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高中数学选修2-2测试题22


2012-2013 年下学期期中模拟试题
(高二数学理科选修 2-2 部分) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给
出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1、 曲线 y ? x 2 在(1,1)处的切线方程是(



A 2 x ? y ? 3 ? 0

B 2 x ? y ? 3 ? 0 C 2 x ? y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0 2、 定义运算

a c

b 1 ? ad ? bc ,则符合条件 d z

?1 ? 4 ? 2i 的复 zi

线



数 z 为( )A. 3 ? i B. 1 ? 3i C. 3 ? i D.1 ? 3i 3、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正 确的是( ) A. 假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 4. 观 察 按 下 列 顺 序 排 列 的 等 式 : 9 ? 0 ? 1 ? 1, 9 ? 1 ? 2 ? 11 ,
* 9 ? 2 ? 3 ? 21 ,9 ? 3 ? 4 ? 31, ?, 猜想第 n(n ? N ) 个等式应为 ( )

姓名

考号

A. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 C. 9n ? (n ? 1) ? 10n ? 1 密 5、曲线 y ? cos x ? 0 ≤ x ≤ 面积为( )A. 4

B. 9(n ?1) ? n ? 10n ? 9 D. 9(n ? 1) ? (n ? 1) ? 10n ? 10

? ?

3π 3π ? ? 与 x 轴以及直线 x ? 2 所围图形的 2 ?
B. 2 C.

班级

5 2

D. 3

6、 平面几何中, 有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定 值

3 a ,类比上述命题,棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的 2
)A.

学校

距离之和为(

4 6 5 6 a B. a C. a D. a 3 3 4 4

1

lim f ' ( x0 ) ? ?3 ,则 h?0 7、若
A. ? 3 8、复数 z=

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? h (
C. ? 9 )

) D. ?6

B. ?12

5 ,则 z 是( 3 ? 4i

A.25 B.5 C.1 D.7 9、一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步,程序设计师设计的程序是让 机器人以先前进 3 步, 然后再后退 2 步的规律移动. 如果将机器人放在数轴 的原点, 面向正的方向在数轴上移动 (1 步的距离为 1 个单位长度) . 令 P ( n) 表示第 n 秒时机器人所在位置的坐标,且记 P(0) ? 0 ,则下列结论中错误 的是( )

P(5) ? 1 C. P(2007) ? P(2006) D. P(2003) ? P(2006) A. P(3) ? 3 B.

10、 如图是导函数 y ? f / ( x) 的图象, 那么函数 y ? f ( x) 在下面哪个

区间是减函数 A. ( x1 , x3 )
11 、设 S ( n) ?

B. ( x2 , x4 )

C. ( x4 , x6 )

D. ( x5 , x6 )

S (2) ? (

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 (n ? N* ) ,当 n ? 2 时, n n ?1 n ? 2 n ? 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )A. B. ? C. ? ? D. ? ? ? 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5

12、如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm,为在弹性限度内将弹簧从平衡位置 拉到离平衡位置 6cm 处,则克服弹力所做的功为( ) (A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J

2

13. 曲线 y ? x 3 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为 ( ) (A)

8 3

(B)

7 3

(C)

5 3


(D)

4 3

14. 已知直线 y ? kx 是 y ? ln x 的切线,则 k 的值为( (A)

1 e

(B)?

1 e

(C)

2 e

(D)?

2 e

15. 有一段“三段论”推理是这样的: 对于可导函数 f ( x) ,如果 f ?( x0 ) ? 0 ,那么 x ? x0 是函数 f ( x) 的 极值点, 因为函数 f ( x) ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 , 所以,x ? 0 是 函数 f ( x) ? x3 的极值点. 以上推理中( ) A.大前提错误 B. 小前提错误

C.推理形式错误

D.结论正确

16. 在复平面内, 复数 1 + i 与 1 ? 3 i 分别对应向量 OA 和 OB , 其中 O 为坐 标原点,则 AB =( ) A. 2 B. 2
*

C.

10

D. 4

17. 某个命题与正整数有关,若当 n ? k (k ? N ) 时该命题成立,那么可推 得当 n ? k ? 1 时该命题也成立,现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推 得( ) (B)当 n ? 6 时,该命题成立 (D)当 n ? 4 时,该命题不成立

(A)当 n ? 6 时,该命题不成立 (C)当 n ? 4 时,该命题成立

3 18. 若点 P 在曲线 y=x3-3x2+(3- 3)x+ 上移动,经过点 P 的切线的倾 4 斜角为 α,则角 α 的取值范围是( ) 2π 2π π π π π 2π A.[0, ) B.[0, )∪[ ,π) C.[ ,π) D.[0, )∪( , ] 2 2 3 3 2 2 3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横 线上. 19、

?(
0

1

1 ? ( x ? 1) 2 ? 2 x)dx ?
4 5 6 12

20、 设 Z1 = i + i + i +…+ i

, Z 2 = i4 · i5 · i6·…· i12, 则 Z1 ,Z 2
3

关系为
21.已知 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? a ( a 为常数) ,在 [?3, 3] 上有最小值 3 ,那么

3] 上 f ( x) 的最大值是 在 [?3,
3 2 22.函数 g(x)=ax +2(1-a)x -3ax 在区间?-∞, ?内单调递减,

? ?

a? 3?

则 a 的取值范围是________.
三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤. 23、 (本小题 10 分) F ( x) ?

?

x

0

(t 2 ? 2t ? 8)dt ( x ? 0) .

, 3] 上的最值. (1)求 F ( x) 的单调区间; (2)求函数 F ( x) 在 [1

24. (本小题 10 分)设 y ? f ( x) 是二次函数,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的 实根,且 f ?( x) ? 2 x ? 2 . (1)求 y ? f ( x) 的表达式; (2)若直线 x ? ?t (0 ? t ? 1) 把 y ? f ( x) 的图象与两坐标轴所围成图形的 面积二等分,求 t 的值.

25、 (本小题 10 分)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价为每 天180元时,房间会全部住满;房间单价增加10元,就会有一个房间空 闲,如果游客居住房间,宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用。房间 定价多少时,宾馆利润最大? 26、 (本小题 10 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 1 ? nan (n ? N* ) . (1) 计算 a1 , a2 , a3 , a4 ; (2) 猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.

4

参考答案
题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得 分 评卷 人

D

A



B

D

B

B

C

D

B

C

D

13、

? ? 1 14、 Z1 = Z 2 4

15、 57

16、 91

17、 (本小题 10 分)已知等腰梯形 OABC 的顶点 A,B 在复平面上对应的 复数分别为 1 ? 2 i 、 ?2 ? 6 i ,且 O 是坐标原点, OA ∥ BC .求顶点 C 所 对应的复数 z . 解:设 z ? x ? y i( x,y ? R) . 由 OA ∥ BC , OC ? AB ,得 kOA ? kBC , zC ? zB ? z A ,

?2 y ? 6 , ? ? 即 ?1 x ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 32 ? 42, ?

OA ? BC ,? x ? ?3 , y ? 4 舍去.
? z ? ?5 .

18、 (本小题 12 分) F ( x) ? (1)求 F ( x) 的单调区间;

?

x

0

(t 2 ? 2t ? 8)dt ( x ? 0) .

, 3] 上的最值. (2)求函数 F ( x) 在 [1
解:依题意得,
x ?1 ?x 1 3 F ( x) ? ? (t 2 ? 2t ? 8)dt ? ? t 3 ? t 2 ? 8t ? 0 ? x ? x 2 ? 8x ,定义域是 0 3 3 ? ?

5

(0, ? ?) .
(1) F ?( x) ? x2 ? 2 x ? 8 , 令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 2 或 x ? ?4 , 令 F ?( x) ? 0 ,得 ?4 ? x ? 2 ,

? ?) , 由于定义域是 (0, ? ?) ,单调递减区间是 (0, 2) . ? 函数的单调增区间是 (2,
(2)令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 2( x ? ?4舍) , 由于 F (1) ? ?

20 28 , F (2) ? ? , F (3) ? ?6 , 3 3 28 . 3

? F ( x) 在 [1, 3] 上的最大值是 F (3) ? ?6 ,最小值是 F (2) ? ?

19. (本小题 12 分)设 y ? f ( x) 是二次函数,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的 实根,且 f ?( x) ? 2 x ? 2 . (1)求 y ? f ( x) 的表达式; (2)若直线 x ? ?t (0 ? t ? 1) 把 y ? f ( x) 的图象与两坐标轴所围成图形的 面积二等分,求 t 的值. 解: (1)设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,
2

则 f ?( x) ? 2ax ? b . 由已知 f ?( x) ? 2 x ? 2 ,得 a ? 1 , b ? 2 .

? f ( x) ? x2 ? 2x ? c .
又方程 x ? 2 x ? c ? 0 有两个相等的实数根,
2

?? ? 4 ? 4c ? 0 ,即 c ? 1 .
6

故 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ; (2)依题意,得

?

?t

?1

( x 2 ? 2 x ? 1)dx ? ? ( x 2 ? 2 x ? 1)dx ,
?t

0

?1 ? ? ? x3 ? x 2 ? x ? ?3 ?
3 2

?t ?1

?1 ? ? ? x3 ? x 2 ? x ? ?3 ?

0 ?t



整理,得 2t ? 6t ? 6t ? 1 ? 0 ,即 2(t ?1)3 ? 1 ? 0 ,

?t ? 1 ?

3

1 . 2

20、 (本小题 12 分)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价为每 天180元时,房间会全部住满;房间单价增加10元,就会有一个房间空 闲,如果游客居住房间,宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用。房间 定价多少时,宾馆利润最大? 解:设每个房间每天的定价为 x 元,那么宾馆利润

L( x) = (50 ?
=?

x ? 180 )( x ? 20) 10

1 2 x ? 70 x ? 1360 ,180 ? x ? 680 . 10 1 ' 令 L ( x) ? ? x ? 70 ? 0, 解得 x ? 350 . 5
当 x ? (180,350) 时, L ( x) ? 0,
'

当 x ? (180,680) 时 L ( x) ? 0
'

因此, x ? 350 时是函数 L( x) 的极大值点,也是最大值点.所以,当每 个房间每天的定价为 350 元时,宾馆利润最大 21、 (本小题满分 12 分) 证明:要证

a b

?

b a

? a ? b,

只需证 a a ? b b ?

ab( a ? b )
7

即证 (a ? b ? ab)( a ? b ) ? 即证 a ? b ? ab ?

ab( a ? b )

ab

即证 a ? b ? 2 ab ,即 ( a ? b ) 2 ? 0 该式显然成立,所以

a b

?

b a

? a? b

22、 (本小题 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 1 ? nan (n ? N* ) . (1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ; (2)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论. 解: (1)依题设可得 a1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? , a2 ? ? , a3 ? , 2 1? 2 6 2?3 12 3 ? 4

a4 ?

1 1 ? ; 20 4 ? 5

(2)猜想: an ?

1 . n(n ? 1)

证明:①当 n ? 1 时,猜想显然成立. ②假设 n ? k (k ? N ) 时,猜想成立,
*

即 ak ?

1 . k (k ? 1)

那么,当 n ? k ? 1 时, Sk ?1 ? 1 ? (k ? 1)ak ?1 , 即 Sk ? ak ?1 ? 1 ? (k ? 1)ak ?1 . 又 S k ? 1 ? kak ? 所以

k , k ?1

k ? ak ?1 ? 1 ? (k ? 1)ak ?1 , k ?1

8

从而 ak ?1 ?

1 1 . ? (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)[(k ? 1) ? 1]

即 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 故由①和②,可知猜想成立.

9


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