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吉林省四平市第一高级中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷


四平一中 2015—2016 学年度上学期高二第一次月考

数学试卷
考生注意: 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分共 22 题,共 150 分,共 4 页。考试时间 120 分钟。 考试结束后,只交答题卡。 2. 客观题请用 2B 铅笔填涂在答题卡上,主观题用黑色碳素笔写在答题卡上。

第Ⅰ卷(选择题,共计 60 分)

/>一、选择题(总计 12 小题,每小题 5 分) 1.经过 A(1,0) , B(0, 3) 两点的直线的倾斜角为( A. ) D.

? 3

B.

2? 3

C.

? 6

5? 6

2.下列叙述中,正确的个数为( ) ?在棱柱中,各侧面都是平行四边形; ?圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线; ?有两个面互相平行,且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台 A.0 B.1 C.2 D.3
2 2 3.已知直线 l 过圆 x ? ( y ? 3) ? 4 的圆心,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则直线 l 的方 程是( ) A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0

C. x ? y ? 3 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0 4.已知某几何体的三视图如图,则这个几何体的表面积为(



1 正视图 1 侧视图 1

1 俯视图 A. 8 ? 2

1 B. 7 ? 2 C. 6 ? 2 D.7

5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题不正确的是( A.若 l ? ? , m ? ? , 则 l ? m B.若 l ? ? , l ? m, 则 m ? ?



C.若 l ? ? , m ? ? , 则 l ? m
2 2 2 2

D.若 l ?? , m ?? , 则 l ? m ) ) C. 2 2 C.-3 ) D. 120
?

6.圆 x ? y ? 4 ? 0 与圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ?12 ? 0 的公共弦长为( A. 3 2 A. ?8 B. 2 3 B. ?3 D.2 D.3

7.已知直线 l1 : (1 ? m) x ? y ? 2 ? 0, l2 : 8x ? (m ? 1) y ? m ? 1 ? 0 且 l1 ? l2 , 则m ? (

? E, F 分 别 是 棱 8. 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , AB ? BC ? AA 1, ?ABC ? 90 , 点

AB, BB1 中点,则异面直线 EF 和 BC1 所成的角是(
A. 45
?

B. 60

?

C. 90

?

9.若直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆 C: ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 相交于 A, B 两点,则 ?ABC 的面 积为( ) A.4 10.已 知 三 棱 锥
?

B.1

C.2

D. 2 2 , 在

V ? ABC ,VA ? 平 面 ABC ?BAC ? 120 , AB ? AC ? VA ? 2, 则三棱锥 V ? ABC 的外接球的体积为( )
A. 20? B.

?ABC

中 ,

5 5 ? 3

C.

20 5 ? 3

D. 10?

11. 若 直 线 l : y ? x ? b 与 曲 线 y ? 3 ? 4 x ? x2 有 两 个 公 共 点 , 则 b 的 取 值 范 围 是 ( ) A. [?1,1 ? 2 2) B. (1 ? 2 2, ?1] ) C. (1 ? 2 2,3] D. (1 ? 2 2,1 ? 2 2) 12.已知动圆过两定点 A(1,2), B( ?2, ?2) ,则下列说法正确的是( ①动圆 M 与 x 轴一定有交点; ③动圆 M 的最小面积为 ②圆心 M 一定在直线 x ? ?

1 上; 2

25 ? ; ④直线 y ? ? x ? 2 与动圆一定相交 4

⑤点 (0, ) 可能在动圆外. A.①③④ B.②③④ C.①②⑤ D.③④⑤

2 3

第Ⅱ卷(非选择题,共计 90 分)
二、填空题(总计 4 小题,每小题 5 分) 13.正四棱台上底面边长为 2cm ,下底面边长为 10 cm ,斜高为 5cm ,则该正四棱台体积 为__________ 14.过 P(1, 2) 作圆 x ? y ? 1 的切线方程是____________________
2 2

15. (文)已知棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1 BC 1 的距离为 1B1C1D1 , 则点 B1 到平面 A _________ (理)正方体 ABCD ? A 1 和平面 A 1 1B1CD 所成的角为 ? 1 ,直线 BA 1B1C1D1 ,直线 BA 与 B1C 所 成 的 角 为 ? 2 , 平 面 BAC 1 1 与 平 面 ABCD 所 成 的 锐 二 面 角 为 ? 3 , 则

sin ?1 cos?2 tan ?3 ? _________
16. 已知线段 AB 的端点 B(4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上运动,若点 M 满足

???? ? ???? AM ? 2 MB ,则点 M 的轨迹方程为________________________

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知圆锥的表面积为 12? ,且它的侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的体积.

18.(本小题满分 12 分) 已知正方形的中心为 M ( ?1,0) , 一条边所在的直线方程 x ? 3 y ? 5 ? 0 , 求此正方形其他 三边所在的直线方程.

19.(本小题满分 12 分) 如图,四边形 AA1C1C 为矩形,四边形 CC1B1B 为菱形,且平面 CC1B1B ? 平面 AA1C1C ,

D , E 分别 A1B1, C1C 为中点.
(1)求证: BC1 ? 平面 AB1C (2)求证: DE ? 平面 AB1C B1 B

D C1 E A1 20.(本小题满分 12 分)

C

A

求经过点 M (3, ?1) , 且与圆 C : x ? y ? 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 相切于 N (1, 2) 的圆的标准方 程.
2 2

21.(本小题满分 12 分)(文科只做(1) (2) ,理科全做) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 菱 形 , 其 中 PA ? PD ? AD ? 2 ,

?BAD ? 60? , Q 为 AD 中点, (1)求证: AD ? PB (2)若平面 PAD ? 平面 ABCD ,且 M 为 PC 的中点,求四棱锥 M ? ABCD 的体积. (3)在(2)的条件下,求二面角 P ? AB ? D 的正切值.

Q Q

22.(本小题满分 12 分) 已知圆 C 经过 P(4, ?2) , Q( ?1,3) 两点,在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,半径小于 5, (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l ? PQ ,直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原 点 O,求直线 l 的方程.

四平一中 2015—2016 学年度上学期高二第一次月考

数学试卷答案
第Ⅰ卷
一、选择题
题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 B 5 D 6 C 7 D 8 B 9 C 10 C 11 B 12 A

第Ⅱ卷
二、填空题

13.

124cm3
2

14. x ? 1 或 3x ? 4 y ? 5 ? 0

15. (理)

3 a 3

(文)

2 4

7 2 3 三、解答题

16. ( x ? ) ? ( y ? 2) ?

4 或 ( x ? 9)2 ? ( y ? 6)2 ? 4 9

17.解:设圆锥的底面半径为 r ,母线为 l ,由题意知

?? rl ? ? r 2 ? 12? .........................................................................................................................4 分 ? 2 ? r ? ? l ?
解 得

l ? 4 r ? .............................................................................................................................6, 分

?h ? l 2 ? r 2 ? 2 3 ..................................................................................................................8 分

?V ?
分 18.解

1 1 8 3 S h? ? ?22 ? 2 3? ? ..........................................................................................10 3 3 3
M (? x ? 3y ? ? 5





1

, 到

0 直

)线

距 0



d?

6 .....................................................................2 分 10
设与 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直的直线为 3x ? y ? m ? 0 则 点

M (?

1

, 到

0 3x ? y)? m ? 0









m?3 10

..................................................................4 分

?


m?3 6 ? ,解得 m ? 9 或 m ? ?3 10 10
3x ? y ? 9 ? 0


3x ? y ? 3 ? 0 ..............................................................................................6 分
设与 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行的直线方程 x ? 3 y ? n ? 0

点 M ( ?1,0) 到 x ? 3 y ? n ? 0 的距离

n ?1 10

?


n ?1 6 ? ,解得 n ? 7 或 n ? ?5 (舍) 10 10

x ? 3 y ? 7 ? 0 .........................................................................................................................10 分
故 三 边 所 在 直 线 方 程

x ? 3y ? 7 ? 0



3x ? y ? 9 ? 0



(1)? 四边形 AAC 3x ? y ? 3 ? 0 ................................12 分 19.证明: ? AC ? C1C 1 1C 为矩形, 又平面 CC1B1B ? 平面 AAC 1 1C ,平面 CC1B1B ? 平面 AAC 1 1C ? CC1 ,

?

AC ?





CC1B1B ....................................................................................................2 分

? BC1 ? 平面 CC1B1B ,

? AC ? BC1 ,又四边形 CC1B1B 为菱形,

? BC1 ? BC1 , ..............................................................................................................4 分
又? B1C ? AC ? C , AC ? 平面 AB1C , B1C ? 平面 AB1C

? BC1 ?
A
1





........................................................................................................6 B C 分 (2)取 AA1 中点 F ,连接 DF , EF

E , F 分别为 C1C, AA1 中点,? EF ? AC ? 四边形 AAC 1 1C 为矩形,


EF ?

平 面

, AC ? A 1B C

平 面

, ? EF ? 平 面 A 1B C

分 A 1B ..........................................8 C

DF ? 平面 AB1 C , AB1 ? 平面 又 D , F 分别为 A1 B1, AA 1 中点, ? DF ? AB 1 ,又

AB1 C
? DF ? 平面 AB1C
? EF ? DF ? F , EF ? 平面 DEF , DF ? 平面 DEF ,? 平面 DEF ? 平面 AB1C

............................... ...11 分

?DE ? D





, ? DE ? AB1C ................................................................................12 分 20. 解 : 圆 E F

C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 ,
? kCN ? ?


?C ( ? 1 , 3..........................................................................1 ) 分

1 2

1 ? 直线 CN 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 1) 2

x ? 2 y ? 5 ? 0 .............................................................................................................................3 分
又? k MN ? ? 即

1 3 1 2 , MN 的中点 (2, ) ,? 线段 MN 的中垂线方程 y ? ? ( x ? 2) 2 2 2 3

4 x ? 6 y ? 5 ? 0 ...........................................................................................................................6 分
联 立

?x ? 2 y ? ? ? ?4 x ? y ? ? 6

5



0 5



0





Q(

20 15 , ) ..................................................................................9 分 7 14

? r 2 ?(
分 故

20 15 845 ?3 )2 ? ( ? 12) ? ..............................................................................................11 7 14 196
所 求 圆 的 标 准 方 程 为

(x ?
21.证

20 2 15 845 ) ? ( y ? )2 ? ..............................................................12 分 7 14 196
明 : (1)

? PA ? PD, Q



AD









? AD ? PQ ..................................................................1 分
连接 DB ,在 ?ABD 中, AD ? AB, ?BAD ? 60 ,
?

? ?ABD 为等边三角形, Q 为 AD 的中点,

? AD ? BQ ...............................................................................................................................2 分 ? PQ ? BQ ? Q, PQ ? 平面 PQB , BQ ? 平面 PQB
? AD ? 平面 PQB



?PB ?





PBQ

,

? AD ? PB ............................................................................4 分
(2)连接 QC ,作 MH ? QC 与 H

? PQ ? AD, PQ ? 平面 PAD ,平面 PAD ? 平面 ABCD = AD ,

? 平面 PAD ? 平面 ABCD ? PQ ? 平面 ABCD ,又 QC ? 平面 ABCD , PQ ? QC ,
? PQ ? MH ,


? MH ? 平面 ABCD ,

PM ?

1 1 1 3 3 PC ,? MH ? PQ ? ? .......................................................5 分 ?2 ? 2 2 2 2 2
在菱形 ABCD 中, BD ? 2, S ?ABD ?

1 AB ?AD ? sin 60? ? 3 2

?SABCD ? 2S?ABD ? 2 3 ...................................................................................................6 分

1 1 3 VM ? ABCD ? S ABCD ? MN ? ? 2 3 ? ? 1 ........................................................................8 分 3 3 2
(3)解:过 Q 作 QO ? AB 于 O ,连接 OP 由(2)知 PQ ? 平面 ABCD , ? 则 OQ 为斜线 OP 的射影 由 射 影 定 理 知 AB ? OP , 角.......................10 分 在 Rt ?PQB 中, PQ ?

??POQ 即 为 二 面 角 P ? AB ? D 的 平 面

3, OQ ?

3 , ? tan ?POQ ? 2 2

P? ?A B的 D 故 二 面 角 正 切 值 为 2.......................................................................................12 分 22. 解 :( 1 ) 设 圆 的 方 程
2 2 2 ( x ? a) ? (y ? b ) ?, r

? 线 段 PQ 的 垂 直 平 分 线 方 程 y ?
①..................2 分

1 3 ? x ? , 即 y ? x ?1 , 2 2

?b ? a ? 1

又圆 C 在 y 轴上截得线段长为 4 3 ,得 r 2 ? (2 3)2 ? a2 ,又圆 C 过 Q ,

则 (a ? 1)2 ? (b ? 3)2 ? 12 ? a 2



,? , 由 ① ② 得 a ?1 b

0 , 或

a ? 5 b, ? ....................4 4 分
2 2 当 a ? 1, b ? 0 时, r ? 13 ? 25 ,满足题意;当 a ? 5, b ? 4 时, r ? 37 ? 25 ,不满

足题意 故 圆

C









( x ? 1)2 ? y 2 ? 13 ...........................................................................................6 分
(2)设直线 l 的方程为 y ? ? x ? b(b ? 2) , A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 由题意知 OA ? OB ? 0 , ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即? x1 x2 ? (b ? x1 )(b ? x2 ) ? 0 化 简 得

??? ? ??? ?

2 x1x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2 ? 0 .............................................................................................8 分
由?

? y ? ?x ? b ?( x ? 1) ? y ? 13
2 2

得, 2 x 2 ? 2(b ? 1) x ? b2 ? 12 ? 0 ,

b2 ? 12 ? x1 ? x2 ? b ? 1 , x1 x2 ? 2


? ? 4(b ? 1)2 ? 8(b2 ? 12) ? 0
? ............................................................10 2 5 分 0





b2 ? 2b ?

?2 ?

b2 ? 12 ? b(b ? 1) ? b2 ? 0 ,即 b2 ? b ? 12 ? 0 ,所以 b ? 4 或 b ? ?3 2

经检验都满足 ? ? 0 所以直线 l 的方程为 y ? ? x ? 4 或 y ? ? x ? 3 , 即 x ? y ? 4 ? 0 或 x ? y ? 3 ? 0 ............................................. ...12 分


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