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浙江省台州中学2014-2015学年高一下期中考试数学试卷及答案


台州中学 2014 学年第二学期期中试题 高一 数学
命题人:周波 审定人:金玲玲

一.选择题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,把答案填在答卷 相应空格中) .. 1.已知 {an } 为等差数列,若 a2 ? 3, a4 ? 5 ,则 d 的值为( A. 1 B. 2 C.

3 ) D. 4

2.在 ?ABC 中, a , b, c 为内角 A, B, C 的对边,若 A ? 60 , b ? 2 2 , B ? 45 ,则 a 为 ( A. 2 ) B. 2 3 C.

2 6


D.

3 8

3.函数 f ( x) ? sin x cos x 的图象的一条对称轴方程是( A. x ?

?
6

B. x ?

?
3

C. x ? )

?
4

D. x ?

?
2

4.已知实数列 ?1, x , y , z , ? 8 成等比数列,则 y =( A. ? 4 B. ? 2 2 C. ? 4

D. ± 2 2 ) D. )

5.已知 ? 是第一象限角,且 tan ? ? A.

4 5

3 ,则 tan 2? 的值为( 4 23 8 B. C. 3 7

6.已知 {an } 为等差数列,若 a1 ? a9 ?

?

24 7

3

,则 cos(a3 ? a7 ) 的值为(

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

7.若 D ABC 的三个内角满足 6sin A ? 4sin B ? 3sin C ,则 D ABC ( A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形 B.一定是直角三角形



D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

8.在 D ABC 中, AB ? (cos18

uu u r

o

uuu r ,sin18o ) , BC ? (cos63o ,sin 63o ) ,则 D ABC 面积为 (
2 2
C.



A.

2 4

B.

3 2

D.

2

-1-

9.等差数列 {an } 中, a3 ? a9 ,公差 d ? 0 ,那么使 {an } 的前 n 项和 Sn 最大的 n 值为 ( A. 5 ) B. 6 C. 5 或 6 D. 6 或 7

10.某船在 A 处向正东方向航行 x km 后到达 B 处,然后沿南偏西 60 方向航行 3 km 到达 C 处.若 A 与 C 相距 3 km,则 x 的值是( A. 3 B. 3 C. 2 3 ) D. 3 或 2 3 )

11.已知数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,数列 ?bn ? 是等差数列,且 a6 ? b7 ,则有( A. a3 ? a9 ? b4 ? b10 C. a3 ? a9 ? b4 ? b10 B. a3 ? a9 ? b4 ? b10 D. a3 ? a9 与 b4 ? b10 的大小关系不确定

12.在 D ABC 中, a , b, c 为内角 A, B, C 的对边,且 cos2B ? cos B ? cos(A ? C ) ? 1 ,则 ( ) B. a , c, b 成等差数列 D. a , b, c 成等比数列

A. a , b, c 成等差数列 C. a , c, b 成等比数列

13.在 ?ABC 中, BC 边上的中线 AD 长为 3,且 cos B ? 边长为( A. 4 14. 若 S n ? sin A.16 ) B. 16 C. 10

1 10 , cos ?ADC ? ? ,则 AC 4 8

D. 6 )

?
7

? sin

2? n? ? L ? sin (n ? N ? ) ,则在 S1 , S2 ,…, S100 中,正数的个数是( 7 7
B.72 C.86 D.100

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,把答案填在答卷中相应横线上) 15. sin 43 cos13 ? sin13 cos 43 ?
o o o o



16. 已知 sin ? ? sin ? ? ? , cos ? ? cos ? ?

1 3

1 , 则 cos(? ? ? ) ? ______ . 2
B A2 B1 B2
-2-

17. 如图,正方形 ABCD 边长为 1 ,分别作边 AB, BC , CD, DA 上的三等分点 A1 , B1 , C1 , D1 ,得正方形 A1 B1C1 D1 ,再分别取边
A1 B 1, B C , D1 A A2 , B2 , C2 , D2 ,得正方形 上的三等分点 1 , 1C1 D1 1

A1 A3 D3

A

D2 D1

B3 C2 C C1

C3 D

,如此继续下去,得正方形 A2 B2 C2 D A3 B3C3 D3 ,……, 2 则正方形 An Bn Cn Dn 的面积为 18.在数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , an ?1 ? .

1 ? 1 ,则 a2015 ? an ? 1



19.数列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,若

Sn a 2n 则 5 =________. ? Tn 3n ? 1 b5
3 ,则△ ABC 的面积为 4


20.在△ ABC 中,已知 BC ? 4 , AC ? 3 , cos( A ? B) ?

三.解答题(本大题共 5 小题,共 54 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 21. (本小题满分 10 分)求值: (1) cos 40 (1 ? 3 tan10 ) (2) tan17 tan 43 ? tan 30 (tan17 ? tan 43 ) 22. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? 2 3sin x cos x ? 2cos 2 x . (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,若 f ( A) ? 3 , b ? c ? 3a ,判断 ?ABC 的形状.

23. (本小题满分 10 分)已知数列 ?an ? 满足前 n 的和为 Sn ? n2 ,数列 ?bn ? 满足 bn ? 且前 n 项的和 Tn ,设 cn ? T2n?1 ? Tn . (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)判断数列 ?cn ? 的单调性.
24. (本小题满分 10 分)已知在锐角 ?ABC 中, a , b, c 为角 A, B, C 所对的边,

2 , an ? 1

且 (b ? 2c) cos A ? a ? 2a cos (Ⅰ )求角 A 的值; (Ⅱ )若 a ?

2

B . 2

3 ,求 b ? c 的取值范围.
2

25. (本小题满分 14 分)已知 a1 ? 9 ,点 (an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x ? 2x 的图象上,其中

n ? 1 , 2 , …,设 3, bn ? lg(1 ? an ) .
(1) 证明数列 ?bn ? 是等比数列; (2) 设 Cn ? nbn?1 ,求数列 ?Cn ? 的前 n 项和;
-3-

(3) 设 d n ?

2 1 1 ,且数列 ?dn ? 的前 n 项和 Dn ,求证 Dn ? . ? 9 an an ? 2

台州中学 2014 学年第二学期期中试题参考答案 高一 数学
一、 选择题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分) ABCBD ACACD BDAC 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
n

1 15. 2

59 16. 72

?5? 17. ? ? ?9?

18.1

19.

9 14

20.

3 7 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)21. ?1?1 22. (1) f ( x) ? 2sin(2 x ?

? 2? 1

?
6

)?2

? 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

? ?? ? ? 函数 f ( x) 的递增区间是 ? k? ? , k? ? ? k ? Z 3 6? ?

? 2 ? 由题意得: sin(2 A ? 6 ) ? 2 ,? A ? 3 或 A ? 0 (舍去)
? sin B ? sin C ? 3 2? 3 ? B) ? ,? sin B ? sin( 2 3 2

?

1

?

? ? 3 3 3 ? 3 ?B ? 或B ? ? sin B ? cos B ? ,? sin( B ? ) ? 6 2 2 2 2 6 2
?C ?

?
2

或C ?

?
6

? ?ABC 是直角三角形
-4-

23.(1)由题意得: a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1, a1 也满足上式。

? bn ?

1 n 1 1 1 ? ?L ? 2 3 n 1 1 1 1 ? ? ?L ? n ?1 n ? 2 n ? 3 2n ? 1

(2) Tn ? 1 ?

? cn ? T2 n ?1 ? Tn ? ? cn ?1 ? cn ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?0 2n ? 2 2n ? 3 n ? 1 2n ? 3 2n ? 2

?cn ? 为减函数
24.解: (1) Q ? b ? 2c ? cos A ? a ?1 ? 2cos 2

? ?

B? ? ??b ? 2c ? cos A ? ?a cos B 2?

由正弦定理得,??sin B ? 2sin C ? cos A ? ? sin A cos B , 整理得 sin B cos A ? sin A cos B ? 2sin C cos A ,即 sin( A ? B) ? 2sin C cos A , 又 Q sin ? A ? B ? ? sin C ,? cos A ?

1 ? ? A= 2 3

? 2? Q

a b c ? ? ? 2 ?b ? c ? 2 ?sin B ? sin C ? sin A sin B sin C

又Q B ?C ?

2? 2? ? ? ,? C ? ? B 又 Q ?ABC是锐角三角形 ? ? B ? 3 3 6 2

?? ? 2? ? ? ? 2sin B ? 2sin C ? 2sin B ? 2sin ? ? B ? ? 2 3 sin ? B ? ? , 6? ? 3 ? ?
?B ?

?

? ? 2? ? 3? ?? , ? ? b ? c ? 2 3, ? 6 ?3 3 ?

?

2 25. (1) 证明:由题意知: an?1 ? an ? 2an

∴ an?1 ? 1 ? (an ? 1)2

∵ a1 ? 9

∴ an ? 1 ? 0

∴ lg(an?1 ? 1) ? lg(an ? 1)2 即 bn?1 ? 2bn , ∴ ?bn ? 是公比为 2 的等比数列; ∴ Cn ? n ? 2n?1 ,设 ?Cn ? 的前 n 项和为 Sn .

又∵ b1 ? lg(1 ? a1 ) ? 1 ? 0 (2) 由(1)知: bn ? b1 ? 2n?1 ? 2n?1

∴ Sn ? C1 ? C2 ? C3 ? L ? Cn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? L ? n ? 2n?1 ∴ 2Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? L ? (n ?1) ? 2 n?1 ?n ? 2n ∴ ? Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? L ? 2
0 1 2 n ?1

? n ? 2n ?

1 ? 2n ? n ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 2n 1? 2
-5-

∴ S n ? n ? 2n ? 2n ?1

即 ?Cn ? 的前 n 项和为 n ? 2n ? 2n ? 1 ∴

2 (3) ∵ an?1 ? an ? 2an ? an (an ? 2) ? 0

1 1 1 1 ? ( ? ) an?1 2 an an ? 2 1 1 2 1 1 ? ? ? 2( ? ) an an an ?1 an an ?1



1 1 2 ? ? an ? 2 an an ?1

∴ dn ?

∴ Dn ? d1 ? d 2 ? L ? d n ? 2( 又由(1)知: lg(1 ? an ) ? 2 n?1 ∴ Dn ? 2( ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?L ? ? ) ? 2( ? ) a1 a2 a2 a3 an an?1 a1 an?1
∴ an ? 1 ? 102
n?1

∴ an?1 ? 102 ? 1 ? 0

n

1 1 2 )? 2n 9 10 ? 1 9

-6-


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