2)①

—————

————————————

充分条件、必要条件的判断方法 判断 p 是 q 的什么条件,需要从两方面分析:一是由 p 能否推得 q;二是由 q 能否推得 p.
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2.已知命题p:函数f(x)=|x-a|在(1,+∞)上是增函
数,命题q:f(x)=ax(a>0且a≠1)是减函数,则p是q的 ________条件. 解析:若命题p为真,则a≤1;若命题q为真, 则0<a<1.∵由q能推出p,但由p不能推出q,∴p是q的

必要不充分条件.
答案:必要不充分

充要条件的应用
[ 例 3] 已 知 P = {x|x2 - 8x - 20≤0} , S = {x|1 -

m≤x≤1+m}.
(1)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件,若 存在,求出 m 的范围;

(2)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件,若 存在,求出 m 的范围.

[自主解答] (1)由 x2-8x-20≤0 得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, ∵x∈P 是 x∈S 的充要条件,∴P=S,
?1-m=-2, ? ∴? ?1+m=10, ? ?m=3, ? ∴? ?m=9, ?

∴这样的 m 不存在. (2)由题意 x∈P 是 x∈S 的必要条件,则 S?P.
?1-m≥-2, ? ∴? ?1+m≤10, ?

∴m≤3.

综上可知,m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件.

保持本例条件不变,若綈 P 是綈 S 的必要不充分条件,求实 数 m 的取值范围. 解:由例题知 P={x|-2≤x≤10},
∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件, ∴P?S 且 S P. ∴[-2,10]? [1-m,1+m].
?1-m≤-2, ? ∴? ?1+m>10 ? ?1-m<-2, ? 或? ?1+m≥10. ?

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞).

—————

————————————

1.解决与充要条件有关的参数问题的方法 解决此类问题一般是把充分条件、 必要条件或充要条件转 化为集合之间的关系, 然后根据集合之间的关系列出关于参数 的不等式求解.

2.利用转化的方法理解充分必要条件 若綈 p 是綈 q 的充分不必要?必要不充分、 充要?条件, 则 p 是 q 的必要不充分?充分不必要、充要?条件.
——————————————————————————

3.设

?1? - p:logax>0;q:?2?x 1>1,若 ? ?

p 是 q 的充分不必

要条件,则 a 的取值范围是________.

解析:由已知 q:x<1,当 0<a<1 时,p:0<x<1,符 合条件.当 a>1 时,p:x>1,不符合条件.

答案:(0,1)

? 1 个转化——正难则反的转化 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而 当判断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否 命题的真假. ? 2 个区别——“否命题”与“命题的否定”以及“充分条
件”与“必要条件”的区别 (1)否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论,而 命题的否定是只否定命题的结论.要注意区别.

(2)充分必要条件的判断应注意问题的设问方式:

①A 是 B 的充分不必要条件是指:A?B 且 B
②A 的充分不必要条件是 B 是指:B?A 且 A 在解题中一定要弄清它们的区别,以免出现错误.

A;
B,

? 3 种方法——判断充分条件和必要条件的方法
(1)命题判断法. 设“若 p,则 q”为原命题,那么:
①原命题为真,逆命题为假时,p 是 q 的充分不必要条件;

②原命题为假,逆命题为真时,p 是 q 的必要不充分 条件;

③原命题与逆命题都为真时,p 是 q 的充要条件;

④原命题与逆命题都为假时,p 是 q 的既不充分也不 必要条件. (2)集合判断法.
从集合的观点看,建立命题 p,q 相应的集合:p:A ={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立},那么:

①若 A?B,则 p 是 q 的充分条件;若 A? 时,则 p B 是 q 的充分不必要条件;

②若 B?A,则 p 是 q 的必要条件;若 B? 时,则 p A 是 q 的必要不充分条件;
③若 A?B 且 B?A,即 A=B 时,则 p 是 q 的充要条 件. (3)等价转化法.
p 是 q 的什么条件等价于綈 q 是綈 p 的什么条件.

创新交汇——与充要条件有关的交汇问题 1.充分条件、必要条件和充要条件的判断是每年高 考的热点内容,多与函数、不等式、向量、立体几何、 解析几何等交汇命题. 2.突破此类问题的关键有以下四点: (1)要分清命题的条件与结论; (2)要善于将文字语言转化为符号语言进行推理;

(3)要注意等价命题的运用;
(4)当判断多个命题之间的关系时,常用图示法,它 能使问题直观、易于判断.

[典例]

(2011· 陕西高考)设 n∈N*,一元二次方程 x2-4x

+n=0 有整数根的充要条件是 n=________.

[解析]

4± 16-4n x= =2± 4-n,因为 x 是整数,即 2

2± 4-n为整数,所以 4-n为整数,且 n≤4,又因为 n∈N*, 取 n=1,2,3,4,验证可知 n=3,4 符合题意,所以 n=3,4 时可以 推出一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根.

[答案] 3或4

[名师点评]

1.本题有以下两个创新点 (1)考查内容创新:本题以一元二次方程为背景,探求方程有 整数根的充要条件. (2)命题方式的创新:此题目的特点是给出结论,未给条件, 由结论探求条件.
2.解决本题的关键有以下两点 (1)从结论出发,正确求出使结论成立的必要条件; (2)要验证所得到的必要条件是否满足充分性,否则极易得出 n=1,2,3,4 的错误答案.

[变式训练] 1.已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是

________. 解析:a⊥b?a· b=0,a· b=(x-1,2)· (2,1)=2(x-1)+

2×1=2x=0,解得x=0.
答案:x=0 2.对于常数m、n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线 是 椭圆”的________条件. 解析:当m<0,n<0时,mn>0,但mx2+ny2=1没有意 义,不是椭圆;反之,若mx2+ny2=1表示椭圆,则 m>0,n>0,即mn>0.

答案:必要不充分

3.设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C=

{x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的
________________条件. 解析:化简得A={x|x>2},B={x|x<0}, C={x|x<0,或x>2}. ∵A∪B=C,∴“x∈

A∪B”是“x∈C”的充要条件.
答案:充分必要

1.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+
c2≥3”的否命题是________. 解析:a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3 的否定是a2+b2+c2<3. 答案:若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3

2.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的
_____. 解析:由x≥2且y≥2可得x2+y2≥4,但反之不成立. 答案:充分不必要条件

3.“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x-a)2+(y-b)2=2 相 切”的________.

|a-b+2| 解析:a=b 时,圆心到直线距离 d= = 2, 2 |a-b+2| 所以相切;若直线与圆相切时,有 d= = 2, 2 所以 a=b 或 a=-4+b.

答案:充分不必要条件

π 4. 设角 α, 是锐角, β 则“α+β= ”是“(1+tan α)(1+tan β) 4 =2”的________. tan α+tan β π 解析:因为 α+β= ,所以 tan(α+β)= =1, 4 1-tan αtan β
则 tan α+tan β=1-tan αtan β,即(1+tan α)(1+tan β) =2; 反过来, 由(1+tan α)(1+tan β)=2, 可得 tan α+tan tan α+tan β β=1-tan αtan β,所以 tan(α+β)= =1,由 1-tan αtan β
? π? α,β∈?0,2 ?,知 ? ?

π α+β∈(0,π)可得 α+β= . 4

答案:充要条件

5.已知集合

? 1 ? ? ? x ?x| <2 <8,x∈R?,B={x|-1<x<m+1,x A=? 2 ? ? ?

∈R},若 x∈B 成立的一个充分不必要的条件是 x∈A, 则实数 m 的取值范围是________.
? 1 ? ? ? x ?x| <2 <8,x∈R?={x|-1<x<3},∵x∈B 解析:A= 2 ? ? ? ?



立的一个充分不必要条件是 x∈A, ∴A? B,∴m+1>3,即 m>2.

答案:(2,+∞)


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