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2013年浙江省高中数学竞赛试题解答


2013 年浙江省高中数学竞赛试题解答
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后
的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1. 集合 P ? { x x ? R , x ? 1 ? 1 }, Q ? { x x ? R , x ? a ? 1} , 且 P ? Q ? ? ,则实数 a 取值

范围为( ) A. a ? 3 C. a ? ? 1 或 a ? 3 答案 C

B. a ? ? 1 . D. ? 1 ? a ? 3

P ? { x 0 ? x ? 2} , Q ? { x a ? 1 ? x ? a ? 1} , 要 使 P ? Q ? ? , 则 a ? 1 ? 2 或

a ? 1 ? 0 。解得 a ? ? 1 或 a ? 3 。

2. 若 ? , ? ? R , 则 ? ? ? ? 9 0 是 s in ? ? s in ? ? 1 的(
?



A. 充分而不必要条件 C. 充要条件
?

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

答案 D 若 ? ? 0 , ? ? 9 0 ? s in ? ? s in ? ? 1 。
? 当 ? ? ? ? 6 0 ? s in ? ? s in ? ?

3 ? 1 ,但 ? ? ? ? 9 0

?



3. 已知等比数列{ a ( A. 3 9 8 1 )

n

}: a 1 ? 3 , 且第一项至第八项的几何平均数为 9,则第三项是

B. 3 7 8 1
2

C.

3

9

D. 3 3

答案 B 计算得 q ? 3 7 , a 3 ? 3 7 8 1 。
2 4. 已知复数 z ? x ? y i ( x , y ? R , i 为虚数单位) ,且 z ? 8 i ,则 z ? (



A. z ? 2 ? 2 i C. z ? ? 2 ? 2 i , 或 z ? 2 ? 2 i 答案 D

B. z ? ? 2 ? 2 i D. z ? 2 ? 2 i , 或 z ? ? 2 ? 2 i

5. 已知直线 A B 与抛物线 y ? 4 x 交于 A , B 两点,M 为 A B 的中点,C 为抛物线上一个动
2

点,若 C 0 满足 C 0 A ? C 0 B ? m in { C A ? C B } ,则下列一定成立的是( A. C 0 M ? A B C. C 0 A ? C 0 B 答案 B

???? ?

???? ?

??? ?

??? ?

) 。

B. C 0 M ? l , 其中 l 是抛物线过 C 0 的切线 D. C 0 M ?
1 2 AB

1

??? ??? ? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? C A ? C B ? (C M ? A M ) ? (C M ? B M ) ? C M ???? ? ? CM
2

2

???? ???? ? ? ???? ? ???? ???? ? ? ? CM (AM ? BM ) ? AM ? BM

???? ? ? AM

2

????? ? ??? ??? ? ? ? m in { C A ? C B } ? C M

m in

? CM ? l 。

6. 某程序框图如下,当 E ? 0.96 时,则输出的 K=( A. 20 B. 22 C. 2 4 D. 25



开 始

K=1, S=0

S=S+1/(K(K+1))

S>=E?




K=K+1

输出 K , 答案 C
S ? 1 1? 2 ? 1 2 ? 1 ?? ? 3 k ? k (? ? 1? 1) k ? 1 ? 0 . 9? k ? 6 1

2 4 .

7. 若三位数 a b c 被 7 整除,且 a , b , c 成公差非零的等差数列,则这样的整数共有( A.4 B. 6 C. 7 D 8

)个。

答案 D 设三位数为 ( b ? d ) b ( b ? d ) ? 1 1 1 b ? 9 9 d ( 0 ? b ? 9 , ? 9 ? d ? 9 , d ? 0 ) , 由
7 (1 1 1b ? 9 9 d ) ? 7 ( b ? d ) ? b ? 1, d ? ? 1; b ? 2 , d ? ? 2; b ? 3, d ? ? 3; b ? 4 , d ? 3, ? 4;
b ? 5, d ? 2; b ? 6 , d ? 1; b ? 8, d ? ? 1 。所以,所有的三位数为

2 1 0 , 4 2 0 , 6 3 0 ,1 4 7 , 8 4 0 , 3 5 7 , 5 6 7 , 9 8 7

8. 已知一个立体图形的三视图如下,则该立体的体积为(

) 。
3 4

A. 3

3

B.

3 2

3

C.

9 2

3

D.

9

2

3 2

1 1

2
正视图: 上下两个 正方形

2

3

侧视图

1

俯视图:边长为 2 的 正三角形

答案 D 从图中可知,立体是由两个三棱柱组成。 9. 设函数 f ( x ) ? x ( x ? 1) ( x ? 2 ) ( x ? 3 ) ,则函数 y ? f ( x ) 的极大值点为(
2 3 4



A. x

? 0

B.

x ?1

C.

x ? 2

D.

x ? 3

答案 B 由图象可知 x ? 1 为函数极大值点, x ? 3 是极小值点, x ? 0 , 2 不是极值点。 10. 已知 f ( x ), g ( x ), h ( x ) 为一次函数,若对实数 x 满足
? ? 1, x ? ? 1 ? f ( x ) ? g ( x ) ? h ( x ) ? ? 3 x ? 2 , ? 1 ? x ? 0 ,则 h ( x ) 的表达式为( ? ?2 x ? 2, x ? 0 ?

) 。

A. h ( x ) C. h ( x )
答案 C

? x?

1 2

B. h ( x )
1 2 ? 2 x ? 2 ? ( ? 1) 2 1 3

? ?x ? ? x? 1 2

1 2

? ?x ? h(x) ?

D. h ( x )
? ?x ? 1 2



二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后 的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11. 若 ta n x ta n y ? 2 , s in x s in y ? 则 x ? y ? _______ 2 k ? ?
?
3



__________。

3

解答:由 ta n x ta n y ? 2 , s in x s in y ?
x ? y ? 2 k? ?

1 3

? cos xcos y ?

1 6

? c o s ( x ? y) ?

1 2

,所以

?
3


2

12. 已 知 f ( x ) ? x ? ( k ? 1 ) x ? 2, 若 当 x ? 0 时 f ( x ) 恒 大 于 零 , 则 k 的 取 值 范 围 为 ______ ( ? ? , 2 2 ? 1) _______ 。 解答 由 x ? ( k ? 1) x ? 2 ? 0 ? k ? 1 ? x ?
2

2 x

,x?

2 x

? 2

2 等号在 x ?

2 取得,即

k ? 2

2 ? 1。

13. 数列 { n n } , n ? 1, 2 , ? ,则数列中最大项的值为______ 3 3 ________。
1 1 1

解答 f ( x ) ? x x ? e x 三项,其值为 3 3 。

ln x

? f (x) ?
/

xx x
2

(1 ? ln x ) ? x ? e 为极大值点, 所以数列最大项为第

2 2 2 2 14. 若 x , y ? R ,满足 2 x ? 2 x y ? 2 y ( x ? x ) ? x ? 5 ,则 x ? 3 , y ? ?

2 3



解答 把等式看成关于 x 的一元二次方程
? ? 4 ( y ? 1) ? 2 0 ( 2 y ? 2 y ? 1) ? 0 ? (3 y ? 2 ) ? 0 ? y ? ?
2 2 2
3

2 3

,x ? 3。

15. 设直线 l 与曲线 y ? x ? x ? 1 有三个不同的交点 A , B , C ,且 A B ? B C ? 的方程为_____ y ? 2 x ? 1 ____________。 解 答

5 ,则直线 l

曲 线 关 于 ( 0,1 ) 点 对 称 , 设 直 线 方 程 为 y ? k x ? 1, A ( x , y ) , 则

? y ? kx ? 1 ? ? 3 ?y ? x ? x ?1 ? 2 2 ? x ? ( y ? 1) ? ?

? ( k ? 2 )( k 5

2

? k ? 2 ) ? 0 ? k ? 2 。所求直线方程为 y ? 2 x ? 1 。

16. 若 a ? 0 , b ? 0 , 则 m in { m a x ( a , b , 解答 m a x { a , b ,
m in { m a x ( a , b , 1 a 1 a
2 2

1 a
2

?

1 b
2

)} ? _______ 1 a
2

3

2 _________________。

? ?

1 b 1 b
2 2

} ? m ? a ? m,b ? m, )} ?
3

?

1 b
2

? m ? m ?

2 m
2

? m ?

3

2 ,所以

2 。

17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含第一象限 x , y 轴上的整点) ,其运 动规律为 ( m , n ) ? ( m ? 1, n ? 1) 或 ( m , n ) ? ( m ? 1, n ? 1) 。若该动点从原点出发,经过 6 步
4

运动到(6,2)点,则有__________9_________种不同的运动轨迹。 解答
C6 ? C6 ? 9 .
2 1

三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分)
18. 已知抛物线 y ? 4 x ,过 x 轴上一点 K 的直线与抛物线交于点 P , Q ,
2

两点。证明,存在唯一一点 K ,使得

1 PK
2

?

1 KQ
2

为常数,并确定 K 点的坐标。

解答 设 K ( a , 0 ) ,过 K 点直线方程为 y ? k ( x ? a ) ,交抛物线于 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 联 立方程组
2 ? y ? 4x 2(ak ? 2) 2 2 2 2 2 2 ? k x ? 2 ( a k ? 2 ) x ? a k ? 0 ? x1 ? x 2 ? , x 1 x 2 ? a ?5 分 ? 2 k y ? k(x ? a) ? 2

? PK

2

? ( x1 ? a ) ? y 1 , K Q
2 2

2

? ( x 2 ? a ) ? y 2 ??????????????7 分
2 2

?

1 PK
2

?

1 KQ
1 PK
2
2

1? ?
2

a 2

k

2

a (1 ? k )
2

,????????????????????12 分

令a ? 2 ?

?

1 KQ
2

?

1 4

, K ( 2 , 0 ) 。????????????????17 分

19. 设二次函数 f ( x ) ? a x ? ( 2 b ? 1) x ? a ? 2 ( a , b ? R , a ? 0 ) 在[3,4]上至少有一个零点,
2

求 a ? b 的最小值。
2 2

解法 1 由已知得,设 t 为二次函数在[3,4]上的零点,则有 a t ? ( 2 b ? 1) t ? a ? 2 ? 0 ,变形
2

( 2 ? t ) ? [ a ( t ? 1) ? 2 b t ] ? ( a ? b )(( t ? 1) ? t ) ? ( a ? b )(1 ? t ) ,??5 分
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

于是 a ? b ? (
2 2

t?2 1? t
2

) ?
2

1 (t ? 2 ? 5 t?2 ? 4)
2

?

1 100

,???????????12 分

因为 t ? 2 ?
2 2

5 t?2

, t ? [3, 4 ] 是减函数,上述式子在 t ? 3, a ? ? 1 100

2 25

,b ? ?

3 50

时取等号,故

a ? b 的最小值为

。????????????????????????17 分
2

解法 2

把等式看成关于 a , b 的直线方程 : ( x ? 1) a ? 2 x b ? x ? 2 ? 0 ,利用直线上一点
2 2

( a , b )到原点的距离大于原点到直线的距离,即 a ? b ?
2

x? 2 ( x ? 1) ? ( 2 x )
2 2

(以下同

5

上) 。 20. 设 x ? N 满 足 ?
a 1 ? ( x ? 1) x
2 2012

?1? x ? ? ? x ?

2013

?

2014 2013

, . 数 列 a1 , a 2 ?

, a2

0 1 3

是公差为 x

2013

,首项

? 1 的等差数列; 数列 b1 , b 2 , ? , b 2 0 1 3 是公比为

1? x x

, 首项 b1 ? ( x ? 1) x

2013

的等比数列,求证: b1 ? a 1 ? b 2 ? ? ? a 2 0 1 2 ? b 2 0 1 3 。

解:首先,

a i ? ( x ? 1) x
2

2012

? 1 ? ( i ? 1) x

2013



-----------------2 分

b i ? ( x ? 1) x

2013

(

1? x x

)

i ?1

? ( x ? 1) x
i

2014 ? i

。-----------------4 分

b i ?1 ? b i ? x

2013

(

1? x x

)

i

????????????????6 分
, 1 ? i ? 2013

用归纳法证明

a i ? bi ? x

2013

2014 ? i 2013



由于 a 1 假设 则 a i ?1

? b1 ? x

2013

? x

2012

?1? x

2013

,即 i=1 成立。????????8 分

1 ? i ? 2012

成立,
2013

? b i ?1 ? ( a i ?1 ? a i ) ? ( b i ?1 ? b i ) ? ( a i ? b i ) ? x

? x

2013

(

1? x x

) ? (a i ? bi )
i

? x

2013

? x

2013

(

1? x x

)

203

? (a i ? bi ) ? ? x ? x

2013

1 2013

? (a i ? bi )

? ?x

2013

1 2013

? x

2013

2013 ? i ? 1 2013

2013

2014 ? ( i ? 1 ) 2013

。???????14 分

所以, a i

? b i , i ? 1 , 2 , ? , 2013

。 ,首先
b2 ? a1 ? 1 ? 0

归纳证明 b i ? 1 则

? a i , i ? 1 , 2 , ? , 2012

,假设

1 ? i ? 2011

成立,

b i ? 2 ? a i ?1 ? ( b i ? 2 ? b i ?1 ) ? ( a i ?1 ? a i ) ? ( b i ?1 ? a i )

? x

2013

(

1? x x

)

i ?1

? x

2013

? ( b i ?1 ? a i ) ? 0

。????????????????17 分

故命题成立。
四、附加题: (本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分。 ) 21. 设 a , b , c ? R , a b ? b c ? c a ? 3, 证明
6
?

a ? b ? c ? a (b ? c ) ? b (c ? a ) ? c (a
5 5 5 3 2 2 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2

2

? b ) ? 9 。
2

解答 原命题等价于 ( a ? b ? c ) ( a ? b ? c ) ? 9 ,????????????10 分
a ?b ? c
2 2 2

又(a ? b ? c ) ? 9(
3 3 3 2

) , ???????????????????20 分
3

3

故只需要证明 a ? b ? c ? 3 成立。???????????????????25 分
2 2 2

利用已知条件,这是显然的。 22. 从 0,1,2,?,10 中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法” ,若各 条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同,则称这样的填法为“完美填法” 。 试问:对图 1 和图 2 是否存在完美填法?若存在,请给出一种完美填法;若不存在,请说明 理由。 A1 A2 6 10 A3 5

A4

7

A5 A7

1 (图 1 )

9 A6 (图 2) A8

解答 对图 1,上述填法即为完美(答案不唯一) 。????????????10 分 对于图 2 不存在完美填法。因为图中一共有 10 条连线,因此各连线上两数之差的绝对值恰 好为,1,2,3,??,10, ????? ?????????????????? 15 分 其和 s ? a 1 ? a 2 ? a 1 ? a 3 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 7 ? a 8 ? 5 5 为奇数。?????? 20 分 另一方面,图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述 S 的 表达式中出现偶数次。因此 S 应为偶数,矛盾。???????????????25 分 所以,不存在完美填法。

7


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