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从一道高考题看圆锥曲线的外切菱形的性质


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 从一道高考题看圆锥曲线的外切菱形的性质 作者:蔡润芳 来源:《福建中学数学》2014 年第 01 期 继续研究发现,不论 a 如何变化,直线 1xy+=均为椭圆 E 的切线,进而得出,四条直线 1xy± =± 的四个交点所构成的正方形恰好与椭圆外切.于是,若定义:四条边均与椭圆相切的平 行四边形,称为椭圆的外切平行四

边形;四条边所在直线均与双曲线相切的平行四边形,称为 双曲线的外切平行四边形.则结论可推广为如下定理: (Ⅲ )椭圆的外切菱形的对角线在坐标轴上,边故其外切正方形只有唯一一个. (Ⅲ )双曲线的外切菱形的对角线在坐标轴上,故其外切正方形只有唯一一个. 综上,只有当 BD 在 y 轴上时,才使椭圆的外切平行四边形 ABCDN 为菱形,即椭圆的外 切菱形的对角线必在坐标轴上.因此当其为正方形时,四条边所在直线的倾斜度必为 45° 或 135° ,即椭圆的外切正方形只有唯一一个,且为(Ⅱ )中所证之外切正方形. 定理 1 的结论得证,定理 2 的证明与以上类似.另外,焦点在 y 轴上的椭圆和双曲线的外切 菱形同样有类似的性质,请读者自行证明之. 对高考题的每一次深入研究,都能让我们更深刻地认识数学的本质.数学教育者应当不懈 追求,研究出更多更好的成果,不断提升数学教育的高度,更好地教书育人. 参考文献 [1]袁俊琍,熊光汉.椭圆的外切平行四边形及其性质.中学数学月刊,2006(5):26-28

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