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2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练 第1部分专题二第2讲 三角恒等变换与解三角形(选择、填空题型)


第二讲 三角恒等变换与解三角形?选择、填空题型?

考 点 三角函数的概念及诱导公式 同角三角函数基本关系式 两角和与差的三角函数 倍角公式 解三角形问题

考 情 1.对三角变换公式注重基础考查,并在综合试题中作 为一种工具考查,主要考查利用各种三角公式进行求值与 化简,其中降幂公式、 辅助角公式是考查的重点, 切化弦、 角的变换是常考的

三角变换思想.如 2013 年浙江 T6 等. 2. 正弦定理和余弦定理及解三角形问题是高考考查的重 点,单独命题的频率较高,主要涉及以下几个问题: (1)

三角恒等变换与向量相结合问题

边和角的计算;(2)三角形形状的判断;(3)面积的计算;(4) 有关范围的问题.如 2013 年辽宁 T6,天津 T6 等.

1.(2013· 浙江高考)已知 α∈R,sin α+2cos α= 4 A. 3 3 C.- 4 3 B. 4

10 ,则 tan 2α=( 2

)

4 D.- 3

解析:选 C 两边平方,再同时除以 cos2α,得 3tan2α-8tan α-3=0,tan α=3 或 tan α 1 2tan α 3 =- ,代入 tan 2α= ,得到 tan 2α=- . 3 4 1-tan2α 2.(2013· 辽宁高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C 1 +csin Bcos A= b,且 a>b,则∠B=( 2 π A. 6 2π C. 3 ) π B. 3 5π D. 6

1 解析:选 A 由正弦定理可得 sin Asin Bcos C+sin C· sin Bcos A= sin B,因为 sin B≠0, 2 1 1 1 π 所以 sin Acos C+sin Ccos A= ,即 sin(A+C)= ,故 sin B= ,因为 a>b,所以∠B= . 2 2 2 6

1

π 3.(2013· 天津高考)在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin ∠BAC=( 4 A. 10 10 B. D. 10 5 5 5

)

3 10 C. 10

解析:选 C 由余弦定理可得 AC2=9+2-2×3× 2× 3× 2 2 3 10 = . 10 5

2 =5,所以 AC= 5.再由正弦 2

AC BC BC· sin B 定理得 = ,所以 sin A= = sin B sin A AC

4.(2013· 福建高考)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD 2 2 ⊥AC,sin∠BAC= ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 3 2 2 解析:因为 sin∠BAC= ,且 AD⊥AC, 3 π 2 2 ? 2 2 所以 sin? ?2+∠BAD?= 3 ,所以 cos∠BAD= 3 ,在△BAD 中,由余弦定理,得 BD= = AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD 2 2 ?3 2?2+32-2×3 2×3× = 3. 3

答案: 3

1.两组三角公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β. ②cos(α± β)=cos αcos β?sin αsin β. tan α± tan β ③tan(α± β)= . 1?tan αtan β (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α=2sin αcos α. ②cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 2tan α ③tan 2α= . 1-tan2α 2.两个定理 (1)正弦定理

2

a b c = = =2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). sin A sin B sin C 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; a b c sin A= ,sin B= ,sin C= ; 2R 2R 2R a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. (2)余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= ,cos B= , 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C= . 2ab 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2-c2=2abcos C.

热点一

三角变换与求值

[例 1] (1)(2013· 重庆高考)4cos 50° -tan 40° =( A. 2 C. 3
2

) 2+ 3 2

B.

D.2 2-1 )

π? 1 2sin α+sin 2α π (2)若 tan? =( ?α+4?=2,且-2<α<0,则 π? ? cos?α-4? 2 5 A.- 5 3 5 C.- 10 3 5 B.- 10 2 5 D. 5

11 4 3 π π (3)若 cos(2α-β)=- ,sin(α-2β)= ,0<β< <α< ,则 α+β 的值为________. 14 7 4 2 sin 40° [自主解答] (1)4cos 50° -tan 40° =4cos 50° - cos 40° = = -sin 40° 4sin 40° · cos 40° sin 40° 2sin 80° - = cos 40° cos 40° cos 40° 2cos 10° -sin 40° 2cos 10° -sin?30° +10° ? = cos 40° cos 40°

3 3 cos 10° - sin 10° 2 2 = cos 40°
3



3?cos 30° cos 10° -sin 30° sin 10° ? 3cos 40° = = 3. cos 40° cos 40°

π? tan α+1 1 1 (2)由 tan? ?α+4?=1-tan α=2,得 tan α=-3. π 10 又- <α<0,所以 sin α=- . 2 10 故 2sin2α+sin 2α 2sin α?sin α+cos α? 2 5 = =2 2sin α=- . π 5 2 α- ? cos? ? sin α + cos α ? ? 4? 2

11 π (3)∵cos(2α-β)=- 且 <2α-β<π, 14 4 5 3 ∴sin(2α-β)= . 14 4 3 π π ∵sin(α-2β)= 且- <α-2β< , 7 4 2 1 ∴cos(α-2β)= . 7 ∴cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)] =cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β) 11 1 5 3 4 3 1 =- × + × = . 14 7 14 7 2 π 3π π ∵ <α+β < ,∴α+β= . 4 4 3 [答案] (1)C π (2)A (3) 3

—————————————————规律· 总结—————————————— 1.化简求值的方法与思路 三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类, 做到三角函 数名称的统一,通过三角恒等变换,化繁为简,便于化简求值,其基本思路为:找差异,化 同名(同角),化简求值. 2.解决条件求值应关注的三点 (1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知求这个角的某种三角函数值,然后 结合角的取值范围,求出角的大小.

1.在△ABC 中,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值是(

)

4

A.- 1 C. 2

2 2

B.

2 2

1 D.- 2

tan A+tan B 解析:选 B 由 tan Atan B=tan A+tan B+1,可得 =-1,即 tan(A+B)= 1-tan Atan B 3π π 2 -1,所以 A+B= ,则 C= ,cos C= . 4 4 2 β? α+β 1 π π ?α ? 2 2.已知 cos? ?α-2?=-9,sin?2-β?=3,且2<α<π,0<β<2,则 cos 2 =________. π π π α π 解析:因为 <α<π,0<β< ,则 < < , 2 2 4 2 2 π π β - <-β<0,- <- <0, 2 4 2 π β π α π 所以 <α- <π,- < -β< . 4 2 4 2 2 β? 1 ?α ? 2 又 cos? ?α-2?=-9<0,sin?2-β?=3>0, π β α π 所以 <α- <π,0< -β< . 2 2 2 2 β α- ?= 则 sin? ? 2? α ? cos? ?2-β?= 故 cos β 4 5 α- ?= 1-cos2? ? 2? 9 , α ? 5 1-sin2? ?2-β?= 3 ,

α+β ?α-β?-?α-β?? =cos? ?? 2? ?2 ?? 2

β α β α α- ?cos? -β?+sin?α- ?sin? -β? =cos? ? 2? ?2 ? ? 2? ?2 ? 1? 5 4 5 2 7 5 =? ?-9?× 3 + 9 ×3= 27 . 7 5 答案: 27

热点二

利用正弦、余弦定理解三角形

[例 2] (1)(2013· 湖南高考)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B = 3b,则角 A 等于 π A. 3 π C. 6
5

(

) π B. 4 π D. 12

(2)已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=80,b=100,A=30° ,则 此三角形( )

A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是直角三角形,也可能是锐角三角形 (3)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 4sin2 a+b=5,c= 7,则△ABC 的面积为________. [自主解答] (1)由已知及正弦定理得 2sin Asin B= 3sin B, 因为 sin B>0, 所以 sin A= π? π 又 A∈? ?0,2?,所以 A=3. (2) 依 题 意 得 a b bsin A 100sin 30° 5 3 = , sin B = = = < , 因 此 0° <B<60° 或 sin A sin B a 80 8 2 3 . 2 A+B 7 -cos 2C= ,且 2 2

120° <B<150° . 若 0° <B<60° ,则 C = 180° - (B + 30° )>90° ,此时△ ABC 是钝角三角形;若 120° <B<150° ,此时△ABC 仍是钝角三角形.因此,此三角形一定是钝角三角形. (3)因为 4sin2 A+B 7 7 -cos 2C= ,所以 2[1-cos(A+B)]-2cos2C+1= ,2+2cos C- 2 2 2

2 2 7 1 1 1 a +b -7 2cos2C+1= , cos2C-cos C+ =0, 解得 cos C= .根据余弦定理, 有 cos C= = , 2 4 2 2 2ab

则 ab=a2+b2-7,故 3ab=a2+b2+2ab-7=(a+b)2-7=25-7=18,所以 ab=6,所以△ 1 1 3 3 3 ABC 的面积 S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 [答案] (1)A 3 3 (2)C (3) 2

互动探究 将本例(1)中“2asin B= 3b”改为“2bcos B=acos C+ccos A,且 b2=3ac,角 C 所对 的边长为 c”,如何求解? 解:因为 2bcos B=acos C+ccos A,根据正弦定理可得,2sin Bcos B=sin Acos C+sin π 3 Ccos A, 即 sin 2B=sin(A+C)=sin B, 故 B= .因为 b2=3ac, 所以 sin2B=3sin Asin C, 即? ? 3 ?2?
2

1 1 3 π cos?A-C?+ ?,得 cos(A-C)=0,即 A-C= 或 C- =3× ×[cos(A-C)-cos(A+C)]= ? 2? 2 2? 2

π 2π π 7π A= ,又 A+C= ,得 A= 或 . 2 3 12 12

6

——————————————————规律· 总结—————————————— 解三角形问题的方法 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理; (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.

3.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,若 acos C+ 3asin C=b+c, 则角 A 的值为( A.30° C.60° ) B.45° D.120°

解析:选 C 由 acos C+ 3asin C=b+c 及正弦定理,得 sin Acos C+ 3×sin Asin C= sin B+sin C,由三角形内角和定理知,sin Acos C+ 3sin Asin C=sin(A+C)+sin C,化简得 1 3sin A-cos A=1,即 sin(A-30° )= .由于 0° <A<180° ,所以-30° <A-30° <150° ,所以 A 2 -30° =30° ,故 A=60° . 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则“a=2bcos C”是“△ABC 是 等腰三角形”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析: 选 A 若 a=2bcos C, 由正弦定理得 sin A =2sin B· cos C, 即 sin(B+C)=2sin Bcos C,所以 sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,即 sin Bcos C-cos BsinC=0,所以 sin(B-C) =0,即 B=C,所以△ABC 是等腰三角形.若△ABC 是等腰三角形,当 A=B 时,a=2bcos C 不一定成立,所以“a=2bcos C”是“△ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件.

热点三

解三角形与实际应用问题

[例 3] (1)(2013· 青岛模拟)如图所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠 在石堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另一端 B 在 离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为 α,则坡度值 tan α 等于 ( ) A. 231 5 5 B. 16

7

C.

231 16

11 D. 5

(2)如图所示,为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度,在海岸 上选取距离为 1 km 的两个观察点 C,D,在某天 10:00 观察到该航船在 A 处,此时测得∠ADC=30° ,3 min 后该船行驶至 B 处,此时测得∠ACB =60° ,∠BCD=45° ,∠ADB=60° ,则船速为__________km/min. [自主解答] (1)由题意,可得在△ABC 中,AB=3.5,AC=1.4,BC=2.8,且 α+∠ACB =π.由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2×AC×BC×cos ∠ACB,即 3.52=1.42+2.82- 5 231 sin α 231 2×1.4×2.8×cos(π-α),解得 cos α= .所以 sin α= .所以 tan α= = . 16 16 cos α 5 (2)法一:(常规思路)在△ACD 中, 有 AD CD = , sin?60° +45° ? sin[180° -?60° +45° ?-30° ] 3+1 . 2

得 AD=

BD CD 在△BCD 中,有 = , sin 45° sin[180° -?60° +30° ?-45° ] 得 BD=1. 在△ABD 中,有 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos 60° =

? 3+1?2+12-2× 3+1×1×1=3, ? 2 ? 2 2 2 ? ?
所以 AB= 6 6 ,故船速为 km/min. 2 6

法二:(特殊思路) 由题意,得∠BDC=30° +60° =90° , 又因为∠BCD=45° ,所以 BC= 2CD= 2. 因为∠ACB=∠ADB=60° ,所以 A,B,C,D 四点共圆,且以 BC 为直径,所以 AB= BC· sin 60° = 6 , 2 6 km/min. 6 (2) 6 6

故船速为

[答案] (1)A

总结——————————————————— ——————————规律· 四步解决解三角形中的实际问题 (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语, 如坡度、仰角、方位角等;

8

(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等 有关知识正确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.

5. 一船向正北方向航行, 看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线 上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60° 方向,另一灯塔在船的南偏西 75° 方 向,则这只船的速度是( A.15 海里/时 C.10 海里/时 ) B.5 海里/时 D.20 海里/时

解析:选 C 如图,依题意有∠BAC=60° ,∠BAD=75° ,所以 ∠CAD=∠CDA=15° ,从而 CD=CA=10,在 直角三角形 ABC 中,可得 AB=5,于是这只船的速度是 10 海 里/时. 6.如图所示,福建省福清石竹山原有一条笔直的山路 BC,现在又新架设了一条索道 AC.在山脚 B 处看索道 AC,此时张角∠ABC=120° ;从 B 处攀登 200 米到达 D 处,回头看 索道 AC,此时张角∠ADC=150° ;从 D 处再攀登 300 米即到达 C 处,则石竹山这条索道 AC 的长度为________米.

解析:在△ABD 中,BD=200 米,∠ABD=120° ,由∠ADB=30° ,得∠DAB=30° . BD AD 200 AD 因为 = ,即 = , sin 30° sin 120° sin∠DAB sin∠ABD 200sin 120° 所以 AD= =200 3 米. sin 30° 在△ADC 中,DC=300 米,∠ADC=150° , 所 以 AC2 = AD2 + DC2 - 2×AD×DC×cos ∠ ADC = (200 3 )2 + 3002 - 2×200 3 ×300×cos 150° =390 000.所以 AC=100 39 米. 答案:100 39

9


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