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数学奥林匹克高中训练题(6)


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中 等 数 学

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模拟训练

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, 则称其为 “理 想 分 数” 理 ( !、 ( 那 么, "## # ) 想分数的个数为 ( $ " 分别以方程
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“对数三角形” ( 现从集合 % ${ ’, 3, 4, .& , .. , .% , ." , .,} 中选择三个 互 异 整 数 作 成 对 数 三 角 形, 则不 同的选择方案有 ( ) 种( %$
% " ( )) %+% +" +" +" , ( *) " # +, ( +) ’ ( -) 3



!!!!!!" &" ) (

数 (! ) 数学 学奥 奥林 林匹 匹克 克高 高中 中训 训练 练题 题
第 一 试 一、 选择题 (每小题 ! 分, 共 "! 分) ! "若 既 约 真 分 数 ! 满 足 ! # " $ % &&’ " ) ( 将正五角星 ( " 如图 . , 的五 个 “角” (等 腰 的 小 三 角形) 分 别 沿 其 底 边 折 起, 使其与 原 所 在 平 面 成 直 二 面角 ( 则所形成的 空 间 图 形 中,共 有 异 面 直 线 段 ( ) 对( ( )) ,0 ( *) 0& ( +) 00 ( -) !& 二、 填空题 (每小题 4 分, 共 0, 分) !"设 ( ) #) $ % … % # .& / %% &&’ & / %% &&! 5 / 则( … / %% & / % & , $ ( ) % &&’) $ " 设 #、 * 为 实 数 ( 若 对 于 满 足 678 ! / 都有 678 "’ & 的任何实数 !、 ", 89: ! # ! # 89: " / ! ! ! / $ # 67; ! " # * 678 ! / 678 " % 成立, 则 ( #, *) ( …, % " 在用 . , %, 3 这八个数码所组成的 全部无重复数字的八位数中, 能被 .. 整除的 有 个( , 而 !、 & " 设数集 % $ {! , ", $, +} "、 $、 + 两两之和构成集合 , $ { 0, 3, 4, .. , .% , .0 } (则 ( 则由直线 * $ ’ " 对于给 定 的 正 整 数 - , (包 - 与抛物线 * $ # % 所围成的封闭区域内 括边界) 的整点个数是 则不同的 形 状 有 !, ’, 的形状) ( 三、 (%& 分) 试确定, 是否存在 % &&’ 个实 数 !. , …, 满足: !% , ! % &&’ , ( 种 (若 两 个 四 面 ( " 若四面体的六条棱长分别为 % , ", ,, 0, 体经适当放 置 后 可 完 全 重 合, 则认为是相同
图.

( )) ""’ ( *) !!! ( +) !’, ( -) . ""% . . . # # ## / $& % " % #$ " /$ 0 % #$ " #$ 0 $ $ $ $ 的两根为离心率的两条二次曲线是 ( ) ( ( )) 椭圆与双曲线 ( *) 双曲线与抛物线 ( +) 抛物线与椭圆 ( -) 椭圆与椭圆 % " 如果三个常用对数 12 ! 、 12 " 、 12 $ 中, 任两个 的 对 数 尾 数 之 和 大 于 第 三 个 对 数 尾 数, 则称 这 三 个 正 数 ! 、 "、 $ 可以构成一个

(

)

(

)

(

)

&’( 三个内角的 正 切 值 皆 为 整 数,

如果将彼此 相 似 的 三 角 形 只 算 作 一 种 情 况, 那 么, 全部符合条件的三角形的情况是 ( )) 不可能有 ( *) 只有一种 ( +) 无数多种 ( -) 至少两种, 种数有限 [ # ]/ %. $ & (其 ’ " 满足 方 程 "! # % / .,& 中, [ #] 表示不 大 于 # 的 最 大 整 数) 的实数 # 的个数为 ( ) ( 万方数据 ( )) ( % *) " ( +) , ( -) 0

%&&’ 年第 ) 期

由 ! + $ $ % &&’ 及 ! # $ , 得 ! & ! & ! &&- * 于是, 这种真分数有 ! &&- 个 *
"

(!) …, " ! " " # !, " $ !, %, % &&’ ;
% &&’ % &&’ "

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再考虑 “既约” 条件 * 若 ( !, 则 3 " % &&’ * $) $ 3, 3 0 !, 而 % &&’ $ -% 1 %%- , 于是, - " 3 或 %%- " 3 * 在集合 0 $ { …, 中, 能被 - 整除的有 !, %, ! &&-}

、 {$ # } 满足 四、 (%& 分) 设数列{! # } $ # + ! $ ’ !# + !& $ # * ! & $ $ & $ !, !# + ! $ , !# + ’ $ # , 证明: 对任意的 % 、 # " !, !% + # + $% + # $ !% !# + $% $# * 五、 (%& 分) 设 &、 &’ + ’( + &( ’、 ( ""+ , $ ! * 证明:
% % % ( &’ ) ( &( ) ( ’( ) + + + ) &’( # & + ’ + ( * ( ’ &

[

! &&能 被 %%- 整 除 的 有 $ --2 个, -

]

&&[ !%%] $2

个, 能 被 - 1 %%- 整 除 的 有

&&[ !))3 ] $ ! 个,因 此,0

中与 % &&’ 不互质的数有 --2 + 2 ( ! $ --’ 个 * 从 而, 0 中与 % &&’ 互质的数有 ! &&- ( --’ $ ))) 个 * 所以, 理想分数有 ))) 个 * %$4* 用 4! 、 4 % 表示这两个离心率 * 则由 %+ -( , 4! 4% $ ’ ’ ’ # ! % +’ - +’ , ’ 知, 其中必有椭圆 * 又由 ! % +’ - (’ , ’ % +’ - +’ , ’ (’ % % +’ -) ’ % +’ ! ! $ $ $ + % (’ % +’ -) (, ) % ’ ’ ’ + !

第 二 试 一、 ( ,& 分 ) 如图 在 %, )*+ 中, ,、 分 别 是 边 )* 、)+ 上 的点, 在 *) 、 +) 的 延 长 线 上 分 别 取 点 .、 使 ). $ *, , /, )/ $ +- , 0 、 1 分 别 是 )./ 、 ),- 的 垂
图%

知, 故其中有抛物线 * ! 是方程的一个根, &$5* 显然, 只 须 考 虑 0! $ { ’, 8, 3, 67 !& 的尾数为 & , 中各数的对数能够组成三角形的 ! 9 !, ! 9 %, ! 9 -, ! 9 2} 三元组情况 * 将 0 ! 划分成两个子集: 与 + ${ * ${ ’, 8, 3} ! 9 !, ! 9 %, ! 9 -, ! 9 2} * 注意到, 若 ! # ! # $ # 5 # !& , 则 !、 $、 5 能构成 对数三角形当且仅当 67 ! + 67 $ 0 67 5 , 即 !$ 0 5 * 于是, (’ , ; * 中三数能组成对数三角形 8, 3) + 中能组成对数三角形的有 (! 9 ! , , (! 9 ! , , (! 9 % , ; ! 9 %, ! 9 -) ! 9 -, ! 9 2) ! 9 -, ! 9 2) * 中取一数, + 中取两数不能组成对数三角形; * 中取两数, + 中取一数组成对数三角形的情 况有: (! 9 % , , (! 9 % , , (! 9 - , , (! 9 - , , ’, 8) 8, 3) ’, 8) ’, 3) (! 9 - , , (! 9 2 , , (! 9 2 , , (! 9 2 , 8, 3) ’, 8) ’, 3) 8, 3) * 共计 !% 组, 即等于 %4% 2 * ’$/* 设 :;< * $ & , :;< + $ ’ , :;< . $ ( , &、 ’、 ( 为非零 整数, 且其中至多有一个负数 * 由恒等式 =>: *?=>: + + =>: +?=>: . + =>: .?=>: * $ ! ,

心 * 证明: 01 $ *+ * 二、 (,& 分) 以任意方式把空间染成五种 颜色 (每点属于一色, 每色的点都有) * (!) 证明: 存 在 一 个 平 面, 至少含有四种 不同颜色的点; (%) 是否一定存在五色平面? 三、 (,& 分) 边 长 为 # 的 菱 形 *+./ ,其 顶 角 % * 为 )&. * 用 分 别 与 *+ 、 */ 、 +/ 平行 的 三 组 等 距 平 行线, 将菱形划分成 % # % 个边长为 ! 的正 三角形 ( 如 图 -) *试
图-

求以图中的线段为边的梯形个数 ( 2 #) *

参 考 答 案
第 一 试
一、 # $ 万方数据 /*

, 得 即 ! ! ! " " # !, !" "# #! !"# # ! " " " # $ ! "

中 等 数 学 五角星的外围是由 !& 条 线 段 组 成 的 封 闭 折 线, 将其按红、 蓝间隔染色 (内圈的小正五边 形 不 染 色) , 如图 , $ 则 在 这 !& 条 线 段中, 任一对同色的线 段异 面, 而任一对异色 的线段共 面, 于 是, 得到 )0) 2 # )& 对 异 面 直 线 段; 又每条有色 线 段 恰 与 底 面小正五边 形 的 三 条 边 异面, 这 种 情 况 共 有 *& 对 $ 因此, 总共有异面直线段 2& 对 $ 二、 $ "! $ 注意到, 对任意的 ( ( & , 当 )% [& , 时, 有 ) (] 7 ) ’ (7!($
!& 而 ) &&5!& % 所以, ()!! ) # )!!& % ) + )) &&5 , !& ) &&5 ) &&5 , & ) &&5 ’ ) & !) !& ) &&5 ) &&1 ) &&1 , ’ ) &&5 ’ ) &’) & !) …… !& ) &&5 ) &&1 ) ’ … ’) &&5 ’ ) & ’ ) & ’ … ’ ) & ’ ) & !) $ 又因 ( 为奇数, 故( * ) &&5) * ) &&5) # !$

若 !、 则 !、 "、 # 中有负整数,不妨 设 # % & , " 为 正整数 $ 由式 " 得 ( !" ’ !) # # ! " " ( &$ 于是, 得 !" ! & , 矛盾 $ !" % ! , 所以, 且其 中 必 有 一 个 等 于 !、 "、 # 皆为正整数, 若 !、 则由式 ! 有 ! $ 否则, "、 # 皆不小于 ) , !# 矛盾 $ 设 !" "" #, 则 # # !$ 由式 " 有 !" # ! " " " ! , ( ! ’ !) ( " ’ !) 得 # ), ! # *, " # ), 即全部情况只有{ -./ $ , -./ % , -./ & } #{ !, ), *} $ !"0$ 设 ! # ’ "! (& !! % ! , ’ 为整数) $ 原方程化为
) ( ’ " !) *1 # !,& ’ " )! $

! ! ! * * , ! # " " !" "# #! ) + ) ,

图,

!

若 ! # &, 则式 ! 的左边 为 偶 数, 而 右 边 为 奇 数, 矛盾 $ 所以, & % ! % !, ’ " !# & $ 由式 ! 得 !,& ’ " )! ( &( ’ "&) , 即方程解为正数 $ 据式 ! 有
) ( ’ " !) )! # *1 ’ !,& ’ ( *1 ’ ) ’ !,& ’

%"

* ! $ , ( ’$ ) ) )

’ 知 :;/ ! "# & $ 由 89: ! ’ 89: "# & , ) 故所涉各式皆有意义 $

# *1 ’ ’ ’

(

*2 3

) # *1 ( ’ ’ *2 !4 ) (

)

’ *1

( *2 !4 )

)

$ "

对所给等式, 取! # # , 得 ’ ! #$ # #, * ! " "; ) " 1 * 取! # ’ # , 得 !# ’$ ! " "$ # #, ) " 1 * * ! 由此解得 ! # ’ $ , $ "# ) ) & " , 1&4 $ 由于 ! , …, 故任意添加 ), 4 中 有 , 个 奇 数, “"” 、 “’” 号 后 其 代 数 和 皆 为 偶 数 $ 因 !, …, ), 4中 最 大 的 四 数 和 与 最 小 的 四 数 和 之 差 不 大 于 !1 , 于 是, 符合条件的每个八位数, 其奇数数位上 的 四 个 数 码之和 必 等 于 偶 数 数 位 上 的 四 个 数 码 之 和 $ 由 于 再将 ! , …, ! " ) " … " 4 # *1 , ), 4 分 成 和 为 !4 的 两 组, 每 组 四 个 数, 并 考 虑 含 4 的 组, 该组另三数的和 为 !& , 只有四种情况: (! , , (! , , (! , , () , ), 5, 4) *, 1, 4) ,, 2, 4) *, 2, 4) $ 对于每种情 况, 可将含 4 的组排在奇数数位上 或者偶数数位上, 得到 ) + , ! 个数 $ +,! 四种情况下共得 4 + , !+ , !# , 1&4 个 符 合 条 件的八位数 $

因此, 当 ’( 若 ’ "2, 则

*2 时, 上式右端是 ’ 的增函数 $ !4

式 " 右边 ( *1 + 2 2 ’ 矛盾 $ 于是, &! ’ !, $ 再由式 ! 得

*2 3

) # )&&,

!,& ’ " )! ! # ’ "! # $ $ 1 分别取 ’ # & , 依次得 !, ), *, ,, )! $!1! $*&! 5 $24! , , , !#$ , $ ) 1 1 1 1 !1! 经验证, ! # $ 不符合题设 $ 1 故共有 , 个实数满足原方程 $ # " 6 $ 万方数据

%00# 年第 ’ 期 或{ ! "{ !, ", #, $} %, &, ’, (} ) 设 ! * " * # * $ ) 由 于 集 合 % 中 有 ’ + , 个 元,
% "

. {-* , , 有 % 种情况; 若 取 -) + . . , -, } + {. ’ , .# } {-* , , 也有 % 种情 若取 -) + . # , -, }+ {. . , .’ } 况) 共得 " 种情况 ) ( 11) 若 .% 、 类似 .& 、 . " 按逆时针方向组成 三 角 形, 也得 " 种情况 ) (%) 设 )* + . % , .% 、 . & 异面, ,- + . & ) 则 其 余 四 条 边, 每一条皆与 . % 、 . & 相 邻 ) 于 是, .% 、 .# 所 在 面 的 另 一条边必为 . ’ ) (1) 若 .% 、 .’ 、 .# 按 顺 时 针 方 向 组 成 三 角 形, 不妨设 如图 #) 剩 ), + . ’ , *, + . # , 下两条 边, 故 *- 不 能 取 . " , 只有 *- + . . , 得 ! )- + . " , 种情况 ) ( 11) 若 .% 、 .’ 、 .# 按 逆 时 针方向组成三角形, 类似也得 ! 种情况 ) 因此, 本题中不同的形状有 !0 种 ) 三、 假若存在满足题设条件的 % 00# 个 实 数 ! ! ,
% 00#

即知 ! 、 "、 #、 $ 两两之和互不相同 ) 因 ! - " * ! - # * ! - $ * " - $ * # - $, 且 ! - # * " - # * " - $, (!) 则 ! - $ * " - #, ( ! - ", ! - #, ! - $, " - #, " - $, # - $) (. , + $, (, !! , !% , !.) ) 于是, # / " + &, " - # + !! ) 解得 " + " , # + #) 进而, 得{! , ! + !, $ + $, ", #, $} +{ !, ", #, $} ) (%) 则 " - # * ! - $, ( ! - ", ! - #, " - #, ! - $, " - $, # - $) (. , + $, (, !! , !% , !.) ) 于是, # / " + &, " - # + () 解得 " + & , # + ’) 进而, 得{! , ! + %, $ + (, ", #, $} +{ %, &, ’, (} ) ! (% & % / & - &) # " (% & - !) ) & 如图 . , 直线 ’ + & % 与 抛物 线 ’ + (
%

只有两种情况:

图#

的 交 点

…, 设2 ! % 00# , !% ,

"!
/+! + /

/

2 + 0 #0 )

( &, 、 ( / &, ) &% ) * &% ) )设 直线 ( + + 上 位 于 区 域 内 的线段 为 ,- , 其端点坐标 ( +, 、 ( +, , 则线 , &% ) +% ) 段 ,- 上 的 整 点 数 为 & % / ( + !{ / & , …,/ ! , + -!
%

去掉绝对值符号, 并分开其正负部, 可记为
% 00# % 00# / +

2

"!
/+!

/

2 +

"(
/+!

/

"
1+!

’1 + 0 ,

…, …, 其中, (% , (+ , ’! , ’% , ’ % 00# / + 是 2 ! ! 2 , (! , 2 !% 2 , …, 2 ! % 00# 2 的某个排列 )
图.

从而, 由条件 (%) 得
+ % 00# / +

…, ) 0, !, %, &} ) 故区域内的整点数为
& & %

"
/+! %

(/ +

"
1+!

’ 1 + % 00’ - 0 )
% 00# / +

++ / &

"( &

(% & - !) ( & % - !) / + % - !) + /%

"+
++!



! (% & % / & - &) + (% & - !) ) & $ " !0 ) 将长为 + 的棱记 为 . ( ) + !{ %, &, ", ., ’, #} )考 + 虑 .% 、 .& ) (!) 则该面的另一边必为 . " ) .% 、 . & 共面, ( 1) 若 .% 、 .& 、 ." 按 顺 时 针方向组成 三 角 形 (均 指 从 形 内 向 该 面 看 三 边 的 绕 向, 下同 ) , 如 图 ’, 则 边 -) 不 能取 . ’ ( 否 则, 将使 *,图’

"
/+!

( / + ! 00& - 0 ,

"
1+!

’ 1 + ! 00& )

( / + !, …, 由于 0 $ ( / * ! , 0$ ’1 * ! %, +, 1 + !, %, …, , 则 % 00# / + )
+

+3

"(
/+!

/

+ ! 00& - 0 ,
% 00# / +

% 00# / + 3

"
1+!

’ 1 + ! 00& )

由此得, + # ! 00" , % 00# / + # ! 00" ) 相加得 % 00# # % 00$ , 矛盾 ) 因此, 满足条件的 % 00# 个实数不存在 ) 四、 固化 2 - & , 改证以下命题: 对任意的 + ! %, 有 0$ + $ 2 - & ,

万方数据 的三边为 % , 矛盾) ., #, )

/ !" ! # ! $" ! # " !" ! # # % ! % ! $" ! # # % $ % $ 对 % 用数学归纳法 $ 当 % " % 时, 结论显然 $ 设 % " & 时, 式 ! 成立, 即 !" ! # ! $" ! # " !" ! # # & !& ! $" ! # # & $& $ 当 %" &!& ( & ’ " ! #) 时, !" ! # # & !& ! $" ! # # & $& (( ! " ! # # & # & ! ) $ " ! # # & # & ) " !& ! () ! " ! # # & # & ! &% $ " ! # # & # & ) $& ! $" ! # # & # ( " !" ! # # & # ( & ( !& ! ) $& ) & ) ! & ! &% $ & ) " !" ! # # & # & !& ! & ! $" ! # # & # & $& ! & $ 由式 " 、 #得 !" ! # ! $" ! # " !" ! # # & # & !& ! & ! $" ! # # & # & $& ! & $ 所以, 式 ! 亦成立 $ 因此, 式 ! 得证 $ 在式 ! 中取 % " # , 得 !" ! # ! $" ! # " !" !# ! $" $# $ 五、 注意到 ( ’ ! ( ! )) ( ’( ! () ! ’) ) ’! (! )" ( ’ ! () ( ( ! )) ( ’ ! )) " ’( ! () ! ’) ! * ’() ,
+ + + ( ’( ) ( ’) ) ( () ) 即要证 ! ! ! * ’() ) ( ’

中 等 数 学 ! 故式 ! 成立, 当且仅当 ’ " ( " ) 时, 取得等号 $ 因此, 所证结论成立 $

第 二 试
" 一、 如 图 ,, 设线 段 *+ 、,- 、.- 的 中 点分 别 为 / 、 则 0、 1, 1 也是 2* 的中 点 $ 据 中位线定理知: 在 2*+ 中, 1/

#

& 1/ " 2+ ; # 2+ , + 在 .,- 中, 10
图,

& 即 10 " ., , # ., , + 10 # 3+ , 10 " 故 10/ & 3+ $ +

& 且 0/ # 32 , +32 , 0/ " 32 $ +

为证 45 $ 32 , 只要证 45 $ 0/ $ 以 / 为圆心、 其半径记为 6 ; *+ 为直径作 % / , 以 0 为圆心、 其半径记为 & $ 设直 ,- 为 直 径 作 % 0 , 线 3, 交 4* 于 7 , 4, 交 2* 于 8 $ ! 由于 4 是 则 .,* 的垂心, 4* $ .7 , 4, $ .* $ 所以, *、 8、 ,、 7 四点共圆 $ 故 47?4* " 4,?48 $ 在 % / 上, 8 在 % 0 上 $ 从而, 47?4* " 4/ + # 6 + , 4,?48 " 40 + # & + $ 因此, 式 ! 化为 4/ + # 6 + " 40 + # & + , 即 4/ + # 40 + " 6 + # & + $ 同理, 5/ + # 50 + " 6 + # & + $ 故 4/ + # 40 + " 5/ + # 50 + $ 所以, 45 $ /0 $ 而 0/ # 32 , 因此, 45 $ 32 $ 二、 (&) 若存在四色线 9 , 则含有 9 的平面即为 所 求 $ 若存在三色线 9 , 则在线 9 外可再取到一个第四 色的点 4 , 过点 4 和线 9 的平面即为所求 $ 假若任一 直 线 上 都 不 多 于 两 色, 为 此, 用 [ 3] 、 [ 2] 、 [ ,] 、 [ *] 、 [ +] 分别表示这五种颜色的点所构 成的点集 $ 取点 3 & ’ [ 3] , [ 2] , 过 3& 、 2& 的 直 2& ’ 则直线 ! 上 其 余 的 点 也 属 于 [ 3] 或 [ 2] 线记为 ! , $ 不妨设直线 ! 上 有 点 3 + ’ [ 3] , 在 空 间 分 别 取 点 ,& ! 则 7 另一方面, 由于 & +7* " -%., & -8, " -%.,

( ’ ! () ( ( ! )) ( ’ ! )) ! ’( ! () ! ’) $ 据对称性, 不妨设 ’ ! ( ! ) $ 则

+ ( ’( ) ’( ( ’ ! () ) ( # )) !%, ! ’() # ’( " ( ’ # )( ) )

" ( () ) () ( ( ! )) ( ) # ’) !%, ! ’() # () " ( ( # ’) ’ ’
+

#
+ ( ’) ) ’) ( ’ ! )) ( ) # () "% $ ! ’() # ’) " ( ’ # () ( (

$ 又由 ’ ! ( ! ) , 知 ’( ’) ( ’ # )) ( ( # )) ( ( # )) ! ( ’ # () ) ( " # 即 ’) ( ’ # () ( ) # () , (

’) ’( ( ’ # )) ( ( # )) ( ) # () !% $ ! ( ’ # () ) ( 从而, " ! # ! $得 ( ’( ) ( ’) ) ( () ) ( ’ ! () ! ! ! * ’() # ’( # ) ( ’
+ + +

万方数据 (( ! ( ’ ! )) !% $ () )) # ’)

#((/ 年第 ’ 期 则直 [ !] 、 [ "] , 过 #! 、 !! 、 " ! 的平面记为 $ , "! ! ! 线 % 与平面 $ 有公共点 # ! " 若 %" $, 则平面 $ 即为所求 ( 这 时, 平面 $ 上 含有 [ &] 、 [ #] 、 [ !] 、 [ "] 四色) " 若 %# $, 在 空 间 再 取 一 点 ’! ! [ ’] , 过 点 ’! 和直线 % 作平面 ( , 则平 面 $ 和 平 面 ( 的 交 线 为 过 过 点 ’! 的 两 条 直 线 # ! 的 直 线 ) " 在 平 面 ( 内, 至 少 有 一 条 要 与 直 线 ) 相 交, 不 ’ ! & ! 和 ’ ! & # 中, 妨 设 ’ ! &# $ ) % ( 如 图 $) , 则点 * * 属 于[ & ]或 平面 $ [ ’] " 于是, 至少含有 四 色 (或 含[ # ] 、 [ !] 、 ["] 、 [ & ]或 含 [#] 、 [ !] 、 [ "] 、 [ ’] ) " (# ) 不 一 定 " 例 如, 若 将 四 面 体 &#!" 的 四 个 顶 点分别染成 [ &] 、 [ #] 、 [ !] 、 [ "] 四 色, 空间其余的点 全染成 [ ’] 色, 这时, 不存在五色平面 " 三、 由于图 & 中任两条线段所在 的 直 线, 或者平 行或者相交成 ’()的锐角,因 此, 由图中线段组成的 所有梯形都是 底 角 为 ’() 的 等 腰 梯 形 " 对 于 这 种 梯 形,若两腰延长 线 的 交 点 在 菱 形 内 部 或 周 界 上, 则 称为 “内 置 梯 形” ; 若 交 点 在 菱 形 外, 则称为 “外 延 梯形” " (!) 先求内置梯形的个数 ( + ,) " 将边长为 - 的 正 三 角 形 称 为 “ - 级 三 角 形” , 相 应地, 下底 (较长底边) 的长为 - 的梯 形 称 为 “ - 级梯 形” , 再将腰长为 ( 的 - 级梯形称为 “ ( -, 梯 . . * -) .) 要 么 顶 点 朝 上,要 么 顶 点 形” " 图中所有 正 三 角 形, 朝下, 分别称作 “顺置三角形” 与 “倒置三角形” " 易见, 每个 ( -, 梯 形, 可看作是由一个 - 级三 .) 角形切去一个 - + . 级三角形而得到的 " 每个 - 级 三 角形所切出 的 - 级 梯 形 有 & ( - + !) 种情况 ( 其 中, ( -, ( / % !, …, 梯形各 & 个) /) #, - + !) " 现计算图中 - 级三角形的个数:取 & 为原点并 每个 - 级 以 &# 、 &" 为 0 轴、 1 轴 建 立 斜 角 坐 标 系, 顺置三角形, 下底左端点 * 的横坐标可取 ( , …, !, , 纵 坐 标 也 可 取 (, …, + - 共 , + - , ! 个 值, !, ,+ 共 , + - , ! 个值 " 因此, (, + - , - 级顺置三角形有
# # 个 " 据对称性, ( , + - , !) !) - 级倒置三角形也有 # 个 " 从而, ( , + - , !) 个 " 于 是, - 级三角形有 # - 级 # 万方数据 内置梯形有 [, + ( - + !) ] ( 个 " 求和得 ’ - + !) ,

/ ( + ,) %’
,+!

[, + ( - + !) ] ( - + !) %
# -%! ,+!

%’

%
/%!

# ( , + /) /%’ ,+!

% 2 ( , + 2)
# 2%!

,+!

% ’,

%
2%!

2# +’

%2
2%!

&

%

# , # + !) ,( " #

(#) 再求外延梯形的个数 3 ( ,) " 先考虑外延 交 点 在 线 段 &# 外 侧 的 情 况 " 如 图 任 取 /、 使 !( , 2, 设 !& 2 * / & , , 诸点的斜角坐 , 标为: /, () 4( / , 2) 5( 2, *( 2 (, 2 , ( /, () 6 /2 2) "延 交直线 长 *2 52 , 0 % / 于 点 7 /2 ,

图$

位 于 *2 52 延 长 线上的交点共 有 , + 2 个 " 对于 确 定 的 2 ,
图 !(

7 /2 * 2 6 /2 为 一 个 倒 置 正

三角形, 当点 4 / 在 &# 上 移 动 时, 点 6 /2 在 直 线 1 % 2 上移 动, 由 于 * 2 6 /2 ’ &# , 这两条线段间的平行线共 有 2,!条 (包括这两条 线 在 内) , 任两条这种平行线 都在 有# 2,!

这种梯形共 7 /2 * 2 6 /2 上 截 出 一 个 梯 形 " 因 此, % ( 2 2 , !) 个, 它 们 都 以 7 /2 为 外 延 交 点 " 而 # ( 2 2 , !) ( , + 2) 个外延梯形 " 现 #

故 * 2 5 2 延长线位于 &# 外侧的交点 7 /2 共 有 , + 2 个, 当 2 固定 时, 共得到

让 2 取遍 ! , …, 因 此, 位 于 &# 外 侧 的 全 部 #, , + !,
,+!

外延点共形成

%
2%!

( 2 2 , !) ( , + 2) 个外延梯形 " #

据对称性, 在菱形另三条边外侧的外 延 点, 也分 别形成同样数目的外延梯形, 从而, 全部外 延 梯 形 的 个数为
,+!

( ,) 3 %.
,+!

%
2%!

( 2 2 , !) ( , + 2) #
#

%#

[ ( , + !) 2 %
2%!

, ,2 + 2 & ]

( , + !) ( , + !( )# , + !) ( , + !) , , , , # ,? +# %( # , + !) ’ # # % ( , , #) ( , # + !) , " ’

[

]

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江西科技师范学院数学与计算机科


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