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江苏省扬州中学2015届高三上学期12月月考数学(文)试题


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江苏省扬州中学 2014-2015 学年第一学期质量检测


一、





学 [文]

2014.12

填空题:本大题共 14 小题,每小题 5

分,共计 70 分

1.已知集合 A ? {x | x ? ?1}, B ? {x | x ? 2}, 那么 A ? B ? _________. 2.函数 f ( x) ? 2 cos(?2 x ? 3.复数 z ? 1 ? i ,且

?
4

) 的最小正周期为_________.

1 ? ai (a ? R) 是纯虚数,则实数 a 的值为_________. z

4.已知双曲线

x2 y2 1 ? ? 1(m ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x, 则 m 的值为_______. m 3 2
2 , 则 AC =________.

5.在 ?ABC 中, A ? 45 0 , C ? 105 0 , BC ?

6. “M ? N ” 是 “ log 2 M ? log 2 N ” 成立的________条件.(填 “充分不必要” “必要不充分” “充要” 或 “既不充分也不必要” ). 7. 已 知 函 数 y ? tan(
y

?

x? ) 的部分图象如图所示,则 4 2

?

O

A

x

(OA ? OB) ? AB ?
8.已知 m, n 为直线, ? , ? 为平面,给出下列命题:

①?

?m ? ? ?m ? ? ? n || ? ; ② ? ? m || n ; ?m ? n ?n ? ?

③?

?m ? ? ? ? || ? ?m ? ?

?m ? ? ?? ? ? ? ? ④ ? n ? ? ? m || n ; ⑤ ?? ? ? m ? n ? ? ?? || ? ?n ? ? , m ? n ? ?
其中正确的命题是 (填写所有正确的命题的序号)

? x, y ? 0 ? 9. 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ?x ? y ? 3 ?
10. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 3) ? f ( x), 当 x ? (?2,0) 时, f ( x) ? 2 ,
x

则 f (2015) ? f (2014) ? f (2013) ? _________. 11. 若 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和 , S 9 ? ?36, S13 ? ?104, 则 a 5 与 a 7 的等比中项为 _______.

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2

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12.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,点 P 在抛物线上,且位于 x 轴上 方。若点 P 到坐标原点 O 的距离为 4 2 ,则过点 F,O,P 三点的圆的方程是 13. 若 函 数

f ( x) ? sin x ? cos x , f '( x) 是 f ( x) 的 导 函 数 , 则 函 数

F ( x) ? f ( x) f '( x) ? f 2 ( x) 的最大值是
14.已知数列 {a n } , {bn } 中, a1 ? a, {bn } 是公比为

a ?2 2 (n ? N * ), 若 的等比数列.记 bn ? n an ? 1 3

不等式 a n ? a n ?1 对一切 n ? N * 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 二. 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 15.(本小题满分 14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,E 、F 分别是 A1 B 、A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上, A1 D ? B1C 求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1 FD ? 平面 BB1C1C . 。

16.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? m ? n, 其中向量 m ? (sin ?x ? cos ?x, 3 cos ?x),

n ? (cos ?x ? sin ?x,2 sin ?x), ? ? 0, 若 f ( x) 的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于

?.
(1)求 ? 的取值范围; ( 2 )在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, a ?

3 , 当 ? 最大时, f ( A) ? 1, 求

?ABC 的面积最大值.

17.(本小题满分 14 分) 水库的储水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,以年初为起点,根据历年数据, 某水库的储水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为:

? 1 (?t 2 ? 15t ? 51)et ? 50, 0 ? t ? 9 ? v(t ) ? ? 240 ? ?4(t ? 9)(3t ? 41) ? 50,9 ? t ? 12

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(1) 该水库的储水量小于 50 的时期称为枯水期。 以 i ? 1 ? t ? i 表示第 i 个月份 (i=1, 2, ..., 12) ,问:一年内哪几个月份是枯水期? (2)求一年内该水库的最大储水量(取 e ? 20 计算)
3

18.(本小题满分 16 分) 如图,F 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点,A,B 是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率 a 2 b2



1 。 已 知 点 C 在 x 轴 上 , 且 BC ? BF , B, C , F 三 点 确 定 的 圆 M 恰 好 与 直 线 2

l1 : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切。
(1) 求椭圆的方程; (2) 若过点 A 的直线 l2 与圆 M 交于 P,Q 两点, 且 MP ? MQ ? ?2 ,求直线 l2 的方程。

19. (本小题满分 16 分)
2 已知数列 {an } 的各项都是正数,且对任意 n ? N * , an 。 ?1 ? an an ? 2 ? k ( k 为常数)

(1) 若 k ? (a2 ? a1 ) 2 ,求证: a1 , a2 , a3 成等差数列; (2) 若 k ? 0 ,且 a2 , a4 , a5 成等差数列,求

a2 的值; a1

(3) 已知 a1 ? a, a2 ? b ( a, b 为常数) ,是否存在常数 ? ,使得 an ? an ? 2 ? ? an ?1 对任意

n ? N * 都成立?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由。

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20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ?

1? a 2 x ? ax ? ln x(a ? R ). 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的单调性. (3)若对任意 a ? (3, 4) 及任意 x1 , x2 ? [1, 2] ,恒有 立,求实数 m 的取值范围.

(a 2 ? 1) m ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 2

命题、校对、审核:徐所扣、张茹

1. R 7. 6

高三数学质量检测(文科)参考答案 2. ? 3. 1 4. 12 8. ②③⑤ 9. [-3,3] 10. 0 13. 1 ? 2

5. 1

2014.12 6.必要不充分 11. ? 4 2 14. a ? 2.

12. ( x ? ) 2 ? (y ? ) 2 ?

1 2

7 2

25 2

15. 16.(1)由题意知 f ( x) ? m ? n ? cos
2

?x ? sin 2 ?x ? 3 sin 2?x

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= cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin( 2?x ? 解得 0 ? ? ?

?
6

).

T 1 2? ? ? ? ? ? ? , ? ? 0, 2 2 2? 2?

1 ? ? 1 , f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 1, 即 sin( A ? ) ? . 2 6 6 2 ? ? 7? ? 5? 2? 又∵ 0 ? A ? ? , ∴ ? A ? ? ,∴A? ? ,得 A ? . 6 6 6 6 6 3 1 由余弦定理得 a 2 ? 3 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? ? bc, 即 bc ? 1. 2
(2)由(1)知 ? max ? ∴ S ?ABC ?

1 . 2

1 1 3 3 bc sin A ? ? 1 ? ? . 2 2 2 4

17.(1)枯水期为 1,2,3,4,5,10,11,12 月; (2)一年内该水库的最大蓄水量是 150 亿立方米。

x2 y 2 2 18.(1)椭圆方程 (2) y ? ? ? ? 1; ( x ? 2) 4 3 4
2 19.(1) k ? (a2 ? a1 ) 2 时,当 n=1 时,得 a2 ? a1a3 ? ? a2 ? a1 ? , 2

又因为 a1 ? 0 ,得 a2 ? a1 ? a3 ? a2 (2) q ? 1或q ?

故 a1 , a2 , a3 成等差数列

1? 5 2

(3)存在, ? ?

a 2 ? b2 ? k ab
1 x ?1 ? ,当 x x

20. ( 1 )函数的定义域为 (0, ??) . 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x, f ' ( x) ? 1 ?

0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0; f ( x) 单调递减;当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0. f ( x) 单调递增
? f ( x)极小值 =f (1) ? 1
'



无极大值.
1

(1 ? a ) x 2 ? ax ? 1 (1 ? a)( x ? a ? 1)( x ? 1) 1 ? (2) f ( x) ? (1 ? a ) x ? a ? ? x x x (1 ? x) 2 1 ' ? 0, f ( x) 在定义域上是减函数; 当 ? 1 ,即 a ? 2 时, f ( x) ? ? x a ?1 1 1 ' 当 0? 或 x ? 1; 令 f ( x) ? 0, 得 ? 1 , 即 a ? 2 时 , 令 f ' ( x) ? 0, 得 0 ? x ? a ?1 a ?1 1 1 1 ? x ? 1. 当 ? 1 , 即 1 ? a ? 2 时 , 令 f ' ( x) ? 0, 得 0 ? x ? 1 或 x ? ;令 a ?1 a ?1 a ?1 1 f ' ( x) ? 0, 得 1 ? x ? . a ?1 1 综上,当 a ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数;当 a ? 2 时, f ( x) 在 (0, ) 和 (1, ??) a ?1

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单调递减,在 ( 在 (1,

1 1 ,1) 上单调递增;当 1 ? a ? 2 时, f ( x) 在 (0,1) 和 ( , ??) 单调递减, a ?1 a ?1

1 ) 上单调递增; a ?1 (3)由(Ⅱ)知,当 a ? (3, 4) 时, f ( x) 在 [1, 2] 上单减, f (1) 是最大值, f (2) 是最小值.

(a 2 ? 1) a 3 a 3 m ? ln 2 ? ? ? ln 2 , 而 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (2) ? ? ? ln 2 2 2 2 2 2 a ?3 a ?3 1 1 a ? 0 经整理得 m ? 2 ,由 3 ? a ? 4 得 0 ? 2 ? ,所以 m ? . a ?1 a ? 1 15 15


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