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交比·调和点列·阿波罗尼斯圆·极线极点




中等数学

交比?调和点列?阿波罗尼斯圆?极线极点
金磊
(西安交大附中曲江校区,710049) 中田分类号:0185.1 文l哦标识码:A 文章编号:1005—6416(2011)∞一O006—04

(本讲适合高中) 2010年全国高中数学联赛加试第一题 题目为: 如图l,已知锐


点列A、C、B、D的交比.【2】

性质l线束的交比与所截直线无关.
定义2

交比为一l,即筹=一面AD的线

角△ABC的外心为
D。X是边BC上一 点(不是边BC的中 点),D是线段AK 延长线上一点,直 线BD与AC交于点 Ⅳ,直线CD与A曰 交于点M求证:若OK上MN,则A、B、D、C 四点共圆.…
图l

束称为调和线束,点列称为调和点列. 显然,调和线柬与调和点列是等价的,即 调和线束被任意直线截得的四点均为调和点 列,反之,调和点列对任意一点的线束为调和 线束. 性质2调和点列常见变形(0为边CD 中点):

(1)磊=历1+丽1;
(2)DC2=OB?OA; (3)AC?AD=AB?AO; (4)AB?OD=AC?BD. 性质3一直线被调和线束中的三条平 分当且仅当它与第四条线平行. 定义3如图3,凸四边形ABCD各边延 长交成的图形 称为完全四边 形ABCDEF。^C、 BD、EF称为其 对角线(一般的
| H F

本题颇有难度,命题组提供的答案用的
是反证法,让有些人“匪夷所思”,其实这是 一系列射影几何中常见结论的自然“结晶”. 此类问题在国家队选拔考试中屡见不鲜.本 文拟系统地介绍交比、调和点列、完全四边 形、阿波罗尼斯(Apollonius)圆、极线等射影 几何的重要概念及应用,抽丝剥茧、溯本求 源。揭示此类问题的来龙去脉,并在文中给出 此题的一种简单明了的直接证明. 1知识介绍 定义1如图2。共 点于O的四条直线被 任意直线所截的有向


四条直线即交 成完全四边形).【3J

图3

性质4完全四边形对角线互相调和分

。线段比A蔚C:蔚AD称为线
束伽、0C、08、OD或
圈2

割,即A、G、C、H,B、G、D、J,,E、日、,、,分别构 成调和点列. 定理1 在完全四边形ABCDEF中.

收稿日期:2010—10—21謦固日期:2010—11—24

△触泐、△ABF、△肋C、△肋C这四个三角

万方数据

2011年第3期



形的外接圆共点,称为完全四边形的密克 (Miquel)点. 定理2如图 4,到两定点A、B 距离之比为定值k (k>0,且k≠1) 的点的轨迹为圆, 称为阿波罗尼斯 (Apolloniu8)圆. 性质5如下三个条件中.由其中两个 可推得第三个:
图4


(2002,中国围家集训队选拔考试) 证明由性质4及性质5有



么BJC,=么DJG.么ⅣG=么C见
则么BJA=么DJC.


例2如图6,△ABC内角平分线BE与
CF交于点,,,口上EF与BC交于点P,且 IP=21Q.求证:么BAC=60。.

(1)尸c(或eD)为么APB内(外)角平
分线; (2)CP—LPD; (3)A、C、B、D构成调和点列. 定义4设A、B关于00互为反演点. 过B作DA的垂线f称为点A对00的极线; A称为Z的极点.【4】 性质6若点A的极线为Z,过A的圆的 割线ACD与Z交于点曰,则A、C、B、D为调和 点列. 定理3(配极原则)若点A的极线通过 另一点D,则D的极线也通过A.一般称A、D 互为共轭点. 性质7 A、B、C、D是oD上四点,直线 点L 由性质4知A、D’、,、D为调和点列.
罔6 C

证明如图6,作AX上EF与BC交于

故罴=舄=篇=易.
又IP=21Q,则从=XY,即EF为AY的
中垂线. 由正弦定理得



8in么FYC—sin么l 一sin么2一sin么FAC。 则A、,、Y、C四点共圆. 同理,A、E、Y、B四点共圆. 故么BYF=么BAC=么CYE=么EYF. 所以.么BAC=600.

一£兰

AB与CD、AC与BD、AD与BC分别交于点 P、Q、R.则三点中任意两点的连线的极点是

一旦一—』£一

第三点.
性质8若A、D互为共轭点,则 A矿=A的幂+D的幂(对0D). 2例题选讲 例1如图 5。在完全四边

例3如图7,P为 oD外一点,PA、PB为 00的两条切线,PCD为

形ABcDEF中。
GJ L EF千氮

任意一条割线,CF//PA 且与AB交于点E.求
证:CE=EF.
j 网5
H F l

上则 么BJA =么DJC.…

(2006。IMO中国国 家集训队培训)
网7

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中等数学

证明由性质6及性质3即得. 例4如图

下,采用反证法也就在情理之中了. 证明如图1,假设点D不在00上. 令AD与00交于点E,CE与AB交于点 P,BE与AC交于点Q. 由例5得PQ//MN. 由性质4得MN、AD调和分割曰C 同理,尸Q亦然.

8,△ABC内切
圆切边BC于点 D,AD与圆交于 点E,作CF=
CD.CF



BE B
图8

交于点G.求证:
GF=FC.L61

则PQ//MN//BC.
从而,K为边BC的中点,矛盾. 故A、B、D、C四点共圆.

(2008,IMO中国国家队选拔考试)

证明如图8,设另两切点为日、,,琊与
BD交于点.,,联结JE. 由性质6知A、E、K、D为调和点列,由定

其实本题也可直接证明.
另证如图lO,由例l得么l=么2.

理3知AD的极点在脚上.
又AD极点在BD上,则_,为AD极点.

故肛为切线,层、D、C、J为调和点列.

由CF=CD,且JD=JE,知cr//瓜
由性质3知GF=FC. 例5如图9。 在圆内接完全四 边形ABCDEF中。 AC与BD交于点 G.则E、,、G、D 构成垂心组(即任 意一点是其余三 点的垂心).
图9
图lO

又K不是边BC的中点,类似例2证明 可得D、B、.,、c四点共圆.

故么MJB=么MC


证明由定理3、性质7知E、G,F、C为 两组共轭点. 由性质8知 EG2一FG2 =(E的幂+G的幂)一(,的幂+G的幂) =E的幂一F的幂=E02一F02. 则0C上EF. 其余垂直同理可证. 例.


=÷么BOC=么BAc


由定理l得.,为完全四边形ABDCMN 的密克点. 则么BDM=么剧射=么BAN. 故A、B、D、C四点共圆. 以例5为背景的赛题层出不穷,再举几

【注】本题结论优美深刻,这在文献[7】
中已有介绍,它涉及到调和点列、完全四边 形、密克点、极线、阿波罗尼斯圆、垂心组等几 何内容.本文开头提到的2010年联赛题为本 题的逆命题.解题者在熟悉上述内容的情况

例6设D是A ABC的边BC上一点。
满足么CAD=么CBA.00经过点曰、D,并分 别与线段AB、AD交于点E、F,BF与DE交于 点G,肘是AG的中点.求证:CM上^0.【。l (2009,IMO中国国家队选拔考试)

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2011年第3期



证明如图11,设EF与BC交于点上

外切四边形,OE J-AC于点E.则

[BEC=[DEc.





图11

由性质3得A、K、G、L为调和点列. 由性质2(4)有
LK?GM=LG?KA.
圈13

证明如图13。作出辅助线. 由例7知FI、GH、BD三线共点于肘,且 为AC的极点. 从而,OE也过点肘,且B、£、D、朋构成 调和点列.

又么CAD=么ABD=么JFD。则

E1÷}C久.

故铬=筹=器,[[[i JGffCM.
而由例5有粥上OA.
故CM上AO. 例7 如图12,设O 0的外切四边形 A’B’C’D’对边交于点E’、F’。A’C’与B’D’交于 点G’.则OG’上E’,’.

由性质5得么BEC=么舾C.
最后再看一道伊朗试题及其推广.

例9△ABC内切圆o,切BC于点D,
AD与o,交于点K,BK、CK与o,交于点E、 F求证:BF、AD、CE三线共点.

【分析】本题一般思路为塞瓦定理计算,
计算量较大.有人将其推广为对AD上任意 一点K,都有本结论成立(如图14).对推广 证明如下.


图12

证明如图12,设oD与其外切四边形 A’B’C’D’的四边切点分别为A、B、C、D,AC与 BD交于点G,AB与CD交于点E,AD与曰C 交于点E 由性质7知BD、AC的极点E’、F’在EF 上.则点G’与G重合. 由例5即得OG’J-E’,’. 例8如图13,四边形ABCD为00的

旋。
图14





蕊:k

证明如图14。设另两个切点为肘、Ⅳ。 MN与BC交于点上由例4得曰、D、C、.,为调 和点列,故对AD上的点K,由性质l知EF 必有CE、BF、ilK三线共点.

必过点_,:由性质4对完全四边形BE眦

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10

中等数学

一个函数的最小值
单蹲
(南京师范大学数学系.210097) 中图分类号:0174 文献标识码:A 文章编号i 1005—6416(2011)03-0010一∞

在0≤口、b、c≤l时,a、b、c的函数 fCa,b。c)


吾.但证明并不容易,本文将给出一个证明.
1几种特殊情形 下面给出几种特殊情形,每一种情形本 身也都是一个有趣的不等式问题. (1)当a=b=c时,问题化为






2万1 +Tb再+万1了C忑+订1 +C’ + +口’ +口+ i再b+
(1一a)(1—6)(1一c) 的最大值为1. 这是一道美国的数学竞赛题,难度不大, 解题者很自然地会想到确定它的最小值.


不难猜测,当n=b=c:÷时,最小值为
收稿日期:2010—12一眈

g(t)=高+(卜t)3
≥÷(o≤f≤1).

△ABC和△船}Ⅳ的外接圆交于点B及另一

练习题
1.H是锐角△ABC的垂心,以BC为直 径作圆,自A作切线AS、AT.求证:S、日、r三 点共线. (1996,中国数学奥林匹克) 提示:本题为性质7特例. 2.求证:在完全四边形ABCDEF中, 过AC与BD的交点作AB平行线被CD、EF 平分. 提示:由性质4及性质3即得. 3.在△ABC中,AD上BC,H为AD上一 点,BH、CH分别与对边交于点E、F,EF与

点胍求证:么D枷为直角.
(第22届IMO) 提示:由性质3及例5即得.
参考文献:
[1】2010年全国高中数学联合竞赛[J】.中等数学,2010 (12). [2]梅向明等.高等几何[M】.北京:高等教育出版社,
1988.

[3]

粱绍鸿.初等数学复习及研究(平面几何)【M】.哈 尔滨工业大学出版社.2008.

【4]

冯克勤.射影几何趣谈【M】.上海教育出版杜,
1983.

【5】2002年IMO中国国家队选拔考试[J】.中等数学.
2003(I).

AD交于点K,任意作过K的直线与卯、CE、
CD交于点jI,、N、Q,都有么MDF=么NDE. (2003,保加利亚数学奥林匹克) 提示:由性质4类比例l即得. 4.00经过△ABC的两个顶点A、C。且 与边AB、BC分别交于两个不同的点K、Ⅳ,又

[6】2008年IMO中国国家集训队教练组.走向IMO?致 学奥林匹克试题集锦[M】.上海:华东师范大学出版 社。2008. [7】单博译.近代欧氏几何[M】.上海教育出版社.
1999.

【8】2009年IMO中国国家队选拔考试【J】.中等效学,
2009(7).

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