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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 6-5 均值不等式及不等式的应用课件(文) 全国.重庆专版


第五节

均值不等式及不等式的应用

? 1.均值不等式

不等式成 均值不等 等号成立 立的条 式 的条件 件 a>0,b >0
a=b

上述四个不等式等号成立的条件是什 么? ? 【提示】 都是a=b.
?

? 两个不等式取等号的条件是当且仅当

“a

=b”时,应理解为: ? (1)“当”就是a=b时,a2+b2=2ab; ? (2)“仅当”指的是a2+b2=2ab时,a=b. 也就是a=b是a2+b2=2ab的充要条件.

? 3.算术平均数与几何平均数

? 4.利用均值不等式求最值问题

? 已知x>0,y>0,则
? (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 x=y

时,x+y有 最小

值是

.(简记:

积定和最小) x=y ? (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当时, 最大 xy有 值是 .(简记:和定积 最大)

? 利用均值不等式求最值时,一定要注意

“一正,二定,三相等”.“一正”即公 式中的a、b必须是正数,“二定”即必须 有定值(和为定值或积为定值),“三相等” 即公式中的等号必须成立.必要时要合理 拆分项或配凑因式,以满足上述三个条 件.

? 1.已知两个正数a,b的等差中项为4,则

a,b的等比中项的最大值为 ( ) ? A.2 ? B.4 ? C.8 ? D.16
? 【答案】

B

2.下列结论中不正确的是 1 A.a>0 时,a+a≥2 b a B.a+b≥2 C.a2+b2≥2ab (a+b)2 D.a2+b2≥ 2

(

)

b a 【解析】 ∵a+b≥2,只有当 a、b 同号且不为零 时成立, b a 故a+b≥2 不一定成立.
【答案】 B

? 【答案】

B

【答案】 3

? 5.某公司一年购买某种货物400吨,每次

都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总 存储费用为4x万元,要使一年的总运费与 总存储费用之和最小,则x=________ 400 吨. 【解析】 每年购买次数为 .
x 400 ∴总费用= x · 4+4x≥2 6 400=160. 1 600 当且仅当 x =4x, 即 x=20 时等号成立.故 x=20.
【答案】 20

? 【思路点拨】

由于不等式左边含字母a, b,右边无字母,直接使用均值不等式既 无法约掉字母a,b,不等号方向又不对, 因a+b=1,可把左边展开,实行“1”的 代换.

【证明】

证法 1:因为 a>0,b>0,a+b=1,

a+b 1 b 1 a 所以 1+a=1+ a =2+a.同理 1+b=2+b.
? 1?? 1? ? b? ? a? 所以?1+a??1+b?=?2+a??2+b? ? ?? ? ? ?? ? ?b a? =5+2?a+b?≥5+4=9. ? ? ? 1? ? 1? 所以?1+a??1+b?≥9(当且仅当 ? ?? ?

1 a=b=2时等号成立).

证法

? a+b 1 1? ? 1? 1 1 1 2:?1+a??1+b?=1+a+b+ab=1+ ab +ab ? ?? ?

2 =1+ab,因为 a,b 为正数,a+b=1, 所以
?a+b? 1 2 ? ?2 1 ab≤? ? =4,于是ab≥4,ab≥8, ? 2 ?

? 1?? 1? 因此?1+a??1+b?≥1+8=9(当且仅当 ? ?? ?

1 a=b=2时等号

成立).

4 解下列问题:(1)已知 x>2,求 x+ 的最小值; x-2 (2)已知 a>0,b>0,且 4a+b=1,求 ab 的最大值; 4 9 (3)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求x +y 的最小值.

【解析】

(1)∵x>2,∴x-2>0,

4 4 ∴x+ =x-2+ +2 x-2 x-2 ≥2 4 (x-2)· +2=6, x-2

4 当且仅当 x-2= ,即 x=4 时,等号成立. x-2 4 所以 x+ 的最小值为 6. x-2

(2)解法 1:∵a>0,b>0,4a+b=1, ∴1=4a+b≥2 4ab=4 ab, 1 1 1 当且仅当 4a=b=2,即 a=8,b=2时,等号成立. 1 1 1 ∴ ab≤ ,∴ab≤ .所以 ab 的最大值为 . 4 16 16 解法 2:∵a>0,b>0,4a+b=1, 1 1?4a+b?2 1 ? ∴ab=44a· 4? b≤ ? = , 2 ? 16 ? ?

1 1 1 当且仅当 4a=b=2,即 a=8,b=2时,等号成立. 1 所以 ab 的最大值为 . 16

(3)∵x>0,y>0,x+y=1,
?4 9 ? 4 9 4y 9x ? + ?=13+ + ∴x+y=(x+y) x y x y ? ?

≥13+2

4y 9x x · =25, y

? (1)求最值时,要注意“一正,二定,三相

等”,一定要明确什么时候等号成立. ? (2)学好均值不等式,灵活应用是关键,添 常数、配系数,“1”的代换别忘了,一正、 二定、三相等,格式规范要切记,千变万 化不等式,透过现象看本质.在本例(1)中 解法2采用了配系数,(2)中采用了添常数, (3)中利用了“1”的代换.如果(3)中若x+y =2,则如何用“1”的代换?

1.求下列各题的最值: 12 (1)x>0,求 f(x)= +3x 的最小值. x 3 (2)设 0<x<2,求函数 y=4x(3-2x)的最大值; 2 5 (3)已知 x>0,y>0,lgx+lgy=1,求 z= x+y的最小 值.

【解析】 (1)∵x>0, 12 ∴f(x)= x +3x≥2 12 3x=12, x·

12 等号成立的条件是 x =3x,即 x=2, ∴f(x)的最小值是 12.

3 (2)∵0<x<2,∴3-2x>0,
?2x+(3-2x)? ?2 ∴y=4x· (3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2? ? ? 2 ? ?

9 =2. 3 当且仅当 2x=3-2x,即 x=4时,等号成立. 3? 3 ? ∵4∈?0,2?, ? ? ∴函数
? 3? 9 ?0<x< ?的最大值为 . y=4x(3-2x) 2? 2 ?

(3)由已知条件 lgx+lgy=1, 可得 xy=10. 2 5 2y+5x 2 10xy 则x+y= 10 ≥ 10 =2.
? 2 5? ∴? x+y?min=2. ? ?

当且仅当 2y=5x,即 x=2,y=5 时等号成立.

某工厂有一个容量为 300 吨的水塔,每天从早上 6 时 起到晚上 10 时止供应该厂的生产和生活用水, 已知该厂生 活用水为每小时 10 吨,工业用水量 W(吨)与时间 t(小时, 且规定早上 6 时 t=0)的函数关系为 W=100 t.水塔的进水 量分为 10 级,第一级每小时进水 10 吨,以后每提高一级, 每小时进水量就增加 10 吨,若某天水塔原有水 100 吨,在 开始供水的同时打开进水管.

? (1)若进水量选择2级,试问:水塔中水的

剩余量何时开始低于10吨? ? (2)如何选择进水量,既能始终保证该厂的 用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?

【解析】 设进水量选第 x 级,则 t 小时后水塔中水的 剩余量为 y=100+10xt-10t-100 t, (1)当 x=2 时,由 y<10 得,t-10 t+9<0, 所以 1< t<9,1<t<81. 所以从 7 时起,水塔中水的剩余量开始低于 10 吨. (2)根据题意,0<y≤300, 所以 0<100+10xt-10t-100 t≤300. 1 1 由左边得,x>1+10( - t ) t

1 12 1 =1+10[-( -2) +4], t 1 12 1 当 t=4 时,1+10[-( -2) +4]有最大值 3.5, t 所以 x>3.5. 20 10 由右边得,x≤ + +1,当 t=16 时, t t 20 10 + +1 有最小值 4.75,所以 x≤4.75. t t
综上所述,进水量应选为第4级.

? 不等式在解决实际问题中有着广泛的应用,

包括求损耗最小,材料最省,利润最大, 面积最大(最小),方案最合理等实际应用 问题,解决此类问题的关键是根据题目建 立等式,不等式,函数式等数学模型,然 后利用不等式的基础知识、公式、思想方 法等进行求解.

? 2.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且

面积为162平方米的三级污水处理池,池 的深度一定(平面图如图所示),如果池四 周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔 墙建造单价为248元/米,池底建造单价为 80元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计.

? (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价

最低,并求出最低总造价; ? (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能 超过16米,试设计污水池的长和宽,使总 造价最低,并求出最低总造价.

【解析】

(1)设污水处理池的宽为 x 米,

162 则长为 x 米. 则 总 造 价 f(x) = 400× 80×162 1 296×100 =1 296x+ +12 960 x =1
? 100? 296?x+ x ?+1 ? ? ? 2×162? ? ? 2x+ x ? ? ? ?

+ 248×2x +

2960

≥1 296×2

100 x· +12 960 x

=38 880(元), 100 当且仅当 x= x (x>0), 即 x=10 时取等号. ∴当长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,最低总 造价为 38 880 元.

?0<x≤16 ? (2)由限制条件知? 162 , ?0< x ≤16 ? 1 ∴108≤x≤16.
? 100? 1 设 g(x)=x+ x ?108≤x≤16?, ? ?

由函数性质易知

? 1 ? g(x)在?108,16?上是增函数, ? ?

? 162 1 ? ∴当 x=10 时?此时 x =16?, 8 ? ?

g(x)有最小值, 即 f(x)有最小值 1
? 1 800? 296×?108+ 81 ?+12 ? ?

960=38 882(元).

1 ∴当长为 16 米, 宽为 108米时, 总造价最低, 38 882 为 元.

? 本节以考查均值不等式的应用为重点,兼

顾考查代数式变形、化简能力,注意“一 正、二定、三相等”的条件.考查方式: 可出选择题、填空题,也可出以函数为载 体的解答题.不等式证明不会太难.但题 型多样,涉及面广.

1 1 1.(2009 年重庆卷)已知 a>0,b>0,则 + +2 ab a b 的最小值是 A.2 C.4 B.2 2 D.5 ( )

1 1 2 【解析】 ∵a+b+2 ab≥ +2 ab≥2 2×2= ab 4.
?a=b ? 当且仅当? ? ab=1 ?

时,等号成立,即 a=b=1 时,

不等式取最小值 4.
【答案】 C

? 2.(2009年湖北卷)围建一个面积为360

m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧 墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要 新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度 为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的 维修费用为45元/m,新墙的造价为180元 /m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建 此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).

? (1)将y表示为x的函数;

? (2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总

费用最小,并求出最小总费用. ? 【解析】 (1)如图,设矩形的另一边长为 a m,

则 y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360. 360 由已知 xa=360,得 a= x , 3602 所以 y=225x+ x -360(x>0).

3602 (2)∵x>0,∴225x+ x ≥2 225×3602=10 800. 3602 ∴y=225x+ x -360≥10 440. 3602 当且仅当 225x= x 时,等号成立. 即当 x=24 m 时,修建围墙的总费用最小, 最小总费用是 10 440 元.


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