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必修5第三章不等式复习课课件3


不等式专题复习课
李 明

一、不等关系与不等式:
1、实数

a, b

大小比较的基本方法

2、不等式的性质:(见下表)

? a ? b ? o ? a ? b; ? ? a ? b ? 0 ? a ? b; ? a ? b ? 0 ? a ? b.

?
内 容

不等式的性质 对称性 传递性 加法性质 乘法性质 指数运算性质 倒数性质

a ? b ? b ? a; a ? b ? b ? a a ? b, b ? c ? a ? c a ? b ? a ? c ? b ? c; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd

a ? b ? 0 ? a n ? bn ; a ? b ? 0 ? n a ? n b 1 1 a ? b, ab ? 0 ? ? a b
Page 2

★要点解读 例1:对于任意的实数a,b,c,d ,给出下列 命题:

(1)若a ? b, c ? 0, 则ac ? bc; 1 1 ( 2)若a ? b, 则 ? ; a b 2 2 ( 3)若ac ? bc , 则a ? b; 2 2 (4)若a ? b; 则ac ? bc ;
(5)若a ? b ? 0, c ? d , 则ac ? bd;
其中正确的有_____________.
Page 3

二.一元二次不等式
△=b2-4ac

ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0?及其解法
△=0
1

△>0

△<0

ax ? bx ? c ? 0
2

?x x ? x 或x ? x ?
2

? b? ?x ? R x ? ? ? 2a ? ?

R ? R ?

ax2 ? bx ? c ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 ax ? bx ? c ? 0
2

?x x ?x x
y
O
1

1

? x ? x2 ?
2 1

? R
? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

?x x ? x 或x ? x ?
? x ? x2 ?

y ? f ? x? ? ax 2 ? bx ? c

y
x1 x2

y x x=-b/2a
O

图像:

x
Page 4

O

x

★要点解读

2.解一元二次不等式
例2 不等式 x(3-x)≥x(x +2)-1的解集为

_______________________.

Page

5

方法与技巧

一元二次不等式的解法与三个二次之间的关系

对于一元二次不等式的求解,要善于联想两个方面的问题: ①相应的二次函数图象及与x轴的交点,②相应的一元二次方程 的实根;反之,对于二次函数(二次方程)的问题的求解,也要善 于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根 (相应的二次函数的图象及与x轴的交点).

Page

6

【例3】 若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),则m=________.

解析

因为 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,m),

所以 1,m 是方程 ax2-6x+a2=0 的根, ? ?m>1, ? 6 ? 且 m>1? 1+m= , a ? ? m=a ?1· 答案 2
? ?m=2, ?? ? ?a=2.

Page

7

三、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题:
1、用二元一次不等式(组)表示平面区域的方法:
(1)画直线(用实线或虚线表示),(2)代点(常代坐标原点(0,0))确定区域.

2、简单的线性规划问题:
要明确:(1)约束条件; (2)目标函数; (3)可行域; (4)可行解; (5)最优解等概念和判断方法.

四、基本不等式:
1、重要不等式:

a ? b ? 2ab ? a, b ? R? ,当且仅当a ? b时,等号成立.
2 2

2、基本不等式:

a?b ab ? , ? a ? 0, b ? 0 ?当且仅当a ? b时,等号成立. 2
Page 8

★要点解读

3.基本不等式

y 若x ? ? 4, 且x, y均大于0,则 例4. 4 log 1 x ? log 1 y的最小值为 .
2 2

a?b ab ? 2

2 2 变式: 设a , b, c ? R, 若ab ? 2, 且c ? a ? b

恒成立,则 c的 最 大 值 为
Page 9

.

拓展题:
1 的最小值 1、 当x ? 1时,求 4 x ? x ?1
解: ∵x>1,∴x-1>0

1 1 1 ?4x ? ? 4( x ? 1) ? ? 4 ? 2 4( x ? 1) ? ?4?8 x ?1 x ?1 x ?1
1 1 4 ( x ? 1 ) ? 当且仅当 x ?1 ? ,即 x ?1 2 3 1 x? 时 4x ? ? 8 ? 4 x ? 1 的最小值是8。 2 x ?1 x ?1
Page 10

2 2、 当0 ? x ? 时,求 x(2 ? 3x)的最大值 3
解: ∵0<x< 2 ,∴2>2-3x>0 3 1 1 3 x ? (2 ? 3 x) 2 1 ? x(2 ? 3 x) ? ? 3 x(2 ? 3 x)? ? [ ] ? 3 3 2 3

1 1 当且仅当 3x ? 2 ? 3 x ,即 x ? 时 x(2 ? 3 x) ? 3 3 2 1 ? 0 ? x ? 时, x(2 ? 3x)的最大值是 . 3 3
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练习1

f(x)=ax2+ax-1在R上满足f(x)<0,则a的取值范围是________. (1)当a=0时,f(x)<0恒成立,故a=0符合题意;

解析

(2)当 a≠0

? ?a<0 ? 时, 由题意得: 2 ? ?Δ=a +4a<0

? ?a<0 ?? ? ?-4<a<0

?

-4<a<0,综上所述:-4<a≤0.
答案 (-4,0]

Page

12

练习2


已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范

围. 法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a.

①当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增, f(x)min=f(-1)=2a+3. 要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a, 即2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2, 由2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求a的取值范围为-3≤a≤1.

Page

13

法二

令 g(x)=x2-2ax+2-a,由已知,得

x2-2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立, ?Δ>0, ? 即 Δ=4a2-4(2-a)≤0 或?a<-1, ?g?-1?≥0. ? 解得-3≤a≤1.

Page

14

拓展题:函数 求:

f ( x) ? ax ? c, 满足
2

?4 ? f (1) ? ?1, ?1 ? f (2) ? 5
f ( 3) 的取值范围.

解:因为f(x)=ax2-c, ? f (1) ? a ? c 所以 ? f (2) ? 4a ? c ?

1 ? a ? [ f (2) ? f (1)] ? ? 3 解之得 ? ?c ?? 1 f (2) ? 4 f (1) ? 3 3 ?
Page 15

所以f(3)=9a-c= ?4 ? f (1) ? ?1, ? 1 ? f (2) ? 5 因为 所以
8 8 40 ? ≤ f (2) ≤ 3 3 3 5 5 20 ≤ ? f (1) ≤ 3 3 3

8 5 f (2) ? f (1) 3 3

两式相加得-1≤f(3) ≤20.

Page

16

一、选择题:
1. 已知 a ? b ,不等式:(1) a 成立的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2
2

A

? b ;(2)
2

1 1 ? a b

1 1 ? ;(3) a ? b a


2、不等式

x ?3 ? x ? ? x ? x ? 2? ?1 的解集是(B

D.

3

? 1? ? 1 ? ? 1? A. ? x x ? ? ? , B.?, C. ? x x ? ? 或x ? 1? , D. ? x x ? ?1, 或x ? ? 2? 2 2? ? ? ? ?
3 、设变量 为 (C)

x、 y

? x ? y ? ?1, ? 满足约束条件 ? x ? y ? 4, 则目标函数 z ? 2 x ? 4 y 的最大值 ? y ? 2, ?
(C). 13 D. 14

A.10

B. 12

Page

17

?3 x ? y ? 6 ? 0, ? 4.(2009山东理12T)设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若目标函数 ? x ? 0, y ? 0, ?

z ? ax ? by(

a>0, b
B.

2 3 >0)的最大值为12,则 a ? b 的最小值为( )

A

25 A. 6 二、填空题:
5.已知 ?、? 是方程

8 3

C.

11 3

D. 4

x2 ? ? 2k ?1? x ? 4 ? 2k ? 0

则实数

k

的取值范围是

? ??, ?3?

的两个实根,且

? ? 2 ? ?,

.

6.已知

x, y

? x ? 4 y ? ?3, 满足 ? ?3 x ? 5 y ? 25, 则 ? x ? 1, ?

y z? x?3

1? ? ?? , ? ? ?1, ?? ? ? ? 2 ? 的取值范围是? .

7.已知

lg x ? lg y ? 1, 则

5 2 ? x y

的最小值是

2

.

Page

18

三、解答题: 8、已知:函数
f ( x) ? ax2 ? c,满足

?4 ? f (1) ? ?1, ?1 ? f (2) ? 5

求: f(4) 的取值范围.

Page

19

还有其它 解法吗?

提示:整体构造 f (3) ? ? f (1) ? ? f (2) 利用对应系数相等

求的?与? ,从而求其范围.
注意: 本题中a与c是一个有联系的有机整体,不要割 断它们之间的联系
Page 20

9、 要将两种大小不同规格的钢板截成 A、B、C三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 :
规格类型 钢板类型

A规格 2 1

B规格 1 2

C规格 1 3

第一种钢板 X张 第二种钢板 y张

今需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问 各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所 用钢板张数最少。 解:设需截第一种钢板x张,第一种钢板y张,则

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0

目标函数为 z=x+y
作出可行域(如图)
Page 21

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N y≥0 y∈N

y
15

调整优值法

作出一组平行直线z=x+y,

10 B(3,9) C(4,8) 目标函数z= x+y A(18/5,39/5) 8 6 x+y =0 4 2 0 2 4 6 8

2x+y=15

12x+y=12 18x+2y=18
作直线x+y=12

27

x

x+3y=27

当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解.

解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解.
Page 22

答(略)

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*

y 15 9
B(3,9)
C(4,8)

打网格线法

目标函数t = x+y

A(18/5,39/5)

x+y =0

2 1 0 12

78
2x+y=15

18

作出一组平行直线t = x+y, 当直线经过点 A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解 ,

x+2y=18 x+3y=27

27

x

在可行域内打出网格线, 将直线x+y=11.4继续向上平移,
Page 23 经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8) 时,t=x+y=12是最优解.答:(略)

10、某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,
其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的 造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎 样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多 少?
分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定. 如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此 应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低

Page

24

解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 根据题意,有: z ? 150 ? 4800 ? 120(2 ? 3x ? 2 ? 3y)
3 ? 240000 ? 720(x ? y)

由容积为4800m3,可得:3xy=4800 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 ? 720(x ? y) ? 240000 ? 720 ? 2 xy
z ? 240000 ? 720 ? 2 1600
z ? 297600



当x=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方 形时总造价最低,最低总造价为297600元.
Page 25

含参数的线性规划问题:

?3x ? y ? 2 ? 0 ? 例5:设x.y满足约束条件 ? x ? y ? 0 若目标函数 ? x ? 0, y ? 0, ? 1 1 Z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为1,则 + 的 a b 最小值为 -----

Page

26

?y ?1 ? 练习:设x.y满足约束条件 ? y ? 2 x ? 1, 若目标函数 ?x ? y ? m ? Z=x-y的最小值为-1,则实数m的值为  -----

Page

27

不等式及其性质

? ? ? ? ?

一元二次不等式及其解法

简单的线性规划

基本不等式

课后完成本章测试题

Page

28


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