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陕西省长安一中 2013届高三第三次模拟考试数学文试题 Word版含答案


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长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学

高 2013 届第三次模拟考试

数学(文)试题
命题学校:师大附中 审题学校:西安中学

第Ⅰ (选择题 共 50 分) 卷
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分)
1.若集合 A ? {x |

x ? 0} , B ? {x | x 2 ? 2 x} ,则 A ? B ? 【 x ?1
B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} 】.

】. D. {x | 0 ? x ? 1}

A. {x | 0 ? x ? 1}

2.若复数 z 满足 z ? ( z ? 1) ? i ,则复数 z 的模为【

A. 1

B.

2 2

C. 2

D. 2 】.

3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【 A. 80 B. 40

80 3 40 D. 3
C. 4. 若 ?ABC 的 三 个 内 角 满 足

sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 , 则

?ABC 【

】. B.一定是直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 】. 开始 B.最小正周期为 D.最小正周期为 】. D. 57

A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形 5.函数 f ( x) ? lg | sin x | 是【

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数 6.按右面的程序框图运行后,输出的 S 应为【 A. 26 B. 35 C. 40

2? 的奇函数
S=0,i=1
T=3i-1 S=S+T i= i+1

2? 的偶函数

7.若数列 {an } 满足 a1 ? 15 ,且 3an ?1 ? 3an ? 2 ,则使 ak ? ak ?1 ? 0 【 】.
1

否 i>5? 是 输出 S 结束

的 k 值 为

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A. 22

B. 21

C. 24

D. 23

8.“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 l2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行”的【 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 9.设 F1 , F2 分别为双曲线 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

】.

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点 P ,满足 a 2 b2
】.

PF2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【
A.

4 3

B.

5 3

C.

5 4

D.

41 4

10.一个赛跑机器人有如下特性: (1)步长可以人为地设置成 0.1 米, 0.2 米, 0.3 米,…, 1.8 米或 1.9 米; (2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成; (3)当设置的步长为 a 米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔 a 秒. 若设这个机器人以 x ( x ? {0.1,0.2,0.3,? ,1.8,1.9} )米的步长跑 50 米(允许超出 50 米)所需的时间为 f (x) 秒, 则 f (1.6) ? f (0.5) ? 【 A. 0.1 】. C. ? 0.8 D. ? 0.4

B. 1.2

第Ⅱ (共 100 分) 卷
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.圆 ( x ? 4) ? y ? 15 与抛物线 y ? 4 x 的交点个数为________.
2 2 2

12.若向量 a ? (cos ? , sin ? ) , b ? ( 3, ?1) ,则 | a ? b | 的最大值为

?

?

? ?

.

13.若实数 x, y 满足 ?1 ? x ? y ? 4 ,且 2 ? x ? y ? 3 ,则 p ? 2 x ? 3 y 的取值范围是________. 14.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,若记向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1, 2) 的夹角为 ? ,则 ? 为 ? 锐角的概率是 .

?

?

15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分. A.(不等式选讲)若实数 a, b, c 满足 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4 ,则 3a ? 4b ? 5c 的最大值为_________. B.(几何证明选讲)以 Rt ?ABC 的直角边 AB 为直径的圆 O 交 AC 边于点 E ,点 D 在 BC 上,且 DE 与圆 O 相
2

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切.若 ?A ? 56? ,则 ?BDE ? _________. C.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线 ? ? 4 cos(? ? 离为_________.

?
3

) 与直线 ? sin(? ?

?
6

) ? 1 的两个交点之间的距

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)
16.(本题 12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 a . ① sin 2 13? ? cos 2 17? ? sin 13? cos17? ; ② sin 2 15? ? cos 2 15? ? sin 15? cos15? ; ③ sin 2 18? ? cos 2 12? ? sin 18? cos12? ; ④ sin (?18?) ? cos 48? ? sin( ?18?) cos 48? ;
2 2

⑤ sin (?25?) ? cos 55? ? sin( ?25?) cos 55? .
2 2

(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数 a ; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.

17.(本题 12 分) 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如 图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高 (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两

甲班 9 8 9 8 1 3 2 0 2 8 18 17 16 15 1 0 2 9

乙班 3 5 6 8 8 9

较高;

名身高不低于 抽中的概率.

173 cm 的同学,求身高为 176 cm 的同学被

18.(本题 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形,棱 PD ? 底面 ABCD , PD ? DC , E 是

PC 的中点.
(1)证明: PA // 平面 BDE ; (2)证明:平面 BDE ? 平面 PBC .

P

E

D A

C B

19.(本题 12 分)在数列 {an } 中, a1 ?

2an 2 ,且对任意的 n ? N * 都有 an ?1 ? . 3 an ? 1
3

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(1)求证: {

1 ? 1} 是等比数列; an

(2)若对任意的 n ? N * 都有 an ?1 ? pan ,求实数 p 的取值范围.

20.(本题 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 6 ,过右焦点 F 且斜率为1 的直线交椭圆 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3

C 于 A, B 两点, N 为弦 AB 的中点, O 为坐标原点.
(1)求直线 ON 的斜率 kON ; (2)对于椭圆 C 上的任意一点 M ,设 OM ? ? OA ? ? OB (? ? R, ? ? R ) ,求证: ? ? ? ? 1 .
2 2

21.(本题 14 分)设函数 f ( x) ? x ? a ln( x ? 1) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .
2

(1)求实数 a 的取值范围; (2)当 a ?

3 1 时,判断方程 f ( x) ? ? 的实数根的个数,并说明理由. 8 4

4

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高 2013 届第三次五校联考数学(文)参考答案
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 C 6 C 7 D 8 A 9 B 10 A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11. 4 12. 3 13. (3,8) 14.

1 6

15. A. 10 2

B. 68?

C. 2 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)
16.(本题 12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 a . ① sin 2 13? ? cos 2 17? ? sin 13? cos17? ; ② sin 2 15? ? cos 2 15? ? sin 15? cos15? ;
2 2

③ sin 2 18? ? cos 2 12? ? sin 18? cos12? ; ④ sin (?18?) ? cos 48? ? sin( ?18?) cos 48? ; ⑤ sin (?25?) ? cos 55? ? sin( ?25?) cos 55? .
2 2

(1)试从上述五个式子中选择一个,求出常数 a ; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)选择②式计算: a ? sin 2 15? ? cos 2 15? ? sin 15? cos15? ? 1 ? (2)猜想的三角恒等式为:

1 3 sin 30? ? .……4 分 2 4

sin 2 ? ? cos 2 (30? ? ? ) ? sin ? cos(30? ? ? ) ?
2 2

3 .……………………………6 分 4

证明: sin ? ? cos (30? ? ? ) ? sin ? cos(30? ? ? )

? sin 2 ? ? (cos 30? cos ? ? sin 30? sin ? ) 2 ? sin ? (cos 30? cos ? ? sin 30? sin ? )
3 3 1 3 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos? ? sin2 ? ? sin? cos? ? sin2 ? 4 2 4 2 2
3 3 3 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? .………………………12 分 4 4 4
17.(本题 12 分) 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如 图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3) 从 乙 班 这 10 名 同 学 中 随 机 抽 取 两 名 身 高 不 低 于 学,求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率.
9 8 9 8 甲班 1 3 2 0 2 8 18 17 16 15 1 0 2 9 乙班 3 5 6 8 8 9

173 cm 的 同

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解:(1)由茎叶图可知: 对比两班身高集中于 160 ~ 179 之间的数据可知乙班平均身高应高于甲班,而其余数据 可直接看出身高的均值是相等的,因此乙班平均身高应高于甲班;………………………………………3 分 (2)由题意知甲班样本的均值为

x ?

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 , 故 甲 班 样 本 的 方 差 为 10

1 [(158 ? 170) 2 ? (162 ? 170) 2 ? (163 ? 170) 2 ? (168 ? 170) 2 ? (168 ? 170)2 ? (170 ? 170)2 10

?(171 ? 170) 2 ? (179 ? 170) 2 ? (179 ? 170) 2 ? (181 ? 170) 2 ] ? 57 ……7 分
(3)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”的事件为 A ,从乙班的 10 名同学中抽中两名身高不低于 173 cm 的同 学有:

(181,173) , (181,176) , (181,178) , (181,179) , (179,173) , (179,176) , (179,178) , (178,173) , (178,176) , (176,173) 共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件,故 P( A) ?

4 2 ? .……………12 分 10 5

18.(本题 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形,棱 PD ? 底面 ABCD , PD ? DC , E 是

PC 的中点.
(1)证明: PA // 平面 BDE ; (2)证明:平面 BDE ? 平面 PBC .

P

E

证明:(1)连结 AC ,设 AC 与 BD 交于 O 点,连结 EO .
D

∵底面 ABCD 是正方形,∴ O 为 AC 的中点,又 E 为 PC 的中点,
A

C B

∴ OE // PA , ∵ OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE , ∴ PA // 平面 BDE .………………………………………………6 分 (2)∵ PD ? DC , E 是 PC 的中点, ∴ DE ? PC .

∵ PD ? 底面 ABCD ,∴ PD ? AD .又由于 AD ? CD , PD ? CD ? D ,故 AD ? 底面 PCD , 所以有 AD ? DE .又由题意得 AD // BC ,故 BC ? DE . 于是,由 BC ? PC ? C , DE ? PC , BC ? DE 可得 DE ? 底面 PBC . 故可得平面 BDE ? 平面 PBC .………………………………12 分 19.(本题 12 分)在数列 {an } 中, a1 ?

2an 2 ,且对任意的 n ? N * 都有 an ?1 ? . 3 an ? 1

(1)求证: {

1 ? 1} 是等比数列; an

(2)若对任意的 n ? N * 都有 an ?1 ? pan ,求实数 p 的取值范围. 证:(1)由 an ?1 ?

2an a ?1 1 ? an 1 1 2 1 1 1 ,得 ?1 ? n ?1 ? ? ( ? 1) .又由 a1 ? ,得 ? 1 ? ? 0 . 3 an ? 1 an ?1 2an 2an 2 an a1 2
6

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因此, {

1 1 1 1 ? 1} 是以 ? 1 ? 为首项,以 为公比的等比数列.…………5 分 2 an a1 2

解:(2)由(1)可得

2n 2n ?1 1 1 1 1 , an ?1 ? n ?1 , ? 1 ? ? ( ) n ?1 ? n ,即 an ? n 2 ?1 2 ?1 an 2 2 2

于是所求的问题:“对任意的 n ? N ? 都有 an ?1 ? pan 成立”可以等价于问题:“对任意的 n ? N * 都有

p?

an ?1 2n ?1 2n ? 1 2n ?1 ? 2 1 ? n ?1 ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 成立”. an 2 ? 1 2 2 ?1 2 ?1
若记 f (n) ? 1 ?

1 2
n ?1

?1

,则 f (n) 显然是单调递减的,故 f (n) ? f (1) ? 1 ?

1 2
1?1

?1

?

6 . 5

6 所以,实数 p 的取值范围为 p ? .………………12 分 5
20.(本题 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 6 ,过右焦点 F 且斜率为 1 的直线交椭圆 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3

C 于 A, B 两点, N 为弦 AB 的中点.
(1)求直线 ON ( O 为坐标原点)的斜率 kON ; (2)对于椭圆 C 上的任意一点 M ,设 OM ? ? OA ? ? OB (? ? R, ? ? R ) ,求证: ? ? ? ? 1 .
2 2

解:(1)设椭圆的焦距为 2c ,因为

a2 ? b2 2 c 6 ,所以有 ? ,故有 a 2 ? 3b 2 . ? 2 3 a 3 a
2 2 2

从而椭圆 C 的方程可化为: x ? 3 y ? 3b 右焦点 F 的坐标为(
2 2

①易知 ② 由 ①,②

2b,0 ), 据 题 意 有 AB 所 在 的 直 线 方 程 为 : y ? x ? 2b .

有: 4 x ? 6 2bx ? 3b ? 0 . ③设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,弦 AB 的中点 N ( x 0 , y 0 ) ,由③及韦达定理有:

x0 ?

x1 ? x 2 3 2b 2 ? , y 0 ? x0 ? 2b ? ? b. 2 4 4
y0 1 ? ? ,即为所求. x0 3
………6 分

所以 kON ?

(2)显然 OA 与 OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量 OM ,有且只有 一对实数 ? , ? ,使得等式 OM ? ? OA ? ? OB 成立.设 M ( x, y ) ,由(1)中各点的坐标有:

( x, y ) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x 2 , y 2 ) ,故 x ? ?x1 ? ?x 2 , y ? ?y1 ? ?y 2 .
7

……8 分

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又因为点 M 在椭圆 C 上,所以有 (?x1 ? ?x 2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y 2 ) 2 ? 3b 2 整理可得:

?2 ( x1 2 ? 3 y1 2 ) ? ? 2 ( x 2 2 ? 3 y 2 2 ) ? 2?? ( x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ) ? 3b 2 .

④ 由③有: x1 ? x 2 ?

3 2b 3b 2 .所以 , x1 ? x 2 ? 2 4
⑤又点

x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x 2 ? 3( x1 ? 2b)( x 2 ? 2b) ? 4 x1 x 2 ? 3 2b( x1 ? x 2 ) ? 6b 2 ? 3b ? 9b ? 6b ? 0
2 2 2

A, B 在椭圆 C 上,故有 ( x1 ? 3 y1 ) ? 3b 2 , ( x 2 ? 3 y 2 ) ? 3b 2 .
2 2 2 2

⑥ 将⑤,⑥代入④可

得: ? ? ? ? 1 .
2 2

……13 分
2

21.(本题 14 分)设函数 f ( x) ? x ? a ln( x ? 1) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 . (1)求实数 a 的取值范围; (2)当 a ?

3 1 时,判断方程 f ( x) ? ? 的实数根的个数,并说明理由. 8 4
2

a 2x2 ? 2x ? a 解:(1)由 f ( x) ? x ? a ln( x ? 1) 可得 f ' ( x) ? 2 x ? ? ( x ? ?1) . x ?1 x ?1
令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ( x ? ?1) ,则其对称轴为 x ? ?
2

1 ,故由题意可知 x1 , x2 是方程 g ( x) ? 0 的两 2

个均大于 ? 1 的不相等的实数根,其充要条件为 ? (2)由 a ? 减,在 ( ?

?? ? 4 ? 8a ? 0 1 ,解得 0 ? a ? .……………………7 分 2 ? g (?1) ? a ? 0

3 3 1 3 3 1 可知 x1 ? ? , x2 ? ? ,从而易知函数 f (x) 在 (?1,? ) 上单调递增,在 (? ,? ) 上单调递 8 4 4 4 4 4

1 ,??) 上单调递增. 4 3 ① 由 f (x) 在 (?1,? ] 上 连 续 、 单 调 递 增 , 且 f (? 3 ) ? (? 3 ) 2 ? 3 ? ln(? 3 ? 1) ? 9 ? 3 ln 2 ? ? 1 , 以 及 4 4 4 8 4 16 4 4 1 3 1 1 3 1 1 2 1 1 f (?1 ? 4 ) ? (?1 ? 4 ) 2 ? ? ln 4 ? ? ? 4 ? 8 ? ? ,故方程 f ( x) ? ? 在 ( ?1,? ] 有且只有一个实根; 4 4 e e 8 e 2 e e 4 3 1 1 3 ②由于 f (x) 在 (? ,? ) 上单调递减,在 ( ? ,??) 上单调递增,因此 f (x) 在 ( ? ,??) 上的最小值 4 4 4 4 1 1 3 1 1 3 3 1 1 3 f (? ) ? (? ) 2 ? ? ln(? ? 1) ? ? ln ? ? ,故方程 f ( x) ? ? 在 (? ,??) 没有实数根. 4 4 8 4 16 8 4 4 4 4 1 综上可知,方程 f ( x) ? ? 有且只有一个实数根. 4

8


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