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黑龙江哈三中2014届高三第二次高考模拟考试 数学文试题(word版)


哈尔滨市 2014 年第三中学第二次高考模拟考试

数学(文)试题
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 1I 卷(非选择题)两部分,满分 1 50 分,考试时间 120 分 钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证弓‘码填。与清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整, 字

迹清楚; (3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题 卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,小得折替、小要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 EI 要求的. ) 1.已知全集 U=Z,集合 A={一 1,0,1,2},B={x|x2=x},则 A ? CUB 为 A.{一 1,2) B.{一 1,0} C.{0,1) D.{1,2)

2.设 i 为虚数单位,则复数 z ?

i3 在复平面内对应的点位于 1? i
D.第四象限

A.第一象限 B.第_象限 C.第三象限 3.若 a=(一 1,3) ,b=(x+1,一 4) ,且(a+b)//b,则实数 x 为 A.3 B.

1 3

C.一 3

D.一

1 3

4.在等差数列{ an }中, a1 ? a2 ? a3 ? 18, a18 ? a19 ? a20 ? 78, 则此数列前 20 项的和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 5.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S 为 A.96 B.768 C.1 536 D.768

6.已知 a,b,l,表示三条不同的直线, ? , ? , ? 表示三个不同的平面,有下列四个命题:
1页

A.①②

B.①④

C.②③

D.③④

7.等比数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn,且若数列 {an ? 1} 也是等比数列,则 Sn 等于 A. 2
n ?1

?2

B.3n

C.2n

D.3n—1

8.一动圆过点 A(0,1) ,圆心在抛物线 y ? A.x=1 B. x ?

1 32

1 2 x 上,且恒与定直线,相切,则直线 l 的方程为 4 1 C. y ? ? D. y ? ?1 32

9.一只蚂蚁从正方体 ABCD—A1B2C1D1 的顶点 A 处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到顶点 C。处, 则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是

A. (1) (2)
2

B. (1) (3)

C. (2) (4)

D. (3) (4)

10.函数 f ( x) ? cos x ? sin x ,那么下列命题中假命题的是 A. f ( x)在[?? ,0] 上恰有一个零点 B.f(x)既不是奇函数也不是偶函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)在区间(

? 5?

)上是增函数 , 2 6
2 2

11.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,且 a ? c ? 2b, A.3 B.4 C.6

tan A ? 3, 则 b 等于 tan C
D.7

12.对实数 a 和 b,定义运算“*”:a*b= ?

? a, a ? b ? 1 2 ,设函数 f(x)=( x ? 1 )*(x+2) ,若函数 y=f(x) b , a ? b ? 1 ?

一 c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 C 的取值范围是
2页

A. (2,4] ? (5,+ ? ) C. (一 ? ,1) ? (4,5]

B. (1,2] ? (4,5] D.[1,2]

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. ) 13.幂函数 f ( x) 的图象经过点(一 2,一

1 ) ,则满足 f ( x) ? 27 的 x 的值是 8
.

.

14 . 平 面 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 点 A ( 3 , 1 ) ,点 B(一 1,3) ,若点 C 满足

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? O C? ? O A ?? O , 其中 B ?, ?? 且 R ?? ? ? 1 ,则点 C 的轨迹方程为
15.双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ;一善:l(以>7 6>0)的渐近线与抛物线 y2=8x 的准线的一个交点纵 a 2 b2
.

坐标为一 1,则双曲线的离心率为

16.在区间 0,1]上任取两个实数 a,b,则函数 f(x)=

1 3 x ? ax ? b 在区间[—1,1]上有且仅有一个零点的 2

概率为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 已知 (I)求 f(x)的最大值及取到最大值时相应的 x 的集合;(II)若函数 y ? f ( x) ? ?m在区间[0,

?
2

] 上恰好有两个零点,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,△ ABE 为等腰三角形,AE=BE,平面 ABCD⊥平面 ABE,动 点 F 在校 CE 上,无论点 F 运动到何处时,总有 BF⊥AE. (I)求证:平面 ADE⊥平面 BCE; (II)求三校锥的 D—ACE 体积.

19. (本小题满分 12 分) 某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业,在一个开学季内,每售出 1 盒该产品获利润 50 元,未售出的产品,每盒亏损 30 元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如下图 所示.该同学为这个开学季购进了 160 盒该产品,以 X(单位:盒,100≤X≤200)表示这个丌学季内的市场 需求量,Y(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.
3页

(I)根据直方图估计这个丌学季内市场需求量 X 的平均数和众数; (II)将 Y 表示为 X 的函数; (III)根据直方图估计利润】厂不少于 4800 元的概率.

20. (本小题满分 1 2 分) 平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,椭圆上、下顶点分别为 B1,B2.椭圆上异 a 2 b2

于于 B1,B2 两点的任一点 P 满足直线 PB1,PB2 的斜率之积等于—

1 ,且椭圆的焦距为 2 3 ,直线 y=kx+2 4

与椭圆交于不同两点 S,T. (I)求 C 的方程; (II)求证:直线 B1S 与直线 B2T 的交点在一条定直线上,并求出这条定直线.

21. (本小题满分 1 2 分) 己知函数 f ( x) ? (nx ? n ? 2) ? e (其中n ? N*)
x

(I)求 f(x)在[0,2]上的最大值; (II)若函数 g(x)=(nx+2) (nx 一 15) (n∈N*) ,求 n 所能取到的最大正整数,使对任意 x>0,都有 2f’(x)>g(x)恒成立.
4页

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4.1:几何证明选讲 如图, ? O1与 ? O2 相交于 A,B 两点,AB 是 ? O2 的直径,过点 A 作 ? O1 的切线交 ? O2 于点 E,并与 BO1 的延长线变于点 P,分别与 ? O1 、 ? O2 交于 C,D 两点. 证明: (I)PA· PD=PE· PC; (II)AD=AE.

23. (本小题满分 10 分)选修 4m4:坐标系与参数方程 在极坐标系呶中,Ox 为极点,点 A(2,

? ? ) ,B( 2 2, ) . 4 2

(T)求经过 O,A,B 的圆 C 的极坐标方程; ( II ) 以 极 点 为 坐 标 原 点 , 极 轴 为 x 轴 的 正 半 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 圆 D 的 参 数 方 程 为

? x ? ?1 ? a cos ? (? 是参数,a 为半径) ,若圆 C 与圆 D 相切,求半径 a 的值. ? ? y ? ?1 ? a sin ?

24. (本题满分 10 分)选修 4—5 不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | . (I)若 f(x)≤m 的解集为{x|—1≤x≤5) ,求实数 a,m 的值; (II)当 a=2 且 0≤t<2 时,解关于 x 的不等式 f(x)+t≥f(x+2) .

5页

哈尔滨市第三中学二模数学(文)参考答案
1-12 13-16 17 题
6页

ADBCB,CCDCA,BB

1 3

x ? 2y ? 5 ? 0

5 2

7 8

(I) f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?
6

)? 3
? ?

………3 分

最大值为 2 ? 3 , x 集合为 ? x x ?

?

? ? k? , k ? Z ? 3 ?

………6 分

(II) 2 x ?

?

? ? 5? ? ? ?? , ? ,若有两个零点,则 m ? 1 ? 3,2 ? 3 ………12 分 6 ? 6 6 ?

?

?

18 题 (I)无论点 F 运动到何处时,总有 BF ? AE ,则 AE ? 平面 BCE ,………6 分 所以平面 ADE ? 平面 BCE (II) VD ? ACE ? VE ? ACD ?

2 3
………4 分

………12 分

19 题 (I)众数 150,平均数 153 (II) Y ? ? (III)0.9 20 题

?80 X ? 4800(100 ? X ? 160) ………8 分 ?8000(160 ? X ? 200)
………12 分

x2 (I) 椭圆方程为 ? y2 ? 1 4

……4 分

? y ? kx ? 2 ? (II) ? x 2 ? ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 2 ? y ? 1 ? ?4

16k ? x1 ? x 2 ? ? ? 3 ? 1 ? 4k 2 ? ? ? 0,? k 2 ? , ? 12 4 ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 ?
取直线 y ? x ? 2 与椭圆

x2 ? 6 4? ? y 2 ? 1 交于两点 S ? ? , ? , T ? ?2, 0 ? 4 ? 5 5?

直线 B1S : y ?

1? 1 1 ? x ? 1, B2T : y ? ? x ? 1 ,两条直线的交点为 Q1 ? ?3, ? 2? 6 2 ?

x2 ?6 4? ? y 2 ? 1 交于两点 S ? , ? , T ? 2, 0 ? 取直线 y ? ? x ? 2 与椭圆 4 ?5 5?
直线 B1S : y ? ?

1 1 ? 1? x ? 1, B2T : y ? x ? 1 ,两条直线的交点为 Q2 ? 3, ? 6 2 ? 2? 1 2
7页

若交点在一条直线上则此直线只能为 l : y ?

验证对任意的 k ? ? ??, ? 线直线 B1S 与直线 l : y ?

? ? ?

? 3? ? 3 1 ? , ?? , 直线 B1S 与直线 B2T 的交点 Q 都在定直线 l : y ? 上, 设直 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

1 1 ' ' , y0 交点为 Q0 ? x0, y0? ,直线 B2T 与直线 l : y ? 交点为 Q0 ' ? x0 ? ,设点 2 2

S ? x1 , y1 ? , T ? x2 , y2 ?
直线 B1S : y ?

y1 ? 1 y ?1 x ? 1, B2T : y ? 2 x ?1 x1 x2

y ?1 y ?1 ? ? B1S : y ? 1 x ?1 B1S : y ? 2 ?1 ? ? ? 1 x1 1 ? ? ?3 x 1? x1 x1 ? ? Q0 ? ? , ?;? ? Q0 ' ? ? 2 , ? ? ? 2 y1 ? 1 2 ? ? y ? 1 ? 2 y2 ? 1 2 ? ?y ? 1 ? ? ? 2 ? 2
12 ?16k 4k ? ? 3? 2 1 4kx1 x2 ? 3 ? x1 ? x2 ? 1 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? 0 x0 ? x0 ' ? ? ? ? 2 ? y2 ? 1?? y1 ? 1? 2 ? y2 ? 1?? y1 ? 1?
' ' 所以点 Q0 ? x0 , y0 ? 与 Q0 ' x0 , y0 重合,所以交点在直线 l : y ?

?

?

1 1 上 y ? ……12 分 2 2

21 题 (I) f ( x) ? (nx ? n ? 2) ? e , f ( x) ? (nx ? 2) ? e ,……………………3 分
x ' x

所以 f ( x) 在 ?0,2?上恒正,最大值为 f (2) ? (n ? 2)e
'

2

……………………6 分

(II) g ( x) = (nx ? 2)( nx ? 15) 所以只需要 2e ? nx ? 15 即可,
x

记 h( x) ? 2e ? nx ? 15 ,则 h ( x ) ? 2e ? n
x
'

x

n n n ) 减, (ln ,??) 增,则 h( x) min ? n ? n ln ? 15 2 2 2 x x ' 记 k ( x) ? x ? x ln ? 15 ,则 k ( x) ? ? ln 2 2
故 h( x ) 在 (0, ln 故 k ( x ) 在 (0,2) 增, (2,??) 减 在 (2,??) 上取 2e ,有 k (2e ) ? 15 ? 2e ? 0
2
2 2

又 k (15) ? 15(2 ? ln
2

15 ) ? 0 ,故存在 x 0 ? ?2e 2 ,15? 使 k ( x0 ) ? 0 2
'

而 2e ? (14,15) ,所以当 n ? 14 时可保证 h( x) min ? 0 ,有 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立 当 n ? 15 时 h( x) min ? 0 ,不能有 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立
'

所以 n 所能取到的最大正整数为 14

………12 分
8页

22 题 (I)因为 PE, PB 分别是⊙ O2 割线, 所以 PA ? PE ? PD ? PB ① 又 PA, PB 分别是⊙ O1 的切线和割线,所以 PA 2 ? PC ? PB ② 由①②得 PA ? PD ? PE ? PC ………5 分

(II)连接 AC , DE ,设 DE 与 AB 相交于点 F ,因为 BC 是⊙ O1 的直径,所以 ?CAB ? 90? ,所以 AC 是 ⊙ O2 的切线,由(1)得 AC // DE ,所以 AB ? DE ,所以 AD ? AE 23 解(I) ? ? 2 2 cos(? ? (II) a ? 2 或 a ? 3 2 . 24 ………10 分

?
4

)

………5 分 ………10 分

? x ? a ? m,? a ? m ? x ? a ? m ? ?1 ? x ? 5
(I)

?a ? m ? ?1 ?a ? 2 ?? ,? ? ?a ? m ? 5 ?m ? 3

………5分

(II)

? a ? 2? x ? 2 ? t ? x 当x ? 2时,x ? 2 ? t ? x,? 0 ? t ? 2,? 舍去 当0 ? x ? 2时,2 ? x ? t ? x ? 0 ? x ? 当x ? 0时,2 ? x ? t ? ? x ? 成立 ? 解集为(? ?, t?2 ]. 2 t?2 , 成立 2
………10分

9页


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