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广东省普宁市华侨中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题 理


普宁华侨中学 2015-2016 学年度第二学期期中考 高一数学试题(理科)
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(阅读题)和第Ⅱ卷(表达题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、若集合 M={x∈R|-3<x<1}, N={x∈Z|-1≤x≤2},则 M∩N= ( ) A.{0} B.{-1,0} C.[-1, 1) D.{-2,-1,0,1,2} 2、已知向量 a, b 不共线, c ? ka ? b , d ? a ? b ,如果 c / / d ,那么 (

? ?

?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

)

? ? ? A.k=1 且 c 与 d 同向 ? ? ? C.k=-1 且 c 与 d 同向
A. 8 B. 7

? ? ? B.k=1 且 c 与 d 反向 ? ? ? D.k=-1 且 c 与 d 反向
). C. 6 D. 5

3、设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? (

4.、已知命题 p :所有有理数都是实数,命题 q :正数的对数都是负数,则下列命题中为真 命题的是 ( ) A. (?p) ? q
2

B. (?p) ? (?q)

C. p ? q

D. (?p) ? (?q) ) D.10 )

5、已知 f(x)=lg( x +1-ax)是一个奇函数,则实数 a 的值是 ( A.1 B.-1
a b

C.±1

6、已知 a 、 b 为实数,则 2 ? 2 是 log 2 a ? log 2 b 的( A. 必要非充分条件 C. 充要条件

B 充分非必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7、有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食,他们共购进 粮食两次,各次的粮食价格不同,甲每次购粮 10000 千克,乙每次购粮食 10000 元,在 两次统计中,购粮的平均价格较低的是( ) A.甲 B.乙 C.一样低 D.不确定 8、设 F 1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在 a 2 b2

点 P ,满足 PF2 ? F 1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的 1F 2 ,且 F2 到直线 PF 渐近线方程为 ( A. 3x ? 4 y ? 0 ) C. 4 x ? 3 y ? 0 D. 5x ? 4 y ? 0 )
1

B. 3x ? 5 y ? 0

9.若 3a ? 4b ? ab ,a>0 且 b>0,则 a +b 的最小值是(

A. 6 ? 2 3

B. 7 ? 2 3

C. 6 ? 4 3

D. 7 ? 4 3

?x ? 0 4 ? 10. 若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等的两 3 ?3 x ? y ? 4 ?
部分,则 k 的值是 ( A. ) D.

7 3 4 B. C. 3 7 3 11. 设 a ? b ? 0 ,则下列不等式中不能成立的是( 1 1 1 1 ? ? A. B. C. a ? b a b a ?b a
12.设正数 x , y 满足 x ?
2

3 4
) D. a 2 ? b 2

y2 ? 1,则 x ? 1 ? y 2 的最大值为 ( 2

)

A.

3 2

B.

3 2 2

C.

3 4

D.

3 2 4

二.填空题(25 分)

?e x , x ? 0 ? ? 1 ?? 13. 设 g ? x ? ? ? ,则 g ? g ? ? ? ? ? ? 2 ?? ?ln x, x ? 0
2



14.抛物线 y ? 12 x 上一点 M 到抛物线焦点的距离为 9 ,则点 M 到 x 轴的距离 为 .

15. 在 ?ABC 中, ?B ? 90?, AB ? BC ? 1,点 M 满足 BM ? 2 AM ,则

???? ?

???? ?

???? ? ??? ? CM ? CA ?



16.已知函数 y ? sin ?? x ? ? ? ? 2cos ?? x ? ? ?? 0 ? ? ? ? ? 的图象关于直线 x ? 1 对称, 则 sin 2? ? .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? r . (1)求实数 r 的值和 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , bn ?1 ? bn ? log 2 an ?1 ,求 bn .

2

18.(本小题满分 12 分) 某中学刚搬迁到新校区,学校考虑,若非住校生 上学路上单程所需时间人均超过 20 分 .... 钟,则学校推迟 5 分钟上课. 为此,校方随机抽取 100 个非住校生,调查其上学路上单 程所需时间(单位:分钟),根据所得数据绘制成如下频率分布直方图,其中时间分组为

[0,10) , [10, 20) , [20,30) , [30, 40) , [40,50] .
(1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)从统计学的角度说明学校是否需要推迟 5 分钟上课; (3)若从样本单程时间不小于 30 分钟的学生中,随机抽取 2 人,求恰有一个学生的单 程时间落在

[40,50] 上的概率.

19.(本小题满分 12 分)

? 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, ? ? ) 在一个周期内的图象如图所示, 2
? ? 其中 M ( , 2) , N ( ,0) . 12 3

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a,b,c , 且a ? 1 3 , c? 3 , (f ) 的面积. y M N

A 3 ? 2

, 求 ?ABC

O

x

3

20.(本小题满分 12 分) 如图四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB // CD ,
?ABC ? 90? ,且 CD ? 2, AB ? BC ? PA ? 1 , PD ? 3 .

(1)求三棱锥 A ? PCD 的体积; (2)问:棱 PB 上是否存在点 E ,使得 PD // 平面 ACE ?若存在,求出 以证明;若不存在,请说明理由. P
BE 的值,并加 BP

A

B C

D 21.(本小题满分 12 分)

1 已知点 A(? 2,0), B( 2,0) ,动点 E 满足直线 EA 与直线 EB 的斜率之积为 ? . 2

(1)求动点 E 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 F ?1,0 ? 的直线 l1 与曲线 C 交于点 P , Q ,记点 P 到直线 l2 : x ? 2 的距离为 d . ①求

PF d

的值;

②过点 F 作直线 l1 的垂线交直线 l2 于点 M ,求证:直线 OM 平分线段 PQ . 22.(本小题满分 14 分)

1 已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) ( a ? R ) . 2
(1)若 a ? ?2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若不等式 f ( x ) ? 0 对任意 x ? (1, ?? ) 恒成立. ①求实数 a 的取值范围; ②试比较 e a ? 2 与 a e ? 2 的大小,并给出证明( e 为自然对数的底数, e ? 2.71828 ) .

4

普宁华侨中学 2015-2016 学年度第二学期期中考 高一数学试题(理科)答案 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 B 5 C 6 A 7 B 8 C 9 D 10 A 11 B 12 D

13. 17.

1 2

14. 6 2

15. 3

16. ?

4 5

又 b1 ? 1 符合上式,

1 1 ∴ bn ? n2 ? n ? 1 (n ? N? ) . ······················ 12 分 2 2
18.(1)时间分组为 [0,10) 的频率为

5

1 ? 10(0.06 ? 0.02 ? 0.003 ? 0.002) ? 0.15 , ················· 2 分

0.15 ? 0.015 , 10 所以所求的频率直方图中 a 的值为 0.015 . ················· 3 分
∴a? (2)100 个非住校生上学路上单程所需时间的平均数:
x ? 0.15 ? 5 ? 0.6 ? 15 ? 0.2 ? 25 ? 0.03 ? 35 ? 0.02 ? 45 ············· 4 分
? 0.75 ? 9 ? 5 ? 1.05 ? 0.9

? 16.7 . ································ 5 分
因为 16.7 ? 20 , 所以该校不需要推迟 5 分钟上课. ···················· 6 分

(3)依题意满足条件的单程所需时间在 [30, 40) 中的有 3 人,不妨设为 a1 , a2 , a3 , 单程所需时间在 [40,50] 中的有 2 人,不妨设为 b1 , b2 , ··········· 7 分 从单程所需时间不小于 30 分钟的 5 名学生中,随机抽取 2 人共有以下 10 种情况:

(a1 , a2 ) , (a1 , a3 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a2 , a3 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) , (b1 , b2 ) ; ······················ 10 分
其中恰有一个学生的单程所需时间落在 [40,50] 中的有以下 6 种:

(a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) ; ········· 11 分
故恰有一个学生的单程所需时间落在 [40,50] 中的概率 P =

6 3 = . ····· 12 分 10 5

19.(1)由图像可知:函数 f ( x) 的周期 T ? 4 ? ( ? ) ? ? , ········ 1 分 3 12 ∴? ?

?

?

2? ? 2 . ····························· 2 分 ?

又 f ( x) 过点 ( , 2) , 12 ∴ f ( ) ? 2sin( ? ? ) ? 2 , sin( ? ? ) ? 1 , ················ 3 分 12 6 6

?

?

?

?

? 2? ? ? ? (? , ) , 3 3 ? ? ? ∴ ? ? ? ,即 ? ? . ························ 4 分 3 6 2
∵? ?

?

2



?

6

∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . ························· 5 分 3

?

6

A ? ? 3 (2)∵ f ( ) ? 2sin( A ? ) ? 3, 即 sin( A ? ) ? , 2 3 3 2 ? ? 4? 又 A ? (0, ? ), A ? ? ( , ) 3 3 3 ? ? 2? ∴ A? ? ,即 A ? . ························ 7 分 3 3 3
在 ?ABC 中, A ?

?
3

, a ? 13, c ? 3 ,

由余弦定理得 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , ·················· 8 分 ∴ 13 ? b2 ? 9 ? 3b ,即 b 2 ? 3b ? 4 ? 0 , 解得 b ? 4 或 b ? ?1 (舍去). ······················ 10 分

1 1 ? ∴ S?ABC ? bc sin A ? ? 4 ? 3 ? sin ? 3 3 . ················ 12 分 2 2 3
20.(1)取 CD 中点 G ,连接 AG , P

A D G C

B

? CD ? 2 AB, AB // CD, ? AB // GC , AB ? GC ,
? 四边形 AGCB 为平行四边形,

??AGD ? ?DCB ? ?ABC ? 900

1 在 Rt ?AGD 中,? AG ? BC ? 1, DG ? CD ? 1, 2
? AD ? AG2 ? DG2 ? 1 ? 1 ? 2, ···················· 1 分
? PD2 ? 3, PA2 ? AD2 ? 1 ? 2 ? 3, PD2 ? PA2 ? AD2 ,
??PAD ? 900 , 即 PA ? AD , ······················· 2 分

? 平 面PAD ? 平 面ABCD, 平 面PAD ? 平 面ABCD ? AD

?PA ? 平 面ABCD ··························· 3 分
1 ? S?ACD ? CD ? AG ? 1 , ························· 4 分 2
?VA? PCD ? VP ? ACD ···························· 5 分

7

1 ? ? S?ACD ? PA 3 1 1 ? ? 1? 1 ? . ····························· 6 分 3 3
(2)棱 PB 上存在点 E ,当 P

BE 1 ? 时, PD // 平面 ACE . ·········· 7 分 BP 3

E A O D C B

证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 OE . ∵ AB // CD, CD ? 2 AB ∴ ∴ ∴

BO AB 1 ? ? , ···························· 8 分 OD CD 2
BO 1 BE 1 ? ,又 ? BD 3 BP 3

BO BE , ? BD BP ∴ OE // DP, ······························ 10 分
又 OE ? 面ACE,PD ? 面ACE ,
? PD // 面ACE . ···························· 12 分

21.(1)设 E ( x, y ) , 依题意得 kEA ? kEB ? 整理得

1 ? ? , ( x ? ? 2) , ············ 1 分 2 x? 2 x? 2 ?

y

y

x2 ? y2 ? 1 , 2 x2 ? y 2 ? 1 ( x ? ? 2) . ············· 3 分 2

∴动点 E 的轨迹 C 的方程为

(2)① F (1,0) ,设 P( x1 , y1 ), 则 y12 ? 1 ?
(1 ? x1 )2 ? y12 | PF | ? d 2 ? x1

x12 , 2

··············· 4 分



························ 5 分

8

?

1 ? 2 x1 ? x12 ? 1 ? 2 ? x1
1 ( x1 ? 2)2 2 2 ? x1

x12 2

?

?

2 . ································ 7 分 2
y P M O F Q x

②依题意,设直线 PQ : x ? my ? 1, Q( x2 , y2 ) ,

? x ? my ? 1 ? 联立 ? x2 , 可得 (2 ? m2 ) y 2 ? 2my ? 1 ? 0 , ·············· 8 分 2 ? y ? 1 ? ?2
显然 ? ? 0, y1 ? y2 ? ?

2m , ······················· 9 分 2 ? m2 2 ?m , ), ··············· 10 分 2 2 ? m 2 ? m2

所以线段 PQ 的中点 T 坐标为 (

又因为 FM ? l1 , 故直线 FM 的方程为 y ? ?m( x ? 1) , 所以点 M 的坐标为 (2, ?m) , 所以直线 OM 的方程为: y ? ? 因为 T (

m x, ···················· 11 分 2

2 ?m m , ) 满足方程 y ? ? x, 2 ? m2 2 ? m2 2 故 OM 平分线段 PQ. ·························· 12 分
22.(1) ? a ? ?2 时, f ( x) ? ln x ? x ? 1 , f ?( x) ?

1 ? 1, x

·········· 1 分

? 切点为 (1,0) , k ? f ?(1) ? 2 ······················· 3 分
? a ? ?2 时,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 2 . ······ 4 分

1 (2)? f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , 2 1 a 2 ? ax , ························ 5 分 ? f ?( x) ? ? ? x 2 2x
9

①当 a ? 0 时, x ? (1, ?? ) , f ?( x) ? 0 ,
? f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增, f ( x) ? f (1) ? 0 , ? a ? 0 不合题意. ··························· 6 分
2 ? ax 2 ?? ②当 a ? 2 即 0 ? ? 1, 时, f ?( x) ? 2x a 2 a( x ? ) a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立, 2x

? f ( x) 在 (1, ??) 上单调递减,有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,

? a ? 2 满足题意. ··························· 7 分

③若 0 ? a ? 2 即

2 2 2 ? 1, 时,由 f ?( x) ? 0 ,可得 1 ? x ? ,由 f ?( x) ? 0 ,可得 x ? , a a a

2 2 ? f ( x) 在 (1, ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减, a a 2 ? f ( ) ? f (1) ? 0 , a
? 0 ? a ? 2 不合题意.

························· 9 分

综上所述,实数 a 的取值范围是 [2, ??). ·················· 10 分 当 a ? 2 时, “比较 e a ? 2 与 a e ? 2 的大小”等价于“比较 a ? 2 与 (e ? 2) ln a 的大小” 设 g ( x) ? x ? 2 ? (e ? 2)ln x ( x ? 2) 则 g ?( x) ? 1 ?

e ? 2 ( x ? 2) ? e ? ? 0, x x ? g ( x) 在 [2, ??) 上单调递增, ······················ 12 分

? g (e) ? 0,

当 x ? [2, e) 时 , g ( x) ? 0, 即 x ? 2 ? (e ? 2) ln x ,? e x ? 2 ? x e ? 2 当 x ? (e, ??) 时 , g ( x) ? 0 ,即 x ? 2 ? (e ? 2) ln x ,? e x ? 2 ? x e ? 2 综上所述,当 a ? [2, e) 时, e a ? 2 ? a e ? 2 ; 当 a ? e 时, e a ? 2 ? a e ? 2 ; 当 a ? (e, ??) 时, e a ? 2 ? a e ? 2 . ······················ 14 分

10


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