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2012年全国高中数学联赛江西赛区预赛


2 0 1 3年第 4期 

2 0 1 2年全 国高 中数学联赛江 西赛 区预赛 
中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章 编号:1 0 0 5—6 4 1 6( 2 0 1 3 ) 0 4— 0 0 2 3—0 4  





填空 题 ( 每

小题 8分 , 共6 4分 )  

  J y  

1 ? 椭 圆  + 争 = 1 的 内 接 正 方 形 面 积 是  
2 . 设 两个 锐角  、 口满 足 
( s i n   + C O S  ) ( s i n   +C O S   )= 2 .  
O 

贝 0 ( s i n   2 a+ c o s   3 j   )  +( s i n  B+ C O S   3 o r )  
=   .  

罔 1  

3 . 在 正 j 棱 锥 D —A B C中, 已 知 底 面 

l O . ( 1 8分 ) 数列 { 口   } 定义如下 : a 。 :l ,   对 于每个 n∈ N, a   、 口  + 2 、 口  + 3 构 成 公差 

△A B C 的边 长均为 6 , 各 侧棱 长均 为 5 , , 是侧  面△ D A B的 内心 . 则 四面 体 I A B C的 体 积 是 
●  
.__ .__。●。_ .-.。_ ____。 _一

为 2的等差数列 , 而口   +   、 0   +   、 a 4 n + 5 构成公 
1  

4 . 已知实数 n 、 b 、 C 满足 
n +b+c=a  +6  +c   .  

比 为÷的等比数列. 证明: { 口   } 为有界数列,  
二 

并求出其最小上界.  
.  

则 n+b+ c的最大 值是 

1 1 . ( 2 5 分) 证明: 对每个正整数 n , 存在 
排成 的数 列 1 , 2 , …, P ( n ) 顺 次 分成 这样 的 , l  

5 . 函数Y= 戈 ( 1 +  

( 凡 ) , 使得能将前 P ( n ) 个正整数所  ) 的最大值是   正整数 P 段, 其中每一段的各数之和均是平方数.   1 2 . ( 2 5 分) 如图 2 , 在锐角△ A B C中, 已   知  是高线 A D上 的任 意一点 , B T与 A C交 
于点 E, C T与 A B交 于点 F, E F与 A D交 于点  G, 过 G的一直 线 Z 与A B、 A C、 B T 、 C T分 别 交 
于点  、 N、 P、 Q . 证 明:  
MDQ=   N D P .  

6 . 已知j个互异正整数 口 、 b 、 c 构成等 比   数列, 其和为 1 1 1 . 则{ a , b , C } =


.  


7 . 将各位数字之和为 5的正整数按 自 小 
到大 的顺 序 排 成 一 个 数 列. 则2   0 1 2是 其 中 
的第  项.  

8 . 已知 1 8  = 3 2 4 , 2 4  = 5 7 6 , 它们 分 别 由  个连 续数 码 2、 3 、 4及 5 、 6 、 7经适 当排 列而  成; 而6 6  : 4   3 5 6是 南四个 连续 数 码 3、 4 、 5、   6适 当排 列 而 成. 则下 一 个 这 样 的 平 方 数 是 
● 
.___________ .  ●。。一 。— —

二、 解答 题 ( 共8 6分 )   9 . ( 1 8分 ) 如图 l , 已 知抛 物 线 Y=   的  顶点 为 0, A B是 过焦 点 F的一 条长 度 为 2的 

F   /   |   l  
. 



  .

P  

弦, D是 A B的中垂线与 y 轴 的交点. 求四边 
形 D   D 的面积 .  
冈2  

2 4  

中 等 数 学 

参 考 答 案 


≥( n+6 +c )  
=   口+b+c≤3 .  

、 1 .  

.  

当且仅当 口= b = C = 1时 , 上式等号成立.  
s —

3 , / 3  


由椭 圆的对 称 性 , 知 内接 正 方形 的边 应  与 坐标轴 平行 , 且 中心在 原 点. 所 以, 其 对 角 
线方 程 为 y =±   .  



4   ‘  

由题 意 知 I  I ≤1 .  

由于要求 最大值 , 可设 0< 戈 ≤1 .  

代入 椭 圆方 程得 

令 …i 叫a ∈ ( o , 詈  0  

) = -  
2. 3—2   .  

.  

Y= s i n  ( 1 + C O S  )  

Y   : C O S   O / ( 1 +C O S   O / )+ s i n  ( 一s i n   O t )  
=C O S 理 +C O S   2  .  

由题 设知  s i n (  + / 3 )+ ( 3 0 S ( 0 c 一  )= 2  
s i n ( O / + 卢)= C O S ( , O I 一 卢) =1  
j  +   =9 0。 , O t = / 3  

令Y   = 0, 即 
O O S   O /+( 3 0 8   2   0 [ =0  
2   :丌 一   j  0 c :  

= 卢= 4 5   0 .  

j   =

贝 0 ( s i n   2 a+ C O S   3   )  +( s j n   2  + c o s   3   )  

譬  学.  

= 2 ( s i n   9 0 。 + 1 3 0 5   1 3 5 。 )  = 3 — 2 A - .  
9/ 3 9  




6 . { 1 , 1 0 , 1 0 0 } , { 2 7 , 3 6 . 4 8 } .   设 n<b< c 、 公 比为 q . 则 
6  叼 , c   唧2 j  q=   为有理 数.  

—  8   ‘  

取A   的中点 M.  

将q 化为 既 药分 数, 记q = 旦, 其中, m<  
n , 且( m, n ) =1 .  

由D A=D B, 则 D M- l - A  , 且点 , 在 边 
D M 上.  

故   =  =  j  = ÷ .  
设 点 D在 底面 △ A B C上 的射影 为 H 则 

由c = Ⅱ .   为正整数  m  
设 0=k m   . 则 
l 1 l=1   X   l l 1=3   X   3 7  

C H=  

= 了 2× √ T 3× 6= 2  
.  

=口+b +c =  ( m2 +mn+ n 2 ) .  

当I i } =1时 ,  

j  D H=, / i   DCI  一I   C HI  

, n  + mn +n  : l1 1  

而s  。 = 鱼 4× 6  = 9   , 则 
棱   僦 =   ?   c=3  

n≤ 1 0, m :1, n=1 0  

{ 0 , b , C } ;{ l , 1 0 , 1 0 0 } ;   当J } = 3时 ,  
m +mn +凡。:3 7  



. , 



 

c  

孛   i 棱 锥 D - 4 , B c   丁 ?  

3  

9 , / 3 9  

n≤6, m =3, n=4  

{ Ⅱ , b , c } ={ 2 7 , 3 6 , 4 8 } .  
7. 3 8.  

4. 3 .  

由柯西不等式得 
3 ( 0+ 6+ c )   ( 1 。 +l  +1   ) (   + b   + c   )  


将 5表示 成 不 多 于 四个 正 整 数 之 和 , 有  六种方 法 , 即 
5=1+4 =2 +3:l+l+3  

2 0 1 3年第 4期 
= l+2 +2 = l+ l + l+2.  

由弦  过 焦 点 F, 则 

将其 填于 1 × 4的方格 表 中 , 不 足 的位数  用 0补充 , 则{ 5} 有 3种 填 法 ; { 1 , 4} 有 9种  填法 ; { 2 , 3} 有 7种 填 法 ; { 1 , 1 , 3} 有 9种 填  法; { 1 , 2 , 2 } 有 7种 填 法 ; { 1 , l , l , 2} 有 3种 
填法 .   共有 3 8种 填法 , 其中以2   0 1 2为最 大.   因此 , 2   0 1 2是第 3 8项 .  
8 . 5   4 7 6 .  

日 :  = k x + ÷ 
Y I + Y 2 = k (   l +   2 ) +   _ L  
j (  I +   2 )  =1   k 一  =±1 .   所以, O D与 A  相交 成 4 5 。 锐角.  

故. s 四 边 J 朗 。 肋= ÷ ? D D s i n   4 5 。  
1 ×2×   5
=  

对 于任一 平 方数 而 言 , 其末 位 数 只 可 能 
是 0、 1 、 4、 5 、 6 、 9 , 且  ( 1 0 a )  =1 0 0 a   ,  
( 1 0 n+5 )  =1 0 0 口  +1 0 0 a+2 5,  

×

譬 = 警.  

1 0 . 显然 , 数列 各项 均为 正数.  

为探明数列的结构 , 可列举 出数列初始 
的一些项 :  

( 1 0 a± 4)  =1 0 0 a  ± 8 0 a+1 6 ;   ( 1 0 a±1 )  =1 0 0 a   ±2 0 a十l ,   ( 1 0 a±3 )  =1 0 0 a  ± 6 0 a+ 9 ;   ( 1 0 a土2 )  =1 0 0 a    ̄ 4 0 a+ 4 .  

- , 3 , 5 , 詈 , ÷ ,   ,   , 蛩 ,   ,   , 饕 ,   ,  
堕  — 3 4 1  
则对 于 每个 k∈ N, 在连 续 的五项 
a4 k+1、a4 k+2 、 a4 k+3 、口4  +4   a4 k+5  

若按 以上 规则 , 只 能是情 形 
3   4 5 6, 4   5 3 6, 5   43 6, 5   3 6 4, 3   5 6 4.  

6 4’6 4 ’6 4 ’  

但 上述均 不 为平 方 数.  

接下来的四个连续数码便是 4 、 5 、 6 、 7 .   若排成平方数 , 末位只能是 4或 6 , 自小  到 大为 
4   7 5 6, 5   4 7 6, 5   76 4, 7   5 4. 6  

中, 以a 4 k + 3 为 最大 .  

记a   Ⅲ =b k (   ∈ N) . 则 
b 0  5 ’ 6 l =  


=  

:  

, … 

经计算 , 只有 5   4 7 6=7 4  为平方 数.   二、 9 . 设  (  . , Y 。 ) , B(   : , Y z ) , 其 焦 点 

般地 , 若 6   =   , 则 
. 

( 0 , } ) , 准 线 方 程 为 y = 一 ÷ .  
由抛 物线 定义得 

1  
=  ¨  :  +  4h 一   十  


+ 

。一

6  =  

2 = A F+  F= Y l + Y 2 + ÷ 
3  
Y1+Y z   。  

=  b  = ( b  一 b   一 1 ) +( b   一 l — b   一 2 ) +… +  
( b l — b 0 )   +b 0  
1   1   1   一+   1 6   1   一 3一   。  

+  

设 A   舯点 为 G (   ,   ) . 则  
。 

由于对 每个 n , a 4 n + 3 是 
a4 n+i、 a4n+2、a4n+3 、04 n+4 、 口4n+5  

Y 2 一 Y 1   ; 一  


 ̄1 + X2  

中 的最大数 , 且 
, 

j   C D  

一 

1  

‘  

1 6  

l  

1 6  

+ ,  了 一 丽   < 了,  
故a n <  (   ∈ N) .  

 ̄ l c o : Y -   一  (   一 半) .  
令 = 0 , 得O D= 丁 Y l + Y z +   1=   5
.  

若。 是小于  的任意一数 , 则  

2 6  

中 等 数 学 

了  :  >   0 . ?  
一  

当n  

+ ∞时 , 由于 

一0 , 故存在 

n∈ N+ , 使 得 0<  
l 6   l  

< a, 此时 ,  
l 6  

a 4  ̄ + 3  一 3一  

> 了 

,  
J 冬I   3  

即c 不 是数 列的上 界.  

由C F截 △ A B E, 应 用塞 瓦定理得 
AC ET   BF .   CE T B F A  ‘ ‘  

因此 , 数列 { a n } 的最小上界为  .  
1 1 . 注意 到 , 1 是平 方数 , 取 
P ( 1 ):1 .  

又由 B C截 △ A T E, 应用 塞瓦定 理得 


D  T B  E C   .  
?— — = I  

A D  B E. AC  
一 = 一

又 由 2+ 3+ 4=9=3   , 故 第 二段 可 取 三 

DT  BE CA  

DT  BT? CE ‘  

.  

个数 , 即取 P ( 2 )=l +3= 4 ;  

由E F截△ A B T , 应 用塞 瓦定理得 
T G   A F   B E  . T G   B F? E T   一 G A  F B   ? —— : ‘ ET l=    G — — A   =一 A F .  
?

再 由5 + 6+ … +1 3= 8 1 = 3   , 故第l 一段 
可取 九个数 , 即取 
P ( 3 )=l+ 3+3  =1 3 ;  

BE ‘  

则 T D  A G=   C E?   T B?   F A=1 .  
一  

? 



般地 , 猜想第 n ( n =l , 2 , …) 段可取 

于是 ,   =   .  
入 v  一  一 

① 

3  ’ 个数 , 即 
p ( 忍 ):l + 3   .   一:   .  

G   —S  ̄ I I G T伽

一J s △   G "’  

AB  S△  

BP  S△G  

接 下来证 明猜想 .  
由S   (   ) =l+ 2+… + p ( , 1 )  


BM   S△G   M’ BT  S △G   r’  

故  ?   G M= 丝 一G   ● 一 B M? ●   B — — — T. 一   ‘  

②  …l  

巳 !  2 (   ( 翌 2 ± 1   2  
2  


’  

、  

过点 M、 P分别作 B C的垂线 , 垂足分别 
为 尺、  

已 (  ±   2 ( 旦 (  ± 1   2 ±! !  
1  

u   ( B+I 】 一 

SP ( n + 1 )一S p (  )  


由 田   :  ,   B 一  M=   M 一 R ,   丽 面 =   ,  绡苗 再结合  
式①知式②化为 
PH
=  

’ ’  

( 已 !  ±   2 =   i   1   2 (   (  ± 1   2 ± 已 (   ! ±   2  
2  

Rt   A  MDR   c /  ̄R t /  ̄P D H 
MDR =   P DH 
T DM =   T DP.  



3  

为平方 数.  

因此 , 对每个正整数 n ( n=l , 2 , …) , 存 
n—I  

f } 1 对称性知 
T D N=   T D Q   MD Q=   N D P .   ( 陶平生 提供 )  

在p ( n ) = ∑3   满 足 题 设条 件 .  
=0   。  

l 2 . 如图3 .  


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