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§2.4.2


X

§2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)

一、温故知新

抛物线的定义及标准方程
图 l y
O

定义:
定义:在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)的距离相等 的点的轨迹叫 抛物线.



标准

方程

焦点坐标

准线方程

F

x

y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)

p ( ,0 ) 2 p (? ,0) 2 p (0, ) 2

p x?? 2 p x? 2 p y?? 2 p y? 2

y
F

l
O

x

y
F
O

l

x

y
l
O F

x

p x2=-2py (0, ) ? (p>0) 2

二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质?
y

1、

范围

由抛物线y2 =2px(p>0) 有 2 px ? y 2 ? 0

所以抛物线的范围为 x ? 0
抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱也 增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

x ?? 0

p?0

o

p F ( ,0 ) 2

x

2、

对称性
关于x轴

y

? ( x, y)

对称

( x, ? y )
2

若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px, o F ( p ,0) 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.

x

3、

顶点
y

定义:抛物线与 它的轴的交点叫做抛 物线的顶点。

?

o

y2

= 2px (p>0)中,

F(

p ,0 ) 2

x

令y=0,则x=0. 即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).

注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。

4、

离心率

y
P(x,y)

抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比,叫做 抛物线的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

o

p F ( ,0 ) 2

x

下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。

(二)归纳:抛物线的几何性质
图 形
y
l
O F

方程

焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴

e

y2 = 2px p p F ( ,0 ) x ? ? x (p>0) 2 2
l

y
F O

y2 = -2px p p F ( ? ,0) x ? 2 x(p>0) 2 x2 = 2py p p F (0, ) y ? ? 2 2 x (p>0)
l

y∈R
(0,0) 1

y
O

F

y≥0
x∈R y轴 y≤0

y
O F

= -2py F (0,? p ) y ? p 2 x(p>0) 2 x2

l

x∈R

特点:
y2=4x 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 y2=2x 限延伸,但它没有渐近线; y2=xy 1 2= y x 2.抛物线只有一条对称轴,没有
4 3 2 1

2

P(x,y)

-2

2

4

6

8

10

对称中心;

-1

-2

3.抛物线只有一个顶点、
-4

-3

o

F(

p ,0 ) 2

x

一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考:抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔

-5

补充(1)通径: (标准方程中2p的几何意义)
y

通过焦点且垂直对称轴的直线, 与抛物线相交于两点,连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。
O

P ( x0 , y0 )
F
x

通径的长度:2P

P越大,开口越开阔

利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。 (2)焦半径: 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫

做抛物线的焦半径。
焦半径公式:|PF|=x0+p/2

练习:
1、已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在 直线3x-4y-12=0上,那么抛物线通径长是 16 . 2、已知点A(-2,3)与抛物线 y ? 2 px( p ? 0)
2

的焦点的距离是5,则P=

4



例题3
思考题 例3:图中是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离 水面2米,水面宽4米. 若在水面上有一宽为2米,高 水下降1米后,水面宽多少? 为1.6米的船只,能否安全通过拱桥? y A(2,-2) x2=-2y y=-3代入得 x ?

6
l

o

?水面宽2 6
B(1,y) y=-0.5 B到水面的距离为1.5米

2

B A

x

不能安全通过

4

探照灯、汽车前灯的反光曲面,手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面:抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上,通过镜面反射就变 成了平行光束,这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。

平行光线射到抛物镜面上,经镜面反射后,反射光线都 经过抛物线的焦点,这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。

四、归纳总结
1、范围: 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可 以无限延伸,但没有渐近线; 2、对称性: 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点:抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 4、离心率:抛物线的离心率是确定的,等于1; 5、通径: 抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张口 越大.


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