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函数的极值与导数


3.3.2
问题导学 一、求函数的极值 活动与探究 1 求下列函数的极值:

函数的极值与导数

3 (1)f(x)=x3-3x2-9x+5;(2)f(x)= +3ln x. x 迁移与应用 1.如图为 y=f(x)的导函数图象,则下列判断正确的是(

)

①f(x)在(-3,1)上为增函

数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在(2,4)上为减函数,在(-1,2)上是增函数; ④x=2 是 f(x)的极小值点. A.①②③ B.②③ C.③④ 1 2.求函数 f(x)=sin x+ x,x∈(0,2π)的极值. 2

D.①③④

求函数极值的方法: (1)求导数 f′(x); (2)求方程 f′(x)=0 的全部实根; (3)列表,检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根左、右的值的符号; (4)判断单调性,确定极值. 二、求含参数的函数的极值 活动与探究 2 (1)设 f(x)=x3-3ax(a≠0),求函数 f(x)的单调区间与极值点. (2)求函数 f(x)=x3-3x2-2 在(a-1,a+1)内的极值(a>0). 迁移与应用 设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=aln x+bx2+x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由. (1)对于可导函数而言,它的单调递减和单调递增区间的分界点应是其导数符号正负交替的 分界点.解题时,按照求函数极值的步骤来解,要注意表格的作用,利用表格,可使极值点两 边的增减性一目了然,便于求极值. (2)如果含有参数,必要时要对参数的取值进行讨论.通常有三类:一类是对 f′(x)=0 是否有 解进行讨论,二是对 f′(x)=0 的根是否在所给区间或定义域内进行讨论,三是对 f′(x)=0 在所给 区间或定义域内的根大小进行讨论. 三、由函数的极值确定参数的值 活动与探究 3 b (1)已知函数 f(x)=x-aln x+ 在 x=1 处取得极值,则 a 与 b 满足的关系式为__________. x (2)已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=± 1 处取得极值,求 a,b 的值,并确定 f(1)和 f(-1)是 函数的极大值还是极小值. 迁移与应用 1.已知函数 y=ax3+bx2,当 x=1 时,有极大值 3.
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(1)求 a,b 的值; (2)求函数 y 的极小值. 1 4 2.已知函数 f(x)=- x3+bx2+cx+bc,如果函数 f(x)在 x=1 处有极值- ,求 b,c 的值. 3 3 已知一个函数,可以用单调性研究它的极值.反过来,已知函数的极值,可以确定函数解 析式中的参数,解这类问题,通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数 的方程,从而求出参数的值.需注意的是,可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点 处取到极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条 件. 答案: 课前·预习导学 【预习导引】 1.(1)f′(x)<0 f′(x)>0 (2)f′(x)>0 f′(x)<0 极大值点 极小值点 极大值 极小值 预习交流 1 提示:(1)对于可导函数来说,y=f(x)在极值点处的导数为 0,但导数为 0 的点 不一定是极值点.例如,函数 y=x3 在 x=0 处,f′(0)=0,但 x=0 不是函数的极值点. (2)可导函数 y=f(x)在 x0 处取得极值的充要条件是 f′ (x0)=0,且在 x0 的左侧与右侧,f′(x)的 符号不同. (3)若函数 y=f(x)在(a,b)上有极值,则 y=f(x)在(a,b)上不是单调函数,即在区间上的单调 函数没有极值.例如,函数 y=x2 在[-2,2]上有极值,其单调性是先减后增;函数 y=x3 在 R 上 是单调递增函数,没有极值. (4)函数 f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个,也可能没有.函数的极大值与极小值没 有必然的大小关系,函数的一个极小值也不一定比极大值小. 预习交流 2 提示:1 5 课堂·合作探究 【问题导学】 活动与探究 1 思路分析:先求 f′(x)=0 时 x 的值,然后列表,根据极值的定义判断在这些 点处的极值情况. 解:(1)函数 f(x)=x3-3x2-9x+5 的定义域为 R,且 f′(x)=3x2-6x-9. 解方程 3x2-6x-9=0,得 x1=-1,x2=3. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-1) + 单调递增

-1 0 10

(-1,3) - 单调递减

3 0 -22

(3,+∞) + 单调递增

因此,x=-1 是函数的极大值点,极大值为 f(-1)=10;x=3 是函数的极小值点,极小值 为 f(3)=-22. 3 (2)函数 f(x)= +3ln x 的定义域为(0,+∞), x 3 3 3?x-1? f′(x)=- 2+ = , x x x2 令 f′(x)=0,得 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(0,1) - 单调递减

1 0 极小值 3

(1,+∞) + 单调递增

因此当 x=1 时,f(x)有极小值 3,无极大值. 迁移与应用 1 .B 解析: x∈ (- 3 ,- 1)时, f′(x)< 0 , x∈ (- 1,2) 时, f′(x)> 0 ,∴ f(x)在 (-3,-1)上为减函数,在(-1,2)上为增函数,∴①不对;x=-1 是 f(x)的极小值点;x∈(2,4) 时,f′(x)<0,f(x)是减函数;x=2 是 f(x)的极大值点.故②③正确. 1 1 2.解:f′(x)=cos x+ ,令 f′(x)=cos x+ =0, 2 2 1 得 cos x=- . 2
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2π 4π 又∵x∈(0,2π),∴x= 或 x= . 3 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)
∴当 x=

?0,2π? 3? ?
+ 单调递增

2π 3 0 极大值 3 π + 2 3

?2π,4π? ?3 3?
- 单调递减

4π 3 0 极小值 2π 3 - 3 2

?4π,2π? ?3 ?
+ 单调递增

2π 3 π 时,f(x)取极大值 + ; 3 2 3 4π 2π 3 当 x= 时,f(x)取极小值 - . 3 3 2 活动与探究 2 (1)思路分析:求单调区间时,注意对参数 a 的讨论,以便确定 f′(x)的符号. 解:f′(x)=3(x2-a)(a≠0). 当 a<0 时,f′(x)>0 恒成立,即函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数 f(x)没有极值 点. 当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 x1= a,x2=- a. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,- a) + 单调递增

- a 0 f(- a)

(- a, a) - 单调递减

a 0 f( a)

( a,+∞) + 单调递增

因此,函数 f(x)的单调递增区间为 (- ∞ ,- a )和 ( a ,+ ∞) ,单调递减区间为 (- a , a),此时 x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f (x)的极小值点. (2)思路分析:求出 f(x)在 R 上的单调区间,判断区间(a-1,a+1)与 f(x)单调区间的关系, 分类讨论求解. 解:由 f(x)=x3-3x2-2 得 f′(x)=3x(x-2), 令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,0) + 单调递 增

0 0 极大值

(0,2) - 单调递 减

2 0 极小值

(2,+∞) + 单调递 增

由此可得: 当 0<a<1 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值 f(0)=-2,无极小值; 当 a=1 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当 1<a<3 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值 f(2)=-6,无极大值; 当 a≥3 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得:当 0<a<1 时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当 1<a<3 时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当 a=1 或 a≥3 时,f(x)无极值. 迁移与应用 解:(1)因为 f(x)=aln x+bx2+x, a 所以 f′(x)= +2bx+1. x 由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0, ?a+2b+1=0, ? 2 1 即?a 解方程组得 a=- ,b=- . 3 6 ? ?2+4b+1=0, 2 1 (2)由(1)知 f(x)=- ln x- x2+x(x>0), 3 6 2 -1 1 故 f′(x)=- x - x+1. 3 3
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当 x∈(0,1)时,f′(x)<0; 当 x∈(1,2)时,f′(x)>0; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0. 5 4 2 故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值 ,在 x=2 处函数取得极大值 - ln 2. 6 3 3 所以 x=1 是函数 f(x)的极小值点,x=2 是函数 f(x)的极大值点. 活动与探究 3 (1)思路分析:利用“若函数 y=f(x)在 x=x0 取得极值,则 f′(x0)=0”求 a 与 b 满足的关系式. a b a+b=1 解析:f′(x)=1- - 2. x x ∵x=1 时,函数 f(x)取得极值, ∴f′(1)=0.∴a+b=1. (2)思路分析:由函数 f(x)在 x=± 1 处取得极值,则 f′(-1)=0,f′(1)=0,列方程组求出 a,b 的值,再判断 f(x)的单调性,确定 f(-1),f(1)是极大值还是极小值. 解:f′(x)=3ax2+2bx-3, 依题意 f′(1)=f′(-1)=0, ? ?3a+2b-3=0, 即? 解得 a=1,b=0, ?3a-2b-3=0, ? ∴f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=1, ∴当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-1) + 单调递增

-1 0 极大值

(-1,1) - 单调递减

1 0 极小值

(1,+∞) + 单调递增

∴f(-1)=2 是极大值,f(1)=-2 是极小值. 迁移与应用 1.解:(1)∵当 x=1 时,函数有极大值 3, ?f′?1?=0, ?3a+2b=0, ? ? ∴? ∴? ? ? ?f?1?=3. ?a+b=3. 解之,得 a=-6,b=9. (2)f′(x)=-18x2+18x=-18x(x-1). 当 f′(x)=0 时,x=0 或 x=1. 当 f′(x)>0 时,0<x<1; 当 f′(x)<0 时,x<0 或 x>1. ∴函数 f(x)=-6x3+9x2 的极小值为 f(0)=0. 2.解:∵f′(x)=-x2+2bx+c, 4 由 f(x)在 x=1 处有极值- , 3 f′?1?=-1+2b+c=0, ? ? 可得? 1 4 ?f?1?=-3+b+c+bc=-3, ?
? ? ?b=1, ?b=-1, 解得? 或? ?c=-1, ? ? ?c=3. 若 b=1,c=-1, 则 f′(x)=-x2+2x-1=-(x-1)2≤0, 此时 f(x)没有极值; 若 b=-1,c=3, 则 f′(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1). 当 x 变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:

x f′(x)

(-∞,-3) -

-3 0

(-3,1) +

1 0

(1,+∞) -

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f(x)

单调递减

极小值-12

单调递增

4 极大值- 3

单调递减

4 ∴当 x=1 时,f(x)有极大值- , 3 故 b=-1,c=3 即为所求. 当堂检测 1.设函数 f(x)= A. x =

2 +ln x,则( x

)

1 为 f(x)的极大值点 2 1 B. x = 为 f(x)的极小值点 2
C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 答案:D 解析:由 f′(x)= ?

2 1 1? 2? ? = ?1 ? ? =0 可得 x=2.当 0<x<2 时,f′(x)<0, x2 x x ? x ?

f(x)单调递减;当 x>2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 故 x=2 为 f(x)的极小值点. 2.已知函数 y=|x2-1|,则( ) A.y 无极小值,且无极大值 B.y 有极小值-1,但无极大值 C.y 有极小值 0,极大值 1 D.y 有极小值 0,极大值-1 答案:C 解析:函数 y=|x2-1|的大致图象如图所示.∴函数 y 有极小值 0,极大值 1.故 选 C.

3.设 f(x)=x(ax2+bx+c),其中 a≠0,并且在 x=1 或 x=-1 处均有极值,则下列点中一 定在 x 轴上的是( ) A.(a,b) B.(a,c) C.(b,c) D.(a+b,c) 答案:A 解析:∵f(x)=ax3+bx2+cx,∴f′(x)=3ax2+2bx+c. 又∵在 x=1 或 x=-1 处 f(x)取极值, ∴x=1 或 x=-1 是方程 3ax2+2bx+c=0 的两根. ∴?

2b =0 ,b=0. 3a

∴点(a,b)在 x 轴上. 4.如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:

①函数 y=f(x)在区间 ? ?3, ?

? ?

1? ? 内单调递增; 2?
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②函数 y=f(x)在区间 ? ?

? 1 ? ,3 ? 内单调递减; ? 2 ?

③函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; ④当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值; ⑤当 x = ?

1 时,函数 y=f(x)有极大值. 2

则上述判断正确的是______.(填序号) 答案:④ 解析:函数的单调性由导数的符号确定, 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0, 所以 f(x)在(-∞,-2)上为减函数, 同理 f(x)在(2,4)上为减函数, 在(-2,2)上是增函数,在(4,+∞)上为增函数, 所以可排除①和②,可选择③. 由于函数在 x=2 的左侧递增,右侧递减, 所以 x=2 时,函数有极大值; 而在 x = ? 数, 所以 x = ?

1 1 的左右两侧,函数的导数都是正数,故函数在 x = ? 的左右两侧均为增函 2 2 1 不是函数的极值点.排除④和⑤. 2

5.已知函数 f(x)=x3-ax2+3ax+1 在区间(-∞,+∞)内既有极大值又有极小值,则 a 的 取值范围是______. 答案:a<0 或 a>9 解析:f′(x)=3x2-2ax+3a,当 f(x)在(-∞,+∞)上既有极大值又有 极小值时,Δ=4a2-36a>0,∴a<0 或 a>9.

提示: 用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本 技能的要领部分写下来并进行识记.

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