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高中数学经典高考复习题 导数理(含答案!!)


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2015 届高考数学一轮复习质检题(导数部分)
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分) 1.函数 f ( x) ? ax ? x ? 1 有极值的充要条件是(
3

y
2 1

y
2 1
o

/>y
4
o

y
4 2 1

y y=xf'(x)
1 -1
o

) (D) a ? 0 )

-2 -1 -2

1 23 x

-1 -2

1 2 x
-2

2
o

x

-2

o

2

x

1

x

(A) a ? 0

(B) a ? 0

(C) a ? 0

-1

1 x2 ? 3lnx的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2.已知曲线 y ? 2 4
(A)3 (B) 2 (C) 1 (D) 1 2

10.右图中阴影部分的面积是( (A) 2 3 (B) 9 ? 2 3

) (C)

32 3

(D)

35 3

3.设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N, 则 f2005(x)=( ) A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx )

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)
11.已知函数 y ? f ( x) 的图象在 M(1,f(1) )处的切线方程是 y ?

1 x +2,f(1)-f ’(1)=______________. 2

4.设 a ? R ,若函数 y ? e ax ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则( A. a ? ? 3 B. a ? ?3 ) C. a ? ?

12.函数 f ( x) ? 12 x ? x3 在区间 [?3, 3] 上的最小值是



1 3

D. a ? ?

1 3

5.函数 y ? 1 ? 3x ? x 3 有(

1) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? _____ . 13.设曲线 y ? eax 在点 (0,
14.半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r2,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞)上的变量, 1, 则 (? ? r 2 )? =2 ? r ○ 2式可以用语言叙述为: ○ 1式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 ○ 2 ○ 1的式子: 对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○ )

(A)极小值-1,极大值 1 (B)极小值-2,极大值 3 (C)极小值-2,极大值 2 (D)极小值-1,极大值 3 6.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, (A) (?3,0) ? (3,??) (C) (??,?3) ? (3,??) 7.曲线 y ? e
1 x 2

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0.且 g?? 3? ? 0 ,.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是(
(B) (?3,0) ? (0,3) (D) (??,?3) ? (0,3) )

15.设曲线 y ? x

n?1

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则 x1 ? x2 ?

? xn =

在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

2

9 2 2 2 2 A. e B. 4e C. 2e D. e 2 1 2 8.若 f(x)= ? x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( ) 2 A.[-1,+∞] B.(-1,+∞) C. ?? ?,?1? D.(-∞,-1)
9.已知函数 y ? xf ?( x) 的图像如右图所示(其中 f ?( x) 是函数 f ( x)的导函数) ,下面四个图象中 y ? f ( x) 的图象大致是 ( )

三、解答题:(16,17,18,19 各 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分)
16.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x (吨)与每吨产品的价格 p (元/吨)之间的关系式为:

1 p ? 24200 ? x 2 ,且生产 x 吨的成本为 R ? 50000 ? 200 x (元) 。问该产每月生产多少吨产品才能使利润 5
达到最大?最大利润是多少?(利润=收入─成本)

第 1页

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19.设曲线 y ? e ? x ( x ≥0)在点 M(t, e )处的切线 l 与 x 轴 y 轴所围成的三角形面积为 S(t) 。
?t

(1)求切线 l 的方程; 17. 设函数 f ( x) ? x ? ax ? 9x ?1(a
3 2

0). 若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与

(2)求 S(t)的最大值。

直线 12x+y=6 平行,求: (1)a 的值; (2)函数 f(x)的单调区间.

20.设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x2 (1)讨论 f ( x ) 的单调性; 18.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 , a ? R .
3 2

(2)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4

? 3 1? ? ?

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围.

? 2 ? 3

1? 3?

第 2页

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参考答案
21.设 a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F(x)=xf' (x) ,讨论 F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln2x-2a ln x+1. 一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分)

题号 答案

1 C

2 A

3 C

4 B

5 D

6 D

7 D

8 C

9 C

10 C

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)
? ?4 3? 2 11. 3 ; 12. ?16 ; 13. 2 ; 14. ? ?R ? ? 4?R ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数 ?3 ?
15. 解析: 对 y ? xn?1 (n ? N * )求导得y' ? (n ? 1) xn ,令 x ? 1 得在点(1,1)处的切线的斜率 k ? n ? 1 ,在点 ( 1 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为 y ?1 ? k ( xn ?1) ? (n ? 1)( xn ?1) , 不 妨 设 y ? 0 ,

xn ?

n n ?1 则

x1 ? x2 ?

1 2 3 n ?1 n 1 ? xn ? ? ? ? ... ? ? ? , 2 3 4 n n ?1 n ?1

三、解答题:(15,16 小题各 12 分,其余各小题各 14 分) 1 2 15. 解:每月生产 x 吨时的利润为 f ( x) ? (24200 ? x ) x ? (50000 ? 200 x) 5 1 ? ? x 3 ? 24000x ? 50000 ( x ? 0) 5 3 由f ?( x) ? ? x 2 ? 24000? 0解得x1 ? 200, x 2 ? ?200(舍去). 5 因f ( x)在[0,??)内只有一个点 x ? 200使f ?( x) ? 0 ,故它就是最大值点,且最大值为: 1 f (200 ) ? ? (200 ) 3 ? 24000 ? 200 ? 50000 ? 3150000 (元) 5
答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元.

a 2 a2 2 ? . 16. 解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? x ? ax ? 9 x ? 1, 所以 f ( x) ? 3x ? 2ax ? 9 ? 3( x ? ) ? 9 ? 3 3 a a2 . 即当 x ? ? 时,f ?( x)取得最小值 ? 9 ? 3 3 因斜率最小的切线与 12 x ? y ? 6 平行,即该切线的斜率为-12,
2 2

历届高考中的“导数”试题精选(理科自我测试)
第 3页

a2 ? ?12,即a 2 ? 9. 解得 a ? ?3,由题设a ? 0, 所以a ? ?3. 所以 ?9 ? 3 3 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? ?3,因此f ( x) ? x ? 3x ? 9 x ?1,

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f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3( x ? 1)
2

令f ?( x) ? 0, 解得:x1 ? ?1, x2 ? 3. 当x ? (??, ?1)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(??, ? 1)上为增函数; 当x ? (?1,3)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在( ? 1,)上为减函数; 3 当x ?(3,+?)时,f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(3, ? ?)上为增函数. 由此可见,函数f ( x)的单调递增区间为(??, ?1)和(3, ? ?); 单调递减区间为( ? 1, 3) .
17.解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 当a
2

求导: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 ,

f ( x) 在 R 上递增

3 1 1 ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2 1? ? 3 ? ? 1 ? ? 从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , ? 1? , ? ? , ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ? ? 单调减少. 2? ? 2 ? ? 2 ? ? 1 ? 3 1? ? 1? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . 4 ? 4 4? ? 2? 3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ? 3? ?1? 又 f ? ? ? ? f ? ? ? ln ? ? ln ? ? ln ? ? ?1 ? ln ? ? 0 . 2 16 2 16 7 2 2? 6 ? ? 4? ?4? 7 ? 3 1? ?1? 1 所以 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值为 f ? ? ? ? ln . 2 ? 4 4? ? 4 ? 16
当?

?a ? a 2 ? 3 当 a ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ? 3
2

? ?a ? a 2 ? 3 ? 递增, 即 f ( x ) 在 ? ??, ? ? ? 3 ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? 递减, ? ? 3 3 ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? 递增 ? ? ? 3 ? ?

2 In x 2a ? , x ? 0. x x 2 x?2 , x ? 0. 故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2 In x ? 2a, x ? 0, 于是 F ?( x) ? 1 ? ? x x
20.(Ⅰ)解:根据求导法则得 f ?( x) ? 1 ? 列表如下:

? 2 1? ? 2 ? 3 3? ? 3 ? ? 2? ? 7 4a ? f ?? ? 3 ? ? 0 ?3 ? 3 ? 0 ? ? ? ? 由 f ?( x) 的图像可知,只需 ? ,即 ? , 解得。a≥2。 4 2 a 1 ? ? ? ? ? f ?? ? ? ? 0 ?0 3 3 ? ? ? 3? ? ? 所以, a 的取值范围 ?2,??? 。
18.解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? (e )? ? ?e , 所以切线 l 的斜率为 ? e ,
?x ?x ?t

(2)要使 f(x)在在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,当且仅当, f ?( x) ? 0 在 ? ? , ? ? 恒成立,

1? 3?

x F′(x) F(x)

(0,2) ↓

2 0 极小值 F(2)

(2,+∞) + ↑

故知 F (x) 在 (0, 2) 内是减函数, 在 (2, +∞) 内是增函数, 所以, 在 x=2 处取得极小值 F (2) =2-2In2+2a. (Ⅱ)证明:由 a ? 0知,F ( x)的极小值 F (2) ? 2 ? 2 In 2 ? 2a ? 0. 于是由上表知,对一切 x ? (0,??), 恒有F ( x) ? xf ?( x) ? 0. 从而当 x ? 0时,恒有 f ?( x) ? 0, 故f ( x)在( 0,??)内单调增加 . 所以当 x ? 1 时,f ( x) ? f (1) ? 0,即x ? 1 ? In2 x ? 2a In x ? 0.

故切线 l 的方程为 y ? e ?t ? ?e ?t ( x ? t ).即 e x ? y ? e (t ? 1) ? 0 。 (Ⅱ)令 y= 0 得 x=t+1, x=0 得 y ? e (t ? 1)
?t

?t

?t

时,恒有x ? In x ? 2a In x ? 1. 故当 x ? 1
2

1 1 ?t 2 ?t (t ? 1) ? e (t ? 1) = (t ? 1) e 2 2 1 ?t 从而 S ?(t ) ? e (1 ? t )(1 ? t ). 2 ∵当 t ?(0,1)时, S ?(t ) >0, 当 t ?(1,+∞)时, S ?(t ) <0, 2 所以 S(t)的最大值为 S(1)= 。 e
所以 S(t)=

? 3 ? ? 2 ? 2 2 4 x ? 6 x ? 2 2(2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? ? (Ⅰ) f ?( x) ? . 2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3
19.解: f ( x ) 的定义域为 ? ? , ? ∞? .
第 4页


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