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贵州省四校2013届高三上学期期末联考数学(文)试题


贵州省四校(天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中)2013 届高三上学期期末联考

数学试题(文)
考试说明: 1.本试卷考试时间 120 分钟. 2.答卷前,考生务必在答题卡上写好班级、姓名、考号. 3.将每题的答案写在答题卡上的指定位置. 4.考试结束,将答题卡交回,答案写在试卷上视为无效答案.

一 选择题(本大题共 12

小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 M ? {x | x2 ?1 ? 0} , N ? { y | y ? log2 ( x ? 2), x ? M } ,则 M ? N ? ( A. (0,1) B. (?1,1) C. (?1, 0) )象限
开始



D. ?

2.在复平面内,复数 ? 1 所对应的点位于第( A.一 B.二 C.三

1 i

D. 四
输入x 是 f(x)>g(x) 否

3.如图所示的算法流程图中, 若 f ( x) ? 2x , g( x) ? x2 , 则 h(3) 的值等于( A.1 B. ?1 ) C. 9 D. 8

h(x)=f(x)

h(x)=g(x)

4. a ? 2 ,b ? 4 且( ? b) ? a , a 与 b 的夹角是 若 则 ( a A.

?

?

? ?

?

?

?



输出h(x) 结束

2? 3

B.

? 3

C.
2

4? 3

D. ?

2? 3

5.已知 x 为实数,条件 p: x ? x ,条件 q: q 的( )

1 ? 2 ,则 p 是 x

第 3 题图

A.充要条件

B.必要不充分条 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

6.若 a , b, c 是空间三条不同的直线, ? , ? 是空间中不同的平面,则下列命题中不正确的是( A.若 c ? ? , c ? ? ,则 ? // ? B.若 b ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? C.当 b ? ? , a ? ? 且 c 是 a 在 ? 内的射影,若 b ? c ,则 a ? b D.当 b ? ? 且 c ? ? 时,若 c // ? ,则 b // c 7.若数列 ?an ? 的通项为 an ?

2 ,则其前 n 项和 S n 为( ) n(n ? 2) 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 ? A. 1 ? B. ? ? C. ? ? D. ? n?2 2 n n ?1 2 n n?2 2 n ?1 n ? 2 ? 8. 要得到函数 y ? 2 cos(2 x ? ) 的图象,只需将函数 y ? sin 2x ? 3 cos 2x 的图象( ) 3 ? ? ? ? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向右平移 个单 D.向左平移 个单位 4 2 3 8
·1·

9.设函数 f (x) 对任意 x, y 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , f (2) ? 4 , f (?1) 的值为( 且 则 A. ? 3 B. ? 2 C. 2 D. 3 )



10.一个平面图形的面积为 S ,其直观图的面积为 S ? ,则 S ? S ? ? ( A. 2 2
2 2

B. 2

C. 2

D.1 )

11. 双曲线

y x ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线为 y ? 2 x ,则该双曲线的离心率等于( 2 a b 5 6 A. B. 5 C. 6 D. 2 2

12.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 7 ,其导函数为 f ?(x) . ① f (x) 的单调减区间是 ? ,2 ? ;

?2 ?3

? ?

② f (x) 的极小值是 ? 15 ;

③当 a ? 2 时,对任意的 x ? 2 且 x ? a ,恒有 f ( x) ? f (a) ? f ?(a)(x ? a) ④函数 f (x) 有且只有一个零点。 其中真命题的个数为( ) D.4 个

A.1 个 B.2 个 C.3 个 二.填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.已知 ? ? (? , 2? ), tan ? ? ?2, 则cos? ? 14. 已知 a ? 0, b ? 0 ,

1 4 ? ? 1 ,则 a ? b 的最小值是 a b

?x ? y ?1 ? 0 ? 15. 已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 2 x + y 的最大值是 ?x ? 1 ?
16.若函数 f ( x ) ?

x 1 ? x2

,记 f ( 2) ( x) ? f ( f ( x)) , f ( 3) ( x) ? f ( f ( f ( x))) ?

f ( n) ( x) ? f ( f (? f ( x)?)) (n ? 2, n ? N ) ,则 f (2012) (1) ?

三.解答题解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分( 小 满 12分 本 题 分 ) 在 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 已 知 向 量

m ? (cos A, cos B), n ? (2c ? b, a) ,且 m ? n 。
(Ⅰ) 求角 A 的大小;
·2·

(Ⅱ) 若 a = 4 3 , b ? c ? 8 ,求△ABC 的面积。

18. (本题满分 12 分)为了解在校学生的安全知识普及情况,命制了一份有 10 道题的问卷到各学校 做问卷调查.某中学 A、B 两个班各被随机抽取 5 名学生接受问卷调查, A 班 5 名学生得分为: 5 ,

8 , 9 , 9 , 9 ; B 班 5 名学生得分为: 6 , 7 , 8 , 9 ,10 .
(Ⅰ)请你用所学知识,估计 A、B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些; (Ⅱ) 如果把 B 班 5 名学生的得分看成一个总体, 并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为 2 的样 本,求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于 1 的概率.

19. (本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是边长为 2 3 的正三角形,点 A1 在底面 ABC 上的射影 O 恰是 BC 的中点. (Ⅰ)求证:A1A⊥BC; A1 C1 (Ⅱ)当侧棱 AA1 和底面成 45°角时,求二面角 A1—AC—B 的 余弦值;
B1 D

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

2 x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 , 2 a b 2

A O B

C

其中左焦点 F (?2,0) 。 (Ⅰ)求出椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 y = x + m 与曲线 C 交于不同的 A、 两点, B 且线段 AB 的中点 M 在圆 x 2 + 上,求 m 的值。

y2 = 1

2 2 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x ? ax ? 3a ln x, a ? 0 .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求所有的实数 a ,使 e ? 1≤ f ( x ) ≤ e 对 x∈[1, e ]恒成立. e 为自然对数的底数) (
2

A
选考题(本小题满分 10 分) (请考生在 22、23、24 三

E C O

D B P

·3·

题中选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 ) 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B、C, ?APC 的平分线 分别交 AB、AC 于点 D、E, (Ⅰ)证明: ?ADE ? ?AED ; (Ⅱ)若 AC=AP,求

PC 的值。 PA

23.选修 4-4:极坐标与参数方程 已知点 P(1 ? cos? , sin ? ) ,参数 ? ? ?0, ? ? ,点 Q 在曲线 C: r ?

9 2 sin(? ? ) 4

?

上。

(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程与曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 P 与点 Q 之间的最小值。 24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log2 ( x ?1 ? x ? 2 ? m) 。 (Ⅰ) m ? 7 时,求函数 f (x) 的定义域; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R,求 m 的取值范围。

·4·

一.1-12 依次为 二.13、

四校联考(文科)数学参考答案 ADCAB,DDABA,AC

5 5

; 14、9 ; 15、4 ; 16、

2013 2013

三.解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.解: (Ⅰ)?

m?n
(2 分)

?

m ? n ? (cos A, cos B) ? (2c ? b, a) ? 0 即 (2c ? b) cos A ? a cos B ? 0 由正弦定理可得 (2 sin C ? sin B) cos B ? sin A cos B ? 0
整理得 sin C ? 2 sin C cos A ? 0 ? 0 ? C ? ? ,? sin C ? 0

(5 分) (6 分) (8 分) (10 分)

1 2? ? cos A ? ? ,? A ? 2 3 2 2 (II)由余弦定理可得 a ? b ? c 2 ? 2bc c o s , A 2 2 2 48 ? b ? c ? bc ? (b ? c) ? bc ? 64 ? bc 即 bc ? 16
故 S? ?

1 1 3 (12 分) bc sin A ? ?16 ? ?4 3 2 2 2 18.解: (Ⅰ)∵ A 班的 5 名学生的平均得分为 (5 ? 8 ? 9 ? 9 ? 9) ÷ 5 ? 8 , ………1 分 1 2 2 2 2 2 2 方差 S1 ? [(5 ? 8) ? (8 ? 8) ? (9 ? 8) ? (9 ? 8) ? (9 ? 8) ] ? 2.4 ;……2 分 5 B 班的 5 名学生的平均得分为 (6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10) ÷ 5 ? 8 , ……………………3 分 1 2 2 2 2 2 2 方差 S2 ? [(6 ? 8) ? (7 ? 8) ? (8 ? 8) ? (9 ? 8) ? (10 ? 8) ] ? 2 . ……4 分 5 2 2 ∴ S1 ? S2 , ∴ B 班的安全知识的问卷得分要稳定一些. ………………6 分 (Ⅱ)从 B 班 5 名同学中任选 2 名同学的方法共有 10 种, …………………8 分 其中样本 6 和 7 , 6 和 8 , 8 和 10 , 9 和 10 的平均数满足条件,…………………10 分
故所求概率为 P ?

4 2 ? . 10 5

……………………12 分 …………………1 分 …………………3 分 …………………4 分 ………(6 分) ………7 分 A1 D B1 C1

19.解法一: (Ⅰ)连结 AO, A1O⊥面 ABC, AO 是 A1 A 在面 ABC 的射影 ∵ AO⊥BC ∴ A1A⊥BC. (Ⅱ)由(Ⅰ)得∠A1AO=45°

由底面是边长为 2 3 的正三角形,可知 AO=3 …………8 分 ∴A1O=3,AA1=3 2 过 O 作 OE⊥AC 于 E,连结 A1E, 则∠A1EO 为二面角 A1—AC—B 的平面角
·5·

………9 分

………10 分 A B E F O C

AO ∵OE= 3 ,∴tan∠A1EO= 1 ? 3 ? 2 OE 3 2 2
即二面角 A1—AC—B 的余弦值为 5 .

………11 分

5

………12 分

解法二:以 O 点为原点,OC 为 x 轴,OA 为 y 轴,OA1 为 z 轴建立空间直角坐标系. (Ⅰ)由题意知∠A1AO=45°,A1O=3. ∴O(0,0,0) C( 3 ,0,0) A(0,3,0) A1(O,0,3) B(- 3 ,0,0) , , , , .………2 分

??? ? ???? ∵ AA1 =(0,-3,3) BC =(2 3 ,0,0)………3 分 , ? ???? ??? ∴ AA1 · BC =0×2 3 +(-3)×0+3×0=0.………4 分
∴AA1⊥BC. ………6 分) (Ⅱ)设面 ACA1 的法向量为 n1=(x,y,z) , ???? ?n1 ? AC ? ( x, y, z ) ? ( 3, ?3,0) ? 3 x ? 3 y ? 0 ? 则 ? ???? ………8 分 ?n1 AA1 ? ( x, y, z ) ? (0, ?3,3) ? ?3 y ? 3 z ? 0 ? 令 z=1,则 x= 3 ,y=1,∴n1=( 3 ,1,1) 而面 ABC 的法向量为 n2=(0,0,1) cos(n1,n2)= ………10 分 ………12 分 A1 D B1 z C1

y

A B O

C

x

3 ? 0 ? 1? 0 ? 1?1 ? 1 5 12 ? 12 ? ( 3) 2 ? 1

20.解:(1)由题意得,

c 2 ? ,c ? 2 a 2

………2 分

解得: ?

?a ? 2 2 ?b ? 2

………4 分

所以椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ?1 8 4

………6 分

(2)设点 A,B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) ,线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 由? 8 ,消去 y 得 3x ? 4m x ? 2m ? 8 ? 0 4 ?y ? x ? m ?

………8 分

? ? ? 96 ? 8m2 ? 0,? ?2 3 ? m ? 2 3
·6·

………9 分

? x0 ?

x1 ? x 2 2m m ?? , y 0 ? x0 ? m ? 2 3 3

………10 分

? 点 M ( x0 , y0 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,
? (? 2m 2 m 2 3 5 ) ? ( ) ? 1,即m ? ? 3 3 5
???1分
2 2

………12 分

21.解:(1) 由 意 : 题 知 x>0,

2 x ? ax ? 3a ?0 x 3a 舍去) 解 :x ? a或(得 2
所 f ?( x) ? 以

???2分 ???4分

由 x>0, 于 a>0, 以 所 f(x)的 区 为(0, 增 间 (a, ∞).???6分 减 间 a), 区 为 + ???8分 (2) 由 意 f(1)= ? 1≥e ? 1, a≥e. 题 得 a 即 ???9分 由 (1)知 f(x)在 e]内 调 减 [1, 单 递 , 要 e ? 1≤f(x)≤e2 对 使 x∈(1, 成 . e)恒 立 只要 a≥e且 f (e) ? e2 ? ae ? 3a2 ? e2 解得: a ? e 22. 解:(1)? PA 是切线,AB 是弦,? ?BAP ? ?C 又? ?APD ? ?CPE,? ?BAP ? ?APD ? ?C ? ?CPE

???10分
???12分

? ?ADE ? ?BAP ? ?APD, ?AED ? ?C ? ?CPE ? ?ADE ? ?AED
(2)由(1)知 ?BAP ? ?C, 又 ? ?APC ? ?BPA ,

(5 分)

? ?APC ~ ?BPA ,

PC CA ? ,? AC ? AP ,? ?APC ? ?C ? ?BAP , PA AB
?

由三角形内角和定理可知, ?APC ? ?C ? ?CAP ? 180 ,

? BC 是圆 O 的直径,? ?BAC ? 90? ,
? ?APC ? ?C ? ?BAP ? 180? ? 90? ? 90? , ? ?C ? ?APC ? ?BAP ? 30?
CA PC CA 在Rt ?ABC 中, ? 3 ,? ? ? 3 AB PA AB
23. 解:(1)由 ? (10 分)

? x ? 1 ? cos? , ? y ? sin ? ,
·7·

得点 P 的轨迹方程 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1( y ? 0), 又由 ? ?

(2 分)

9 2 sin(? ? ) 4

?

, 得? ?

9 , sin ? ? cos?

? ? sin ? ? ? cos? ? 9

? 曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 9 。

(5 分)

(2)半圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1( y ? 0) 的圆心(1,0)到直线 x ? y ? 9 的距离为 4 2 , 所以 PQ min ? 4 2 ? 1 24. 解:(1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7, 则有: ? (10 分)

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 或? 或? ? x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7

(3 分)

解得函数 f (x) 的定义域为 (? ?,?3) ? (4,? ?) 。 (2)不等式 f ( x) ? 2 ? log2 4,即 x ?1 ? x ? 2 ? m ? 4

(5 分) (7 分) (9 分) (10 分)

? x ? R时,恒有x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,


m ? 4 ? 3,

即 m 的取值范围范围是 (? ?,?1]

·8·


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