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2014年高考理科数学试题分类汇编 集合与函数 word版含答案


2014 年高考数学试题汇编 集合与函数
一.选择题 1. (2014 大纲)函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? g ( x) 的图象关于直线 x ? y ? 0 对称,则

y ? f ( x) 的反函数是(
A. y ? g ( x ) 【答案】D.

) C. y ? ? g ( x) D. y ?

? g (? x)

B. y ? g (? x)

2. (2014 大纲)设集合 M ? {x | x2 ? 3x ? 4 ? 0} , N ? {x | 0 ? x ? 5} ,则 M ( ) B. [0, 4) C. [?1, 0) D. (?1, 0]

N?

A. (0, 4] 【答案】B.

3(2014 浙江)设全集 U ? ?x ? N | x ? 2?,集合 A ? x ? N | x ? 5 ,则 CU A ? (
2

?

?



A. ? B

B. {2}

C. {5}

D. {2,5}

4. (2014 北京)已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0}, B ? {0,1, 2} ,则 A
2

B?(

)

A.{0}

B. { 0 , 1} C. { 0 , 2 }

D. { 0 , 1 , 2 }

5. ( 2014 辽宁)已知全集 U ? R, A ? { x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则集合 CU ( A ( ) B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | 0 ? x ? 1}

B) ?

A. {x | x ? 0} 【答案】D 【解析】

? A = (-∞, 0], B = [1+ ∞) ∴ A∪B = (-∞ , 0]∪[1+ ∞).C , 1).选D. R ( A∪B) = (0
6. (2014 湖北 ) 设 U 为全集, A, B 是集合,则“存在集合 C 使得 A ? C, B ? CU C 是

“ A ? B ? ? ”的( A. 充分而不必要条件 C. 充要条件

) B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7 (2014 广东)已知集合 M ? {?1, 0,1}, N ? {0,1, 2}, 则 M ? N ? A. {?1, 0,1} 答案:B
2 8(2014 新课标 I).已知集合 A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 },B= x ?2 ? x ? 2 ,则 A ? B =

B. {?1, 0,1, 2}

C. {?1, 0, 2}

D. {0,1}

?

?

A .[-2,-1]
【答案】 :A

B .[-1,2)

C .[-1,1]

D .[1,2)

2 【解析】 :∵A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 }= x x ? ?1 或 x ? 3 ,B= x ?2 ? x ? 2 ,

?

?

?

?

∴ A ? B = x ?2 ? x ? 1 ,选 A.. 9. (2014 新课标 II)设集合 M={0,1,2} ,N= ?x | x2 ? 3x ? 2≤0? ,则 M ? N =( A. {1} 【答案】D B. {2} C. {0,1} D. {1,2} )

?

?

0, 经检验 x=1,2 满足。所以选 D. 把 M={0,1,2}中的数,代入不等式 x 2 - 3x + 2 ≤
10、(2014 四川)已知集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0} ,集合 B 为整数集,则 A
2

B?(



A、 {?1, 0,1, 2} C、 {0,1} 【答案】A 【解析】

B、 {?2, ?1, 0,1} D、 {?1, 0}

? x 2 - x - 2 = (x - 2)(x+ 1) ≤ 0 ∴A = [-1 , 2] ∴ A∩B = {-1 , 0, 1, 2}.选A

11. (2014 陕西)已知集合 M ? {x | x ? 0}, N ? {x | x2 ? 1, x ? R} ,则 M

N ?(



A.[0,1]
【答案】 【解析】 B

B.[0,1)

C. ( 0 , 1 ]

D.(0,1)

? M = [0,+ ∞), N = (-1 , 1),∴M ∩N = [0,1).选B
12(2014 山东)设集合 A ? {x || x ? 1|? 2} , B ? { y | y ? 2x , x ?[0, 2]} ,则 A (A) [0, 2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1, 4)

B?

13(2014 安徽) “ x ? 0 ”是“ ln(x ? 1) ? 0 ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 2.B

14. (2014 江西) 函数 f ( x) ? ln(x ? x) 的定义域为(
2

) D. (??,0] ? [1,??)

A. (0,1) 【答案】C 【解析】

B. [0,1]

C. (??,0) ? (1,??)

Q x2 ? x ? 0 ? x ? 1或x ? 0
所以选 C. 15(2014 山东)函数 f ( x) ?

1 (log 2 x)2 ? 1
1 2

的定义域为

(A) (0, ) (B) (2, ??) (C) (0, )

1 2

1 (2, ??) (D) (0, ] [2, ??) 2

16. (2014 江西)已知函数 f ( x) ? 5| x| ,g ( x) ? ax2 ? x(a ? R) , 若 f [ g (1)] ? 1 , 则 a ?( A. 1 【答案】A 【解析】 B. 2 C. 3 D. -1



Q f ? g ? x ? ? ? 1 ? 50 ? g ?1? ? 0 ? a ?1 ? 0 ?a ?1
所以选 A。 17 (2014 北京)下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是( )

A. y ? x ? 1

2 B. y? ( x ? 1 )

C. y ? 2? x

D. y? l o 0g. 5 x ( ?

1)

18(2014 陕西)下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是( (A) f ? x ? ? x 2 【答案】 【解析】 D
1



(B) f ? x ? ? x3

(C) f ? x ? ? ? ?

?1? ?2?

x

(D) f ? x ? ? 3x

只有C不是递增函数 .对D而言,f ( x + y) = 3x+ y , f ( x) ? f ( y) = 3x ? 3y = 3x+ y.选D
19(2014 山东)已知实数 x, y 满足 a x ? a y ( 0 ? a ? 1 ) ,则下列关系式恒成立的是 (A)

1 1 ? 2 (B) ln( x2 ? 1) ? ln( y 2 ? 1) x ?1 y ?1
2

(C) sin x ? sin y (D) x2 ? y 2

20(2014 福建)已知函数 f ?x ? ? ? A. f ?x ? 是偶函数 D

?x 2 ? 1, x ? 0 ?cos x, x?0

则下列结论正确的是(



B. f ?x ? 是增函数

C. f ?x ? 是周期函数 D. f ?x ? 的值域为 ?? 1,???

?( x ? a) 2 , x ? 0, ? 21(2014 上 海 ) f ( x) ? ? 若 f (0) 是 f ( x) 的 最小 值, 则 a 的 取值 范围 为 1 x ? ? a , x ? 0 , ? x ?
( ) 。 (A)[-1,2] 【答案】 D 【解析】 (B)[-1,0] (C)[1,2] (D)0,2]

1 ? f ( x) = ( x - a) 2 , x ≤0是单调递减的, f ( x) = x + + a ≥2 + a, x > 0是单调递增的,且 f (0) = a 2 ≤2 + a x 解得0 ≤a ≤2.选D
22. (2014 湖南)已知 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且

f ( x) ? g ( x) ? x3 ? x 2 ? 1 ,则 f (1) ? g (1) ? (
A. ? 3 B. ? 1 C. 1 D. 3

)

? ? f ?1? ? g ?1? ? 3 ? ? f ?1? ? 2 ?? ? f ?1? ? g ?1? ? 1 ,则 ? ? f ?1? ? g ?1? ? 1 ,故选 C. ? f ?1? ? g ?1? ? 1 ? ? g ?1? ? ?1 ?
【考点定位】奇偶性 23(2014 新课标 I).设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数, 则下列结论正确的是

A . f ( x) g ( x) 是偶函数

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数

C . f ( x) | g ( x) |是奇函数
【答案】 :C

【解析】 :设 F ( x) ? f ( x) g ( x) ,则 F (?x) ? f (?x) g ( ?x) ,∵ f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是 偶函数,∴ F (? x) ? ? f ( x) g ( x) ? ?F ( x) , F ( x) 为奇函数,选 C. 24(2014 天津)函数 f ( x) = log 1 x2 - 4 的单调递增区间是(
2

(

)



(A) (0, + ? (C) (2, + ? 【答案】D 【解析】

) )

(B) (- ? ,0) (D) (- ? , 2)

定义域为 (-∞ , - 2) ∪(2, +∞ ) .复合函数增减性判断 : 同增异减 .? y = log 1 x递减,
2

y = x - 4在(-∞ , - 2)上递减, ∴ y = f ( x)递增.选D.
2

?x ? ) 25 、 (2014 四 川 ) 已 知 f ( x) ? l n (1
f (? x) ? ? f ( x) ;② f (
是( ) B、②③
2

x ? (?1,1) 。 现 有 下 列 命 题 : ① l n? (1 x, )

2x ) ? 2 f ( x) ;③ | f ( x) |? 2 | x | 。其中的所有正确命题的序号 x ?1
C、①③ D、①②

A、①②③ 【答案】A 【解析】

? f ( x) = ln(1+ x) - ln(1 - x), x ∈ (-1,+ 1).经观察,显然满足 f ( x) = - f (- x),故( 1)正确 2x 2x 2x (1+ x) 2 (1 - x) 2 (1+ x) 2 1+ x 2 ?f( ) = ln( 1 + ) ln( 1 ) = ln ln = ln[ ] 1+ x 2 1+ x 2 1+ x 2 1+ x 2 1+ x 2 1+ x 2 (1 - x) 2 (1+ x) 2 1+ x = 2 ln = 2[ln( 1+ x) - ln(1 - x)] = 2 f ( x).故(2)正确 2 (1 - x) 1- x 1+ x 当x ∈[0,1]时, ? f ( x) = ln ≥ ln 1 = 0 ∴ f ( x) =| f ( x) | 1- x ? f ( x)为奇函数,假设| f ( x) |≥ || x |?当x ∈[0,1]时,f ( x) ≥x = ln 令g ( x) = f ( x) - x = ln(1+ x) - ln(1 - x) - x, x ∈[0,1],则g ′( x) = ∴ g ( x) ≥g (0) = 0 ∴ 假设 | f ( x) |≥ || x | 成立, (3)正确. 所以, (1)、 (2)、 (3)正确,选A
26(2014 安徽)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π )=f(x)+sinx.当 0≤x<π 时,f(x)=0,则

1 1 + > 0, g ( x)单调递增 1+ x 1 - x

f(

23? )= 6
(A)

1 2

(B)

3 2

(C)0

(D) ?

1 2

6 A

27(2014 山东)已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ?1 , 若 fx g ( x) ? kx , ( ) gx ?( ) 则实数 k 的取值范围是 (A) (0, ) (B) ( ,1) (C) (1, 2) (D) (2, ??)

有两个不相等的实根,

1 2

1 2

【考点】函数与方程,函数的图象. 28. (2014 辽宁)已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x ) 满足: ① f (0) ? f (1) ? 0 ; ②对所有 x, y ? [0,1] ,且 x ? y ,有 | f ( x) ? f ( y ) |?

1 | x ? y |. 2


若对所有 x, y ? [0,1] , | f ( x) ? f ( y) |? k ,则 k 的最小值为( A.

1 2

B.

1 4

C.

1 2?

D.

1 8

【答案】B

【解析】

1 1 1 1 数形结合法 .据题可知, y = f ( x)的图像只能在由 4个顶点(0,0), ( , ), (1,0), (- ,- )组成的 2 4 2 4 平行四边形区域内 (不含边界).具体说,可以只在 x轴上方,或只在 x轴下方, 1 或在x轴上下方都有 3种情况.前2种情况容易判断| f ( x) - f ( y ) |< . 4 对第3种情况,若有点 P 会存在P2 ( x2 ,- y1 )也在平行四边形内 . 1 ( x1 , y1 )在平行四边形内,则不 1 1 ∴| f ( x) - f ( y ) |< , 即k ≥ .选B. 4 4
29(2014 安徽)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为 (A)5 或 8 (B)-1 或 5 (C)-1 或 -4 (D)-4 或 8 9 D

30. (2014 湖 北 ) 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

f ( x) ?
围为( A.[ ? B

1 (| x ? a 2 | ? | x ? 2a 2 | ?3a 2 ) ,若 ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范 2


1 1 , ] 6 6

B.[ ?

6 6 ] , 6 6

C.[ ?

1 1 , ] 3 3

D.[ ?

3 3 , ] 3 3

31.(2014 湖南)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p ,第二年的增长率为

q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(
A. C.

)

p?q 2

B. D.

( p ? 1)( q ? 1) ?1 2

pq

( p ?1)(q ?1) ?1

32 ( 2014 浙 江 ) 设 函 数 f1 ( x) ? x

2

2 , f 2 ( x) ? 2( x ? x ), f 3 ( x) ?

1 | sin 2?x | , 3
记 )

ai ?

i , i ? 0,1,2,? ,99 99



I k ?| f k (a1 ) ? f k (a0 ) | ? | f k (a2 ) ? f k (a1 ) | ??? | f k (a99 ) ? f k (a98 ) | ,k ? 1,2,3. 则(
A. I1 ? I 2 ? I 3 B 33.(2014 湖南)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p ,第二年的增长率为 B. I 2 ? I1 ? I 3 C. I1 ? I 3 ? I 2 D. I 3 ? I 2 ? I1

q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(
A. C.

)

p?q 2

B. D.

( p ? 1)( q ? 1) ?1 2

pq

( p ?1)(q ?1) ?1

34 ( 2014 浙 江 ) 设 函 数 f1 ( x) ? x 2 , f 2 ( x) ? 2( x ? x 2 ), f 3 ( x) ?

1 | sin 2?x | , 3
记 )

ai ?

i , i ? 0,1,2,? ,99 99



I k ?| f k (a1 ) ? f k (a0 ) | ? | f k (a2 ) ? f k (a1 ) | ??? | f k (a99 ) ? f k (a98 ) | ,k ? 1,2,3. 则(
A. I1 ? I 2 ? I 3 B B. I 2 ? I1 ? I 3 C. I1 ? I 3 ? I 2 D. I 3 ? I 2 ? I1

35. (2014 福建)若函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的图像如右图所示,则下列函数图像正 确的是( )

B 36. (2014 辽宁)已知 a ? 2 A. a ? b ? c 【答案】C 【解析】
1 1 1 ? a = 2 ∈( , 1), b = log2 3 ∈(-2, -1), c = log1 3 ∈(1,2).∴c > a > b.选C. 2 2 1 3
? 1 3

, b ? log 2

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3
D. c ? b ? a



B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

37. (2014 浙江)在同意直角坐标系中,函数 f ( x) ? x ( x ? 0), g ( x) ? loga x 的图像可能
a

是(



D 38. (2014 新课标 I)已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,
3 2

则 a 的取值范围为

A .(2,+∞)
【答案】 :B

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

2 【解析 1】 :由已知 a ? 0 , f ?( x) ? 3ax ? 6 x ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?

2 , a

当 a ? 0 时, x ? ? ??,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0,

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? , ?? ? , f ?( x) ? 0 ; a? ?a ?

且 f (0) ? 1 ? 0 , f ( x ) 有小于零的零点,不符合题意。 当 a ? 0 时, x ? ? ??,

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? ,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0, ?? ? , f ?( x) ? 0 a? ?a ?
2 a
2

要使 f ( x ) 有唯一的零点 x0 且 x0 >0,只需 f ( ) ? 0 ,即 a ? 4 , a ? ?2 .选 B
3 2 【解析 2】 :由已知 a ? 0 , f ( x ) = ax ? 3x ? 1 有唯一的正零点,等价于 a ? 3

1 1 ? x x3

有唯一的正零根,令 t ?

1 3 ,则问题又等价于 a ? ?t ? 3t 有唯一的正零根,即 y ? a 与 x

y ? ?t 3 ? 3t 有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧记 f (t ) ? ?t 3 ? 3t , f ?(t ) ? ?3t 2 ? 3 ,由
f ?(t ) ? 0 , t ? ?1 , t ? ? ??, ?1? , f ?(t ) ? 0; t ? ? ?1,1? , f ?(t ) ? 0; ,

t ??1, ??? , f ?(t ) ? 0 ,要使 a ? ?t 3 ? 3t 有唯一的正零根,只需 a ? f (?1) ? ?2 ,选 B
二.填空题
2 1 (2014 上海)已知曲线 C: x ? ? 4 ? y ,直线 l:x=6。若对于点 A(m,0),存在 C 上的点

P 和 l 上的点 Q 使得 AP ? AQ ? 0 ,则 m 的取值范围为



【答案】 【解析】

[2,3]

C图像是半径为 2的半个圆,在 y轴左侧,x1 ∈[-2,0] ? AP + AQ = 0,∴ A(m,0)为P( x1 , y1 ), Q(6, t )的中点 ? 2m = 6 + x1 , x1 ∈[-2,0] ∴ 所以,是[2,3] m ∈[2,3]

? x, x ? (??, a), 2 (2014 上海)设 f ( x) ? ? 2 若 f (2) ? 4 ,则 a 的取值范围为_____________. x , x ? [ a , ?? ], ?
【答案】 【解析】

(-∞ ,2]

? f (2) = 4∴2∈[a,+∞ ), 解得a ≤ 2.所以,是(-∞ ,2]
3. (2014 江苏) 已知集合 A={ ?2,?1,3,4 }, B ? {?1,2,3} ,则 A ? B ? ▲ .

4.

(2014





)







U ? {n ? N | 1 ? n ? 10}, A ? {1,2,3,5,8}, B ? {1,3,5,7,9}, 则(CU A) ? B ? ______.
【答案】 {7,9} 【解析】

?CU A = {4,6,7,9,10},∴CU A∩B = {7,9}.所以是 {7,9}.
5(2014 福建)若集合 {a, b, c, d } ? {1,2,3,4}, 且下列四个关系: ① a ? 1 ;② b ? 1 ;③ c ? 2 ;④ d ? 4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组

(a, b, c, d ) 的个数是_________.
6 6(2014 浙江)设函数 f ? x ? ? ?
2 ? ? x ? x, x ? 0 若 f ? f ?a ?? ? 2 ,则实数 a 的取值范围是______ 2 ? ? x , x ? 0 ?

a? 2

2

6. (2014 上海)若 f ( x) ? x 3 ? x 2 ,则满足 f ( x) ? 0 的 x 取值范围是 【答案】 【解析】
2 3 1 2

1



(0,1)

? x - x < 0, x > 0 ∴ x - 1< 0,即x < 1 解得0 < x < 1.所以,是(0,1)

-

1 6

1 6

1 6

7. (2014 江苏) 已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x ?[0,3) 时, f ( x) ?| x 2 ? 2x ?

1 |. 2 若函数 y ? f ( x) ? a 在区间 [ ?3,4] 上有 10 个零点 ( 互不相同 ), 则实数 a 的取值范围是
▲ .

8. (2014 湖北)设 f ?x ? 是定义在 ?0,??? 上的函数,且 f ?x ? ? 0 ,对任意 a ? 0, b ? 0 ,若经 过点 ?a, f ?a ??, ?b, f ?b?? 的直线与 x 轴的交点为 ?c,0? ,则称 c 为 a , b 关于函数 f ?x ? 的平均 数, 记为 M f (a, b) , 例如, 当 f ?x ? ? 1( x ? 0) 时, 可得 M f (a, b) ? c ? 为 a , b 的算术平均数.

a?b , 即 M f (a, b) 2

x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的几何平均数; (1)当 f ?x ? ? _____(

(2)当 f ?x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的调和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

2 ab ; a?b

9(2014 山东)已知函数 y ? f ( x)( x ? R) .对函数 y ? g ( x)( x ? I ) , 定义 g ( x) 关于 f ( x ) 的 “对 称函数”为 y ? h( x)( x ? I ) , y ? h( x) 满足:对任意 x ? I ,两个点 ( x, h( x)) , ( x, g ( x)) 关 于点 ( x, f ( x)) 对称.若 h( x) 是 g ( x) ? ,且 4 ? x 2 关于 f ( x) ? 3x ? b 的“对称函数” .

h( x) ? g ( x) 恒成立,则实数 b 的取值范围是

10 、 (2014 四 川 ) 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函 数 , 当 x ?[? 1, 1) 时,

??4 x 2 ? 2 , ? 1 ? x? 0, 3 ,则 f ( ) ? ____________。 f ( x) ? ? 2 0 ? x ? 1, ? x,
【答案】1 【解析】

3 1 1 ? f ( x - 2) = f ( x) ∴ f ( ) = f (- ) = -4( ) 2 + 2 = 1∴ 是1 2 2 2
11. (2014 新课标 II)已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减,f ? 2? ? 0 .若 f ? x ?1? ? 0 , 则x 的取值范围是__________. 【答案】

(-1, 3) .

? 偶函数y ? f ( x)在[0,??)上单减,且f (2) ? 0 ∴ f ( x) ? 0的解集为| x | ? 2. ∴ f ( x - 1) ? 0的解集为| x - 1 | ? 2,解得x ? (-1, 3) . 故解集为| x - 1 | ? 2,解得x ∈ (-1, 3) .
12、(2014 四川)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函数 ? ( x) 组 成的集合: 对于函数 ? ( x) , 存在一个正数 M , 使得函数 ? ( x) 的值域包含于区间 [? M , M ] 。 例如,当 ?1 ( x) ? x3 , ?2 ( x) ? sin x 时, ?1 ( x) ? A , ?2 ( x) ? B 。现有如下命题:

?a ? D ,f (a) ? b ” ①设函数 f ( x) 的定义域为 D , 则 “ f ( x) ? A ” 的充要条件是 “ ?b ? R , ;
②若函数 f ( x) ? B 的充要条件是 f ( x) 有最大值和最小值; ③若函数 f ( x) , g ( x) 的定义域相同,且 f ( x) ? A , g ( x) ? B ,则 f ( x) ? g ( x) ? B ; ④若函数 f ( x) ? a ln( x ? 2) ? 【答案】 (1)(3) (4) 【解析】

x ( x ? ?2 , a ? R )有最大值,则 f ( x) ? B 。 x ?1
2

对(1), 若? b ∈ R, 则? a ∈ D, 使得f (a) = b. ? f ( x) ∈ R.是充分条件 若f ( x) ∈ R,则? b ∈ R,? a ∈ D, 使得f (a ) = b.是必要条件 ∴ 是充分必要条件,正确 对(2), 若f ( x)有最大和最小值? f ( x)是B类函数.是充分条件 若f ( x)是B类函数即有界,则 f ( x)不一定有最大和最小值 , ∴ 不是必要条件 ∴ 不是充分必要条件,错 误 对(3), 若f ( x)是A类函数,g ( x)是B类函数? f ( x) + g ( x)一定不是B类函数. 正确 x 在R上是奇函数, 且当x > 0时,由对勾函数知, y= x +1
2

对(4),? y =

1 ∈ (0, ] 1 2 x+ x

1

x 1 1 ∈[- , ], 有最大值. x +1 2 2 1 1 ∴当a = 0时,f ( x) =∈[- , ];当a ≠ 0时, ? y = a ln(x + 2) ∈ R ∴ f ( x)无最大值. 2 2 x 综上,若f ( x) = a ln(x + 2) + 2 ( x > -2)有最大值,则a = 0,f ( x)是有界函数, f ( x) ∈ B x +1 正确. ∴当x > -2时,y =
2

所以, (1)(3)(4)正确

其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的序号) 。 13. (2014 江苏)已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1, 若对于任意 x ? [m, m ? 1] ,都有 f ( x) ? 0 成立,则实 数 m 的取值范围是 ▲ .

14(2014 陕西)已知 4a ? 2, lg x ? a, 则 x =________. 【答案】 【解析】

10

? 4a = 2 2a = 2, lg x = a,∴ 2a = 1, lg x = a =

1 1 , 所以x = 102 = 10. 2

15(2014 重庆)函数 f ( x) ? log x ? log 2 (2x) 的最小值为_________.

1 【答案】 4 【解析】

? f ( x) =

1 log2 2 x 1 1 1 1 log2 x ? = log2 x ? (1+ log2 x) ≥ (- ) ? (1 - ) = - ∴所以是- . 2 2 2 4 4 log2 2

2 16 (2014 天津)已知函数 f ( x ) = x + 3 x , x ? R .若方程 f (x)- a x - 1 = 0 恰有 4 个互

异的实数根,则实数 a 的取值范围为__________.
y

3

O

1

x

1 ) ∪ (9, +∞ ) 【答案】 (0,
【解析】

数形法结合代数法 .画f ( x) =| x 2 + 3x |, y = a | x -1 | 图像, 并解方程组 y = x 2 + 3x, y = a( x -1), 令Δ > 0, 解得a < 1或a > 9.两图像相交4点,由对称性分析得 , a ∈(0,1 ) ∪ (9, +∞ ) .
法一:显然 a > 0 . (ⅰ)当 y = - a(x - 1)与 y = - x2 - 3x 相切时, a = 1 ,此时 f (x)- a x - 1 = 0 恰有 3 个互异的实数根. (ⅱ)当直线 y = a( x - 1)与函数 y = x 2 + 3x 相切时, a = 9 , 此时 f (x)- a x - 1 = 0 恰有 2 个互异的实数根. 结合图象可知 0 < a < 1 或 a > 9 .
y

x 2 + 3x 解 2:显然 a ? 1 ,所以 a = . x- 1
令 t = x - 1 ,则 a = t +

3 O 1

x

4 + 5. t

y

4 ? ( ? , 4] [4, + ) , t 4 所以 t + + 5 ? ( ゥ,1] [9, + ) . t
因为 t + 结合图象可得 0 < a < 1 或 a > 9 .

9 1 O t

三.解答题 1. (2014 广东 )(本题 14 分)设函数 f ( x) ?

1 ( x ? 2 x ? k ) ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3
2 2

,其中

k ? ?2 ,
(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D(用区间表示) ; (2)讨论 f ( x ) 在区间 D 上的单调性; (3)若 k ? ?6 ,求 D 上满足条件 f ( x) ? f (1) 的 x 的集合(用区间表示).

解 : (1)( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3 ? 0, 则x 2 ? 2 x ? k ? 1 ①或 x 2 ? 2 x ? k ? ?3 ② 由①得 : x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 0, ?1 ? 4 ? 4(k ? 1) ? 4(2 ? k ) ? 0 ( k ? ?2), ? 方程x 2 ? 2 x ? k ? 1=0的解为 ? 1 ? 2 ? k , ?由x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 0得 : x ? ?1 ? 2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k , 由②得:x 2 ? 2 x ? k ? 3 ? 0, 方程x 2 ? 2 x ? k ? 3 ? 0的判别式? 2 ? 4 ? 4(k ? 3) ? 4(?2 ? k ) ? 0 ( k ? ?2), ? 该方程的解为 ? 1 ? ?2 ? k ,由x 2 ? 2 x ? k ? 3 ? 0得 : ?1 ? ?2 ? k ? x ? ?1 ? ?2 ? k . k ? ?2,??1 ? 2 ? k ? ?1 ? ?2 ? k ? ?1 ? ?1 ? ?2 ? k ? ?1 ? 2 ? k , ? D ? (??, ?1 ? 2 ? k ) (?1 ? ?2 ? k , ?1 ? ?2 ? k ) (?1 ? 2 ? k , ??). (2)设u ? ( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3 ? 0, 1 ?3 2 则f ' ( x ) ? ? ? u 2 ? ? ? 2( x ? 2 x ? k ) ? (2 x ? 2) ? 2(2 x ? 2) ? ? 2 ? ?2u 2 ( x ? 1) ? ( x 2 ? 2 x ? k ? 1) (i )当x ? (??, ?1 ? 2 ? k )时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 1 ? 1 ? 0,? f ' ( x) ? 0 ; (ii )当x ? (?1 ? ?2 ? k , ?1)时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? ?3 ? 1 ? 0,? f ' ( x) ? 0 ; (iii )当x ? (?1, ?1 ? ?2 ? k )时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? ?3 ? 1 ? 0,? f ' ( x) ? 0 ; (iv)当x ? (?1 ? 2 ? k , ??)时, x ? 1 ? 0, x 2 ? 2 x ? k ? 1 ? 1 ? 1 ? 0,? f ' ( x) ? 0 . 综上, f ( x)在D上的单调增区间为 : ( ??, ?1 ? 2 ? k ), (?1, ?1 ? ?2 ? k ) , f ( x)在D上的单调减区间为 : (?1 ? ?2 ? k , ?1), (?1 ? 2 ? k , ??) .
? 3

(3)设 g(x) ? ( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3,由(1)知, 当 x ? D 时, g(x) ? 0; 又 g(1) ? (3 ? k) 2 ? 2(3 ? k ) ? 3 ? ( k ? 6)( k ? 2), 显然, 当k ? ?6时, g (1) ? 0, 从而不等式f ( x) ? f (1) ? g ( x) ? g (1), g ( x) ? g (1) ? [( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3] ? [(3 ? k) 2 ? 2(3 ? k ) ? 3] ? [( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? (3 ? k) 2 ] ? 2[( x 2 ? 2 x ? k ) ? (3 ? k )] ? ( x ? 3)( x ? 1)( x 2 ? 2 x ? 2k ? 5), k ? ?6,??1 ? ?4 ? 2k ? ?1 ? 2 ? k ? ?1 ? ?2 ? k ? ?3 ? 1 ? ?1 ? ?2 ? k ? ?1 ? 2 ? k ? ?1 ? ?4 ? 2k , (i )当x ? ?1 ? 2 ? k 时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0,? 欲使f ( x) ? f (1), 即g ( x) ? g (1), 亦即x 2 ? 2 x ? 2k ? 5 ? 0, 即 ? 1 ? ?4 ? 2k ? x ? ?1 ? ?4 ? 2k ,??1 ? ?4 ? 2k ? x ? ?1 ? 2 ? k ; (ii ) ? 1 ? ?2 ? k ? x ? ?3时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0, x 2 ? 2 x ? 2k ? 5 ? ( x 2 ? 2 x ? k ) ? (k ? 5) ? ?3 ? (k ? 5) ? 0, 此时g ( x) ? g (1), 即f ( x ) ? f (1); (iii) ? 3 ? x ? 1时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0, x 2 ? 2 x ? 2 k ? 5 ? ?3 ? ( k ? 5) ? 0,? g ( x) ? g (1), 不合题意; (iv)1 ? x ? ?1 ? ?2 ? k 时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0, x 2 ? 2 x ? 2k ? 5 ? ?3 ? (k ? 5) ? 0,? g ( x) ? g (1), 合题意; (v) x ? ?1 ? 2 ? k 时, ( x ? 3)( x ? 1) ? 0,? 欲使g ( x) ? g (1), 则x 2 ? 2 x ? 2k ? 5 ? 0, 即 ? 1 ? ?4 ? 2k ? x ? ?1 ? ?4 ? 2k , 从而 ? 1 ? 2 ? k ? x ? ?1 ? ?4 ? 2k . 综上所述, f ( x) ? f (1)的解集为: (?1 ? ?4 ? 2k , ?1 ? 2 ? k ) ? (?1 ? ?2 ? k , ?3) ? (1, ?1 ? ?2 ? k ) ? (?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?4 ? 2k ).

2(2014 上海)(本题满分 14 分)本题有 2 个小题,第一小题满分 6 分,第二小题满分 1 分。

设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

2x ? a 2x ? a
?1

(1)若 a =4,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f

( x) ;

(2)根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由. 【答案】

(1) (2)

f -1 ( x) = 2 + log2

x+1 , x ∈(-∞ ,-1) ∪(1, +∞ ) x -1

当a = 0时, f ( x)是偶函数;当 a = 1时, f ( x)是奇函数; 当a > 0, 且a ≠ 0,且 a ≠ 1时, f ( x)是非奇非偶函数;
【解析】

2x + a 2x + 4 = x ∈ (-∞ ,-1)(1, +∞ ) ∴ (2 x - 4) y = 2 x + 4, x 2 -a 2 -4 4 + 4 y 4+ 4 y y+1 x , 即x = log2 ( ) = 2 + log2 . (1) 解得2 = y -1 y -1 y -1 x+1 所以f -1 ( x) = 2 + log2 , x ∈ (-∞ ,-1) ∪(1,+ ∞ ) x -1 当a = 4时? y = f ( x) =
(2)

2x + a y = f ( x) = x 的奇偶性讨论如下 . 2 -a 若定义域对称的 , 则a = 0, 或a = 1 (1)若a = 0时,f ( x) = 1, ∴ f ( x)是偶函数 (2)若a = 0时,f ( x) = ∴ f ( x)是奇函数 所以, 当a = 0时,f ( x)是偶函数;当a = 1时,f ( x)是奇函数; 当a > 0, 且a ≠ 0,且a ≠ 1时,f ( x)是非奇非偶函数; 2x + 1 2- x + 1 1+ 2 x ? f ( x ) = = = - f ( x) 2 x -1 2- x - 1 1 - 2 x


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