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高中数学竞赛讲义(13)排列组合与概率


高中数学竞赛讲义(十三) ──排列组合与概率 一、基础知识 1.加法原理:做一件事有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同 的方法,在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共有 N=m1+m2+?+mn 种不同的 方法。 2.乘法原理:做一件事,完成它需要分 n 个步骤,第 1 步有 m1 种不同的方法

,第 2 步有 m2 种不同的方法,??,第 n 步有 mn 种不 同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×?×mn 种不同的方法。 3.排列与排列数:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按 照一定顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排 列,从 n 个不同元素中取出 m 个(m≤n)元素的所有排列个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 (n-m+1)= 注:一般地 ,其中 m,n∈N,m≤n, =1,0!=1, =n!。 =(n-1)!。 表示, =n(n-1)?

4.N 个不同元素的圆周排列数为

5.组合与组合数:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个 元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合,即 从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成原集合的一个子集。从 n

1

个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的组合数,用 表示:

6.组合数的基本性质: (1) ; ( 4 ) ;(6)

; (2)

; (3) ; ( 5 )

。 。

7.定理 1:不定方程 x1+x2+?+xn=r 的正整数解的个数为

[证明]将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合 为 A,不定方程 x1+x2+?+xn=r 的正整数解构成的集合为 B,A 的每个 装法对应 B 的唯一一个解,因而构成映射,不同的装法对应的解也不 同,因此为单射。反之 B 中每一个解(x1,x2,?,xn),将 xi 作为第 i 个 盒子中球的个数,i=1,2,?,n,便得到 A 的一个装法,因此为满射, 所以是一一映射,将 r 个小球从左到右排成一列,每种装法相当于从 r-1 个空格中选 n-1 个,将球分 n 份,共有 种。故定理得证。

推论 1 不定方程 x1+x2+?+xn=r 的非负整数解的个数为 推论 2 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫 做 n 个不同元素的 m 可重组合,其组合数为 8 (a+b)n= Tr+1= 叫二项式系数。 . 二 项 式 定 理 : 若 n ∈ N+, 则

. 其 中 第 r+1 项

2

9.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机 事件。 在大量重复进行同一试验时, 事件 A 发生的频率 总是接近于

某个常数,在它附近摆动,这个常数叫做事件 A 发生的概率,记作 p(A),0≤p(A)≤1. 10.等可能事件的概率, 如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结 果,其中事件 A 包含的结果有 m 种,那么事件 A 的概率为 p(A)= 11.互斥事件:不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件,也叫 不相容事件。如果事件 A1,A2,?,An 彼此互斥,那么 A1,A2,?, An 中至少有一个发生的概率为 p(A1+A2+?+An)= p(A1)+p(A2)+?+p(An). 12.对立事件:事件 A,B 为互斥事件,且必有一个发生,则 A, B 叫对立事件,记 A 的对立事件为 。由定义知 p(A)+p( )=1. 13.相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发 生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。 14.相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生 的概率,等于每个事件发生的概率的积。即 p(A?B)=p(A)?p(B).若事 件 A1 ,A2 ,?,An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率为 p(A1?A2? ? ?An)=p(A1)?p(A2)? ? ?p(An). 15.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不 依赖于其他各次试验的结果,则称这 n 次试验是独立的.

3

16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率 为 p,那么在 n 次独立重复试验中,这个事件恰好发生 k 次的概率为 pn(k)= ?pk(1-p)n-k.

17.离散型随机为量的分布列:如果随机试验的结果可以用一个 变量来表示,那么这样的变量叫随机变量,例如一次射击命中的环数 ξ 就是一个随机变量,ξ 可以取的值有 0,1,2,?,10。如果随机变量 的可能取值可以一一列出,这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地,设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1,x2,?,xi,?,ξ 取 每一个值 xi(i=1,2,?)的概率 p(ξ =xi)=pi,则称表 ξ p x1 p1 x2 p2 x3 p3 ? ? xi pi ? ?

为随机变量ξ 的概率分布,简称ξ 的分布列,称 Eξ =x1p1+x2p2+? +xnpn+?为ξ 的数学期望或平均值、均值、简称期望,称 Dξ =(x1-E ξ )2?p1+(x2-Eξ )2?p2+?+(xn-Eξ )2pn+?为ξ 的均方差,简称方差。 叫随机变量ξ 的标准差。 18.二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么 在 n 次独立重复试验中,这个事件恰好发生 k 次的概率为 p(ξ =k)= ξ p , ξ 的分布列为 0 1 ? ? xi ? ? N

4

此时称ξ 服从二项分布,记作ξ ~B(n,p).若ξ ~B(n,p),则 Eξ =np,Dξ =npq,以上 q=1-p. 19.几何分布:在独立重复试验中,某事件第一次发生时所做试验 的次数ξ 也是一个随机变量, 若在一次试验中该事件发生的概率为 p, 则 p(ξ =k)=qk-1p(k=1,2,?),ξ 的分布服从几何分布,Eξ = = (q=1-p). 二、方法与例题 1.乘法原理。 例 1 有 2n 个人参加收发电报培训, 每两个人结为一对互发互收, 有多少种不同的结对方式? [解] 将整个结对过程分 n 步,第一步,考虑其中任意一个人的 ,Dξ

配对者,有 2n-1 种选则;这一对结好后,再从余下的 2n-2 人中任意 确定一个。第二步考虑他的配对者,有 2n-3 种选择,??这样一直 进行下去,经 n 步恰好结 n 对,由乘法原理,不同的结对方式有 (2n-1)×(2n-3)×?×3×1= 2.加法原理。 例2 图 13-1 所示中没有电流通过电流表,其原因仅因为电阻断

路的可能性共有几种? [解] 断路共分 4 类:1)一个电阻断路,有 1 种可能,只能是 -1=5 种可能;3)3 个电阻断路,有

R4;2)有 2 个电阻断路,有

5

=4 种;4)有 4 个电阻断路,有 1 种。从而一共有 1+5+4+1=11 种可 能。 3.插空法。 例 3 10 个节目中有 6 个演唱 4 个舞蹈,要求每两个舞蹈之间至 少安排一个演唱,有多少种不同的安排节目演出顺序的方式? [解] 先将 6 个演唱节目任意排成一列有 种排法,再从演唱节 种方法, 故共有

目之间和前后一共 7 个位置中选出 4 个安排舞蹈有 =604800 种方式。 4.映射法。 例4

如果从 1,2,?,14 中,按从小到大的顺序取出 a1,a2,a3

使同时满足:a2-a1≥3,a3-a2≥3,那么所有符合要求的不同取法有多 少种? [解] 设 S={1,2,?,14}, ={1,2,?,10};T={(a1,a2,a3)| ={( , ) ∈ 令

a1,a2,a3 ∈ S,a2-a1 ≥ 3,a3-a2 ≥ 3}, }, 若

,则(a1,a2,a3)∈T,这样就建立了从 到 T 的 映 射 , 它 显 然 是 单 射 , 其 次 若 (a1,a2,a3) ∈ T, 令 ,则 因此是一一映射,所以|T|= 5.贡献法。 例5 已知集合 A={1,2,3,?,10},求 A 的所有非空子集的元 ,从而此映射也是满射, =120,所以不同取法有 120 种。

素个数之和。
6

[解]

设所求的和为 x,因为 A 的每个元素 a,含 a 的 A 的子集有

29 个,所以 a 对 x 的贡献为 29,又|A|=10。所以 x=10×29. [另解] A 的 k 元子集共有 的元素个数之和为 6.容斥原理。 例6 由数字 1,2,3 组成 n 位数(n≥3),且在 n 位数中,1,2, 个,k=1,2,?,10,因此,A 的子集 10×29。

3 每一个至少出现 1 次,问:这样的 n 位数有多少个? [解] 用 I 表示由 1,2,3 组成的 n 位数集合,则|I|=3n,用 A1,

A2,A3 分别表示不含 1,不含 2,不含 3 的由 1,2,3 组成的 n 位数的 集合,则|A1|=|A2|=|A3|=2n,|A1 A2|=|A2 A3|=|A1 A3|=1。|A1 A2 A3|=0。

所以由容斥原理|A1 A2 A3|= ×2n-3.所以满足条件的 n 位数有|I|-|A1 A2 A3|=3n-3×2n+3 个。 7.递推方法。

=3

例 7 用 1,2,3 三个数字来构造 n 位数,但不允许有两个紧挨 着的 1 出现在 n 位数中,问:能构造出多少个这样的 n 位数? [解] 设能构造 an 个符合要求的 n 位数,则 a1=3,由乘法原理知

a2=3×3-1=8.当 n≥3 时:1)如果 n 位数的第一个数字是 2 或 3,那 么这样的 n 位数有 2an-1;2)如果 n 位数的第一个数字是 1,那么第 二位只能是 2 或 3, 这样的 n 位数有 2an-2, 所以 an=2(an-1+an-2)(n≥3). 这里数列{an}的特征方程为 x2=2x+2,它的两根为 x1=1+ ,x2=1,

7

故 an=c1(1+ 以

)n+ c2(1+

)n,由 a1=3,a2=8 得

,所

8.算两次。 例 8 m,n,r ∈ N+ ① [证明] 从 n 位太太与 m 位先生中选出 r 位的方法有 一方面, 从这 n+m 人中选出 k 位太太与 r-k 位先生的方法有 种;另 种, , 证 明 :

k=0,1, ? ,r 。 所 以 从 这 n+m 人 中 选 出 r 位 的 方 法 有 种。综合两个方面,即得①式。 9.母函数。 例9 一副三色牌共有 32 张, 黄、 红、 蓝各 10 张, 编号为 1, ?, 2,

10,另有大、小王各一张,编号均为 0。从这副牌中任取若干张牌, 按如下规则计算分值: 每张编号为 k 的牌计为 2k 分, 若它们的分值之 和为 2004,则称这些牌为一个“好牌”组,求好牌组的个数。 [解] 对于 n∈{1,2,?,2004},用 an 表示分值之和为 n 的牌组的 )2?(1+ )3??????(1+ )3 的展开 f(x)=
3

数目,则 an 等于函数 f(x)=(1+ 式 中 [ = (1+

xn 的 系 数 ( 约 定 |x|<1 ) , 由 于 )(1+
3

)? ? ?(1+ 。

)]3=

8

而 0≤2004<211,所以 an 等于 又 由 于 = ?

的展开式中 xn 的系数, =(1+x2+x3+ ?

+x2k+?)[1+2x+3x2+?+(2k+1)x2k+?],所以 x2k 在展开式中的系数为 a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,?,从而,所求的“好牌”组的个 数为 a2004=10032=1006009. 10.组合数 例 10 [ = 的性质。 是奇数(k≥1). 明 ] 令 i= ?pi(1≤i

证明: 证

≤k),pi 为奇数,则 为奇数,因

,它的分子、分母均

是整数,所以它只能是若干奇数的积,即为奇数。

例 11 对 n≥2,证明: [证明] 1) n=2 时, 2< 当 2 当 n=k+1 时,因为 又 <4,所以 2k+1< . =6<42; 假设 n=k 时, 2k< 2) 有 <4k,

所以结论对一切 n≥2 成立。 11.二项式定理的应用。

例 12 若 n∈N, n≥2,求证:

9

[证明]

首先

其次因为 ,所以

2+ 例 13 证明: [证明]

得证。

首先,对于每个确定的 k,等式左边的每一项都是两个 是(1+x)n-k 的展开式中 xm-h 的系数。 是(1+y)k ? 就是(1+x)n-k?(1+y)k 的展开式中

组合数的乘积, 其中

的展开式中 yk 的系数。从而 xm-hyh 的系数。 于是, 就是

展开式中 xm-hyh 的系数。

另一方面, = 数恰为 所以 12.概率问题的解法。 ? 。 =

= (xk-1+xk-2y+?+yk-1),上式中,xm-hyh 项的系

例 14 如果某批产品中有 a 件次品和 b 件正品,采用有放回的抽 样方式从中抽取 n 件产品,问:恰好有 k 件是次品的概率是多少? [解] 把 k 件产品进行编号,有放回抽 n 次,把可能的重复排列

作为基本事件,总数为(a+b)n(即所有的可能结果)。设事件 A 表示
10

取出的 n 件产品中恰好有 k 件是次品, 则事件 A 所包含的基本事件总 ?akbn-k,故所求的概率为 p(A)= 将一枚硬币掷 5 次,正面朝上恰好一次的概率不为 0,而

数为

例 15

且与正面朝上恰好两次的概率相同,求恰好三次正面朝上的概率。 [解] 设每次抛硬币正面朝上的概率为 p,则掷 5 次恰好有 k 次 (1-p)5-k(k=0,1,2, ? ,5) , 由 题 设 ,所以恰好有 3 次正

正面朝上的概率为

,且 0<p<1,化简得

面朝上的概率为 例 16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛,已知每一局甲 胜的概率为 0.6,乙胜的概率为 0.4,比赛时可以用三局二胜或五局 三胜制,问:在哪一种比赛制度下,甲获胜的可能性大? [解] (1)如果采用三局两胜制,则甲在下列两种情况下获胜: A1—2:0(甲净胜二局),A2—2:1(前二局甲一胜一负,第三局甲 胜). p(A1)=0.6×0.6=0.36,p(A2)= ×0.6×0.4×0.6=0.288.

因为 A1 与 A2 互斥,所以甲胜概率为 p(A1+A2)=0.648. (2)如果采用五局三胜制,则甲在下列三种情况下获胜:B1—3:0 (甲净胜 3 局),B2—3:1(前 3 局甲 2 胜 1 负,第四局甲胜),B3 —3:2(前四局各胜 2 局,第五局甲胜)。因为 B1,B2,B2 互斥,所 以甲胜概率为 p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.63+ 0.6+ ×0.62×0.42×0.6=0.68256. ×0.62×0.4×

由(1),(2)可知在五局三胜制下,甲获胜的可能性大。
11

例 17 有 A,B 两个口袋,A 袋中有 6 张卡片,其中 1 张写有 0, 2 张写有 1,3 张写有 2;B 袋中有 7 张卡片,其中 4 张写有 0,1 张 写有 1,2 张写有 2。从 A 袋中取出 1 张卡片,B 袋中取 2 张卡片,共 3 张卡片。求:(1)取出 3 张卡片都写 0 的概率;(2)取出的 3 张 卡片数字之积是 4 的概率;(3)取出的 3 张卡片数字之积的数学期 望。

[解](1)

;(2)

;(3)

记ξ 为取出的 3 张卡片的数字之积,则ξ 的分布为 ξ p 0 2 4 8

所以 三、基础训练题 1.三边长均为整数且最大边长为 11 的三角形有_________个。 2.在正 2006 边形中,当所有边均不平行的对角线的条数为 _________。 3.用 1,2,3,?,9 这九个数字可组成_________个数字不重复 且 8 和 9 不相邻的七位数。 4.10 个人参加乒乓球赛,分五组,每组两个人有_________种分 组方法。 5.以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。
12

6.今天是星期二,再过 101000 天是星期_________。 7.由 有_________项。 8.如果凸 n 边形(n≥4)的任意三条对角线不共点,那么这些对角 线在凸 n 边形内共有_________个交点。 9.袋中有 a 个黑球与 b 个白球,随机地每次从中取出一球(不放 回),第 k(1≤k≤a+b)次取到黑球的概率为_________。 10.一个箱子里有 9 张卡片,分别标号为 1,2,?,9,从中任 取 2 张,其中至少有一个为奇数的概率是_________。 11.某人拿着 5 把钥匙去开门,有 2 把能打开。他逐个试,试三 次之内打开房门的概率是_________。 12.马路上有编号为 1,2,3,?,10 的十盏路灯,要将其中三 盏关掉, 但不能同时关掉相邻的两盏或三盏, 也不能关掉两端的路灯, 则满足条件的关灯方法种数是_________。 13.a,b,c,d,e 五个人安排在一个圆桌周围就坐,若 a,b 不相邻 有_________种安排方式。 14. 已知 i,m,n 是正整数, 1<i≤m≤n。 且 证明: (1) (2)(1+m)n>(1+n)m. 15.一项“过关游戏”规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果 这 n 次抛掷所得到的点数之和大于 2n,则算过关。问:(1)某人在 这项游戏中最多能过几关?(2)他连过前三关的概率是多少?(注: 骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体)
13

展开式所得的 x 的多项式中,系数为有理数的共



四、高考水平训练题 1.若 n∈{1,2,?,100}且 n 是其各位数字和的倍数,则这种 n 有 __________个。 2.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取 3 个不同元素作为二次函数 y=ax2+bx+c 的系数,能组成过原点,且顶点在第一或第三象限的抛物 线有___________条。 3.四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中任取 4 个不共 面的点,有_________种取法。 4.三个人传球,从甲开始发球,每次接球后将球传给另外两人中 的任意一个,经 5 次传球后,球仍回到甲手中的传法有_________种。 5. 一条铁路原有 m 个车站 (含起点, 终点) 新增加 n 个车站 , (n>1) , 客运车票相应地增加了 58 种,原有车站有_________个。

6.将二项式

的展开式按降幂排列,若前三项系数成等

差数列,则该展开式中 x 的幂指数是整数的项有_________个。 7. 1 到 9 这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数, 从 共可得到_________种不同的对数值。 8.二项式(x-2)5 的展开式中系数最大的项为第_________项,系 数最小的项为第_________项。 9.有一批规格相同的均匀圆棒,每根被划分成长度相同的 5 节, 每节用红、黄、蓝三色之一涂色,可以有_________种颜色不同的圆 棒?(颠倒后相同的算同一种)

14

10.在 1,2,?,2006 中随机选取 3 个数,能构成递增等差数列 的概率是_________。 11.投掷一次骰子,出现点数 1,2,3,?,6 的概率均为 ,连 续掷 6 次,出现的点数之和为 35 的概率为_________。 12.某列火车有 n 节旅客车厢,进站后站台上有 m(m≥n)名旅客 候车,每位旅客随意选择车厢上车,则每节车厢都有旅客上车的概率 是_________。 13.某地现有耕地 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占有量比现在提高 10%,如果人口年增长率为 1%,那 么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到 1 公顷)?(粮食单 产= ) 五、联赛一试水平训练题 1.若 0<a<b<c<d<500,有_________个有序的四元数组(a,b,c,d) 满足 a+d=b+c 且 bc-ad=93. 2.已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3} 中的 3 个不同的元素,并且该直线倾斜角为锐角,这样的直线条数是 _________。 3.已知 A={0,1,2,3,4,5,6,7},映射 f:A→A 满足:(1) 若 i≠j,则 f(i)≠f(j);(2)若 i+j=7,则 f(i)+f(j)=7,这样的 映射的个数为_________。

15

4.1,2,3,4,5 的排列 a1,a2,a3,a4,a5 具有性质:对于 1≤i≤ 4,a1,a2,?,ai 不构成 1,2,?,i 的某个排列,这种排列的个数是 _________。 5.骰子的六个面标有 1,2,?,6 这六个数字,相邻两个面上的 数字之差的绝对值叫变差,变差的总和叫全变差 V,则全变差 V 的最 大值为_________,最小值为_________。 6.某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛 2 场之后就退出了,这样,全部比赛只进行 50 场, 上述三名选手之间比赛场数为_________。 7.如果 a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}且 a≠b,b≠c,c≠d, d≠a;且 a 是 a,b,c,d 中的最小值,则不同的四位数 的个数为_________。

8.如果自然数 a 各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数”, 将 所 有 的 吉祥 数从 小 到 大 排成 一列 a1,a2,a3, ? , 若 an=2005 , 则 an=_________。

9.求值:

=_________。

10.投掷一次骰子,出现点数 1,2,?,6 的概率均为 ,连续 掷 10 次,出现的点数之和是 30 的概率为_________。 11.将编号为 1,2,?,9 这九个小球随机放置在圆周的九个等 分点上,每个等分点上各有一个小球,设周围上所有相邻两球的号码 之差的绝对值之和为 S,求 S 达到最小值的放法的概率(注:如果某

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种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合,则认为是相同的放 法)。 12.甲、乙两人轮流向同一目标射击,第一次甲射击,以后轮流 射 击 , 甲 每 次 击 中 的 概 率 为 p(0<p<1) , 乙 每 次 击 中 的 概 率 为 q(0<q<1),求甲、乙首先击中的概率各是多少? 13 . 设 m,n ∈ N,0<m ≤ ?+ 六、联赛二试水平训练题 1.100 张卡片上分别写有数字 1 到 100,一位魔术师把这 100 张 卡片放入颜色分别是红色、白色、蓝色的三个盒子里,每个盒子里至 少放入一张卡片。 一位观众从三个盒子中挑出两个,并从中各选取一张卡片,然后 宣布这两张卡片上的两个数的和数,魔术师知道这个和数之后,便能 够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。问:共有多少种放卡片 的方法,使得这个魔术师总能够成功?(如果至少有一张卡片被放入 不同颜色的盒子,两种方法被认为是不同的) 2.设 S={1,2,?,10},A1,A2,?,Ak 是 S 的 k 个子集合,满足: (1)|Ai|=5,i=1,2,?,k;(2)|Ai Aj|≤2,1≤i<j≤k,求 k 的最大 值。 3. 求从集合{1,2,?,n}中任取满足下列条件的 k 个数{j1,j2,?,jk} 的组合数;(1)1≤j1<j2<?<jk≤n;(2)jh+1-jh≥m,h=1,2,?,k-1, n , 求 证 :

17

其中 m>1 为固定的正整数; (3)存在 h0,1≤h0≤k-1,使得 m+1. 4.设 <Sm,求证组合数 5.



,其中 S1, 2, Sm 都是正整数且 S1<S2<? S ?, 中奇数的个数等于 2m。

个不同的数随机排成图 13-2 所示的三角形阵,设 Mk 是

从上往下第 k 行中的最大数,求 M1<M2<?<Mn 的概率。 6.证明:

18


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