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数学奥林匹克高中训练题116


中等数学

羧营奥游蜃禽鑫啥钢缘韪(1 16)
第一试
一、选择题(每小题6分,共36分) 1.如图l,凸四边

5.函数Y=[sin石·oos戈]+[sin菇+cos菇] 的值域为( )([茗]表示不超过实数省的
最大整数).

(A){一2,一1,0,1,2t
(B){一2,一1,0,1} (C){一1,0,1} (D){一2,一1,1}

形ABCD的两对角线 AC、BD将其分成四个 部分,每个部分的面积 分别为S。、S:、s,、&. 已知Sl>1,S2>1.则
53+&( ).
A B

图l

6.已知S={1,2,…,216},A£S.若集 合A中任两个元素的和都不能被6整除,则 集合A中元素的个数最多为( ).’
(A)36 (B)52 (c)74

∞)90

(A)=2(B)>2(C)<2(D)不一定 2.顺次联结双曲线xy=20与圆菇2+Y2

二、填空题(每小题9分,共54分) 1.已知数列{口。}的通项

=41饷交点得到一个凸四边形.则此四边形 韵面积为( ).
(C)22 (D)30 (的18,“(B)20 3.已知锐角△ABC.给出下列判断: ①长为sin 2氐8iIl 2日、sin 2e的三线段 一定可构成一个三角形; ◎长为P_,08 A、cos B、cos C的三线段一 、定可构成一个三角形; ③长为础A、eos B、sin C的三线段一

‰2五了开了i啊‘
则数列{a。j的前n项的和&=——.
2.已知以x)=一x4+4x3—2x2—2x+苦,
菇∈№,1].给出下列结论: ①抓菇)>o; 、②狄茹)<0; ⑨存在Xo∈[0,1),使八戈i)=o;, ④存在‰∈[0,1],使“Xo’)<0. 其中,正确结论的序号为 3.如图2,已知棱 A 长为1的正四面体

(n+1)4+n4+1



定可构成一个三角形; _曩④长为tan A、tart B,tan C韵兰线段一定 可构威一个三角形. 其中,正确判断有( )个.
(A)4 (B).3 (C)2 (D)1 ). 4.已知空间四边形ABCD,AB=口,BC= b,CD=c,DA=d.贝《AG·胃D=(

脚,肘为AC的中
点,P在线段DM上.





则AP+艘的最小值


4.已知茹是一个

图2

(A)吉(。2+62+c2+d2)
(勘一j吉(扩牛62’+节i+’矗2) (c)喜(a2¨2·6≈一d2)

四位数,其各位数字之和为Y.若詈的值最


小,则菇=



5.如图3,给出16个点,其

.,..

左和右相邻两点、上和下相邻

‘。。‘

(D)丢(62+一d2二口2一c2)
万方数据

两点的距离都等于1.。若以这..... 图3 些点作为三角形的顶点,那么,

2009年第3期

一共可得到
10<x、,,≤2, J戈+Y≥2,

个直角三角形.,

二、(50分)已知函数f(戈)=一茗3+3菇, 一个矩形ABCD的两个顶点A、曰在菇轴的 正半轴上,另两个顶点C、D在Y=_:厂(菇)的图

6.已知点A(2,2)、P(x,y),且戈、y满足

l三+1>12.
、菇

像上.求此矩形绕菇轴旋转一周而形成的几 何体的体积最大值. 三、(50分)设o。,o:,···,%为互不相等




则I以I的取值范围是,
Al Bl el

的正整数,它们的最小公倍数为b。.求证:
。2

三、(20分)如图4,已知正方体ABCD—
D1的棱长
cl

b。≥专.

为l,o D.为正方形 ABCD的内切圆,


参考答案

D:为正方形‘

.ADD,A。的外接圆, P、Q分别为o

D。、

D:上的点.求明

长度的取值范围.

匐一
’‘ 、

第一试


一、1.B. 易知.sl

故S3+s。≥2.瓜=2 ̄/佤忑>2.
2.A.

S2=S3 S4.

四、(20分)已知数列{%}的前凡项和为

设A(xo,Yo)(‰>0,Yo>0).

“且满足口:;2^Sn:丛与型(n∈N+).
、(1)求数列{口。1的遗项.

由两曲线既关于原点对称又关于Y=戈 对称知,另’外的三个交点坐标为B(y。,茗。)、
C(一髫o,一如)、D(一舶,一名o).

(2)若6。=a一:n.1,求数列{b。}的最大
值项.

.5’

由此知四边形ABCO为矩形j其面积为
lABl.IADl

(3)对于(2)中数列{6。},是否存在b。=

=,、/2(xb一如)2·~/2(Xo+蛳)2

k(堤乒m)?若存牲‘;求出所有相等的两项;
若不存在,说明理由.


=2 ̄/瑶+碥一2xoYo· ̄/菇:+,,:+2xoYo :2厂万了薮面·厂玎≯灭面:18.
3·C. sin 2A十sin 2B—sin 2C

”’五、(∞分)1已知椭犀c!摹++参=1(口>
b>o)的左焦点封4F,过_≯的宣线’交椭圆c
于A、B两点,P为左准线上任一点,直线

.=2sin(A+B),cos(A—B)一2sin
=2sin

C·COS C

PA、即、咫的方向向量分别为(1,t)、
(1,r)、(1,8).
.., ,.

C[oos(A—B)+o∞(A+B)]
2A+sin 2C—sin 2B>0, 2C—sin 2A>0.

=4cos A·C08 B·sin C>0.

同理,sin
sin

(1)求证:t、r、s成等差数列; (2)I、r、s能否成等比数列々试述理由.
,’

2B+sin

i‘2,

所以,①正确. 对于②,极端考虑:么A一900,么B-,.900, 么|G-’go,此时,c∞A—岣,C06曰一O,c∞C一1
不能满足COS
A+COS B>006

第二试
一、(50分)00是△ABC的内切圆:A7、 B’、c7依次是边BC、CA,、A廖上的勃点’:已知

C.所以,②错误.

c∞A+cos B—sirI C‘

△A’酱7C7的欧拉线z∥一船.谴嘲:、}必过
△ABC的外心. 万方数据
-。

亍2cos掣·C08竽-2sin导·C06虿C

中等数学

=2sin号(cos竽一cos a.
=4sin

有&中两个元素、S,中两个元素.要使A中 元素最多,可选.s。与&中全部元素,S。与 |s,中各一个元素.故最多共有36+36+1+1
=74个元素. 二、1. n(/7,2+3n+5)



iC嗡n

T7t-2B.sin孚>0.
C—cos B>0,’

类似地,c∞A+sin
COS

B+sin C—COS A>0.

所以,③正确.

对于④,举反例:么A:45。,LB:60。,Lc
=750,此时,tan
tan

化简得a。 故S。=

=n2+,l+,1.

A=1,tan

B=朽,tan‘C-2+43,
:,

∑(k2+k+
^=l

1)

A●tam B<tall、c.
.‘。

n(n +1)(2n+1)
.——+——+、

——-I■——+

4.D.

AC·BD=(AB+曰C)·(BC+凹) ——+.——+——-l’ -----l■"——+——+——+
=Bc2+AB·BC+BC·CD+CD·AB

.———’——+、

—百-一 +粤≯+n


.={“(元;‘+3n+5).


:葡:+(查±童±查2:;鸾:.=重:二查:

2.④。

:静+(二堕生鸳:=重二查

以茹).=一一菇·+4石3—2髫2—2戈◆百13

2————F—一。———r一’
5._D.

静+葫2一商2一面2 嬲2+谢。一船‘一凹2

b2+cf2一a、2一c2 。+∥一。一‘

=矿(1一石H3菇3—3髫2+(髫-1)2+百4

=X3(i一茹)+(x-1)2+导:3+’导≥3+吾一3茹2

y={:务斟;陋s;n(菇+号)】
下面的讨谕均诨最∈z.


≥茹3(1一髫)“卜1)2+3√导髫3·导,3·号一3茹2
=茹3(1一菇)十(菇一1)2≥0.

(1)当2kTt一<戈≤2||}7c+号时,Y’=l;

前一个等号成立需茁=号,而后一介等
号成立需影=1.一。。‘
因此,筹号不能同时成立. 所以,八髫)>0.

(2)当2i兀+专<菇≤2kn+荨时,,,=一1;
(3)当2k兀+誓乏菇≮撕+耳时,,,=-2;
(4)当茹=2I|}7c+7c或2矗7c士荨时,yi=一1; (5)当,2”k兀+k<:省<-2矗7c+荨时,y=一2;
(6)兰i2k丌+i3n<茹乏2k趸+7斗兀BTj-.y=一2i

记LBDM=;0·在全BDM中

BD:1;Blff:‘肘D:晕·
+●■

(7)当2kn+荨≤石<2.|}兀t知时,y=一1.
综上,yE{一2,一1,1}.
6;C.

cos口=雩,sin口=雩..
如图5,将△BDM 绕DM旋转,使△BDM·
门tl

记Sk兰{xE-S I莺‘=6n+后,静∈州(i=
、:

在平面ACD内,此时。蠢
B在曰7处.联结AB7、

..S~

0,1,…,5),且S=U&.

B'P.则所求的最小值

易知card(、S。)=36.则集合A中既不能 同时有S。与S,或S:与S。中元素,也不能 万方数据

即为佃7的长.易知
么ADB’=0+300.

2009年第3期

41 5.200.

故倒2=ADz+DB'2-2肋·DB7c∞么肛拶
=12+i2—2cos(0+30。) =2—2(cos口·00¥30。一sin
0·sin 30。)

如图6,以A为直角顶点的直角三角形 有心·a=9个;
以B为直角顶点的直角三角形有

航倒:庸
4.1 099.

=1+譬。

q·q+q+1=12个;
以C为直角顶点的直角三角形有

心·心+畦·q+2=17个.
N+,02、3、 a3、

设x=口i瓦i,其中,口IE 2aa、20,+N 口3口4,兵中,口I
场之x=口l

A一一.一.

· · .



口 ’^’‘ ,·\·

· · ·



口。∈N.于是,


y÷、:
/.
● ● ● . . ●





1 000ai+lOOa2+10a3+口4
口l+口2+,口3+口4











:1+9×!!!竺!±!!竺!±竺!.
口l+口2+口3+口4

…i-…


‘ .

iC‘
‘ I






‘0,:/



· . ·



\.、.


:,,S0、:
/.\








.CX .

,.\.





手Y小9×等糟a
口t+

要使手母小,则m.=9,哔哼,
,+口1+y

由对称性可知,一共可得到
9×4+12×8+17×4=200

=10+9×

110al+10a2—9 口l+口2+n3+9’

个直角三角形。.

葵使手最小,则口s=9,此时,

6.巨2).
由于菇、y>o,化简{+上Y≥2可得
(戈一丢)(y一虿1)≤丢.

手=…o×等等簪
’,

n.+n.+I五

釜l∞+9k

100at一189 al+a2+18’

,若磐,l:则手=100—9×鼎.
;要使手最小,则8z=o,此时,

川099,詈=罟.

黼7枣0M
其中不包括

出约束条件下的——兮陡—h一

平面区域为如图
所示的阴影部分,
2 (,

~l\如M
J、2I\菇 l’l


羔Y=100+9×等/
口l+Z

若口z>1,要使羔Y最小,则口z=9,此时,

=1

000—9×糌ai.
七L|

(菇一丢)(y一虿1)=百1

要使手最小,则口-=2,此时,

999,詈=百2 因为学>一11 0矿99,所以,置=l
菇=2 999.

=(石一号一吾)2+(,,一虿1一i3)2
099.

=(z一—})2+(,一号)2一s(,一÷)一,(,一÷)+—r9

万方数据

42

中等数学

=【(茗一i1)+(,,一i1)】2—

:(÷喁一.譬强,)2+(÷+{由一)2+({+譬血,)2
=百5+T1(豳口+扼如甲一√k日‘瞄甲),
M=sin
= :sin

3№一i1)+Y一丢)h
:【(髫一i1)+(,,一丢)一·吾】2+丢
≥丢.

0+拒·sin 9一压cos口·C0¥9

0+压.∥1再磊霸· +√2·√ +co矿口·

当且仅当(菇一丢)+(y一专)=丢时,
联立方程{



I万i蓊 (万菊1
:sin ≤sin

sin(p一燕cos P)

一万意雨008 PJ

0+压·/再;而·sin(q,一口)

茗一i




菇一虿

+Y—i1)=号, (,,一吾)=丢.
5一√5

0+压.厂再磊两 ≤I sin 01+压.^耳磊而

f菇2丁,f%2丁, 解得i 5一塘或1.’5+43 2丁’Y一一4‘
5+√亏


:l嘲01+噜.厂再厕+譬:厂再丽
≤3

经检验知,这两组解符合题意.

因此,IPAI血=等.
又显然P在点M或Ⅳ时,l 大值2.但M、Ⅳ两点不在区域内,因此,
PA

I取得最

其中,口=a一志COS=赫
^,l+ 口

:佰.


COS



当口』眦sin雩,甲=警时,式①等号成立.
另一方面,
Ms>sin 0一心2·0 1+o《0
≥一I
si‘n

I以I的取值范围是l留,2}.
三、建立如
图8的空间直角 坐标系. 在xOy平面 上,00。的方程为

一,。。——————————=

0l一压.J1+c—os20
01+压·厂再磊蒴)≥一朽.

:一(Isin

当8=兀+arcsin雩,午=誓时,上式等号
成立.
图8

(菇一丢)2+

(,,一丢)2={;

在xOz平面上,00:的方程为

幽2≤l I≤掣.
PQ

因此,百5一譬≤I明I 2≤百5+譬脚
四、(1)由Sl_芝粤:口。,知。I-1.

(戈一丢)2+(:一丢)2=丢.
设P(虿1+虿1 c∞口,i1+i1
则IPql


sin

8,o),

Q(丢+譬伽9,0,丢+雩sin甲).
万方数据

%:&一%:坐掣一坠掣.
当n>l时, 化简得(,l一2)口。一(n一1)口。.。+1=0. 以n+1代替n得

2009年第3期

43

(n一1)口。+l一,弛。+1=0. 两式相减得 (n一1)%+l一2(n一1)a。+(,l一1)‰一l=0. 贝0口。+l一2a。+口。一1=0.


相等.

再由式①知,仅有第8项与第2项相等.
1 1

而b3=3i>65=5百,故由式①知,与第3

项相等的项不存在.
因此,数列{b。}中存在唯一相等的两项
62


故{‰}为等差数列.
又由口l=l,口2=2,知口。--d.凡.

b8.

(2)b。=尼南,考虑b。>b。+。时,聘的取
值范围.

五、(1)设z:石=my—c,与椭圆C的方 程联立,消去菇化简得 (口2+b2m2)',2—2b2 cmy—b4=0. 设A(舅l,,,1)、占(菇2,扎).则
2b2cm yl+y2

注意到,l南>(/1,+1)南,即
n4+2>(凡+1)4+1.

灿>(掣)”1=(,+丢)(·+击)8.
当尼≥3时,

27硫’yly2 2孑而‘
—b4


(·+去)“

=1+c-i1+暖‘≯1+..·+ck.·1乃”‘+《{ =·+-+去(·一i1)+..·+ 击(·一告)(·一吾)…(·一
,l一七+1

又P(一譬,n)、F(一c,o),故 商:(”譬m—n), .}船 =(”÷2m—n), 一PF:(譬,一n).
、C



则t=等=器寻o,
菇l+了


口C,,W1十 “

…+去(·一击)(·一争·(卜nn-_j)
<l+1+豇1+..·t击+..·十击
<1+1+虿1+孑1+…+1<3.

s=血emy2岽b,r=一等, …=血emyl岽+虫cmy2鲁
S=——————丁,r=一万,
+ 6’ +D 十O.
:C‘

因此,当n>3(1+i1)=3+丢>3,即n
≥4时,有b。>b。+1.

副’■忑下了瓜隔砑忑鬲而瓦研
2孤(.64)+(62一姗)·262∞.2b2n(口2+62m2)
2一b2吼一c2 m2¨.62傩一口2n一62m2 n 一‘62 2 一c2m2+2c2m2+a2+62m2 一。b2

”。又通过毕较hi,b:j6,、b。、bs的大小知
6l、≮k1<6,<k tK》65. 所以.数列{b.}满足
?’

一(b2+c2),n2 n一口2 (b2+C2)m2+口2



bl<b2<63 <b4,64>65>b6>….



因此,数列{ b。}的最大值项为b。. (3)显然,bl_1.

一等=2r.
因此,t、r、s成等差数列. 容易验证,当A、B为长轴两端点时,结

由b。:n由知,当n≠1时,b。≠1.
再由式①可知,若数列{6n}存在相等两
项,只能是6:、6,与后面的项可能相等.
1 l

论仍成立. (2)若t、r、s成等比数列,则F2=拈.

又b:=2了=矿=b。,即第2项与第8项 万方数据

拈=c2·高等精害‰

中等数学
),l
c2

一。

2.

y2一,l【,,l+Y2,+n‘

==》cos

B+cos C=1. A+COS B+cos C

m2yl

y2+b2cm(yl+Y2)+b4

由恒等式ODS



—64一n·2b2cra+n2(口2+b2m2)


副。磊玎刁万而忑荔万行石万确
c2

—64—2玎盯lc62+口2n2+b2m2/1,2

一口2

b4,n2+1





I一矿J.
n2+b2m2 n2

cn\2

=·+4sin参·sin鲁·sin詈 jcos A=4sin孚.sin导·s洒导 号r=4Rsin孚·siIl导.sin虿C=Rco’s
=争oQ=r=Reos
A.



故一b4—2mncb2+扭2 =口2,12(m2+1).

又点Q在边日C的中垂线上,因此,q必

整理为(口2一b2。)titt2n2+2mncb2+b4=O,即 (cm/t+b2)2=0.
。2


是△ABC的外心,即Z通过△ABC的外心.
二、设A(茗l,0)、曰(菇2,0)(0<戈l<菇2).

解得聊l:一生.


则C(戈:,八菇:))、D(戈。,八髫。)). 由AB∥CD,得八戈。)=八髫:),即 一菇i+3xl=一髫;+3髫2.

所以,当点P的纵坐标与直线z斜率的

倒数之积为一等时,t、r、s成等比数列.
第二试

掣+气笋:1。.
——广+—]r
其中,0E(o,号).
并l菇2=1—4sin20.

化简得茹;+菇I x2+茹;=3,即
5’

一、如图9,射线AD分别交船、B7C7于
E、F,联结"OA’、
OC7、A 7F,A’F交Z

设菇l+戈2=2cos 0,菇2一菇l=249sin

0,

于G.作边BC的中 垂线交l于q、交

贝0 4xI戈2=(石l+X2)2一(戈I一菇2 2,得

嬲于D,联结∞.


依题意,旋转体的体积
DE A’ C

V=兀·AD2·AB=,c(菇2一菇1)f2(菇1)

易知BD=百1

BC,

图9

AO垂直平纳’C’,矿为n'C7的中点.又0是
△A’曰7C’的外心,则点0在欧拉线Z上. 由于A’F是△A7∥C’的中线,因此,A’F 与Z的交点G必是△A’曰’C’的重心. 此时,由z∥BC,即OG∥BC知

=7c(菇2一髫1)(一菇;+3x1)2 =Tc(髫2一xi)茗j(3一xj)2 .-W-霄(髫2一髫1)算;菇;(石l+髫2)2
=843nsin口(1—4sin2日)2(1一siIf0).

故俨=(84j,02s秆0(1—4si.20)4(1一sif口)2

一OF一塑一土 叩一G4’一2‘
记尺、r分别表示△ABC的外接圆半径、 内切圆半径.

:筚(1—4s;do)·(.:I—sin2
(A>O,p>0)


O)2 usin2



由OF:rsin要知OF,:2rsin百A.

≤警[必鲍等蝴趟】7

一螋f兰±型±《笆二型=!坌堑旦1
A2J£上




B+iA)一 等2咖iA·妇(B+iA)=l
又叩8in
=参eos



J‘

令∥一2A一16=0. 由1—48in20=A—sin20=#sin20得



B—cos(B+A)=l

sin20=描=南.



万方数据

2009年第3期

45

由①、②两式联立消去卢,化简得
2A2+17A一16=0.

>!!上喜二!笙(口:+1)2…(口。+lj2≥萼.
(ii)若口:=1,下面证明:

解得A:—-—171±—v—/4一订.

取A=』导地测产:T15+v/莉.
于是,俨≤学A(竿)7.

、 ,


。2”岭虹盟≥型,
即证2。t≥百4(口l+1)2. 易验证,当口l=1,3时, 2。t>可4(口J+1)2; 当口,=2时,28·=可4(口。+1)2. 假设口。=t(t≥3)时,结论成立,即

因此,‰=华(孕)3√铬.
三、设b。=硝-砖…砖,其中p,<p2< …<P^且均为质数,‘口l,a2,…,口^EN+.
贝0(口l+1)(口2+1)…(口I+1)≥n. 下面证明: 6。=p口l必…酷


2‘>吾(t+1)2.
则2…=2×2‘>2 x百4(t+1)2. 又2×可4(t+1)2一万4(£+2)2

(口1+1)2(口2+1)2…(口I+1)2

矿>(m+1)2(p为大于3能瞰,m∈N+),
① 3”≥(m+1)2(m≥2,mEN+),

易用数学归纳法证明以下结论:

=吾(#2—2)>o(£≥3),

则2…>2×吾(¨1)2>可4(t+2)2.
这表明口。=t+1时,亦有 zt>可4(a1+1)2.

3“>24>掣(mEN+).
因此,(1)当p。>3时,

② ③

6。=∞陀…砖

>蛐丛鼍掣≥萼.
>(口I+1)2(口2+1)2…(a^+1)2

故2。-≥吾(口。+1)2(a。∈N+,当且仅当
口l-2时,等号成立).
贝0 6。=p:-p争…p》

(2)当P。=3时,
6。=p:,p争…p》

≥!竺L±』掣(口,+1):…(a。+1):
≥鲁.


>掣(or2+1)2.“”1)2≥拿 >掣(a2+1)z…(ak+1胁菩.


综合(1)一(4)知6。、"3n-. =1,t/,=6时,式④等号成立.
此时,66:22×3:12:百62,口l:1,
口2=2,口3=3,口4=4,口5=5,口6=12.

(3)当Pl=2,P2>3时,

当且仅当_|}=2,Pl=2,P2=3,口I=2,口2

b。=硝-砖…砖

(4)当P1_2,p2=3时, (i)若口2≥2,则 6。=p口-p争…p》

(孙彦 安徽省安庆市教育教学研究 室,246004琚国起安徽省潜山县第二中
学.246300)

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数学奥林匹克高中训练题(116)
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 引用次数: 孙彦, 琚国起, SUN Yan, JU Guo-qi 孙彦,SUN Yan(安徽省安庆市教育教学研究室,246004), 琚国起,JU Guo-qi(安徽省潜山县 第二中学,246300) 中等数学 HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 2009,(3) 0次

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