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全国名校高考专题训练9-立体几何解答题4(数学)


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全国名校高考专题训练 09 立体几何
三、解答题(第四部分)
76、(江苏省前黄高级中学 2008 届高三调研)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2.E、F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB= FB=1. (1)求直线 EC1 与 FD

1 所成角的余弦值; (2)求二面角 C-DE-C1 的平面角的正切值. 解:以 A 为原点, AB, AD, AA1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的 正向建立空间直角坐标系 A-xyz,则有 D(0,3,0)、 D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2). 于是, DE ? (3, ?3,0), EC1 ? (1,3,2) , FD1 ? (?4,2,2) . ( 1 ) 设 EC1 与 FD1 所 成 角 为 ? , 则

??? ???? ???? ?

??? ?

???? ?

???? ?

???? ???? ? ? EC1 ?FD1 1? (?4) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 21 ? ???? |?| ? . cos ? ?| ???? |? 2 2 2 2 2 2 14 | EC1 | ? | FD1 | 1 ? 3 ? 2 ? (?4) ? 2 ? 2
(2)设向量 n ? ( x, y, z ) 与平面 C1DE 垂直,则有 ???? n ? DE ? 3x ? 3 y ? 0 ? 1 ? ???? ? ? ? ?? x ? y ? ? z . 2 n ? EC1 ? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ? ? ∴ n ? (? , ? , z) ? (?1, ?1,2), 其中 z>0. 取 n0=(-1,-1,2),则 n0 是一个与平面 C1DE 垂直的向量. ∵向量 AA1 =(0,0,2)与平面 CDE 垂直, ∴n0 与 AA1 所成的角 θ 为二面角 C-DE-C1 的平面角. ???? n0 ?AA1 2 ?1? 0 ? 1? 0 ? 2 ? 2 6 ???? ? ∵ cos ? ? ,∴ tan ? ? . ? 2 3 | n0 | ? | AA1 | 1?1? 4 ? 0 ? 0 ? 4 77、(江苏省泰兴市 2007—2008 学年第一学期高三调研)已知等腰梯形 PDCB 中(如图 1) , PB=3,DC=1,PB=BC= 2 ,A 为 PB 边上一点,且 PA=1,将△PAD 沿 AD 折起,使面 PAD⊥ 面 ABCD(如图 2). (Ⅰ)证明:平面 PAD⊥PCD; (Ⅱ)试在棱 PB 上确定一点 M,使截面 AMC 把几何体分成的两部分 VPDCMA : VMACB ? 2 : 1 ; (Ⅲ)在 M 满足(Ⅱ)的情况下,判断直线 PD 是否平行面 AMC.

z 2

z 2

z 2

????

????

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(I)证明:依题意知: CD ? AD.又 ? 面PAD ? 面ABCD

? DC ? 平面PAD.

…………2 分

又DC ? 面PCD

? 平面PAD ? 平面PCD. …4 分

(II)由(I)知 PA ? 平面 ABCD ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. …………5 分 在 PB 上取一点 M,作 MN⊥AB,则 MN⊥平面 ABCD, 设 MN=h

1 1 1 h S ?ABC ? h ? ? ? 2 ? 1 ? h ? 3 3 2 3 1 1 (1 ? 2) 1 VP ? ABCD ? S ?ABC ? PA ? ? ? 1? 1 ? 3 3 2 2 1 h h 1 要使 VPDCMA : VMACB ? 2 : 1, 即( ? ) : ? 2 : 1, 解得 h ? 2 3 3 2
则 VM ? ABC ?

…………8 分

即 M 为 PB 的中点. …………10 分 (Ⅲ)连接 BD 交 AC 于 O,因为 AB//CD,AB=2,CD=1,由相似三角形易得 BO=2OD ∴O 不是 BD 的中心……………………10 分 又∵M 为 PB 的中点 ∴在△PBD 中,OM 与 PD 不平行 ∴OM 所以直线与 PD 所在直线相交 又 OM ? 平面 AMC ∴直线 PD 与平面 AMC 不平行.……………………15 分 78、(江苏省南通通州市 2008 届高三年级第二次统一测试)如图已知在三棱柱 ABC——A1B1C1 中,AA1⊥面 ABC,AC=BC,M、N、P、Q 分别是 AA1、BB1、AB、B1C1 的中点. (1)求证:面 PCC1⊥面 MNQ; (2)求证:PC1∥面 MNQ. A1 主要得分步骤: (1)AB⊥面 PCC1; 4′ MN∥AB,故 MN⊥面 MNQ MN 在平面 MNQ 内,∴面 PCC1⊥面 MNQ; 7′ D A (2)连 AC1、BC1,BC1∥NQ,AB∥MN B 面 ABC1∥面 MNQ 11′ PC1 在面 ABC1 内. ∴PC1∥面 MNQ. 13′ 79 、 ( 江 西 省 鹰 潭 市 2008 届 高 三 第 一 次 模 拟 ) 已 知 斜 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 , ?BCA ? 90? , AC ? BC ? 2 , A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D ,又知

B1

C1

C

BA1 ? AC1 . (Ⅰ)求证: AC1 ? 平面 A1 BC ; (Ⅱ)求 CC1 到平面 A1 AB 的距离; (Ⅲ)求二面角 A ? A1B ? C 的大小. 解法 1 :(Ⅰ)∵ A1 D ? 平面 ABC ,∴平面 AAC1C ? 平面 ABC , 1 又 BC ? AC ,∴ BC ? 平面 AA1C1C , 得 BC ? AC1 ,又 BA1 ? AC1 ,
∴ AC1 ? 平面 A1 BC .…………………4 分
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F
G
H

A1

B1

C1

A

D

C

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(Ⅱ)∵ AC1 ? A1C ,四边形 AA1C1C 为菱形,故 AA1 ? AC ? 2 , 又 D 为 AC 中点,知∴ ?A1 AC ? 60? .取 AA1 中点 F ,则 AA1 ? 平面 BCF ,从而面 A1 AB ? 面 BCF ,…………6 分 过 C 作 CH ? BF 于 H ,则 CH ? 面 A1 AB ,在 Rt ?BCF 中, BC ? 2, CF ? 3 ,故 CH ?
2 21 7

,即

CC1 到平面 A1 AB 的距离为 CH ?

2 21 7

.…………………8 分

(Ⅲ)过 H 作 HG ? A1 B 于 G ,连 CG ,则 CG ? A1B ,从而 ? CGH 为二面角 A ? A1 B ? C 的平 面角,在 Rt ?A BC 中, A1C ? BC ? 2 ,∴ CG ? 2 ,…………10 分 1 在 Rt ?CGH 中, sin ?CGH ?
CH CG

?

42 7

,故二面角 A ? A1B ? C 的大小为 arcsin

42 7

.

…………………12 分 解法 2 :(Ⅰ)如图,取 AB 的中点 E ,则 DE // BC ,∵ BC ? AC ,∴ DE ? AC , 又 A1 D ? 平面 ABC ,以 DE , DC , DA1 为 x, y, z 轴建立空间坐标系, …………1 分 则 A(0, ?1,0) , C (0,1,0) , B(2,1,0) , A1 (0,0, t ) , C1 (0, 2, t ) , AC1 ? (0,3, t ) ,

z
A1 C1

???? ?

???? ??? ? ???? ??? ? ? BA1 ? (?2, ?1, t ) , CB ? (2,0,0) ,由 AC ? CB ? 0 ,知 AC ? CB , 1 1

B1

又 BA1 ? AC1 ,从而 AC1 ? 平面 A1 BC .…………………4 分

A

D B

???? ???? ? x (Ⅱ)由 AC1 ? BA1 ? ?3 ? t 2 ? 0 ,得 t ? 3 .设平面 A1 AB 的法向量 ? ???? ? ???? ??? ? ? n ? AA1 ? y ? 3z ? 0 ? 为 n ? ( x, y, z) , AA1 ? (0,1, 3) , AB ? (2,2,0) , ? ? ??? , ? ? n ? AB ? 2 x ? 2 y ? 0 ? ? 设 z ? 1 ,则 n ? ( 3, ? 3,1) .…………6 分 ???? ? | AC1 ? n | 2 21 ? ? ∴点 C1 到平面 A1 AB 的距离 d ? .…………………8 分 7 |n| ?? ???? ??? ? (Ⅲ)设面 A1 BC 的法向量为 m ? ( x, y, z) , CA1 ? (0, ?1, 3) , CB ? (2,0,0) , ?? ???? ? m ? CA1 ? ? y ? 3z ? 0 ? ∴ ? ?? ??? .…………10 分 ? ? m ? CB ? 2 x ? 0 ? ? ? ? ?? ?? ? m?n 7 ? 设 z ?1,则 m ? (0, 3,1) ,故 cos ? m, n ?? ? ? ? ? ,根据法向量的方向
| m|?| n|
7 7

C

y

7

可知二面角 A ? A1B ? C 的大小为 arccos

.…………………12 分

80、(宁夏区银川一中 2008 届第六次月考)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,N 是 PB 中点,截面 DAN 交 PC 于 M. (Ⅰ)求 PB 与平面 ABCD 所成角的大小; (Ⅱ)求证:PB⊥平面 ADMN; (Ⅲ)求以 AD 为棱,PAD 与 ADMN 为面的二面角的大小. (I)解:取 AD 中点 O,连结 PO,BO. △PAD 是正三角形,所以 PO⊥AD,…………1 分 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 所以,PO⊥平面 ABCD, …………3 分 BO 为 PB 在平面 ABCD 上的射影, 所以∠PBO 为 PB 与平面 ABCD 所成的角.…………4 分
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由已知△ABD 为等边三角形,所以 PO=BO= 3 , 所以 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°. ………………5 分 (Ⅱ)△ABD 是正三角形,所以 AD⊥BO,所以 AD⊥PB, ………………6 分 又,PA=AB=2,N 为 PB 中点,所以 AN⊥PB, ………………8 分 所以 PB⊥平面 ADMN. ………………9 分 (Ⅲ)连结 ON,因为 PB⊥平面 ADMN,所以 ON 为 PO 在平面 ADMN 上的射影, 因为 AD⊥PO,所以 AD⊥NO, ………………11 分 故∠PON 为所求二面角的平面角. 因为△POB 为等腰直角三角形,N 为斜边中点,所以∠PON=45°……………12 分 81、(山东省济南市 2008 年 2 月高三统考)如图,四棱锥 P—ABCD 中,ABCD 为矩形,△ PAD 为等腰直角三角形, ∠APD=90°, PAD⊥面 ABCD, 面 且 AB=1,AD=2,E、F 分别为 PC 和 BD 的中点. (1)证明:EF∥面 PAD; (2)证明:面 PDC⊥面 PAD; (3)求锐二面角 B—PD—C 的余弦值. 解: (1)如图,连接 AC, ∵ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点, ∴AC 必经过 F 又 E 是 PC 的中点, 所以,EF∥AP ∵EF 在面 PAD 外,PA 在面内, ∴EF∥面 PAD 4分 2分 1分

(2)∵面 PAD⊥面 ABCD,CD⊥AD,面 PAD ? 面 ABCD=AD,∴CD⊥面 PAD, 又 AP ? 面 PAD,∴AP⊥CD 又∵AP⊥PD,PD 和 CD 是相交直线,AP⊥面 PCD 又 AD ? 面 PAD,所以,面 PDC⊥面 PAD 6分 7分 8分

(3)由 P 作 PO⊥AD 于 O,以 OA 为 x 轴,以 OF 为 y 轴,以 OP 为 z 轴,则 A(1,0,0) ,P(0,0,1) 9分

由(2)知 AP ? (?1,0,1) 是面 PCD 的法向量,B(1,1,0) ,D(一 1,0,0) ,

??? ?

??? ? ??? ? BD ? (?2, ?1,0) , PD ? (?1,0, ?1)
设面 BPD 的法向量 n ? ( x, y, z) ,
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10 分

?

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由 n ? PD, n ? BD 得 ?

?

??? ? ?

??? ?

??2 x ? y ? 0 ?? x ? z ? 0

取 x ? 1 ,则 n ? (1, ?2, ?1) , 向量 AP ? (?1,0,1) 和 n 的夹角的余弦

?

??? ?

?

(1, ?2, ?1) ? (?1,01) 3 ?? 3 2 6
12 分

11 分

所以,锐二面角 B—PD—C 的余弦值

3 3

82、(山东省聊城市 2008 届第一期末统考)如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面 互相垂直,AB= 2 ,AF=1,M 是线段 EF 的中点. (1)求证:AM//平面 BDE; (2)求二面角 A—DF—B 的大小. (1)解:记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE………………1 分 ∵O,M 分别是 AC、EF 的中点,且四边形 ACEF 是矩形, ∴四边形 AOEM 是平行四边形, ∴AM//OE, 又 OE ? 平面 BDE,AM ? 平面 BDE, ∴AM//平面 BDE.……………………4 分 (2)在平面 AFD 中过 A 作 AS⊥DF,垂足为 S,连接 BS, ∵AB⊥AF,AB⊥AD,AD ? AF=A, ∴AB⊥平面 ADF.…………………………6 分 又 DF ? 平面 ADF, ∴DF⊥AB,又 DF⊥AS,AB ? AS=A, ∴DF⊥平面 ABS. 又 BS ? 平面 ABS, ∴DF⊥SB. ∴∠BSA 是二面角 A—DF—B 的平面角.……………………8 分 在 Rt△ASB 中,AS ? ∴ tan?ASB ?

6 , AB ? 2 , 3

3

∴∠ASB=60°.……………………………………10 分 (本题若利用向量求解可参考给分) 83、(山东省实验中学 2008 届高三第三次诊断性测试)如图,正方形 ACDE 所在的平面与平 面 ABC 垂直, M 是 CE 和 AD 的交点, AC ? BC ,且 AC ? BC . (1)求证: AM ? 平面 EBC ; (2)求直线 AB 与平面 EBC 所成的角的大小; (3)求二面角 A ? EB ? C 的大小. 解法一:(Ⅰ)∵四边形 ACDE 是正方形,
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? EA ? AC, AM ? EC . ………………………1 分 ∵平面 ACDE ? 平面 ABC ,又∵ BC ? AC , ? BC ? 平面 EAC . ……………………2 分 ? AM ? 平面 EAC ,? BC ? AM .……………3 分 ? AM ? 平面 EBC . ………………4 分 (Ⅱ)连结 BM , ? AM ? 平面 EBC , ? ?ABM 是直线 AB 与平面 EBC 所成的角. ………5 分 设 EA ? AC ? BC ? 2a ,则 AM ? 2a , AB ? 2 2a , ………………………6 分 AM 1 ? sin ?ABM ? ? , ? ?ABM ? 30? . AB 2 即直线 AB 与平面 EBC 所成的角为 30 ? …8 分 (Ⅲ)过 A 作 AH ? EB 于 H ,连结 HM . ……………………9 分 ? AM ? 平面 EBC ,? AM ? EB .? EB ? 平面 AHM . ? ?AHM 是二面角 A ? EB ? C 的平面角. ……10 分 ∵平面 ACDE ? 平面 ABC ,? EA ? 平面 ABC . ? EA ? AB . 在 Rt?EAB 中, AH ? EB ,有 AE ? AB ? EB ? AH . 由(Ⅱ)所设 EA ? AC ? BC ? 2a 可得 AB ? 2 2a , EB ? 2 3a ,

? AH ?

AE ? AB 2 2a . ………………10 分 ? EB 3

? sin ?AHM ?

AM 3 .? ?AHM ? 60 ? . ? AH 2 ∴二面角 A ? EB ? C 等于 60 ? . ……………………12 分 解法二: ∵四边形 ACDE 是正方形 ,? EA ? AC, AM ? EC , ∵平面 ACDE ? 平面 ABC ,? EA ? 平面 ABC , ………2 分 ∴可以以点 A 为原点,以过 A 点平行于 BC 的直线为 x 轴, 分别以直线 AC 和 AE 为 y 轴和 z 轴,建立如图所示的空 间直角坐标系 A ? xyz . 设 EA ? AC ? BC ? 2 ,则 A(0,0,0), B(2,2,0), C (0,2,0), E(0,0,2) , ?M 是正方形 ACDE 的对角线的交点, ? M (0,1,1) .……………4 分
(Ⅰ) AM ? (0,1,1) , EC ? (0,2,0) ? (0,0,2) ? (0,2,?2) ,

CB ? (2,2,0) ? (0,2,0) ? (2,0,0) , ? AM ? EC ? 0, AM ? CB ? 0 , ……………………………………4 分 ? AM ? EC, AM ? CB ? AM ? 平面 EBC . ………………5 分
(Ⅱ) ? AM ? 平面 EBC ,? AM 为平面 EBC 的一个法向量,…………6 分

? AM ? (0,1,1), AB ? (2,2,0) ,? cos AB, AM ?

AB ? AM AB ? AM

?

1 .……………7 分 2
……8 分

? AB, AM ? 60? .∴直线 AB 与平面 EBC 所成的角为 30 ? .
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(Ⅲ) 设平面 EAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 n ? AE 且 n ? AB ,

? n ? AE ? 0 且 n ? AB ? 0 . ?(0,0,2) ? ( x, y, z) ? 0, ? z ? 0, 即? ?? ?(2,2,0) ? ( x, y, z ) ? 0. ? x ? y ? 0. 取 y ? ?1 ,则 x ? 1 , 则 n ? (1,?1,0) .………………10 分
又∵ AM 为平面 EBC 的一个法向量,且 AM ? (0,1,1) ,

? cos n, AM ?

n ? AM n ? AM

??

1 , 设 二 面 角 A ? EB ? C 的 平 面 角 为 ? , 则 2

c o ?s ? c o s , AM ? n

1 ,?? ? 60? .∴二面角 A ? EB ? C 等于 60 ? .…12 分 2

84、(山东省郓城一中 2007-2008 学年第一学期期末考试)如图,直二面角 D—AB—E 中,四 边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证:AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的余弦值; (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离. (Ⅳ)求证:平面 BDF⊥平面 ABCD 解法一: (Ⅰ)? BF ? 平面 ACE. ? BF ? AE . ∵二面角 D—AB—E 为直二面角,且 CB ? AB , ?CB ? 平面 ABE.

? CB ? AE . ? AE ? 平面B C E .
(Ⅱ)连结 BD 交 AC 于 C,连结 FG, ∵正方形 ABCD 边长为 2,∴BG⊥AC,BG= 2 ,

? BF ? 平面 ACE,
(Ⅲ)过点 E 作 EO ? AB 交 AB 于点 O. OE=1. ∵二面角 D—AB—E 为直二面角,∴EO⊥平面 ABCD. 设 D 到平面 ACE 的距离为 h,?VD? ACE ? VE ? ACD ,

1 1 ? S ?ACB ? h ? S ?ACD ? EO. 3 3
? AE ? 平面 BCE,? AE ? EC .
1 1 AD ? DC ? EO ? 2 ? 2 ?1 2 3 ?h ? 2 ? 2 ? . 1 1 3 AE ? EC 2? 6 2 2

∴点 D 到平面 ACE 的距离为

2 3 . 3

解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以线段 AB 的中点为原点 O,OE 所在直 线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,过 O 点平行 于 AD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系
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O—xyz,如图. ? AE ? 面 BCE,BE ? 面 BCE, ? AE ? BE , 在 Rt?AEB中, AB ? 2, O为AB 的中点,

? OE ? 1.

? A(0,?1,0), E(1,0,0),C(0,1,2).

AE ? (1,1,0), AC ? (0,2,2). 设平面 AEC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,
则?

? AE ? n ? 0, ? x ? y ? 0, ? y ? ? x, ? 解得 ? 即? ? AC ? n ? 0, ?2 y ? 2 x ? 0. ? z ? x, ?

令 x ? 1, 得 n ? (1,?1,1) 是平面 AEC 的一个法向量. 又平面 BAC 的一个法向量为 m ? (1,0,0) ,

? cos( m, n) ?

m, n | m|?| n|

?

1 3

?

3 3 . ∴二面角 B—AC—E 的大小为 arccos . 3 3

(III)∵AD//z 轴,AD=2,∴ AD ? (0,0,2) , ∴点 D 到平面 ACE 的距离 d ?| AD | ? | cos ? AD , n ??

| AD ? n | |n|

?

2 3

?

2 3. 3

85、(山西大学附中 2008 届二月月考)如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 所有棱长都是 2 , D 是 棱 AC 的中点, E 是棱 CC1 的中点, AE 交 A D 于点 H . 1 (1)求证: AE ? 平面A BD ; 1 (2)求二面角 D ? BA ? A 的大小(用反三角函数表示) ; 1 (3)求点 B1 到平面 A BD 的距离. 1 (1)证明:建立如图所示, AE ? (?2,?1,0) A1 D ? (?1,2,0)

BD ? (0,0,? 3)
∵ AE ? A1 D ? 2 ? 2 ? 0 ∴ AE ? A1 D, AE ? BD

AE ? BD ? 0 ? 0 ? 0(? 3) ? 0
即 AE⊥A1D, AE⊥BD ∴AE⊥面 A1BD

(2)设面 DA1B 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 )

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由 n1 ? A1 D ? 0 n1 ? BD ? 0 ? ?

?? x1 ? ?2 y1 ? 0

∴取

设面 AA1B 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ),则由 2 ? A1 B ? 0, n2 ? A1 A ? 0 n

?? x ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 0 6 15 ?? 2 ? 取n2 ? (3,0, 3 ) , ? n1 , n2 ?? ? 5 5 ? 12 ?2 y 2 ? 0
由图可知二面角 D—BA1—A 为锐角,∴它的大小为 arcos (3) B1 B ? (0,2,0) ,平面 A1BD 的法向量取 n1 ? (2,1,0) 则 B1 到平面 A1BD 的距离 d= |

B1 B ?n1 | n1 |

|?

2 5

?

2 5 5

86、(上海市部分重点中学 2008 届高三第二次联考)在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中(如图) , 1

AD = AA1 =1, AB ? 2 ,点 E 是 AB 上的动点
(1)若直线 D1 E与EC垂直 ,请你确定点 E 的位置,并求出此时异面直线 AD1 与 EC 所成的角 (2) 在(1)的条件下求二面角 D1 ? EC ? D 的大小 [解]解法 1:由 D1E与EC垂直 ? DE 与 CE 垂直-----1 分 设 AE=x,在直角三角形 DEC 中求得 x ? 1 -----2 分 所以点 E 是 AB 的中点--------------3 分 取 CD 的中点 Q,则 AQ 平行与 EC,所以 ?D1 AQ 是所求的角------4 分 求解 ?D1 AQ 得 ?D1 AQ =

?
3

-------------5 分

异面直线 AD1 与 EC 所成的角为 解法 2:利用向量法

?
3

-------6 分

分别以 DA,DC,D D1 所在的直线为 X 轴建立坐标系---------------------------------1 分 设 AE=x, 根据直线 D1 E与EC垂直 ? x ? 1 -----2 分 所以点 E 是 AB 的中点--------------3 分 写出 A(1,0,0) E(1,1,0 ) C (0,2,0) ???? ? ??? ? AD1 ? (?1,0,1), CE ? (1, ?1,0) ???? ??? ? ? 1 设 AD1与CE 的夹角为 ? cos ? = ? ----------------5 分 2 异面直线 AD1 与 EC 所成的角为

?

3 (2)解法 1:由 D1 E与EC垂直 ? DE 与 CE 垂直,
所以 ?D1 EC 是所求 D1 ? EC ? D 的平面角---8 分

-----------6 分

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)0,1,2( ? 1n
15 5

? z1 (? 3 ) ? 0

D1 (0,0,1)---------4 分

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求解直角D1DE得

t g D E? ? 1 D

2 -------11 分 2

二面角 D1 ? EC ? D 是 arc tg

2 --------12 分 2 2 2

解法 2:利用向量法求得二面角 D1 ? EC ? D 是 arc tg

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