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江西省丰城中学2015-2016学年上学期高一期中考试数学试卷


丰城中学 2015-2016 学年上学期高一期中考试 (数学学科)试题
考试范围:必修 1 第一、二章 考试时间:11 月 11-12 日 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确答案的代号 填在题后的括号内,每小题 5 分,共 60 分) 1、设集合 M ? x | x ? 2 3 , a ? 11 ? b , b ? ?0,1? ,则下列

关系中正确的是( A. a ? M B. a ? M C. {a} ? M )
n

?

?

)

D. {a} ? M

2、下列对应是从集合 S 到 T 的映射的是(

A. S ? N , T ? {?1,1} ,对应法则是 n ? (?1) , n ? S ; B. S ? {x | x ? R} , T ? { y | y ? R} ,对应法则是 x ? y ? C. S ? {0,1,2,5} , T ? {1,

1? x ; 1? x

1 1 , } ,对应法则是取倒数; 2 5

D. S ? {0,1,4,9} , T ? {?3,?2,?1,0,1,2,3} ,对应法则是开平方. 3、函数 y ? ax ? a 与 y ?
2

a ( a ? 0) 在同一坐标系中的图象可能是( x



4、若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ?0,2? ,则函数 g ( x) ? A. ?0,1? B. ?0,1?

f (2 x) 的定义域是( x ?1
D. ?0,1?



C. ?0,1? ? ?1,4?

5、 已知函数 f ( x) 满足 f (a ? b) ? f (a ) ? f (b) 且 f (2) ? p, f (3) ? q, 则 f (36) 等于 ( A. 2( p ? q ) 6、下列判断正确的是( A.函数 f ( x) ? B. p ( p ? q ) ) B.函数 f ( x) ? (1 ? x) C. p ? q
2 2



D. p ? q
2

2

x 2 ? 2x 是奇函数 x?2

1? x 是偶函数 1? x

C.函数 f ( x) ? x ?

x 2 ? 1 是非奇非偶函数

D.函数 f ( x) ? 1 既是奇函数又是偶函数

7、已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,并满足 f ( x ? 2) ? f (25.5)等于( A. -5.5 ) B.-2.5

1 ,当 2≤x≤3, f ( x) ? x ,则 f ( x)
D. 5.5
1

C. 2.5

8、设 f ( x) 是奇函数,且在 (0, ??) 内是减函数,又 f (?3) ? 0 ,则 ( x ? 2 x ? 3) ? f ( x ) ? 0 的
2

解集是(

) B. ? x | ?1 ? x ? 0或x ? ?3或x ? 3? D. ? x | ?1 ? x ? 0或x ? 3或x ? ?3? 则满足不等式 f (3 ? x ) ? f (2 x) 的 x 的取值范围 (
2

A. ?x | ?1 ? x ? 3或x ? ?3? C. ?x | ?3 ? x ? ?1或x ? 3? 9、 已知函数 f ( x) ? ? A. ? ?3, 0 ?

??1, x ? 0, ? x ? 1, x ? 0,
2



B.(-3,0)

C.(-3,1)

D.(-3,- 3 )

10、已知定义在 [?2, 2] 上的函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) ,其图象如下图所示:

y ? f ( x)

y ? g ( x)

给出下列四个命题中正确命题的序号( ) ①方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 ②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 ③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 ④方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 A.①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 11、定义在 (-1, l) 上的函数 f ( x) 满足: 当 x, y ∈ (-1, l) 时, f ( x) ? f ( y ) ? f (

x? y ), 1 ? xy

并且当 x ∈(-1,0)时, f ( x) >0;若 P ? f ( ) ? f ( ) , Q ? f ( ) , R ? f (0), 则 P,Q, R 的大小关系为( A.P>Q>R ) B.R>P>Q

1 3

1 4

1 2

C.R>Q>P

D.Q>P>R

12、设函数 f ( x) ? ( x 2 ? 8 x ? c1 )( x 2 ? 8 x ? c2 )( x 2 ? 8 x ? c3 )( x 2 ? 8 x ? c4 ) ,集合 则 c1 ? c4 ? ( M ? ? x f ( x) ? 0? ? {x1 , x2 ,? , x7 } ? N * ,设 c1 ? c2 ? c3 ? c4 , A.15 B.13 C.11 D.9 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13、二次函数 y ? x ? bx ? c 的图像向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位,得到二次
2 2 函数 y ? x ? 2 x ? 1 的图像,则 c ?



. .

14、 若函数 f ( x) ?

kx 2 ? 6kx ? k ? 8 的值域为[0,+∞),则 k 的取值范围是

15、对于定义在 R 上的函数 f ( x) ,有如下四个命题:

2

①若 f ?0 ? ? 0 ,则函数 f ? x ? 是奇函数; ②若 f ?? 4 ? ? f ?4 ?, 则函数 f ? x ? 不是偶函数; ③若 f ?0 ? ? f ?4 ?, 则函数 f ? x ? 是 R 上的增函数; ④若 f ?0 ? ? f ?4 ?, 则函数 f ? x ? 不是 R 上的减函数. 其中正确的命题是
2

(写出你认为正确的所有命题的序号).
2 2 2

16、已知函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 2) x ? a , g ( x ) ? ? x ? 2(a ? 2) x ? a ? 8 .设

H1 ( x) ? max ? f ( x), g ( x)? , H 2 ( x) ? min ? f ( x), g ( x)? , 若 max ? p, q? 表示 p, q 中的
较大值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值).记 H1 ( x) 的最小值为 A , H 2 ( x) 的最大 值为 B ,则 B ? A = . 三、解答题(本大题共 6 个小题,第 17 题满分 10 分,其它每题满分 12 分,共 70 分,解答 应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、已知全集 U ? R , A ? ?x | 2a ? x ? a ? 3?, B ? x | x ? 1或x ? 5 ; (1)若 a ? ?1, 求 A ? CU B, A ? B ; (2)若 A ? CU B ,求实数 a 的取值范围.

?

?

18、辽宁号航母纪念章从 2012 年 10 月 5 日起开始上市.通过市场调查,得到该纪念章每 1 枚的 市场价 y (单位:元)与上市时间 x (单位:天)的数据如下: 上市时间 x 天 市场价 y 元 4 90 10 51 36 90
2

已知辽宁号航母纪念章的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系是 f ( x) ? ax ? bx ? c . (1)求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格; (2)若对任意实数 k ,关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? 2m ? 120 在实数集上恒有两个相异的 实根,求实数 m 的取值范围.

19、已知幂函数 f ( x) ? (t ? t ? 1) x
3

2 ? 2 t ?t

2

是奇函数,且在 (0,??) 上是增函数。

(1)求函数

f ? x ? 的解析式;

3

(2)已知函数 g ( x) ? f ( x) ? 4 f ( x), x ? [1, 4] ,求 g ( x) 的值域.

20、已知函数 f ( x ? 1) ? x ? (2a ? 2) x ? 3 ? 2a
2

(1)求实数 a 的值,使 f ( x) 在区间 [?5,5] 上的最小值为 ?1 ; (2)已知函数 g ( x) ? 2 x ?

x ? 1 ,对任意使 g ( x ) 有意义的实数 x1 ,总存在实数 x2 ,使

g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

21、已知函数

f ? x? ? 4 . 5

ax ? b 是定义在( m ,1)上的奇函数( a, b, m 为常数) ,且 1 ? x2

f ? 2? ?

(1)确定函数

f ? x ? 的解析式及定义域; f ? x ? 在( m ,1)的单调性.

(2)判断并利用定义证明

(3) 若对任意 t ? [?2, 2] ,是否存在实数 x 使 f (tx ? 2) ? f ( x) ? 0 恒成立?若存在则求 出实 数 x 的取值范围,若不存在则说明理由.

22、 已知函数 f ( x) 对一切实数 x, y 都有 f ( x ? y ) ? f ( y ) ? x( x ? 2 y ? 1) 成立, 且 f (1) ? 0 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)已知 f ( x) ? (a ? 2) x ? 3 在 ( , 2) 内有解,求实数 a 的取值集合(记为集合 A); (3)在(2)中的 A 中存在实数 a 使 y ? af ( x )的图像与y ? x ? b的图像 恒有两不同的交 点,求实数 b 的取值范围.

1 2

丰城中学 2015-2016 学年上学期高一期中考试 (数学学科)试题答案 一、选择题共 60 分
4

1 D

2 A

3 D

4 B

5 A

6 C

7 C

8 B

9 B

10 A

11 C

12 D

二、填空题共 20 分 13、14; 14、 [1, ??) ; 2○ 4; 15、○ 16、16.

三、解答题共 70 分 17 、 解 : ( 1 )

? CU B ? ?x | 1 ? x ? 5?
┉┉┉ 3 分



? A ? CU B ? ?x | 1 ? x ? 2?
┉┉┉ 5 分

A ? B ? ?x | x ? 2或x ? 5?
(2)

? CU B ? ?x | 1 ? x ? 5?
(i)当

A ? ? 时,即 a ? 3 ? 2a 得 a ? 3 (合题
) ii ) 当 得
A??

意 ┉┉┉ 7 分 ( 时 ,


1 ?a?2 2

┉┉┉ 9 分 1 综述: ? a ? 2 或 a ? 3 2 10 分 18 、 解 : ( 1 ) 把 点

┉┉┉

(4, 90), (10, 51), (36, 90) 代 入 方 程 得

1 ? ?a ? 42 ? 4b ? c ? 90 ? a?4 ? ? 2 ?a ?10 ? 10b ? c ? 51 ? ?b ? ? 10 ?a ? 362 ? 36b ? c ? 90 ? c ? 126 ? ? ?
1 ∴ y ? ( x ? 20) 2 ? 26 ∴当 x ? 20 时, y 有最小值, ymin ? 26 。 4
5

故辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为 20 天,最低价格为 26 元………6 分 1 (2) f ( x) ? x 2 ? 10 x ? 126 ,又∵ f ( x) ? kx ? 2m ? 120 恒有两个相异的实根, 4 1 则 x 2 ? (k ? 10) x ? 6 ? 2m ? 0 恒有两个相异的实根,所以 4 1 ?1 ? [?(k ? 10)]2 ? 4 ? (6 ? 2m) ? 0 恒成立, 即 k 2 ? 20k ? 2m ? 94 ? 0 对 k ? R 4 恒成立, 所 以 ? 2 ? 202 ? 4(2m ? 94) ? 0 , 解 得 m ? 3 . 故 , m 的 取 值 范 围 为 (3, ?? ) .……12 分 19、解:(1)∵ f ( x) ? (t 3 ? t ? 1) x 2? 2t ?t 是幂函数,? t 3 ? t ? 1 ? 1, 解得 t ? 0,1,?1. ┉ 2分 当 t ? 0 时, f ( x) ? x 2 是偶函数,不合题意; 当 t ? ?1 时, f ( x) ? x ?1 是奇函数在 (0,??) 上是减函数,不合题意; 当 t ? 1 时, f ( x) ? x 3 是奇函数,且在 (0,??) 上是增函数.
? f ( x) ? x .
3
2

┉┉┉

6分 (2) g ( x ) ? x 3 ? 4 x 3 , x ? [1, 4] .令 t ? x 3 , 则 t ? [1,8] . ┉┉ 8 分 ┉

G (t ) ? t 2 ? 4t , t ? [1,8] .对称轴: t ? 2 , G (2) ? ?4, G (8) ? 32.
? G (t ) ? [ ?4, 32] ,? g ( x ) 的值域 [ ?4, 32].



┉┉ 12 分 20、解: (1) f ( x ) ? ( x ? 1) 2 ? (2a ? 2)( x ? 1) ? 3 ? 2a ? x 2 ? 2ax ? 2. ┉ 2分 当 ?a ? ?5, 即 a ? 5 时, f ( x ) min ? f ( ?5) ? 27 ? 10a ? ?1. ? a ? 2.8 ,舍 去. 当 ┉┉

?5 ? ?a ? 5,



?5 ? a ? 5





2 f ( x )m i n ? f (? a ) ? ? a ? 2 ? ?1. ?a ? ? 3.

当 ?a ? 5, 即 a ? ?5 时, f ( x ) min ? f (5) ? 27 ? 10a ? ?1. ? a ? ?2.8 ,舍 去.
6

综 ┉┉┉ 6 分





a ? ? 3.

(2) g ( x ) ? 2 x ? x ? 1 在 [ ?1, ??) 上单调递增,? g ( x ) ? [ ?2, ??) . ┉ 8分

┉┉

在 x ? R 时, f ( x ) ? [2 ? a 2 , ??) .由题意知: [ ?2, ??) ? [2 ? a 2 , ??) . ┉┉┉ 11 分

? 2 ? a 2 ? ?2,? a ? ?2 或 a ? 2.
┉┉ 12 分



21、解: (1)? 函数 f ( x) 是定义在( m ,1)上的奇函数,? m =-1. 由 f (0) ? 0 , 得b ? 0, 又由 f (2) ? ┉┉ 4 分 (2) 判定: 函数 f ( x) 在 (-1, 1) 上单调递增. ┉┉ 5 分 证明:任取实数 x1 , x2 ? ( ?1,1) 且 x1 ? x2 ,则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 2 x2 ( x ? x2 )(1 ? x1 x2 ) . ? ?2 1 2 2 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x12 )(1 ? x2 2 )
2a 4 2x ,定义域为(-1,1)┉. ? ,得 a ? 2 .即 f ( x ) ? 5 5 1 ? x2





┉┉ 6 分

? ?1 ? x2 ? x1 ? 1,? x1 ? x2 ? 0,1 ? x1 x2 ? 0. ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 函数 f ( x) 在(-1,1)上单调递增.
┉┉ 8 分 (3)? 函数 f ( x) 定义域为(-1,1)? 对任意的 t ? [?2, 2] 恒有 ? 1 ? tx ? 2 ? 1 成立 ┉

??1 ? ?2 x ? 2 ? 1 ?? ? x ?? ? ?1 ? 2 x ? 2 ? 1 在. …………12 分

.

? 这 样 的 x 不 存

22、解: (1)令 y ? 0 则 f ( x ) ? f (0) ? x ( x ? 1). 又令 x ? 1 则
f (1) ? f (0) ? 2,? f (1) ? 0 ? f (0) ? ?2. ? f ( x) ? x 2 ? x ? 2.

┉┉

┉ 3分

7

(2) f ( x) ? x 2 ? x ? 2 ? (a ? 2) x ? 3,? x 2 ? x ? 1 ? ax.
1 1 1 1 ? x ? ( , 2) ? a ? x ? ? 1. 令 F ( x ) ? x ? ? 1, x ? ( , 2) . 2 x x 2 1 ? x ? ( ,1] 时, F ( x ) 单调递减; x ? [1, 2) 时, F ( x ) 单调递增. 2 1 3 3 3? ? 又 F ( ) ? F (2) ? , F (1) ? 1,? F ( x ) ? [1, ). ? A ? ? a | 1 ? a ? ? . ┉ ┉ 2 2 2 2? ?

┉ 7分 (3)由 a ( x 2 ? x ? 2) ? x ? b ,得 ax 2 ? (a ? 1) x ? 2a ? b ? 0 有两不等实根. 依题意有 ? ? (a ? 1) 2 ? 4a(2a ? b) ? 0.? 9a 2 ? 2a ? 1 ? 4ab ? 0. ┉┉ 9 分
3 1 ? 存在a ? [1, ), 使 ? 4b ? 9a ? ? 2成立, 2 a 3 1 ?当a ? [1, )时, 9a ? ? 2单调递增 。 2 a 3 1 73 73 73 且a ? 时, 9a ? ? 2 ? .??4b ? ,? b ? ? . 2 a 6 6 24



┉┉┉ 12 分 (法二:数形结合,略)

8


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