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2007-2008年高一数学必修1人教版期末复习试卷2[1]


2007-2008 学年度第一学期期末复习试卷 高一数学试题
(考试时间:120 分钟 总分 160 分)
注意事项: 1、本试卷共分两部分,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为填空题和解答题。 2、 所有试题的答案均填写在答题纸上 (选择题部分使用答题卡的学校请将选择题的答 案直接填涂到答题卡上) ,答案写在试卷上的无效。 公式:锥体体积 V=

1

sh; 球的表面积 S=4πR2; 3

圆锥侧面积 S=πrl

一、填空题: 1. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点坐标为 A(-1,2,3),B(2,-2,3),C(1,5,1),则第四个 顶点D的坐标为 . 2. 用“<”从小到大排列 log 23, 0.5 , 4
2

?1

?

3 2

, log 0.53 .

3.求值:(lg5) +lg2×lg50=________________。 4. 已知 A={(x,y)|x+y-2=0},B={(x,y)|x-2y+4=0},C={(x,y)|y=3x+b},若(A∩B) ? C,则 b=_____ 5. 已知函数 y ? x a
2

?4a ?1

是偶函数,且在(0,+∞)是减函数,则整数 a 的值是

.

6. 如图,假设 ? ? ? ? EF , AB ⊥ ? , CD ⊥ ? ,垂足 分别是 B、D,如果增加一个条件,就能推出 BD⊥EF。现有 下面 3 个条件: ① AC ⊥ ? ; ② AC 与 BD 在 ? 内的射影在同一条直线上; ③ AC ∥ EF . 其中能成为增加条件的是 上)
2 7. (1)函数 y ? (tan x ? 1) cos x 的最大值是

?
C F E D

A

B ?

. (把你认为正确的条件的序号都填

(2)函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 cos(

?
4

? x) ? 3 的最小值是

8. e1 , e 2 是两个不共线的向量,已知 AB ?

2e1 ? k e 2 , CB ?
共7页

e1 ? 3e2 ,

高一数学试题

第1页

CD ? 2e1 ? e 2 且 A,B,D 三点共线,则实数 k =
os 9 . 已 知 a ? ( c ?, si? )n ,

b?

(cos? , ? ) ( 0 ? ? ? ? ? ? sin

), 且 .
2

|? a

?? b |=| ? a ?? b | ?? (

? 0 )则 ? ?? ? ,

10. 对于函数 f ( x ) ? cos x ? sin x , 给出下列四个命题: ①存在 ? ?(0,? ) , 使 f (? ) ?
4 ;②存在 ? ?(0, ? ) ,使 f ( x ? ? ) ? f ( x ? 3? ) 恒成立;③存在 ? ?R, 3 2
4

使函数 f ( x ? ? ) 的图象关于 y 轴对称;④函数 f (x) 的图象关于( 3? ,0)对称.其 中正确命题的序号是 2? ? x ? ) 的最小正周期是 11.函数 y ? cos( 。 3 4 ??? ? ??? ? 12.已知 OA ? (1,1) ,OB ? (?1, 2) ,以 OA 、OB 为边作平行四边形 OACB,则 OC 与 AB 的夹角为__________

二、解答题:(解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。) 13. (14 分)已知函数 f(x)=

a x ? a?x (a>0,a≠1,a 为常数,x∈R) 。 2
1 2

(1)若 f(m)=6,求 f(-m)的值; (2)若 f(1)=3,求 f(2)及 f ( ) 的值。

14.(18 分) 已知函数 f(x)=| -1|。 (1)判断 f(x)在 [1, ? ?) 上的单调性,并证明你的结论; (2)若集合 A={y | y=f(x),

1 x

1 ≤ x ≤ 2 },B=[0,1], 试判断 A 与 B 的关系; 2

(3)若存在实数 a、b(a<b),使得集合{y | y=f(x),a≤x≤b}=[ma,mb],求非零实数 m 的取 值范围.
高一数学试题 第2页 共7页

15.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(? ? 0, a ? 0, b ? 0) 周期为

? ? , f ( x) ? 2, f ( ) ? 3.

4 (1)写出 f(x)的表达式; (2)写出函数 f(x)的单调递增区间; (3)说明 f(x)的图象如何由函数 y=2sinx 的图象经过变换得到.

16.已知向量 OA ? (3,?4),OB ? (6,?3),OC ? (5 ? m,?(3 ? m)) .

①若点 A、B、C 不能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; ②若△ABC 为直角三角形,求实数 m 的值.

17. 已知函数 f ( x) ?

1 x 3 sin x ? 3 sin 2 ? ? 1. 2 2 2

(1)求函数 f (x) 的最小正周期和最大值; (2)该函数图象可由 y ? sin x 的图象按某个向量 a 平移得到,求满足条件的向量 a.

18. (1) 若直角三角形两直角边长之和为 12,求其周长 p 的最小值;

7 ,周长为定值 p,求面积 S 的最大值; 9 (3) 为了研究边长 a、b、c 满足 9?a?8?b?4?c?3 的三角形其面积是否存在 最大值,现有解法如下:16S2?(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)(?a?b?c) ?[(a?b)2?c2][c2?(a?b)2]??c4?2(a2?b2)c2?(a2?b2)2 ??[c2?(a2?b2)]?4a2b2 而?[c2?(a2?b2)]?0,a2?81,b2?64,则 S?36,但是,其中等号成立的条件是 c2?a2?b2,a?9,b?8,于是 c2?145,与 3?c?4 矛盾,所以,此三角形的面积不存 在最大值。 以上解答是否正确?若不正确,请你给出正确的解答。 (注:16S2?(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)(?a?b?c)称为三角形面积的海伦公式,它 已被证明是正确的)

(2) 若三角形有一个内角为 arccos

高一数学试题

第3页

共7页

参考答案:

1. (-2,9,1) 4. 2
7. (1)
2 ?1 2

2. log0.53< 4 5. 1或3
2

?

3 2

<log23<0.5

-1

3.

1
? 2

6. ①②
8.-8 9. 10.①,③,④

(2) 2 ? 2
5 5

11.3

12. arccos

a ?x ? a x 13.1)∵f(-x)= =f(x) 2
∴f(x)为偶函数 ∴f(-m)=f(m)=6 ∴ (a ? (2)∵f(1)=3 ∴a+
2

1 =6 a

1 2 1 ) ? a 2 ? 2 ? 2 =36 a a

∴f(2)=34/2=17
1

1 =34 a2 1 1 1 1 ? ? 1 2 ∵ (a 2 ? a 2 ) ? a ? 2 ? =8,∴ a 2 ? a 2 ? 2 2 a
∴a ?

1 a2 ? a ∴ f( )? 2 2

?

1 2

? 2,

14.1)f(x)在 [1, ? ?) 上为增函数 ∵ x≥1 时,f(x)=1-

1 x

对任意的 x1,x2,当 1≤x1<x2 时 f(x1)- f(x2)=(1- ∵ 1x2>0,x1-x2<0 x ∴

1 1 x1 ? x2 1 1 )-(1- )= ? ? x1 x 2 x2 x1 x1 x2

x1 ? x2 ?0 x1 x2

∴ 1)< f(x2) f(x ∴ f(x)在 [1, ? ?) 上为增函数 (2)证明 f(x)在 [ ,1] 上单调递减,[1,2]上单调递增 求出 A=[0,1]说明 A=B (3)∵ a<b,ma<mb,∴ m>0 ∵f(x)≥0, ∴ma≥0,又 a≠0,∴a>0
高一数学试题 第4页 共7页

1 2

1° 0<a<b≤1,由图象知,f(x)当 x ? [a,b]递减,

?1 ? a ? 1 ? mb ? ? a ? b 与 a<b 矛盾 ∴? ? 1 ? 1 ? ma ?b ?
ma>0 这亦与题设不符;

2° 0<a<1<b,这时 f(1)=0,则 ma=0,而

3° 1≤a<b,f(x)当 x ? [a,b]递增

? 1 ?1 ? a ? ma ? 2 可知 mx -x+1=0 在 [1, ??) 内有两不等实根 ? 1 ?1 ? ? mb ? b ?
??0 1 1 ?1 ,得 0 ? m ? 4 2m 2 m ?1 ? 1 ? 1 ? 0
1 4



综上可知 m ? (0, )

15.解: (1) f ( x) ? 3 sin 2x ? cos2x

(2)在每个闭区间 [k? ? , k? ? ], k ? Z
3 6

?

?

(3)将函数 y=2sinx 的图象向左平移 个单位,再将得到 的函数图象上的所有的点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
16.解①已知向量 OA ? (3,?4),OB ? (6,?3),OC ? (5 ? m,?(3 ? m))

? 6

1 2

若点 A、B、C 不能构成三角形,则这三点共线,
? AB ? (3,1), AC ? (2 ? m,1 ? m), 故知 3(1 ? m) ? 2 ? m

∴实数 m ? 时,满足的条件 ②若△ABC 为直角三角形,且(1)∠A 为直角,则 AB ? AC ,
高一数学试题 第5页 共7页

1 2

? 3(2 ? m) ? (1 ? m) ? 0 解得 m ?

7 4

17. 解: (1) f ( x) ? 1 sin x ? 3 1 ? cos x ? 3 ? 1 ? 1 sin x ? 3 2 2 2 2 2 ? ? ? cos x ? 1 ? sin( x ? ) ? 1,? T ? 2? ,当x ? ? 2k? ? 3 3 2 即 x ? 2k? ? ? , k ? Z时, f ( x) max ? 2 6 (2)设该函数图象能由 y ? sin x 的图象按向量 a ? (m, n) 平移得到,

? ? ? 则有 ? x ? x ? 3 ,? m ? ? ? , n ? 1,由T ? 2n,? 满足 ? 3 ? y ? y? ? 1 ?
要求的所有向量可写成, a ? (2k? ?

?

3

,1)( k ? Z )

18.解: (1)设直角三角形的两直角边长是 x,y,则 x+y=12.于是斜边长 z 满足

z 2 ? x2 ? y 2 ? x2 ?1 2 ? x 2 ?2 x2 ?2 4x ? 1 4 4? 2 ( ? 2 6 )? ( ) x
于是,当 x=6 时,zmin= 6 2 ,所以,该直角三角形周长的最小值是 12 ? 6 2 (2)设三角形中边长为 x,y 的两边其夹角为 arccos 则此三角形的周长 p ? x ? y ?

72

7 9

7 x 2 ? y 2 ? 2 xy cos(arccos ) 9 14 xy 14 xy 8 xy ? 2 xy ? 2 xy ? ? 9 9 3
9 p2 , 64

? x ? y ? x2 ? y 2 ?

其中等号当且仅当 x=y 时成立,于是 xy ?

而S ?

1 7 1 9 p2 4 2 2 2 xy sin(arc cos ) ? ? ? ? p ,所以,该三角形面积的最大值是 2 9 2 64 9 32

2 2 p 32
高一数学试题 第6页 共7页

(3)不正确

16S 2 ? (a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? b ? c)(?a ? b ? c) ? [(b ? c)2 ? a2 ][a2 ? (b ? c)2 ] ? ? 4 ? (b2 ?c2 ) a2 ?( b2 ? c2) a 2
2 2 ? ? a 4 ? b 2 ?c ) ] 2 ?4b 2 [ ( c 2

2 而 ?[a4 ? (b2 ? c2 )]2 ? 0 ,b2 ? 64, c2 ? 16 ,则 S ? 256 ,即 S ? 16 其中等号成立的条件



a2 ? (b2 ? c2 ) ,b=8,c=4,则 a ? 80 ,满足 8 ? a ? 9 ,所以当三角形为边长是 4,8,4 5
的直角三角形时,其面积取得最大值 16

高一数学试题

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