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第三讲:线面、面面平行


直线、平面平行的判定与性质

1.直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 图形 a∥α,a?β,α∩β =b a∥b 定理 性质

条件 结论

a∩α=? a∥α

a?α,b?α,a∥b b∥α

a∥α a∩α=?

2.面面平行的判定与性质 判定 定义 图形 a?β, b?β, a∩b =P,a∥α,b∥α α∥β α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b a∥b α∥β, a?β a∥α 定理 性质

条件 结论

α∩β=? α∥β

1.已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点, 且EH∥FG. 求证:EH∥BD.
A E B F H D G C

1

2.如图, 在正四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? AB ? a ,点 E 在棱 PC 上. 问点 E 在何处时,PA // 平面EBD , 并加以证明.
P E D C

A

B

3.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2)面 OC1 D // 面AB1 D1 .

D1 A1 D O A B B1

C1

C

4.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F、E1、F1 分别是 AB、CD、A1B1、C1D1 的中点. 求证:平面 A1EFD1∥平面 BCF1E1.

2

一、选择题 1.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )

A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2.直线 a,b, c 及平面 ?,? ,使 a // b 成立的条件是( A. a // ? , b ? ? B. a // ? , b // ? C. a // c, b // c ) D. a // ? , ? )
? ?b

3.若直线 m 不平行于平面 ? ,且 m ? ? ,则下列结论成立的是( A. ? 内的所有直线与 m 异面 C. ? 内存在唯一的直线与 m 平行

B. ? 内不存在与 m 平行的直线 D. ? 内的直线与 m 都相交 )

4 . ? ,β 是两个不重合的平面,a,b 是两条不同直线,在下列条件下,可判定 ? ∥ β 的是( A. ? ,β 都平行于直线 a,b B. ? 内有三个不共线点到 β 的距离相等

C.a,b 是 ? 内两条直线,且 a∥ β,b∥ β D.a,b 是两条异面直线且 a∥? ,b∥? ,a∥ β,b∥ β 5.两条直线 a,b 满足 a∥ b,b A.a∥?

? ,则 a 与平面 ? 的关系是(

) D.a

B.a 与 ? 相交

C.a 与 ? 不相交

?

6.设 a , b 表示直线, ? , ? 表示平面,P 是空间一点,下面命题中正确的是( ) A. a ? ? ,则 a // ? C. ? // ? , a ? ? , b ? ? ,则 a // b B. a // ? , b ? ? ,则 a // b D. P ? a, P ? ? , a // ? , ? // ? ,则 a ? ? )

7.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定

8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、P、Q、R 分别是所在棱 AB、BC、BB?、A?D?、D?C?、DD?的中点,求 证:平面 PQR∥平面 EFG。 D? P A? R G D F A E B
3

Q B?

C?

C

9.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的 点,问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?

1.如图, 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长是 2, 侧棱长是 3, D 是 AC 的中点.求证:B1C // 平面 A1 BD .
C1

A1

B1

C D A B

2.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,M,N,G 分别是 AA1,CD,CB,CC1 的中点, 求证: (1)MN//B1D1 ;(2)AC1//平面 EB1D1 ;(3)平面 EB1D1//平面 BDG.

4

3.如图, 四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥底面 ABCD,

AB ? AA1 ? 2 .
(Ⅰ) 证明: 平面 A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.
A D

D1 A1 B1

C1

O

C B

4.如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的中点。 (1)证明: BC1 / / 平面 ACD 1 1; (2)设 AA 1 ? AC ? CB ? 2 , AB ? 2 2 ,求三棱锥 C ? A 1DE 的体积。

5


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