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2014一元二次不等式及其解法教学案


第二节

一元二次不等式及其解法

[知识能否忆起] 一元二次不等式的解集 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象、一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根与一元二次不等式 ax2+bx+c>0 与 ax2+bx+c<0 的解集的关系,可归纳为: 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0) 的图象

一元二次方程 ax2+bx+c= 0(a≠0)的根 一元 二次不 等式的 解集 ax2+bx+c<0(a>0) {x|x1<x<x2} ? ? ax2+bx+c>0(a>0) 有两相异实根 x=x1 或 x =x2 {x|x<x1 或 x>x2} 有两相同实根 x =x1 {x|x≠x1} Δ>0 Δ=0 Δ<0

无实根 R

若 a<0 时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解. [小题能否全取] 1.(教材习题改编)不等式 x(1-2x)>0 的解集是( 1 -∞, ? A.? 2? ? 1 ? C.(-∞,0)∪? ?2,+∞? 答案:B 2.不等式 9x2+6x+1≤0 的解集是(
? 1 ? ? A.?x? ?x≠-3 ? ? ? 1 1 ? - ≤x≤ ? C.?x? ? 3 3 ? ?

)

1 0, ? B.? ? 2? 1 ? D.? ?2,+∞?

)
? 1? B.?-3? ? ?

D.R

答案:B
1

3. (2011· 福建高考)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根, 则实数 m 的 取值范围是( A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) ) B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析:选 C 由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得:判别式 Δ>0,即 m2-4 >0,解得 m<-2 或 m>2. 4.(2012· 天津高考)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m=__________,n=________. 解析:因为|x+2|<3,即-5<x<1,所以 A=(-5,1),又 A∩B≠?,所以 m<1,B=(m,2), 由 A∩B=(-1,n)得 m=-1,n=1. 答案:-1 1 1 5.不等式 <1 的解集为________. x-1 x-2 1 1 解析:由 <1 得 1- >0,即 >0,解得 x<1,或 x>2. x-1 x-1 x-1 答案:{x|x<1,或 x>2} 解一元二次不等式应注意的问题: (1)在解一元二次不等式时,要先把二次项系数化为正数. (2)二次项系数中含有参数时,参数的符号会影响不等式的解集,讨论时不要忘记二次 项系数为零的情况. (3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号. (4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与 x 轴交点的横坐标相同.

一元二次不等式的解法

典题导入 [例 1] 解下列不等式: (1)0<x2-x-2≤4; (2)x2-4ax-5a2>0(a≠0). [自主解答] (1)原不等式等价于

2

2 2 ? ? ?x -x-2>0, ?x -x-2>0, ? 2 ?? 2 ?x -x-2≤4 ? ? ?x -x-6≤0

?x- x+ >0, ?x>2或x<-1, ? ? ?? ?? ?x- x+ ?-2≤x≤3. ? ?

借助于数轴,如图所示,

原不等式的解集为{x|-2≤x<-1,或2<x≤3}. (2)由 x2-4ax-5a2>0 知(x-5a)(x+a)>0. 由于 a≠0 故分 a>0 与 a<0 讨论. 当 a<0 时,x<5a 或 x>-a; 当 a>0 时,x<-a 或 x>5a. 综上,a<0 时,解集为{x|x<5a,或x>-a};a>0 时,解集为{x|x>5a,或x<-a}. 由题悟法 1.解一元二次不等式的一般步骤: (1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即 ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx +c<0(a>0); (2)计算相应的判别式; (3)当 Δ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不 能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. 以题试法 1.解下列不等式: (1)-3x2-2x+8≥0; (2)ax2-(a+1)x+1<0(a>0). 解:(1)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0, 即(3x-4)(x+2)≤0. 4 解得-2 ≤x≤ , 3
? 4 ? -2≤x≤ ?. 所以原不等式的解集为?x? 3 ? ? ?

(2)原不等式变为(ax-1)(x-1)<0, 1 x- ?(x-1)<0. 因为 a>0,所以? ? a?

3

1 所以当 a>1 时,解为 <x<1; a 当 a=1 时,解集为?; 1 当 0<a<1 时,解为 1<x< . a
? 1 ? ? 综上,当 0<a<1 时,不等式的解集为?x? ?1<x<a ; ? ?

当 a=1 时,不等式的解集为?;
? 1 ? ? 当 a>1 时,不等式的解集为?x? ?a<x<1 . ? ?

一元二次不等式恒成立问题

典题导入 [例 2] 已知 f(x)=x -2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值 范围. [自主解答] 法一:f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为 x=a. ①当 a∈(-∞,-1) 时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3. 要使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a,即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,由 2-a2≥a,解得-1 ≤a≤1. 综上所述,a 的取值范围为[-3,1]. 法二:令 g(x)=x2-2ax+2-a,由已知,得 x2-2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立, Δ>0, ? ? 即 Δ=4a2-4(2-a)≤0 或?a<-1, ? ? g- 所求 a 的取值范围是[-3,1].
2

解得-3 ≤a≤1.

本题中的“x∈[-1,+∞)改为“x∈[-1,1)”,求 a 的取值范围. 解:令 g(x)=x2-2ax+2-a,由已知,得 x2-2ax+2-a≥0 在[-1,1)上恒成立,即 Δ= Δ>0, Δ>0, ? ? ? ? 4a2-4(2-a)≤0 或?a<-1, 或?a>1, 解得-3≤a≤1, ? ? ?g ?g- 所求 a 的取值范围是[-3,1] .

由题悟法
4

1.对于二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上 全部在 x 轴上方;恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方. 2.一元二次不等式恒成立的条件: (1)ax2+bx+c>0(a≠0)(x∈R) 恒成立的充要条件是: a>0 且 b2-4ac<0. (2)ax2+bx+c<0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要条件是: a<0 且 b2-4ac<0. 以题试法 2.(2012· 九江模拟)若关于 x 的不等式 x2-ax-a>0 的解集为(-∞,+∞),则实数 a 的 取值范围是________;若关于 x 的不等式 x2-ax-a≤-3 的解集不是空集,则实数 a 的取值 范围是________. 解析:由 Δ1<0,即 a2-4(-a)<0,得-4<a<0; 由 Δ2≥0,即 a2-4(3-a)≥0,得 a≤-6 或 a≥2. 答案:(-4,0) (-∞,-6]∪[2,+∞)

一元二次不等式的应用

典题导入 [例 3] 某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 件.若售价降低 x 成 8 (1 成=10%),售出商品数量就增加 x 成.要求售价不能低于成本价. 5 (1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y=f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元,求 x 的取值范围. x? 8 ? [自主解答] (1)由题意得 y=100? 100? ?1-10?· ?1+50x?. 因为售价不能低于成本价, x? 所以 100? ?1-10?-80≥0. 所以 y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2]. (2)由题意得 20(10-x)(50+8x)≥10 260, 化简得 8x2-30x+13≤0. 1 13 解得 ≤x≤ . 2 4 1 ? 所以 x 的取值范围是? ?2,2?.

5

由题悟法 解不等式应用题,一般可按如下四步进行: (1)认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系; (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系; (3)解不等式; (4)回答实际问题. 以题试法 3.某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家 ISP 公司可供选择.公司 A 每小时 收费 1.5 元;公司 B 在用户每次上网的第 1 小时内收费 1.7 元,第 2 小时内收费 1.6 元,以 后每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计算).假设该同学一次 上网时间总是小于 17 小时,那么该同学如何选择 ISP 公司较省钱? x 解: 假设一次上网 x 小时, 则公司 A 收取的费用为 1.5x 元, 公司 B 收取的费用为 元. 若能够保证选择 A 比选择 B 费用少,则 x -x >1.5x(0<x<17), 20 整理得 x2-5x<0,解得 0<x<5, 所以当一次上网时间在 5 小时内时,选择公司 A 的费用少;超过 5 小时,选择公司 B 的费用少. -x 20

x-1 1.(2012· 重庆高考)不等式 <0 的解集为( x+2 A.(1,+∞) C.(-2,1)

)

B.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

解析:选 C 原不等式化为(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,故原不等式的解集为(- 2,1). 4 2.(2013· 湘潭月考)不等式 ≤x-2 的解集是( x-2 A.(-∞,0]∪(2,4] C.[2,4) )

B.[0,2)∪[4,+∞) D.(-∞,2]∪(4,+∞)

6

解析:选 B ①当 x-2>0 即 x>2 时,原不等式等价于(x-2)2≥4,解得 x≥4. ②当 x-2<0 即 x<2 时,原不等式等价于(x-2)2≤4, 解得 0≤x<2. 3. 关于 x 的不等式 x2-(a+1)x+a<0 的解集中, 恰有 3 个整数, 则 a 的取值范围是( A.(4,5) C.(4,5] B.(-3,-2)∪(4,5) D.[-3,-2)∪(4,5] )

解析:选 D 原不等式可能为(x-1)(x-a)<0,当 a>1 时得 1<x<a,此时解集中的整 数为 2,3,4,则 4<a≤5,当 a<1 时得 a<x<1,则-3≤a<-2,故 a∈[-3,-2)∪(4,5] 4. 若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0 对任何实数 x 恒成立, 则实数 m 的取值范围是( A.(1,+∞) 13? C.? ?-∞,-11? B.(-∞,-1) 13? D.? ?-∞,-11?∪(1,+∞) )

解析:选 C ①m=-1 时,不等式为 2x-6<0,即 x<3,不合题意.
?m+1<0, ? 13 ②m≠-1 时,? 解得 m<- . 11 ?Δ<0, ?

5.已知函数 f(x)的定义域为(-∞, +∞), f′(x)为 f(x)的导函数, 函数 y=f′(x) 的图象如图所示, 且 f(-2)=1, f(3)=1, 则不等式 f(x2-6)>1 的解集为( A.(2,3)∪(-3,-2) C.(2,3) B.(- 2, 2) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) )

解析:选 A 由导函数图象知,当 x<0 时,f′(x)>0,即 f(x)在(-∞,0)上为增函数;当 x>0 时,f′(x)<0,即 f(x)在(0,+∞)上为减函数, 故不等式 f(x2-6)>1 等价于 f(x2-6)>f(-2)或 f(x2-6)>f(3),即-2<x2-6≤0 或 0 ≤x2 -6<3,解得 x∈(2,3)∪(-3,-2). 6.(2012· 长沙模拟)已知二次函数 f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且函数 f(x)在(-2,- 1)上恰有一个零点,则不等式 f(x)>1 的解集为( A.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-1,0) 解析:选 C ∵f(x)=ax2-(a+2)x+1, Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0, ∴函数 f(x)=ax2-(a+2)x+1 必有两个不同的零点, 又 f(x)在(-2,-1)上有一个零点,则 f(-2)f(-1)<0, 3 5 ∴(6a+5)(2a+3)<0,解得- <a<- . 2 6 又 a∈Z,∴a=-1. 不等式 f(x)>1,即-x2-x>0,解得-1<x<0.
7

)

B.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(0,1)

k-3 7.若不等式 >1 的解集为{x|1<x<3},则实数 k=________. x-3 k-3 k-3 x-k 解析: >1,得 1- <0,即 <0,(x-k)(x-3)<0,由题意得 k=1. x-3 x-3 x-3 答案:1 8.不等式 x2-2x+3 ≤a2-2a-1 在 R 上的解集是?,则实数 a 的取值范围是________. 解析:原不等式即 x2-2x-a2+2a+4≤0,在 R 上解集为?, ∴Δ=4-4(-a2+2a+4)<0, 即 a2-2a-3<0, 解得-1<a<3. 答案:(-1,3)
?x+5,x<3, ? 9.(2012· 陕西师大附中模拟)若函数 f(x)=? 且 f(f(3))>6,则 m 的取值范 ?2x-m,x≥3, ?

围为________. 解析:由已知得 f(3)=6-m,①当 m≤3 时,6-m≥3,则 f(f(3))=2(6-m)-m=12-3m >6,解得 m<2;②当 m>3 时,6-m<3,则 f(f(3))=6-m+5>6,解得 3<m<5.综上知, m<2 或 3<m<5. 答案:(-∞,2)∪(3,5) 10.解下列不等式: (1)8x-1≤16x2; (2)x2-2ax-3a2<0(a<0). 解:(1)原不等式转化为 16x2-8x+1≥0, 即(4x-1)2 ≥0,则 x∈R, 故原不等式的解集为 R. (2)原不等式转化为(x+a)(x-3a)<0, ∵a<0, ∴3a<-a,得 3a<x<-a. 故原不等式的解集为{x|3a<x<-a}. 11.一个服装厂生产风衣,月销售量 x(件)与售价 p(元/件)之间的关系为 p=160-2x, 生产 x 件的成本 R=500+30x(元). (1)该厂月产量多大时,月利润不少于 1 300 元? (2)当月产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少? 解:(1)由题意知,月利润 y=px-R, 即 y=(160-2x)x-(500+30x) =-2x2+130x-500.
8

由月利润不少于 1 300 元,得-2x2+130x-500≥1 300. 即 x2-65x+900≤0,解得 20≤x≤45. 故该厂月产量在 20~45 件时,月利润不少于 1 300 元. (2)由(1)得,y=-2x2+130x-500 65?2 3 225 =-2? ?x- 2 ? + 2 , 由题意知,x 为正整数. 故当 x=32 或 33 时,y 最大为 1 612. 所以当月产量为 32 或 33 件时,可获最大利润,最大利润为 1 612 元. 12.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c,函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m,n(m<n). (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n< ,比较 f(x)与 m 的大小. a 解:由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)· (x-n), 当 m=-1,n=2 时,不等式 F(x)>0, 即 a(x+1)(x-2)>0. 当 a>0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<-1,或 x>2}; 当 a<0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|-1<x<2}. (2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m =(x-m)(ax-an+1), 1 ∵a>0,且 0<x<m<n< , a ∴x-m<0,1-an+ax>0. ∴f(x)-m<0,即 f(x)<m.

1?n 1 1.若关于 x 的不等式 x2+ x-? ≥0 对任意 n∈N*在 x∈(-∞,λ]上恒成立,则实数 λ 2 ?2? 的取值范围是________. 1 1?n 1 解析:由题意得 x2+ x≥? = , 2 ?2?max 2 1 解得 x≥ 或 x≤-1. 2 又 x∈(-∞,λ],所以 λ 的取值范围是(-∞,-1]. 答案:(-∞,-1] 2.(2012· 江苏高考)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的 不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________.

9

a2 解析:因为 f(x)的值域为[0,+∞),所以 Δ=0,即 a2=4b,所以 x2+ax+ -c<0 的解 4 a2 集为(m,m+6),易得 m,m+6 是方程 x2+ax+ -c=0 的两根,由一元二次方程根与系 4 2m+6=-a, ? ? 数的关系得? 解得 c=9. a2 mm+ = -c, ? 4 ? 答案:9 3.行驶中的汽车, 在刹车时由于惯性作用, 要继续往前滑行一 段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,其种 型号汽车的刹车距离 s(m)与汽车的车速 v(km/h)满足下列关系:s = nv v2 + (n 为常数,且 n ∈ N) ,做了两次刹车试验,有关试验数据如图所示,其中 100 400

? ?6<s1<8, ? ?14<s2<17. ?

(1)求 n 的值; (2)要使刹车距离不超过 12.6 m,则行驶的最大速度是多少?

?6<100+ 400 <8, 解:(1)依题意得? 70n 4 900 ?14<100+ 400 <17,
5<n<10, ? ? 解得?5 又 n∈N,所以 n=6. 95 ?2<n<14. ? (2)s= 3v v2 + ≤12.6? v2+24v-5 040≤0? -84≤v≤60.因为 v≥0,所以 0≤v≤60, 50 400

40n 1 600

即行驶的最大速度为 60 km/h.

1.对于实数 x,规定[x]表示不大于 x 的最大整数,那么不等式 4[x]2-36[x]+45<0 成 立的 x 的取值范围是( 3 15? A.? ?2, 2 ? C.[2,8) ) B.[2,8] D.[2,7]

3 15 解析:选 C 由 4[x]2-36[x]+45<0,得 <[x]< ,又[x]表示不大于 x 的最大整数, 2 2 所以 2≤x<8. x2-9 2.(2012· 江西高考)不等式 >0 的解集是________. x-2
10

x2-9 解析:由 >0,得(x+3)(x-3)(x-2)>0,利用数轴穿根法易得-3<x<2 或 x>3. x-2 答案:{x|-3<x<2,或 x>3} 3.(2012· 温州高三适应性测试)若圆 x2+y2-4x+2my+m+6=0 与 y 轴的两交点 A,B 位于原点的同侧,则实数 m 的取值范围是( A.m>-6 B.m>3 或-6<m<-2 C.m>2 或-6<m<-1 D.m>3 或 m<-1 解析: 选 B 依题意, 令 x=0 得关于 y 的方程 y2+2my+m+6=0 有两个不相等且同号
?Δ= m2- m+ >0, ? (均不等于零)的实根,于是有? ? ?m+6>0,

)

由此解得 m>3 或-6<m<-2.

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