当前位置:首页 >> 数学 >>

【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)8.2直线的位置关系、点到直线的距离 理 新人教B版


第二节 两条直线的位置关系、点到 直线的距离

三年2考

高考指数:★

1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直;

2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平

行直线间的距离.
<

br /> 1.两条直线的平行与垂直是非常重要的位置关系,因此高考中

对直线的考查多以此为载体.
2.两点间距离公式、点到直线的距离公式,两平行线间的距离

公式是高考考查的重点.
3.常在与圆、椭圆、双曲线、抛物线的交汇处命题.

1.两条直线的位置关系
斜截式 方程 相交 y=k1x+b1 y=k2x+b2 k1≠k2 一般式 A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0) A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)
A1B2 ? A2 B1 ? 0 或

A1 B1 ? (A 2 B2 ? 0) A 2 B2

垂直

1 k1 ? ? 或k1k 2 ? ?1 k2

A1A2+B1B2=0 或当B1B2≠0时,记为
A1 A 2 ? ? ?1 B1 B2

斜截式

一般式

A1B2 ? A2 B1 ? 0,而B1C2 ? C1B2 ? 0
平行 k1=k2且b1≠b2 _______________

或A2C1 ? A1C2 ? 0; A1 B1 C1 或 ? ? (A 2 B2C2 ? 0) A 2 B2 C2

A1 ? ?A2 ,B1 ? ?B2 ,C1 ? ?C2 (? ? 0)
重合

k1=k2且b1=b2 _____________

A1 B1 C1 或 ? ? (A 2 B2C2 ? 0) A2 B2 C2

【即时应用】

(1)思考:两直线的斜率相等和斜率乘积为-1各是两直线平行、
垂直的什么条件? 提示:①两直线的斜率相等是两直线平行的既不充分也不必要 条件. ②两直线斜率乘积为-1是两直线垂直的充分不必要条件.

(2)已知直线l1过点A(-1,1)和B(-2,-1),直线l2过点C(1,0)和 D(0,a),若l1∥l2,则a的值为_________. 【解析】l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2, 可知a=-2. 答案:-2

2.两条直线的交点坐标

设两条直线的方程为:
l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 交点坐标 则两条直线的__________就是方程组

?A1 y+B1 y+C1 =0 ? ?A 2 y+B2 y+C2 =0

的解,

相交 交点的坐标 (1)若方程组有惟一解,则两条直线_____,此解就是__________; 无公共点 平行 (2)若方程组无解,则两条直线_________,此时两条直线_____, 反之,亦成立.

【即时应用】 (1)思考:如何用两直线的交点判断两直线的位置关系? 提示:当两直线有一个交点时,两直线相交;没有交点时,两直 线平行;有无数个交点时,两直线重合.

(2)直线l1:5x+2y-6=0与l2:3x-5y-16=0的交点P的坐标是____. 【解析】 由直线l1与l2所组成的方程组
?5x ? 2y ? 6 ? 0 ? ?3x ? 5y ? 16 ? 0

解得: ?

?x ? 2 , ? y ? ?2

∴直线l1:5x+2y-6=0与l2:3x-5y-16=0的交点P的坐标是(2,-2). 答案:(2,-2)

(3)直线l1:5x+2y-6=0与l2:5x+2y-16=0的位置关系是_____. 【解析】∵由直线l1与l2所组成的方程组
?5x ? 2y ? 6 ? 0 无解,∴直线l1与l2平行. ? ?5x ? 2y ? 16 ? 0

答案:平行

3.距离
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之 间的距离 点P0(x0,y0)到直线

? x 2 ? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ? |p p |=_____________________
2 2

1 2

Ax 0 ? By 0 ? C A 2 ? B2 d=______________ C1 ? C2 A 2 ? B2 d=____________

l:Ax+By+C=0的距离
两条平行线Ax+By+C1=0 与Ax+By+C2=0间的距离

【即时应用】

(1)原点到直线x+2y-5=0的距离是_____________;
(2)已知A(a,-5),B(0,10),|AB|=17,则a=________; (3)两平行线y=2x与2x-y=-5间的距离为___________.

【解析】(1)因为d=

0 ? 2?0 ? 5 1 ?2
2 2

? 5.

(2)依题设及两点间的距离公式得:

? a ? 0 ? ? ? ?5 ? 10 ?
2

2

? 17 ,解得:a=〒8;

(3)因为两平行线方程可化为:2x-y=0与2x-y+5=0. 因此,两平行线间的距离为:d=
5?0 ? 5 . 2 2 2 ?1

答案:(1) 5

(2)〒8

(3) 5

直线平行、垂直关系的判断及应用

【方法点睛】
两直线平行、垂直的判断方法

(1)已知两直线的斜率存在
①两直线平行?两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等; ②两直线垂直?两直线的斜率之积等于-1;

(2)已知两直线的一般方程 可利用直线方程求出斜率,转化为第一种方法,或利用以下方 法求解:

直线方程 l1与l2垂直 的充要条件 l1与l2平行 的充分条件 l1与l2相交 的充分条件 l1与l2重合 的充分条件

l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0) l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)

A1A2+B1B2=0
A1 B1 C1 ? ? (A 2 B2C2 ? 0) A 2 B2 C2 A1 B1 ? (A 2 B2 ? 0) A 2 B2 A1 B1 C1 ? ? (A 2 B2C2 ? 0) A 2 B2 C2

【例1】(1)“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直”的(
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (2)已知过点A(-2,m),B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m的 值为__________;

)

(3)已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1),B(1,0),
C(3,2),求第四个顶点D的坐标.

【解题指南】(1)本题关键是看由a=1是否能得出两直线垂直, 由两直线垂直是否能得出a=1;(2)可根据两直线平行,斜率相 等,得出一个等式,解方程即可求值;(3)设所求点的坐标为 D(x,y),利用长方形的性质得出关于x、y的方程组,解方程组 即可得出D点的坐标.

【规范解答】(1)选C.当a=1时,直线x-ay=0可化为x-y=0, 此时x+y=0和直线x-y=0相互垂直;

当直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直时,1〓1+1〓(-a)=0,
解得:a=1,

因此,“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直”的充要条
件.

(2)因为直线2x+y-1=0的斜率k=-2, 又因为过A(-2,m),B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行, 所以
4?m ? ?2 ,解得m=-8. m?2

答案:-8

(3)设D点的坐标为(x,y),因为四边形ABCD为长方形,所以,
?k CD ? k AB , ? ?k AD ?k CD ? ?1
? y ? 2 1? 0 ? x ? 3 ? 0 ?1 ? 即? ? y ? 1 ?y ? 2 ? ?1 , ?x ? 0 x ?3 ?

x?2 解得 ? ? ?y ? 3

,即点D的坐标为(2,3).

【反思·感悟】通过本例的解析过程可知,处理两直线的位置 关系,在两直线斜率都存在的前提下,利用两直线的斜率和在y

轴上的截距去处理;若直线的斜率不存在,则可考虑数形结合.

两直线的交点问题 【方法点睛】

1.两直线交点的求法
求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以

方程组的解为坐标的点即为交点;
2.过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0.(不包括直线A2x+B2y+C2=0)

【例2】(1)求经过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点,且也经过 点A(8,-4)的直线方程为______________;

(2)已知两直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0,若l1与l2相交,求
实数m、n满足的条件.

【解题指南】(1)可求出两直线的交点坐标,用两点式解决;也可
用过两直线交点的直线系解决;(2)两直线相交可考虑直线斜率之 间的关系,从而得到m、n满足的条件.

【规范解答】 (1)方法一:因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点坐标为(-2,1),

直线又过A(8,-4),所以所求直线方程为:
y ? 4 x ?8 ,即x+2y=0; ? 1 ? 4 ?2 ? 8

方法二:设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程为,
又因为直线过A(8,-4),所以8-4+1+λ(8+4+3)=0,

解得:λ=- 1 ,所以,所求直线方程为x+2y=0.
3

答案:x+2y=0

(2)因为两直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0相交,
1 n 因此①当m=0时,l1的方程为y=- ,l2的方程为x= ,两直线相 2 8

交,此时,实数m、n满足的条件为m=0,n∈R;②当m≠0时,
∵两直线相交,
8 m ∴ ≠ ,解得m≠〒4,此时,实数m、n满足的条件为m≠〒4, m 2

n∈R. 由①②可得m、n满足的条件是m≠〒4,n∈R.

【反思·感悟】1.本例(1)中是求直线方程,其关键是寻找确定 直线的两个条件,可以直接求交点,利用两点式得出方程,此法要

注意两点的纵(或横)坐标相同时,两点式方程不适用,也可以利
用直线系方程求解,其关键是利用已知点求λ的值;

2.考查两直线相交的条件,即斜率不等或有一条直线的斜率不存
在.

距离公式的应用 【方法点睛】 1.两点间的距离的求法 设点A(xA,yA),B(xB,yB),则 |AB|=
2 2 x A ? x B ? ? ? yA ? yB ? . ?

特例:AB⊥x轴时,|AB|=|yA-yB|

AB⊥y轴时,|AB|=|xA-xB|.

2.点到直线的距离的求法

可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程
必须为一般式. 3.两平行直线间的距离的求法 (1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任 意一点到另一条直线的距离.

(2)利用两平行线间的距离公式.
【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行直

线方程中x、y的系数必须相等.

【例3】已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y -1=0,且l1与l2的距离是
7 10 5.

(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:

①P是第一象限的点;
1 ②P点到l1的距离是P点到l2的距离的 ; 2

③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 标;若不能,说明理由.

2 5 .若能,求P点坐 ∶

【解题指南】(1)由l1与l2的距离及两平行线之间的距离公式,可 得关于a的方程,解方程即可得出a的值; (2)由点P(x0,y0)满足②③条件可得出关于x0、y0的方程组,解方 程组,即可求出点P的坐标,注意验证是否适合条件①.

1 【规范解答】(1)l2为2x-y- =0, 2

∴l1与l2的距离为 d ? ∵a>0,∴a=3.

1 a ? (? ) 2 22 ? ? ?1?
2

?

7 5 . 10

(2)设存在第一象限的点P(x0,y0)满足条件②,则P点在与l1、l2平

行的直线l′:2x-y+c=0上且
1 c?3 1 2 ? ? , 2 5 5 13 11 即c= 或c= , 2 6 c?

∴2x0-y0+

11 13 =0或2x0-y0+ =0. 6 2

若P点满足条件③,由点到直线的距离公式有:
| 2x 0 ? y 0 ? 3 | 2 | x 0 ? y 0 ? 1| ? ? , 5 5 2

即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, ∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0. ∵P在第一象限, ∴3x0+2=0不可能.

联立方程2x0-y0+ 13 =0和

2? x ? ?3 ? 0 x0-2y0+4=0,解得 ? 1 , (舍去), ? y0 ? 2 ? 1 ? x ? 11 ? ? 0 9 , ? 2x 0 ? y 0 ? ? 0 ,得 ? 由 ? 6 ? ? y ? 37 ? x 0 ? 2y 0 ? 4 ? 0 ? ? 0 18 ? 1 37 ∴存在P( , )同时满足条件①②③. 18 9

【反思·感悟】在解答本题时,首先要根据题设条件,由点到 直线的距离公式、两平行线间的距离公式得出方程(组),这是

很关键的问题;另外,还要注意每种距离公式所要求的条件,
以防漏解、错解.

对称问题 【方法点睛】 1.对称中心的求法 若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称,则由中点公式求
x1 ? x 2 y1 ? y 2 ,b ? 得a、b的值,即 a ? ; 2 2

2.轴对称的两个公式 若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A≠0)对称, 则线段MN的中点在对称轴l上,而且连接MN的直线垂直于对称轴l. 故有
y ? y2 ? x1 ? x 2 A( ) ? B( 1 )?C ?0 ? 2 2 ? ?y ? y B 2 ? 1 ? ? x1 ? x 2 A ? ① . ②

3.对称问题的类型 (1)点关于点对称;(2)点关于直线对称; (3)直线关于点对称;(4)直线关于直线对称.

以上各种对称问题最终化归为点关于点对称、点关于直线对称.

4.对称问题的具体应用

(1)在直线上求一点,使它到两定点距离之和最小问题
①当两定点分别在直线的异侧时,两点连线与直线的交点即为

所求;
②当两定点在直线的同一侧时,可借助于点关于直线对称,将 问题转化为①情形来解决.

(2)在直线上求一点,使它到两定点距离之差的绝对值最大问题 ①当两定点在直线的同一侧时,利用三角形的两边之差小于第 三边,可知两定点的连线与直线的交点即为所求; ②当两定点分别在直线的异侧时,可借助于点关于直线对称,

将问题转化为①情形解决.

【例4】求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b 的方程. 【解题指南】可设法找到两个点,由两点式即可求出方程;本 题还可利用求曲线方程的方法求解,设所求曲线上任意一点, 由该点关于直线l的对称点在已知曲线上,即可求得.

?2x ? y ? 4 ? 0 【规范解答】方法一:由 ? 解得直线a与l的交点 ?3x ? 4y ? 1 ? 0

E(3,-2),E点也在直线b上.
在直线a:2x+y-4=0上取一点A(2,0),设A点关于直线l的对称点B 的坐标为(x0,y0),
? y0 ? 0 4 ?x ? 2 ? 3 8 4 ? 0 由 ? ,解得B( ,- ). 5 5 2 ? x0 0 ? y0 ?3 ? ? 4? ?1 ? 0 ? 2 2 ?

由两点式得直线b的方程为
y ? ? ?2 ? x ?3 ? , 8 4 ? ? ? ?2 ? ?3 5 5

即2x+11y+16=0.

方法二:设直线b上的动点P(x,y)关于l:3x+4y-1=0的对 称点为Q(x0,y0).则
? y0 ? y 4 , ?x ? x ? 3 ? 0 ? ?3 ? x ? x 0 ? 4 ? y ? y 0 ? 1 ? 0 ? 2 2 ?
7x ? 24y ? 6 ? x0 ? ? ? 25 解上式得: , ? ? y ? ?24x ? 7y ? 8 ? 0 25 ?

由于Q(x0,y0)在直线a:2x+y-4=0上,则
2? 7x ? 24y ? 6 ?24x ? 7y ? 8 ? ? 4 ? 0, 25 25

化简得2x+11y+16=0是所求的直线b的方程.

【反思·感悟】1.此题是求直线关于直线对称的直线方程,通 过求解本题,我们可体会到求直(曲)线的对称直(曲)线方程时 可以转化为求点的对称点坐标来求解. 2.利用两点式求直线方程要注意两点横坐标相等或纵坐标相等 的情形,此时可直接写出直线方程.

【创新探究】新定义下的直线方程问题 【典例】(2012·上海模拟)在平面直角坐标系中,设点P(x,y), 定义[OP]=|x|+|y|,其中O为坐标原点. 对于以下结论:①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积 为2; ②设P为直线 5 x+2y-2=0上任意一点,则[OP]的最小值为1;

其中正确的结论有_____(填上你认为正确的所有结论的序号) .

【解题指南】①根据新定义,讨论x的取值,得到y与x的分段函

数关系式,画出分段函数的图象,即可求出该图形的面积;②认
真观察直线方程,可举一个反例,得到[OP]的最小值为1是假命

题.

【规范解答】①由[OP]=1,根据新定义得: |x|+|y|=1,

上式可化为:y=-x+1(0≤x≤1),y=-x-1(-1≤x≤0),y=x+1
(-1≤x≤0),y=x-1(0≤x≤1),画出图象如图所示:

根据图形得到:四边形ABCD为边长是 2 的正方形,所以面积等 于2,故①正确;
2 2 ②当点P为( ,0)时,[OP]=|x|+|y|= +0<1, 5 5

所以[OP]的最小值不为1,故②错误;

所以正确的结论有:①.
答案:①

【阅卷人点拨】

通过对本题的深入研究,我们可以得到以下创新点拨和备考建议:

本题有以下两处创新点: 创 (1)考查内容的创新,使解析几何问题与函数知识巧妙结合 新 进行考查. 点 拨 (2)考查对新定义、新概念的理解与运用,同时考查思维的创 新,本题考查了学生的发散思维,思维方向与习惯思维不同.

解决新概念、新定义的创新问题时,要注意以下几点: 备 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延;

考 (2)对于新概念、新结论要具体化,举几个具体的例子,
建 代入几个特殊值; 议 (3)注意新概念、新结论正用怎样,逆用又将如何,变形 将会如何.

1.(2012·洛阳模拟)如图,已知A(4,0)、 B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线 AB反射后再射到直线OB上,最后经直线 OB反射后又回到P点,则光线所经过的 路程是( )

(A)2 10

(B)6

(C)3 3

(D)2 5

【解析】选A.点P关于y轴的对称点P′的坐标是(-2,0),设点P
关于直线AB:x+y-4=0的对称点为P′′(a,b),
?b ? 0 ? a ? 2 ? ? ?1? ? ?1 则 ? ? ?a ? 2 ? b ? 0 ? 4 ? 0 ? 2 2 ?

?a ? 4 ? ? , ?b ? 2

∴光线所经过的路程|P′P′′|=2 10 . 故选A.

2.(2012·济南模拟)若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂 直,则l的方程为( )

(A)4x-y-3=0
(C)4x-y+3=0

(B)x+4y-5=0
(D)x+4y+3=0

【解析】选A.令y′=4x3=4,得x=1,∴切点为(1,1),l的斜率为4.
故l的方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.

3.(2012·聊城模拟)若点P是曲线y=x2上的任意点,则点P到直 线y=x-2的最小距离为________. 【解析】在曲线y=x2上任取一点P(x0,y0),则点P到直线y=x-2的 距离为:x 0 ? y0 ? 2
2 ? x 0 ? x 02 ? 2 2

1 7 1 7 ?(x 0 ? )2 ? (x 0 ? ) 2 ? 2 4 2 4, = ? 2 2 1 因此,当x0= 时其最小值为 7 2 . 2 8 7 答案: 2 8


相关文章:
【创新方案】2013年高考数学一轮复习_第九篇_解析几何_...
_​解​​几​何​_​第​8​讲​_​直​线​与​...直线与圆锥曲线的位置关系考向一 直线与圆锥曲线的位置关系 【例 1】? (2011...
【全程复习方略】2013高中政治 高二时代精神的精华 提...
2013 高中政治全程复习方略精练精析: 课时提能演练 4.1.2-4.1.3 新人教版必 修4 (45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1. (2012·...
【全程复习方略】2013版中考化学 专项三实验的设计与评...
【全程复习方略】2013版中考化学 专项三实验的设计与评价精练精析(含中考示例) 新人教版_理化生_初中教育_教育专区。专项三实验的设计与评价(含中考示例)一、选择...
...(安徽专用)2013版高中历史 阶段滚动检测(二)第一~...
【备考2014】(安徽专用)2013版高中历史 阶段滚动检测(二)第一~十六单元全程复习方略精练精析 新人教版_政史地_高中教育_教育专区。阶段滚动检测(二) 第一~十六...
【全程复习方略】2013版中考化学 专项一图、表、线类试...
【全程复习方略】2013版中考化学 专项一图、表、线类试题精练精析(含中考示例)...时间的变化而变化的关系;(2)明点:图像中 A 的转折 点在 B 前,说明反应...
2014高考数学专题——直线与双曲线的位置关系
2013-8-26 直线和双曲线的位置关系从近两年的高考...求直线 l 的方程. 3 2 三、典例精析 题型一:...2014高考数学专题——... 2014高考数学专题——椭...
【全程复习方略】(教师用书)2013版中考物理 第四章 多...
【全程复习方略】(教师用书)2013版中考物理 第四章...【典例 2】(2011·十堰中考)如图所示,光源 S ...光的直 线传播 光在同种均匀物质中沿直 线传播 ...
2013年中考数学第一轮总复习中考数学导学案
2013年中考数学一轮复习... 暂无评价 108页 2下载...【典例精析】 2 m. 例 1(1) 在“ ? 5 ? ...,其抛物线关于直 2a 4a ). 线x? 第 22 页 ...
2013年浙江高中数学复习资料集合(1)
【学法导航】 集合知识可以使我们更好地理解数学中...注意利用几何直 观性研究问题,注意运用 Venn 图解题...(面)的关系 【典例精析】 1.对集合中有关概念...
8 2013届高三理科数学一轮总复习第八章_直线和圆的方程...
8 2013届高三理科数学一轮总复习第八章_直线和圆的...2.根据 斜率判 定两条直 线 平行与垂直;3.直线...知识网络 8.1 直线与方程典例精析题型一 直线的...
更多相关标签: