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有限元 补充 变分原理


变分法基础
A、泛函定义 如果对于某一类函数 y?x ?中的每一个函数 y?xi ?,? 都 有一个值与之对应;或者, 变量对于函数 y?x ? 的关 ? 系成立,变量 ?称为函数 y?x ? 的泛函,记为:
? ? ?? y?x ??

泛函是变量与函数的关系,为函数的函数(非隐函 数),一种广义的函数。其中 y?x ? 称为宗量 (而函

数是变量与变量之间的关系)

举例—短程线问题 在指定平面内连接两定点的各种容许曲线中,选定一 条使两点间沿该曲线的距离最短的曲线。
定点: A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? 连接AB两点的任一曲线的弧长 可以表述为:
L? y ?x ?? ? ?
x2

x1

? dy ? 1 ? ? ? dx ? dx ?

2

??

B

A

dx2 ? dy 2

这里L只与曲线 yi ?x ? 的函数形式相关。而不直接与X相关!

寻找最短弧长曲线 yi ?x ? 的形式即为变分学所要研究的问题。
B、变分 泛函 ??y?x?? 的宗量 y?x ? 的增量在指定域中都很小时,就 称之为变分。 ?y?x? ? y?x? ? y1 ?x? (4.1) ?y 也为x的函数,须在指定x域中是微量, y?x ? 在接近 y1 ? x ? 的一类函数中任意变化的。
y?x ? 与 y1 ? x ? 很接近,且函数有k阶导, y ?k ? ?x ? 也与 如果 ?k ? y1 ?x ?很接近,即其差的模都很小,则 y?x ? 与 y1 ? x ?具有k阶

?y 称为k阶变分。 接近度。 ? ?y, ?y ?,??y ?k 具有相同量级的微量。 一般认为,

?k ?

C、泛函的连续性 ?? 如果对于 y?x ? 的微量改变, ??y?x有相应的微量改变, 则称泛函
??y?x??

为连续的。

与高等数学中函数连续性定义相似, 对任一正数? ,若可以找到一个 ? ,并当:
y?x? ? y1 ?x? ? ?
? y ?k ? ?x ? ? y1
?k ?

?x ? ? ?

能使得 ?? y?x?? ? ?? y1 ?x?? ? ? ,则 ??y?x?? 在 y?x ? ? y1 ?x ? 处具有k阶连续性。

D、泛函的变分 定义—(几何意义): 泛函的增量:由 y?x ? 的变分 ? ? y ? 所引起的泛函的增量,
?? ? ?? y?x? ? ?y?x ?? ? ?? y?x??

将 ??y?x?? 分解为线性项和非线性项二部分:
?? ? L? y?x?,?y?x?? ? ? ? y?x?,?y?x??? max? ? y?x??

? 为 ?y ?x ?同阶或更高阶小量,
?y?x ? ? 0
? ? 0,
max?y?x? ? 0

线性部分 称之为泛函的变分: ?? ? L? y?x?,?y?x??

(4.2)

泛函的变分可理解为泛函的增量的主部。而且其主部 相对于变分 ?y ?x ? 为线性的。 定义二(Lagrange定义) 泛函变分是
?? ?
?( y( x),??y?x ?)

对 ? 的导数在 ? ? 0 时的值,
? ?0

? ? ? y ?x ? ? ?? y ?x ?? ??

(4.3)

? L? y?x?, ?y?x??

E、泛函的驻值 函数的驻值 如果函数 y?x ? 在 x ? x0 附近的任意点上的值都不大 (小)于 y ?x0 ? ,即 ?y ? y?x? ? y?x0 ? ? 0 (或 ? 0)则函数 y?x ? 在 x ? x0上达到极大(或极小)值,且 x dy x ? x ? 0 , 0 为驻点, y ? x 0 ?为驻值。
0

对于多元函数, f ?x1 , x2 ,?xn ? 取极值条件: 即: ?f
?xi ?0 i ? 1,2,? n
10

df ? 0

?x10 , x20 ,?xn0 ?为驻点, f ?x
极大或极小?

, x20 ,?xn0 ?为驻值;

d 2 f ? 0 极小;

d2 f ? 0

为极大。

泛函的驻值 如果泛函 ??y?x??在任何一条与 y ? y0 ?x? 接近的曲线上的 值不大于(小于) ?? y0 ?x??, , 即
?? ? ?? y?x?? ? ?? y0 ?x?? ? 0?或 ? 0?

则泛函 而且在

??y?x?? 在曲线 y ? y0 ?x? 上达到极大(或极小)值。
y ? y0 ?x?上有驻值条件:

??? y?x?? ? 0
与函数极值判定条件类似:
? 2? ? 0
? 2? ? 0
? 取极小值
? 取极大值

(4.4)

注意:

?
? ?

这里谈及的极值指相对的极大或极小,是从在相接近 的许多曲线中找出一个最大的泛函值。
由于曲线的接近程度不一,还应具体分为曲线有几阶 的接近度。 若接近度为0阶的曲线 y ? y?x ? ,泛函在 y ? y0 ?x? 达到 极值的变分称为强变分。泛函的极值为强极大或强极 小。 若接近度为1阶的曲线 y ? y?x ? ,泛函在 极值的变分称之为弱变分。
y ? y 0 ?x ?

?

达到

F、变分的计算方法: 微分与变分可互调换顺序:

??y ?? ? ? ? y ??
??
x2
1

(4.5) (4.6)

? ?? ? ?(??) ?? ?x ? ?x ?

积分与变分可互调换顺序,设 ? ? ?x F ? y, y?, x?dx
?? ? ? ? ? F ? y, y ?, x ?dx ? ? ? ? ?F ? y, y ?, x ?dx ?
x2 x2

? ?

x1

? ?

x1

(4.7)

和:

? ? F1 ? F2

?? ? ? ?F1 ? F2 ? ? ?F1 ? ?F2

(4.8)

积:

? ? F1 ? F2

?? ? ? ?F1 ? F2 ? ? F1?F2 ? F2?F1
??F
n

(4.9) (4.10)

?? ? ? ?F n ? ? nF n?1 ? ?F
商:
F1 ?? F2
? F1 ? F2?F1 ? F1?F2 ?? ? ? ? ? ? 2 ?F ? F2 ? 2?

(4.11)

G、基本预备定理 如果函数 F ?x ? 在线段 ?x1 , x2 ? 上连续,且对于只满足某 些一般条件的任意选定的函数 ?y ?x ? , 有

? F ?x??y?x? ? dx ? 0
x2 x1

则在线段 ?x1 , x2 ?上有, F ?x ? ? 0 一般条件包括: ? 一阶或若干阶可微;在 ?x1 , x2 ?端点处为零,? ?y ? x1 ? ? 0 ? ? ?
? ?y ? x ? ? 0 ? 2 ? ?

?

?y?x? ? ? ,

?y??x? ? ?

?

对于多变量,类推;

?

上述, y ?x ? 为宗量 y?x ? 的变分。 ?

H、泛函极值问题的求解 (变分法的主要步骤) 最速降线问题: 当一重物沿连接不在同一铅垂线上的两点 A?0,0?, B?x1 , y1 ? 的一条曲线,受重力作用自由下滑,不计摩擦力时, 求在哪种曲线上下滑所需时间T最少。 <沿不同曲线有不同的时间T,但其中仅有一条曲线, 使得T极小。>

问题上升: 在满足固定边界(端点)条件,y?0? ? 0 , 的 y?x ? 函数中,求泛函:
T? 1 2g

y?x1 ? ? y1

?

x1

0

2 1 ? ? y ??x ?? dx y?x ?

为极值的函数。
解: Ⅰ、设 P?x, y ? 为曲线 y ? y?x ? 上 的任意一点,由能量守恒定律, 总势能:
mgh ? mg ?h ? y ? ? 1 2 mv 2

? v ? 2gy

运动学:设 y ? y?x ? 为曲线的运动方程,重物沿该曲线从A 运动到B点,其运动速度可表示为:
v? ds 1 ? ? dt dt

? dx

2

? dy 2
dx dt

?

? 1 ? y?2 ?

二速度v相等:

2 gy ? 1 ? y ? 2 ?

dx dt

从A到B的滑行时间T,应有积分,
T??
x1

1 ? y? 2 2 gy

0

dx

泛函的建立:式中时间T是依赖于曲线函数 y ? y?x ?的函数,T 称之为泛函,需求其极值。即求T取最短时间的曲线函 数。 Ⅱ、设 y?x ? 为满足使泛函取极值的解,与之相接近的函数 为 y?x ? ? ?y?x ? ,其导数 y??x? ? ?y??x? 。 泛函的增量:
?T ? 1 2g

?

x1

0

2 ? 1 ? ? y ? ? ?y ??2 1 ? ? y ?? ? ? ? y ? ?y y ? ?

? ? ?dx ? ?

?y, ?y ?作为小量,按Talyor级数展开,
1 ? ? y? ? ?y?? 1 ? ? y?? ? ? y ? ?y y
2 2

y 1 ? ? y??

?

y?
2

?

1 1 ? ? y?? ?y? ? ?y ? ? ? 2 2y y
2

? ?

当?y, ?y ? 很小,(这时 y ? ?y 与 y 有一阶接近度),泛函变 分就为略去? ?? 2 ?二次以上高阶项后的线性主部。
?T ?
1 2g

?

x1

0

2 ? ? y ??y ? 1 1 ? ? y ?? ? ? ? ? ?y ?dx ? 2 2y y ? y 1 ? ? y ?? ? ? ?

?

?

极值条件:?T ? 0
Ⅲ、对第一项分部积分:

?

x1

0

y 1 ? ? y ??
x1

?

y?
2

?

? ?y ?dx

??

0

? x1 d ? d ? y? y? ? ? ? ?y ?dx ? ? ? ? 2 0 dx 2 dx ? y 1 ? ? y?? ? ? y 1 ? ? y ?? ? ? ?

?

?

?

?

? ? ??ydx ? 0 ? ?

因为 y?x? ? ?y?x?为通过 接近度,即:

? x ? 0 ? x ? x1 ,? ? ? y ? 0 ? y ? y1

两点的具有与 y?x ? 一阶

y?0? ? 0 , y?x1 ? ? y1
y?0? ? ?y?0? ? 0 , y?x1 ? ? ?y?x1 ? ? y1

于是,
?y?0? ? 0 , ?y?x1 ? ? 0

积分第一项:

? d ? y? ? ? ?y ?dx ?0 dx ? y 1 ? ? y ??2 ? ? ? ? y ??x1 ? ? ? ?y ?x1 ? ? 2 y ?x1 ? 1 ? ? y ??x1 ??
x1

?

?

?

?

y ?0? 1 ? ? y ??0??

?

y ??0?
2

?

?y ?0?

?0

故,
1 ?T ? 2g

?

x1

0

? 1 ?? 1 ? y?2 d ? y? ? ? ? ? ? ??ydx ? y dx ? y (1 ? y ? 2 ) ? ? ?2 2y ? ?? ?

由于?y 为任选函数,且 ? ? ,由变分法基本定理:
2 1 1 ? ? y ?? d ? y? ? ? 2y y dx ? y 1 ? ? y??2 ?

?

?

? ??0 ? ?

Ⅳ、从中就可求出 y?x ? 。 这类从泛函变分获得的微分方程 ? 欧拉方程

变分法的三个步骤: ? ? ? ① 从物理问题建立泛函及其条件; ② 通过泛函变分,利用变分法基本原理求得欧拉方程; ③ 求解欧拉方程,得到所求函数。

注意: ? ① 变分法和欧拉方程代表同一个物理问题,从变分法 求近似解与从欧拉方程求近似解,效果相同。前者容 易,而后者困难;

?
?

② 物理方程可以从泛函变分中求得;
③ 微分方程求解困难时,可转化为相当的泛函变分求 极值问题,从而采用近似方法求解; ④ 若微分方程的泛函不存在,可采用伽辽金法,加权 余量法求解。

?

I、欧拉方程建立步骤 定义:满足给定的连续性与边界条件的函数称为容许函数。 变分学的问题是在容许函数中求出使泛函取驻值的特 定函数。(满足边界条件、连续性的函数即为容许函 数,这里可能有无数个容许函数。) 可以推广为: x 求使泛函 ?? y?x?? ? ? F ?x, y, y??dx x 在边界条件 y?x1 ? ? y1 , y?x2 ? ? y2 取驻值的函数 y?x ? 。
2 1



考虑几何定义“泛函变分为泛函增量的主部” 设正确解为 y?x ? ,与 y?x ? 邻近的任意容许函数为: ~?x ? ? y?x ? ? ?y?x ? 且 ?y?x1 ? ? 0 , ?y?x2 ? ? 0 y
~??x? ? y??x ? ? ?y??x ? y

泛函增量
?? ? ?
x2 x1

~, ~??dx ? x2 F ?x, y, y??dx F ?x, y y ?
x1

按Taylor级数展开
?? ? ?? ?
?? ? ?
x2

1 2 1 ? ? ? ? 3? ? ? 2! 3!
一阶

x1

? ? ? ? ? ? ?y ? ?y ? Fdx ? ?y ?? ?y ? ?

? 2 ? ? ? ? ?y ?
x1

x2

? ?

? ? ? ? F dx ? ?y ? ?y ?y ? ? ?
3

2

二阶

? 3? ? ?

x2

x1

? ? ? ? ? ?y ? ?y ? ? F dx ? ?y ?y ? ? ? ?
x2

三阶

驻值条件为:
?? ? ? ? ?y ?
x1

? ?

? ? ? ? Fdx ?? 0 ? ?y ? ?y ?y? ? ?

引入,

d ? dy ? ?dx ? ? ? ?dx ? ??y ?dx ? d ??y ? ?y dx ? dx ?

作分部积分,驻值条件第二项:

?

x2

x1

x2 ? d ? ?F ? ? d ?F ?F ?y ?dx ? ? ? ? ?y ? ? ? ?y ? ? dx ?y ? ??y ??dx x1 ?y ? ? ? dx ? ?

由于,

?

x2

x1

d ? ?F ? ?F ? ? ?y? ?y ?dx ? ?y? ?y ? dx ? ?

x2 x1

?0

?

?y?x1 ? ? 0 ?y?x2 ? ? 0

驻值条件第二项 于是,
?? ? ?
x2

? ??

x2

x1

d ? ?F ? ? ? ?y ? ??ydx ? dx ? ?

x1

? ?F d ? ?F ?? ? ? ? ???ydx ? 0 ?y dx ? ?y? ?? ? ? ?

由变分法基本预备定理,极值条件等价于:
?F d ? ?F ? ? ? ? ?y? ? ? 0 ? ?y dx ? ?

(欧拉Euler方程)

?F ? ? 2 F ?2F ? 2 F ?y ? ? ?? ? y? ? ? ??0 2 ?y ? ?x?y ? ?y?y ? ?y ? ?x ?

讨论:

?

上述内容为变分原理学习中将要涉及到的一些基础。 正如在H中的讨论,变分法与Euler方程代表同一个物 理问题,当微分方程求解困难时,可转化为等效的泛 函变分求极值问题,从而采用近似方法求解;
对弹性力学的基本方程求解困难时,就可建立其相等 效的泛函变分问题。通过变分原理可以提供一种近似 解,这是一种最有效的近似解; 应注意到:泛函变分的本意是指从一切容许函数中 (满足给定的连续性和边界条件)寻找使泛函取驻值 的函数,如果能确定这样一个特定函数,就找到了精 确解;

?

?

?

事实上,寻找的函数范围有限,难以包括一切容许函 数,这就给问题带来了近似性。如:真解可展开为一 Taylor级数,而通常只能取有限项,自然就带来了近 似性;

?

解决弹性力学边值问题的基本微分方程有二类:按位 移求解或按应力求解。现有资料表明,其解析解很有 限,更多问题还需借助于泛函变分求其近似解;
与位移解法对应的泛函为:弹性体总势能,泛函取极 小值的解即为位移解;

?

?

与应力解法对应的泛函为:弹性体总余能。泛函取极 小值的解为应力解。

4.2 虚功原理
A、功 外力F ?u ?在移动位移 U 时,作功:
W ?u ? ? ? F ?u ?du
u 0

(4.12)

功的增量:
?W ? W ?u ? ?u ? ? W ?u ?
? ?W ?
?W ?
2

?w
?u

1 2 1 ? W ? ? 3W ? ? 2! 3!
一阶变分 二阶变分 三阶变分

?u ? F ? ?u
2

? W?

? 2w

? u ? 3w 3 3 ? W? 3 ? u ? u

? 3u

上式已假定力为位移之函数 F ?u ? ,W 即为泛函,且仅 U 一个宗量。 如果力和位移独立,则 W 含 F,U 2个宗量,
W ?F ,U ? ? ? Fdu
u 0



?W ? W ?F ? ?F ,U ? ?U ? ? W ?F ,U ?
1 2 1 ? W ? ? 3W ? ? 2! 3! ? ? ? ? ?W ? ? ?F ? ? ?U ? ?W ?F ?U ? ? ? ?W ?
? ? ? ? ? 2W ? ? ?F ? ? ?U ? ? W ?F ?U ? ?
2

(4.13)

F, U 此时存在的约束条件,

F ? F ?U ?

一般三维结构含体力 ?X ?、面力 ?q? 、集中力 ?F ? ,位 移为 ?f ? ? ?u, v, w?T ,外力功可以表示为:
?f ? ? ? f ??X ?T d ? f ??d? ? ? ? f ??q?T d ? f ??dA ? ?F ?T d ? f ? W ? ? ?? ? ? ?0 ? ? ?0 i ?A ? ?? 0 ? ? 1 i
n

(4.14)

?w ? ? ?x? ? ? ? ?q? d dA ? A ?? f ?
?w ? ?F ?i ?? f ?i

?i ? 1,2,?, n?

为变分方便,取集中力为面力的一种特例。
? ? f ??X ?T d ? f ??d? ? ? ? f ??q?T d ? f ??dA w ? ? ?? ? ? ?A ? ?0 ?? 0 ? ? ?

假定位移分量发生了几何边界所允许的微小改变,
? ? f ? ? ??u, ?v, ?w?T

则有功的增量,
?w ? w? f ? ?f ? ? w? f ?
? ?w ? 1 2 1 ? w ? ? 3w ? ? 2! 3!

(4.15)

?w ? ? ? f ?T
T ?

?w ?? f ?
T A

? ? ?X ? ? ? f ?d? ? ? ?q? ? ? f ?dA

? 2 w ? ? ? f ?T

? ? ?w ? ? ? ? f ?T ? ? ? ?? f ?? ?? f ?? ?

(4.16)

?W 与虚功原理中的外力虚功相似?

B、余功
w ? ? udF
? 0 F

(4.17)

?w? ?u ?F w? ? w 仅在线弹性体条件下,图中曲线为直线时,
?x? ?q? ?F ? T T T W ? ? ? ? ? f ? d ?X ??d? ? ? ? ? ? f ? d ?q??dA ? ? ? ? f ?i d ?F ?i ? 0 ? ? 0 ? ?? A? 0 ? ? 1
n *

(4.18)

给各载荷一微小增量,即一变分

?X ? ? ?X ?? ? ?X ? ?q? ? ?q?? ? ?q? ?F ? ? ?F ?? ? ?F ?

余功增量:
?W ? ? W ? ? X ? ?X , q ? ?q, F ? ?F ? ? W ? ? X , q, F ?
1 1 ? ?W ? ? 2W ? ? ? 3W ? ? ? 2! 3!
?
n ? ? ? ? T T ?W ? ? ? ?X ? ? ? ?q? ? ? ? ?F ?i ? ??X ? ??q? 1 ??F ?i ? ?

(4.19)

? ? ?W ? ?

(4.20)
? ? ? W ? ?
2

n ? ? ? ? T T 2 ? ? W ? ? ? ?X ? ? ? ?q? ? ? ? ?F ?i ? ??X ? ??q? 1 ??F ?i ?

C、应变能 应变抵抗外力(在外力引起的应变上)所作功以变形 能形式储存的能量。 应变能密度: ? 一维: U ? ?0 ? d?
?? ?

(4.21)

三维: U ? ?0 ?? ?T d ?? ? ( 4.22)
?U ? ?? ? ??? ?

(4.23)

当外力引起的位移由 ? f ?增加到 ? f ?? ? ? f ? 时, 相应有 ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?

应变能密度增量:

?U ? U ?? ? ?? ? ? U ?? ?
? ?U ? 1 2 1 ? U ? ? 3U ? ? 2! 3!

(4.24)

?U ? ? ?? ?T ? ? U ? ? ?? ?
2 T

?U T ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ?U ? T ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?

一阶变分

(4.25)
二阶变分

应变能的一阶变分:

?U ? ? ? U d?
?

(4.26)

D、余应变能 : 曲线上方面积即定义为余应变能密度。 余应变能密度:
U ? ? ?? ? d ? ? ?
* T 0

?

(4.27) (4.28)

?u ? ? ?? ? ??? ?

? u? ? ? ?? ?

T

?u ? T ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?

(4.29)

余应变能的一阶变分

?U * ? ? ? u ? d?
?

(4.30)

E、虚位移原理的推导 物体在给定的体力 ?X ?,边界力 ?q? 条件下已处于平衡 状态,我们引入几何边界条件所允许的任一组无限小 ? 虚位移(即位移的变分) ? f ?,施加在这一平衡态物体 上, 在 S u上, u ? u , v ? v , w ? w, ? f ? ? ?f ? 且
u ? ?u ? u , v ? ?v ? v , w ? ?w ? w,

?f ?? ? ?f ? ? ?f ?

于是

?u ? 0, ?v ? 0, ?w ? 0, ? ? f ? ? ?0?

力平衡: 力边界:

? ij, j ? X i ? 0

??内?
? A? ?

? ij n j ? qi ? 0

建立一包容力平衡方程、力边界条件的等效积分形式: (4.31) 上式相当于构造了一个泛函的驻值问题,其变分即为力的平 衡方程、力的边界条件(类似于Euler方程,由预备定 理直接转换)。
? ? ? ij, j ? X i ? ? f ?d? ? ?
?

?

?

A?

??

ij

n j ? qi ? ? f ? ? 0 dA

?

可对(4.31)式直接作分部积分。

为习惯起见,展为分量形式:
?? ?? x ?? xy ?? xz ? ? ?? yx ?? y ?? yz ? ? ??u ? ? ? ? ?? ? ? ?X? ? ?x ? ?y ? ?z ? Y ??v ? ? ? ?y ?z ? ?x ? ? ? ? ? ?? zx ?? zy ?? z ? ? ? ? ? Z ??w?d? ? ? ?x ? ?y ?z ? ?

? ? ??q
A

x

? q x ?u ? q y ? q y ?v ? q z ? q z ?w dA ? 0
?? x ?? ?ud? ? ? ??? x ?u dx dy dz ? ?x ?x ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?u ? x dx?dydz A ?x ? ? ? ? ? ? ??? ?? x?u ? ? ? x ?udx?dydz ?x ? ?

?

?

? ?

? ?

第一项:

??



? ? ?u ? ?u ? ? ? ? ? ?? x ?x ? ?x ?

再采用格林积分定理,边界上 dydz ? ?ldA 第一项
? ? ?? ? x?uldA ? ? ? x?? x d?
A ?

同理,对其余各项作变换,可得到:

? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?d? ? ? ?X?u ? Y ?v ? Z ?w?d? ? ?? ??? l ? ? m ? ? n ??u ? ?? l ? ? m ? ? n ??v ? ?? l ? ? m ? ? n ??w? dA ? ?? ?q ?u ? q ?v ? q ?w?dA ? ?? ?q ?u ? q ?v ? q ?w?dA ? 0 ? ?
? x x y y xy xy yz yz zx zx ? A x xy xz yx y yz zx zy z A x y z A x y z

注意到,

?? ? ?dA ? ? ? ? ?dA ? ? ? ?dA
A A Au

? ? q ?udA ? ? q ?udA ? ?
A x A x

Au

q x?udA



?
A

Au

q x?udA ? 0
x A x

于是
由 得到,

? ? q ?udA ? ? q ?udA
? x l ? ? xy m ? ? xz n ? qx ? 0

? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?q ?u ? q ?v ? q ?w?dA ? 0 ?
? x x y y xy xy yz A x y z

yz

? ? zx ?? zx ?d? ? ? ?X?u ? Y ?v ? Z ?w?d?
?

记为矩阵形式,

? ?? ? ? ?? ?d? ? ? ?X ? ? ? f ?d? ? ? ? ?q? ? ? f ?dA ? 0
T T T ? ? A

(4.32)

第1项为应变能的一阶变分; 第2、3项为功的一阶变分; 即可改写上式为:

? 虚应变能; ? 虚功。
(4.33)

?U ? ?W

上述为小位移情况下的虚位移原理,对于满足给定几 何边界条件的任意无限小虚位移,上式成立。 力平衡方程、力边界条件的等效积分形式即为虚功原 理。

?

?

?

同样反推回去,可以证明虚功原理,即(应变能—外 力功)构成泛函的一阶变分,取驻值时对应的Euler方 程,即为力平衡方程和力边界条件。两者是等效的。 虚位移原理的完整表述:如果虚位移发生前,弹性体 处于平衡状态且满足力边界条件,那么在虚位移过程 中,外力在虚位移上所作虚功就等于应力在虚应变上 做的虚功(虚应变能)。 反之亦然:如果在虚位移发生过程中,虚功等于虚应 变能,那么在虚位移产生之前,结构处于平衡状态且 满足力边界条件。

F、虚位移原理的Euler方程 应变能的一阶变分:
?U ? ? ?? ? ? ?? ?d?
T ?

? ? [? x ?
?

? ? ? ?u ? ? y ? ?v ? ? z ? ?w ? ?x ?y ?z

? xy ? ? ? zx ?

? ? ? ? ? ? ? ? ?u ? ?v ? ? ? yz ? ?w ? ?v ? ? ?y ?y ? ?z ? ? ?y ? ? ?

? ?? ? ?u ? ?w ?] d? ?x ? ? ?z

对其中每一项作分部积分,如第一项,

? ? ?? ? x ?x ?ud? ? ??? ? x ?x ?udxdydz

? ? ? ? ?? ? ? ? x ?udx?dydz A ?x ? ?
? ? ? ? ?? ?? x?u ? ? ?u ? X dx?dydz A ?x ? ?

? ?? ? x ?udydz ? ? ?u
A

在边界上有, dydz ? ?ldA,

? ? X d? ? ?x dzdx ? ?mdA , dxdy ? ?ndA,

?U ? ?? [?? x l ? ? xy m ? ? xz n??u ? ?? xy l ? ? y m ? ? yz n??v ?

??

zx

l ? ? zy m ? ? z n??w]dA ?

A

? ?? x ?? xy ?? zx ? ? ?? yx ?? y ?? yz ? ?? [? ?x ? ?y ? ?z ??u ? ? ?x ? ?y ? ?z ??v ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? zx ?? zy ?? z ? ? ? ?x ? ?y ? ?z ??w]d? ? ? ?

由 在
Au 上

? ? ?dA ? ? ? ?dA ? ? ? ?dA
A Au A?

?u ? ?v ? ?w ? 0

? ? ?dA ? ? ? ?dA
A A?

而外力功的一阶变分:
?W ? ? X ?u ? Y?v ? Z?w d? ? ?
?

?

?

A?

?q ?u ? q ?v ? q ?w?dA
x y z

如果对于任意满足位移边界条件的虚位移都有虚功原 理成立,则
?U ? ?W

?? y ?? yz ? ?? x ?? xy ?? xz ? ? ?? ? ? ??u ? ? yx ? ?? [? ?x ? ?y ? ?z ? X ? ? ?x ?y ? ?z ? Y ??v ? ? ? ? ? ? ?? zx ?? zy ?? z ? ?? ? ?x ? ?y ? ?z ? Z ??w]d? ? ? ? ?

(4.34)

? ? {?q ? ?? l ? ? m ? ? n???u ? ?q ? ?? ? ?q ? ?? l ? ? m ? ? n ???w}dA ? 0
A x x xy xz y z zx zy z

yx

l ? ? y m ? ? yz n ? ?v

?

由于 ?u,?v,?w 的任意性,
? ?? x ?? xy ?? xz ? ? ?X ?0 ? ?y ?z ? ?x ? ?? yx ?? y ?? yz ? ? ?Y ? 0 ? ?x ?y ?z ? ? ?? zx ?? zy ?? z ? ?x ? ?y ? ?z ? Z ? 0 ?

?? x l ? ? xy m ? ? xz n ? q x ? ?? yx l ? ? y m ? ? yz n ? q y ?? l ? ? m ? ? n ? q zy z z ? zx

上二Euler方程,恰为力平衡方程和应力边界条件!

上述推导证明:虚位移原理与应力平衡方程、力边界 条件互为充要条件! 如果给定的容许虚位移满足应力边界条件,则有,
?? xy ?? xz ? ?? ? ? ?? yx ?? y ?? yz ? [? x ? ? ? X ??u ? ? ? ? ? Y ??v ?? ? ?x ?y ?z ? ? ?x ? ?y ?z ? ? ? ? ? ?? zx ?? zy ?? z ? ?? ? ? ? Z ??w]d? ? 0 ? ?x ? ?y ?z ? ?

(4.35)

上式为伽辽金变分方程。 其等价的Euler方程为:应力平衡方程!

注意: 上述推导中,仅采用了小位移下的应变—位移,即几 何关系、平衡方程,而未涉及材料本构(应力—应变) 关系。 因此,对任意材料,虚功原理均成立适用,且只适于 小变形问题。

4.3 最小势能(位能)原理
由(4.23)式,
?U ? ?? ? ??? ?

即应力可由应变能对应变的偏导所表述,这是具有普 遍意义的描述。 各向同性的弹性问题: ?? ? ? ?D??? ? 而应变能密度(4.22),
U ??
?? ?

0

?? ?T

d ?? ?

代入应力应变关系,可直接积分出;
U? 1 T ?? ? ?D ??? ? 2

(4.36)

? 注意到: ?D ?为对称矩阵, ? ?为非零列阵时,
U ?0

应变能密度为应变分量的正定函数(仅当 ?? ? 为0列阵 时, ? 0)。 U 将小位移--应变关系、即几何方程代入,应变能密度 转化为关于位移分量的函数,
2 ?? ?u ? 2 ? ?v ? 2 ? ?w ? 2 ? ? ?u ?v ?w ? U ? ?? ? ? ? ?x ?y ?z ? ? G ?? ?x ? ? ? ?y ? ? ? ?z ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?? ?v ?w ? 2 ? ?w ?u ? 2 ? ?u ?v ? 2 ? G ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ?? ?z ?y ? ? ?x ?z ? ? ?y ?x ? ? ? ? ? ? ??

(4.37)

??

E? 2?1 ? ? ??1 ? 2? ?

G?

E 2?1 ? ? ?

应变能密度的一阶变分,
? U ? ? ?T ? ?? ? ?

由(4.32)式,修改为
? ?U ?u, v, w?d? ? ? ?X ? ? ? f ? ? ? ? ?q? ? ? f ?dA ? 0 d
T T ? ? A?

(4.38)

功的一阶变分与力的变分无关,且应变能的一阶变分 也与应力的变分无关。 这样,求 ?U , ?W 时,可以合理地假设应力、力边界均 保持常数,仅研究位移的变化? f ? ? ? f ?? ? ? f ? 。 (注意:表面位移约束为给定,不计入)

外力功:
?

W ?? X

? ? ?f ?d? ? ? ?q? ?f ?dA
T T A?

(4.39) (4.40)

?W ? ? ? f ?

T

T ?w T ? ? ?X ? ? ? f ? ? ? ? ?q ? ? ? f ?dA d ? A? ?? f ?

?W ? ? ? f ?
2

T

? ? ?w ? T ?? ? f ? ? ??0 ? ?? f ?? ?? f ?? ?

系统的总势能定义为:
??u, v, w? ? ? U ?u, v, w?d? ? ? ?X ? ? f ? ? ? ? ?q ? ? f ?dA d
T T ? ? A?

??u, v, w? ? U ?u, v, w? ? W

(4.41) (4.42) (4.43)

?? ? ?U ? ?W ? 0

最小势能原理: 在所有容许位移函数中,真实的位移使得系统总势能 ? ? U ? W 取驻值,且为最小值。 证明: 设 ? f ? 和 ?f ? ? 分别为真实位移、一组容许的任意选择的 可能位移。 ? 令 ?f ? ? ? f ?? ? ? f ? , ? ? f ? 为任意微小量。

则系统总势能有增量:
?? ? ? f ? ? ? ?? f ?? 1 2 1 3 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2! 3!

?? ??

(在 ? f ? 域内展开)

其中,

?? ? ?U ? ?W
? 2 ? ? ? 2U ? ? 2W ? ? 2U

略去高阶项。 ? 在 Au 上, f ?为真实解, ? 可能位移 ?f ? ? ? f ?? ? ? f ? 应满足边界条件 于是在 Au , ? ?f ? ? 0

Au

由总势能取驻值,一阶变分

?? ? 0

2 2 且应变能为正定函数, ? ? ? ? U ? 0 ? ? f ?导出的所有应变分量为零时, ? 2 ? ? ? 2U ? 0 仅当

所以, 即,

?? ? 0
? f ? ? ??? f ??

?? ??

? ?

由于对 ? ? f ?未加限制,只有当 ? ? f ? ? 0 ,即可能位移为真 实位移时,等式成立; 而对其余 ? ? f ? ,可能位移导致的系统总势能都必将大 于真实位移下的系统总势能。 这就得到结论:真实位移解使总势能取最小值。

应用举例 系统的总势能:
??u, v, w? ? ? U ?u, v, w?d? ? ?
? ?

?x?T ? f ?d? ? ?A ?q?T ? f ?dA
?

在线性弹性条件下,

?? ? ? ?D??? ?
?? ?

应变能密度,

U ?? ?? ?
0

0

?? ?T d ?? ?

?? ?

?? ?T ?D?d ?? ?

1 T ?? ? ?D??? ? 2

???

1 T ?? ? ?D??? ?d? ? ?? ?x?T ? f ?d? ? ?A ?2 ?

?q?T ? f ?dA

? U ?W

单元节点位移为 ?? ?e
e 单元位移模式: ? f ? ? ?N ??? ?

单元应变: 1 单元内部的应变能: U e ? ?? ?? ?T ?D??? ?d?
e

?? ? ? ?B??? ?e

单元刚度:

2 T 1 T ? ? e ? e ?B ? ?D??B ? ? e d? ? 2 T 1 e ? ? e ?k ? ? e 2

? ?

? ?

? ?
e

? ?

?k ?e ? ?? ?B?T ?D??B?d?

结构内的总应变能:
m m e

1 U ? ?U ? ? ? e e?1 e?1 2

? ? ?k ? ?? ?
T e

e

将所有节点位移分量重排为一列阵,按总节点编号排序 ?? ?
U? 1 T ?? ? ?k ??? ? 2

其中, ?k ? ? ? ?k ?
e ?1

m

e

当结构分为m个单元后,总的外力功即为各单元上外力功值 简单代数和:
T T W ? ? ? ? e ? f ? ?X ?d? ? ? e ? f ? ?q?dA? ? ? ? A? ? ? e ?1 m

? ?? ? e ? e ? ? e ?1 ?

m

? ? ?N ? ?X ?d? ? ? ?? ? ?N ??q?dA? ? ?
T T e T
e A?

令,

?N ?T ?X ?d? ? ?Qx ? ??
e

e

?N ??q?dA ? ?Qq ?e ?A
?
e

则,

W ??
e ?1 m

m

??? ? ?Q ? ? ?? ? ?Q ? ?
e T e e T e x q

?? ? e
e ?1

? ? ??Q ? ? ?Q ? ?
T e e x q

同样,按总节点编号排序 ?? ?
W ? ? ? ?Q? ?
T
e e 其中, ?Q? ? ? ??Qx ? ? ?Qq ? ? m e ?1

结构的总势能:

??

1 T ?? ? ?k ??? ? ? ?? ?T ?Q? 2

结构总势能已经离散为节点位移的多元函数,但是一 个有限自由度的泛函。 由泛函数值条件, ?? ? 0 即最小势能原理, 转换为多元函数的极值条件,则,
?? ?0 ?? i

?i ? 1,2,?, N , N总自由度数?

结构总势能的一阶变分,

?? ? ?k ??? ?? ?Q? ? 0
最后得到有限元方程:

?k ??? ? ? ?Q?

注意: ? 上式是由最小势能原理导出的结构有限元方程,对于 所有线弹性问题,具有普遍适用性。 ? 与前面讨论的由虚位移原理建立有限元方程相比较, 其差异在于,不必引入虚拟节点力概念,不涉及到单 元节点力作虚功; ? 只要存在物理问题的泛函,就可以采用有限元方法求 解?

讨论: 当外载荷为集中载 ?F ? ,在弹性变形过程中, ?F ?由 ?0? 载比 例加到 ?F ? ,变形由 ?0? ? ???

外力功:
应变能: 且,

W? ?

1 ?F ?T ??? 2

T 1 U ? ? ?? ? ?D ??? ?d? 2 ?

U ?W?

而在总势能定义中,

? ? U ?W
W ? ?F? ???
T

于是,

? ? W ? ?W ? ?

1 ?F ?T ??? ? ?U 2

当总势能最小时,对应的应变能就为最大。 ? 由于有限元中,对单元的位移模式作了限定,相当于 附加了约束,这就导致单元过于刚硬,刚性较大而变 形较弱。所以最后导致应变能总是偏低,对应的总势 能实际上达不到其最小,达不到真解。 因此近似解的结构变形能总是小于真解的,基于最小 势能原理的有限元位移解都是偏小的 。 当单元尺度缩小时,变形解趋于真解呈单调趋近。数 值解则给出真实解的下界。

?
?

4.4 Ritz法
虚位移原理:与力平衡方程、力边界条件具有等价的表现形 式,是同一物理问题的不同描述, 相互等效。 提供了新思路:可将应变能表示为位移函数的泛函,可以将 系统总势能表示为位移函数的泛函,这样就可寻找满 足一定已知边界条件的位移函数,只要它们能使得这 一泛函取驻值,它们就成为了原始物理问题的真解。 而实际上,并不能总是找到这类位移函数;但是可以 容易找到其近似函数,比如有限项的多项式的位移模 式(且包含若干待定系数),通过变分原理,确定其 待定系数 ,从而建立原问题的近似解,这就是位移变 分法。

由Rayleigh和Ritz提出,即为Ritz法 标准过程: 设未知函数由一簇带有待定参数的试探函数表示,

?u? ? ?u? ? ? ?N i ??ai ? ? ?N ??a?
n i ?1

?a? 为待定系数,[N ]为已知函数

(4.44)

将之代入对应问题的泛函 ? ,泛函的变分相当于将泛 函对所包含的待定参数进行全微分。
?? ?

(4.45) 泛函取驻值 ?? ? 0 ,由于 ?a1 , ?a2 ? 的任意性,则所有 ?? ?a i 均应等于零,从而得到一组方程:

?? ?? ?? ?a1 ? ?a2 ? ? ? ?an ?a1 ?a2 ?an

?a? 定则 ?u ? 定,问题求解。
弹性力学问题: 设位移分量

? ?? ? ? ?a ? ? 1? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?a 2 ? ? 0 ??a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?a n ? ? ?

(4.46)

n ? ? u ? u 0 ? ? Am u m m ?1 ? m ? ? v ? v 0 ? ? Bm v m m ?1 ? m ?w ? w ? C w ?1 m m 0 ? m? ?

(4.47)

Am , Bm , Cm为互相独立的任意系数



u 0 , v0 , w0 在边界 Au 上等于已知位移:
u0 ? u , v0 ? v , w0 ? w
um , vm , wm 为线性无关函数,在边界 Au 上满足下列条件



um ? 0 , vm ? 0 , wm ? 0

?m ? 1,2,?, n?

这样,不论系数 Am , Bm , Cm 取何值,(4.47)假定的位移总 能满足位移边界条件。 位移的变分可由系数的变分实现:

n ? ? ?u ? ? u m ?Am m ?1 ? n ? ? ?v ? ? u m ?Bm m ?1 ? n ??w ? u ?C ?1 m m ? m? ?

(4.48)

应变能的变分:
?U ? ? ? ?
n

? ?U ? ?U ?U ?Am ? ?Bm ? ?C m ? ? ?Bm ?C m m ?1 ? ?Am ?
n

(4.49)

功的变分(参见4.39式):
?W ? ? ? ? Xu m d? ? ? q x u m dA??Am ? ?
m ?1

?

?

A?

?

? ? ? ? Y vm d? ? ? q y vm dA??Bm ? ? ? A? ? ? m ?1 ? ? ? ? Z wm d? ? ? q z wm dA??Cm ? ? ? A? ? ? m ?1
n

n

(4.50)

代入虚功方程:
n

?U ? ?W ? 0

? ?U ? ? ? ? X u m d? ? ? q x u m dA??Am ?1 ? ?A ? ? A? m? ? m ? n ? ?U ? ? ?? ? ? Y vm d? ? ? q y vm dA??Bm ? ? ? A? m ?1 ? ?Bm ? ? ?U ? ? ?? ? ? Z wm d? ? ? q z wm dA??C m ? 0 ? ? ? A? m ?1 ? ?C m ?
n

因为 ?A

m

, ?Bm , ?Cm

的完全任意性
? ?U ? ? X u m d? ? ? q x u m dA ? ? A? ?Am ? ? ?U ? ? Y v m d? ? ? q y v m dA ? ? A? ?Bm ? ? ?U ? ? Z wm d? ? ? q z wm dA? ? A? ?C m ?

(4.51)
m ? 1,2,?, n

应变能为系数Am , Bm , Cm 的二次函数,上式即为一线性方 程组,可求得所有待定系数,从而确定(4.47)式。 一般地,对于二次泛函? ,通过取一阶变分 ?? ? 0 求其 驻值,可建立一组关于待定系数的线性方程组:
?? ? ?k ??a?? ?P? ? 0 ??a?

(4.52)



?? 的变分, ??a?

? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??a1 ? ? ??a2 ? ? ? ? ?a1 ? ??a1 ?? ?a2 ? ??a1 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? ?k A ?? ?a? ? ??a?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??a1 ? ? ??a2 ? ?? ? ?a1 ? ??an ?? ?a2 ? ??an ?? ? ? ? ? ? ? ? ?

(4.53)

子矩阵:

k Aij k A ji

? 2? ? ?ai ?a j ? 2? ? ?a j ?ai
T



k Aij ? k A ji

?k A ? 为对阵矩阵!
直接对(4.52)作变分:
?? ?
? ?? ? ? ? ?k ?? ?a? ? ? ??a??

比较(4.53)、(4.54),则 ?k ? 亦为对阵矩阵!

(4.54)

通过变分后,待定系数的矩阵为一对称矩阵,? 有限 元方程中的?k ? 为对称矩阵的理论依据! Ritz法的一些基本性质: ① 当试探函数族的范围、待定系数数目增多时,近似 解精度提高; ~ n ② 近似函数为 ? ? ? ? ? Ni ai ,n ? ? 时,近似解趋于真 1 解的条件是:

试探函数

N1, N2 ,? Nn

应取向完全函数系列;

试探函数应满足 Cm?1 阶连续性要求,即? ?? ? 中 的函数最高微分阶数为m时,试探函数的m-1阶导数应 该连续,以保证泛函的积分存在。 此时,n ? ? 才有 ~ ? ? ? ,且 ??? ? 单调收敛,泛函才具有极值性。

③ Ritz法以变分原理为基础;收敛性有严格的理论基 础,且得到的系数矩阵为对称的,在场函数事先满足 强制边界条件下,解有明确的上下界性质; ④ 问题:求解域比较复杂时,难以选择满足边界条件 的试探函数;要提高近似解精度,需增加待定系数, 增加试探函数项数,随即增加了求解的繁杂性;

伽辽金法: 在(4.34),若选择的位移表达式(4.47)除了满足位移 边界条件外,也满足力边界条件,虚功原理对于任何 容许位移都成立,就可导出一种新的变分方程,伽辽 金变分方程:
?? xy ?? xz ?? xy ?? xz ? ?? ? ? ?? ? [? x ? ? ? X ??u ? ? x ? ? ? Y ??v ?? ? ?x ?y ?z ? ? ?x ? ?y ?z ? ? ? ? ?? zy ?? z ? ?? ? ? ? zx ? ? ? Z ??w]d? ? 0 ? ?x ? ?y ?z ? ?

(4.55)

由 ?u, ?v, ?w 的任意性,(4.55)与应力平衡方程等价。 将(4.47)代入(4.55),

n ? ?? x ?? xy ?? xz ? ? ?? ? ?x ? ?y ? ?z ? X ?um d? ? ?Am ? ? ?? ? ? m ?1 m ?1 ? ? n ?? zy ?? z ? ?? ? ? ? ? ? zx ? ? ? Z ? wm d? ? ?C m ? 0 ? ? ? ?x ?y ?z m ?1 ? ? n

? ?? x ?? xy ?? xz ? ? ? ? ? Y ?vm d? ? ?Bm ? ?x ? ?y ?z ? ?

? 由于 Am , ?Bm , ?Cm 的任意性,
? ? ?? x ?? xy ?? xz ? ? ? ? ? X ?u m d? ? 0 ? ?? ? ? ?y ?z ? ? ? ?x ? ? ?? x ?? xy ?? xz ? ? ? ? ? ? Y ?vm d? ? 0 ? ?? ? ? ?y ?z ? ?x ? ? ? ? ?? zx ?? zy ?? z ? ? ? ? ? Z ? wm d? ? 0 ??? ? ? ?y ?z ? ? ?x ? ?

(4.56)

m ? 1,2,?, n

进一步,将其中的应力以应变取代、再以位移取代,即可解 出待定系数 Am , Bm , Cm 。

4.5 虚位移原理,最小势能原理,Ritz法与有限单元 法之联系
虚位移原理: ? 采用了小变形的应变—位移(几何)关系、平衡方程; ? 未涉及材料的应力—应变(本构)关系(即物理方 程); ? 为应力平衡方程、力边界条件的等效积分形式; ? 其Euler方程,即为应力平衡方程和力边界条件。

最小势能原理: ? 从虚位移原理出发; ? 引入了线弹性的应力应变关系; ? 系统总势能,即为位移函数的泛函,最小势能原理即 代表了其泛函的驻值; ? ? 引入弹性矩阵后,应变能为正定函数,U ? 0 ,才保证 ? 2 ? ? 0 , 从而得到 ?? ? 0 时为最小值; 了 ? 所求位移近似解对应的弹性变形能为真实能的下界, 位移场总体偏 小。(简单理解:变形能与位移成比例 递增,当位移模式略去高阶量后,近似的变形能将低 于真实的变形能)

Ritz法: ? ? 以虚位移原理或最小势能原理为基础; 直接假定符合条件的位移函数作为容许函数,应变能 转换为位移函数的泛函; 通过泛函变分、位移变分、系数变分,确定位移函数 的待定系数; 位移函数须在整个求解域内连续,且满足(位移)几 何边界条件。

?
?

有限元法: ? 以虚位移原理、Ritz法、或最小势能原理为基础,在 Ritz法基础上发展,本质上类似于Ritz法;

?

位移函数只是要求在单元域内连续,在全域内并非完 全连续,且仅需 Cm?1 阶连续性; 通过泛函变分、位移变分、节点位移变分,建立有限 元方程,直接求解节点位移。

?

4.6 加权残数法 一种直接求解控制方程的近似方法。适于力学、及其 它工程问题。 当不能建立与控制方程等效的泛函驻值问题,即不能 找到一个泛函,使其取驻值时导出的Euler方程为控制 方程时,就可采用这种方法来求解,并导出相应的有 限元方程。 设
?F? ? f ? 0 ? ?G? ? g ? 0 域内,控制方程 边界条件

(4.57)

F、G为微分算子,? 待求函数,f,g不含 ? 的已知函数

选择一试探函数:
? ? ? Cr? r
r ?1

~

n

(4.58)

C r 待定系数, ? r 试探函数项(冪函数、三角函数等)

代入控制方程、边界条件后,存在误差 R, Rb
? R ? F? ? f ? ? R b ? G? ? g

(4.59)

如何消除这些误差?可采用加权平均的方式使得这些 误差分别在求解域内、边界上总体消除,化为零值 (仅总体意义上)
? R ?Wr d? ? 0 ??? ? ??? Rb ?Wb dA ? 0 ?

?r ? 1,2,?, n ?Wr内部权函数
Wb 边界权函数

(4.60)

注意: 这一方式对整个求解域是存在问题的,因为并不能消 除各部位的误差; 实际更关心的是内部各点、表面各点的状态。如果将 这种域缩小到每一单元内部,是有意义的。 问题关键: 确定权函数 求解(4.60),即能定出待定系数 Cr

具体处理时分为几种不同的方式: 最小二乘法、伽辽金法、配点法、力矩法(积分法)

A、最小二乘法 利用误差平方和最小原理求出权函数。
~ n ~ 设 ? 已经满足边界条件, ? ? ? Cr? r
1

则仅有域内误差: R ? F? ? f 令其平方和为最小,方差 由泛函驻值定义,
I ?C r ? ? ? R 2 d?
?

~

?I ?Cr ? ?I (Cr ) ? 0 ? ?0 ?Cr

?
权函数:

?

R?

?R d? ? 0 ?Cr

?R Wr ? ?Cr

r ? 1,2,?, n

直接求解之,得到 C r ,

Cr ? ?

~

B、伽辽金法 ~ n 设权函数 Wr 即为 ? ? ? Cr? r 中对应的 ?r 项。
1

(4.60)转换为:

? ? n ? ? F ? Cr? r ? f ? ? ? r d? ? 0 ??? ? ? 1 ? ? ? n ? ? G ? Cr? r ? g ? ? ? r dA ? 0 ? ? ?A ? 1 ? ?

特征:在多数情况下,得到的求解方程系数矩阵为对称的; 当存在相应的泛函时,伽辽金法与变分法的结果相同。 注意: 一般用加权余量法建立有限元方程时,都采用伽辽金 法;且选取单元的位移函数为试探函数,其形函数为 权函数。

? ? ? N r ?? ?e 1 C、其它
~
? ? ?

n

Wr ? N r

则?? ? ? Cr
e

配点法:强迫余量在域内n个点等于零值。 子域法:强迫余量在n个子域内的积分为零。 力矩法:分别取权函数 W j ? 1, x, x 2 ,?等

例题:求解二阶常微分方程(控制方程)
d 2u ?u ? x ? 0 2 dx

?0 ? x ? 1?
x ? 1, u ? 0

边界条件:

x ? 0,
u?

u ? 0;

精确解:
设近似解:

sin x ?x sin 1

u ? x?1 ? x ??a1 ? a2 x ? ??

近似解满足给定边界条件,但显然不满足微分方程, 在求解域内存在余量R,余量的加权积分在求解域内应 为零值。 1

? W Rdx ? 0
0 i

近似解u中可取一项或n项,项数增加,精度提高。 ~ u1 ? a1 x?1 ? x ? 当n=1时,
2 代入控制方程,余量 R1 ?x? ? x ? a1 ?? 2 ? x ? x ?

当n=2时,

~ u2 ? x?1 ? x ??a1 ? a2 x ?
R2 ?x? ? x ? a1 ? 2 ? x ? x 2 ? a2 2 ? 6x ? x 2 ? x 3

?

?

?

?

最小二乘法求解: 余量的2次方 R 2 (即方差)在求解域内积分值为零。 令
I ? ? R 2 d?
?

?I ?ar ? ?I (ar ) ? 0 ? ?0 ?ar
?R ??R ?ai d? ? 0

?i ? 1,2,?, n?

n=1时

R1 ?x? ? x ? a1 ? 2 ? x ? x 2
W1 ?
1

?

?

?R1 ? ?2 ? x ? x 2 ?a1
2 2 1

? ?x ? a ?? 2 ? x ? x ???? 2 ? x ? x ?dx ? 0
0

a1 ? 0.2723
~ u1 ? 0.2723x?1 ? x ?

n=2时
W1 ? ?R1 ? ?2 ? x ? x 2 ?a1
?R2 ? 2 ? 6x ? x 2 ? x3 ?a2

W2 ?

?R2 ?1 ??0 R2 ? ?a dx ? 0 ? 1 ?1 ?R ?? R2 ? 2 dx ? 0 ?0 ?a2 ?

a1 ? 0.1875 a2 ? 0.1695 ,

~ u2 ? x?1 ? x??0.1875? 0.1695x?

伽辽金法求解
~ u1 ? N1a1 ? a1 x?1 ? x ?
W1 ? N1 ? x?1 ? x ?

? N R ( x)dx ? 0
0 1 1

1

? a1 ? 0.2778

~ u2 ? N1a1 ? N 2 a2 ? a1 x(1 ? x) ? a2 x(1 ? x) x
W1 ? x(1 ? x)
? 1W R ?x ?dx ? 0 ? ?0 1 2 ?1 ??0 W2 R2 ?x ?dx ? 0 ?

W 2? x 2 (1 ? x)
? a ? 0.1924 ? ? 1 ?a2 ? 0.1707

~ u2 ? x?1 ? x ??0.187 ? 0.1695 x ?

与精确解之比较,取具体的一些x值。
x ? 0.25 u精确解 一阶近似: 最小二乘法 伽辽金法 二阶近似: 最小二乘法 伽辽金法 0.04401 0.05106 0.05208 0.04310 0.04408 x ? 0.5 0.06975 0.06808 0.06944 0.06806 0.06944 x ? 0.75 0.06006 0.05106 0.05208 0.05899 0.06008

比较之,伽辽金法具有较高精度;增加近似解项数,精度进 一步提高。

第四章作业
1、论述Ritz法与有限元法的相同点和主要差异。 2、利用最小势能原理推导空间四面体单元的刚度方程。 3、导出相应于下列泛函驻值条件的Euler方程,
2 2 2 ? 1 ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2C? ?d? 2 ? ?? ?x ? ? ?y ? ? ?z ? ? ? ? ? ?

式中 ? 为宗量,xyz 为变量,C为常数,已知边界A上? A ? ?0 。 4、由虚位移原理导出力平衡方程和应力边界条件。 5、当用一个单元模拟一简单实体时,能否求其真实解,为 什么?证明之。


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