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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 6-3 不等式的解法课件(文) 全国.重庆专版


第三节

不等式的解法

? 1.高次不等式的解法 ? 将高次不等式右边化为0,左边最高次数 项的系数化为正数,然后对左边进行因式 分解及同解变形,设xn<xn-1<?x2<x1, 则解集情况如下表:

a(x-x1)(x-x2)?(x 解集是右起奇序数 -xn)>0(a>0, 的区间 xi≠xj,i≠j) (a>

0,xi≠xj,i≠j) 解集是右起偶序数 a(x-x1)(x- 的区间 x2)?(x-xn)<0

? 若某一项是高次的,比如有(x-xi)n,当n 是奇数时,照穿不误,当n是偶数时,不 穿过.

? 2.分式不等式的解法
_f(x)g(x)>0. f(x)g(x)<0.

? 即将分式不等式转化为一元二次不等式或 高次不等式,然后再求解. ? 在进行分式不等式的同解变形时,一般遵 循的原则是:移项→通分→因式分解→数 轴标根法写出解集.

?
x-2 1.与不等式 ≥0 同解的不等式是 3-x A.(x-3)(2-x)≥0 2-x C. ≥0 x-3 ( )

B.lg(x-2)≤0 D.(x-3)(2-x)>0

【答案】 C

x-1 2.不等式 2 >0 的解集是 x -4 A.(-2,1) C.(-2,1)∪(2,+∞) B.(2,+∞)

(

)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

? 【答案】 C

3.不等式(x-4) x2-2x-3≤0 的解集是( A.{x|x≤4} B.{x|x≤-1 或 3≤x≤4} C.{x|x≤-1 或 x≥3} D.{x|3≤x≤4}
【解析】
?x2-2x-3≥0, ? 原不等式等价于? ?x-4≤0. ?

)

解得 x≤-1 或 3≤x≤4.

【答案】 B

? 4.不等式x+x3≥0的解集是________. ? 【解析】 x(1+x2)≥0,∵1+x2>0, ∴x≥0,则解集为{x|x≥0}. ? 【答案】 {x|x≥0}

x-a 5.若关于 x 的不等式 >0 的解集为(-∞,- x+1 1)∪(4,+∞)则实数 a=________.

? 【解析】 由题意知4为因式x-a的根, 则a=4,故填4. ? 【答案】 4

? 解不等式: ? (1)2x3-x2-15x>0; ? (2)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. ? 【思路点拨】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式f(x)> 0(或f(x)<0)可用“数轴标根法”求解,但 要注意处理好有重根的情况.,

【解析】

(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)>0.把

5 方程 x(2x+5)(x-3)=0 的三个根 x1=0,x2=-2,x3=3 标在数轴上, 然后从最大根的右上方开始画曲线顺次经过 三个根,其解集如图中阴影部分所示.

(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0
?x+5≠0 ? ?? ?(x+4)(x-2)>0 ? ?x≠-5 ? ?? ?x<-4或x>2 ?



用标根法表示不等式解集如图阴影所示.

∴原不等式的解集为 {x|x<-5 或-5<x<-4<或 x>2}.

【解析】

5-x 解法 1:原不等式变为 2 +1<0, x -2x-3

x2-3x+2 即 2 <0 x -2x-3
?x2-3x+2<0 ? ?? 2 ?x -2x-3>0 ? ?x2-3x+2>0 ? 或? 2 ?x -2x-3<0 ?

?-1<x<1 或 2<x<3. ∴原不等式的解集是{x|-1<x<1 或 2<x<3}.

解法 2

5-x x2-3x+2 : 2 <-1? 2 <0 x -2x-3 x -2x-3

?(x2-3x+2)(x2-2x-3)<0 ?(x-1)(x-2)(x-3)(x+1)<0. 如图,由数轴标根法得

∴-1<x<1或2<x<3, ∴原不等式的解集为{x|-1<x<1或2<x<3}.

f(x) 分式不等式的解题思路是:移项、通分、整理成 g(x)
? f(x) ? f(x) f(x) >0?或g(x)≥0或g(x)<0或g(x)≤0?的形式,然后转化为整 ? ?

式不等式(组)求解,当然也要注意本题解法 2 中的转化思 想的运用.

【解析】

原不等式等价于

3 x 3 x ≤ ? - ≤0 x-2 x+2 x-2 x+2 3(x+2)-x(x-2) ? ≤0 (x-2)(x+2) -x2+5x+6 ? ≤0 (x-2)(x+2) (x-6)(x+1) ? ≥0 (x-2)(x+2)

∴x<-2或-1≤x<2或x≥6,
∴原不等式解集为(-∞,-2)∪[-1,2)∪[6,+∞)

ax-5 已知关于 x 的不等式 2 <0 的解集为 M. x -a (1)当 a=4 时,求集合 M; (2)若 3∈M 且 5?M,求实数 a 的取值范围.

4x-5 【解析】 (1)当 a=4 时, 原不等式可以化为 2 < x -4 0,即
? 5? 4?x-4?(x-2)(x+2)<0.如右下图所示, ? ?

?5 ? ∴x∈(-∞,-2)∪?4,2?, ? ?

故M

?5 ? 为(-∞,-2)∪?4,2?, ? ?

3a-5 (2)由 3∈M 得: 2 <0,① 3 -a 5a-5 5?M 得: 2 ≥0,② 5 -a
? 5? 由①②得:a∈?1,3?∪(9,25). ? ?

ax-5 2.设关于 x 的不等式 2 <0 的解集为 M. x -a (1)当 a=2 时,求 M; (2)当 3 和-2 有且仅有一个不在 M 中,求实数 a 的 取值范围.

【解析】
? 5? 2?x-2? ? ?

2x-5 (1) 当 a = 2 时 , 不 等 式 2 <0? x -2
? 5? 2)?x-2?<0,由数轴标 ? ?

<0?(x+ 2)(x- (x+ 2)(x- 2) 根法如图所示,得
? ? M=?x|x<- ? ?

5? ? 2或 2<x<2?. ? ?

3a-5 5 (2)3∈M? <0?a<3或 a>9; 9-a -2a-5 5 -2∈M? <0?- <a<4. 2 4-a 因此,3∈M 与-2∈M 有且只有一个成立时,a 的取
? ? 5? ? 5 值范围是?-∞,-2?∪?3,4?∪(9,+∞). ? ? ? ?

? 简单不等式的解法是高考的一个重要内 容.多以选择题、填空题的形式考查一些 简单不等式的解法.以解答题的形式考查 含参数的不等式的解法,内容上常与函数、 三角、向量等知识综合,形成知识交汇 题.

x+5 1. (2008 年山东卷)不等式 2≥2 的解集是( (x-1)
? 1? A.?-3,2? ? ? ?1 ? C.?2,1?∪(1,3] ? ? ? 1 ? B.?-2,3? ? ? ? 1 ? D.?-2,1?∪(1,3] ? ?

)

【解析】

解法

? 1 ? 1:特殊值法.①1∈?-2,3?,但 ? ?

x

=1,显然不成立,排除 B. x+5 2 1 ②当 x=-3 时, = ≥2 不成立,排除 2= 16 8 (x-1) A. x+5 5 ③当 x=0 时, 2= =5≥2 成立,排除 C,故 (x-1) 1 选 D.

x+5 2x2-5x-3 解法 2: 2-2≥0? 2 ≤0 (x-1) (x-1) (2x+1)(x-3) ? ≤0 (x-1)2
?(2x+1)(x-3)≤0, ? ?? ?x-1≠0 ?

1 ?- ≤x≤3 且 x≠1, 故选 D 2

? 【答案】 D

1 2.(2008 年江西卷)不等式 2x +2x-4≤ 的解集为 2
2

________.

? 【解析】 原不等式?2x2+2x-4≤2- 1?x2+2x-4≤-1, ? 即x2+2x-3≤0,解之得-3≤x≤1,解集为 [-3,1]. ? 【答案】 [-3,1]


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