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2015年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文数


试卷类型:A

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(文科)
2015.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自 己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号

填写在答题卡上。 用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多 涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , 集合 M ? ?3, 4,5? , N ? ?1, 2,5? , 则集合 ?1, 2? 可以表示为 A. M

N

B. (? UM)

N

C. M

(? U N)

D. (痧 UM)

( U N)

2.已知向量 a = ?3,4? ,若 ?a ? 5 ,则实数 ? 的值为 A.

1 5

B. 1

C. ?

1 5

D. ?1

3. 若某市 8 所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图 1 ) ,其中茎为十位数, 叶为个

位数,则这组数据的中位数是 A. 91 C. 92 B. 91.5 D. 92.5

8 8 7 9 1 7 4 2 0 3 图1

4.已知 i 为虚数单位,复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 的虚部 b 记作 Im ? z ? ,则 Im ? A. ?

? 1 ? ?? ? 1? i ?

1 2

B. ?1

C.

1 2

D. 1

5. 设抛物线 C : y 2 ? 4 x 上一点 P 到 y 轴的距离为 4 ,则点 P 到抛物线 C 的焦点的距离是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

sin A 6. 已知△ ABC 的三边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C ,且 ? a
A.

sin b

B 2 , 则 cos B 的值为
D. ?

3 2

B.

1 2

C. ?

1 2

3 2

7. 已知数列 ?an ? 为等比数列,若 a4 ? a6 ? 10 ,则 a7 ? a1 ? 2a3 ? ? a3a9 的值为 A. 10 B. 20 C. 100 D. 200

? x ? y ? 4 ? 0, ? 8. 若直线 y ? 3x 上存在点 ? x, y ? 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 8 ? 0, 则实数 m 的取值范围是 ? x ? m, ?
A. C.

??1, ???
? ??, ?1?

B. D.

? ?1, ??? ? ??, ?1?

9. 已知某锥体的正视图和侧视图如图 2, 其体积为

2 3 ,则该锥体的俯视图可以是 3

10.已知圆 O 的圆心为坐标原点,半径为 1 ,直线 l : y ? kx ? t (k 为常数, t ? 0) 与圆 O 相交于 M , N 两点,记△ MON 的面积为 S ,则函数 S ? f ? t ? 的奇偶性为 A.偶函数 C.既不是偶函数,也不是奇函数 B.奇函数 D.奇偶性与 k 的取值有关

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 函数 f ? x ? ? ln ? x ? 2? 的定义域为
x

. .

12. 已知 e 为自然对数的底数,则曲线 y ? 2 e 在点 ?1, 2e? 处的切线斜率为 13. 已知函数 f ? x ? ?

1 ,点 O 为坐标原点, 点 An ? n, f ? n ?? (n ?N * ) , 向量 i ? ? 0,1? , x ?1

?n 是向量 OAn 与 i 的夹角,则

cos ?1 cos ? 2 ? ? sin ?1 sin ? 2

?

cos ?2015 的值为 sin ? 2015

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 ?

? x ? cos ? ? sin ? , (? 为参数 ) ? y ? cos ? ? sin ?

和?

? x ? 2 ? t, (t 为参数 ) .以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲 ?y ? t
.
A

线 C1 与 C2 的交点的极坐标 为 ... 15. (几何证明选讲选做题)

如图 3, BC 是圆 O 的一条弦,延长 BC 至点 E , 使得 BC ? 2CE ? 2 ,过 E 作圆 O 的切线, A 为切点,

B

O D C

E

?BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D ,则 DE 的长为

图3

.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

??

? ? cos x . 6?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若 ? 是第一象限角,且 f ? ? ?

? ?

??

4 ?? ? ? ? ,求 tan ? ? ? ? 的值. 3? 5 4? ?

17. (本小题满分 12 分) 从广州某高校男生中随机抽取 100 名学生,测得他们的身高(单位: cm)情况如表 1: 表1 分组 频数 频率

?160,165? ?165,170? ?170,175? ?175,180? ?180,185?
合计 (1)求 a, b, c 的值;

5

0.05

a
35

c
0.35 0.20

b

10
100

0.10
1.00

(2)按表 1 的身高组别进行分层抽样, 从这 100 名学生中抽取 20 名担任广州国际马拉松 志愿者, 再从身高不低于 175 cm 的志愿者中随机选出 2 名担任迎宾工作, 求这 2 名 担任迎宾工作的志愿者中至少有 1 名的身高不低于 180 cm 的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如图 4,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 ,点 E , F 分别是边 CD , CB 的中点,
?

AC

EF ? O .沿 EF 将 △ CEF 翻折到 △ PEF ,连接 PA, PB, PD,得到如图 5 的五棱锥

P ? ABFED ,且 PB ? 10 .
(1)求证: BD ? 平面 POA ; (2)求四棱锥 P ? BFED 的体积.
D E

P

D
A O F B 图4 C

A B 图5 F

E O

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? 1 , nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ? (1)求 a2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)是否存在正整数 k ,使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列? 若存在,求 k 的值; 若不存 在,请说明理由.

n ? n ? 1? * , n ?N . 2

20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点, 两焦点分别为双曲线 C2 :

x2 直线 x ? 2 y ? 0 ? y 2 ? 1 的顶点, 2

与椭圆 C1 交于 A , B 两点,且点 A 的坐标为 (? 2, 1) ,点 P 是椭圆 C1 上异于点 A , B 的任意 一点,点 Q 满足 AQ ? AP ? 0 , BQ ? BP ? 0 ,且 A , B , Q 三点不共线. (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 求点 Q 的轨迹方程; (3) 求 ?ABQ 面积的最大值及此时点 Q 的坐标.

21.(本小题满分 14 分) 已知 t 为常数,且 0 ? t ? 1 ,函数 g ? x ? ?

1 ? 1? t ? ?x? ? ? x ? 0 ? 的最小值和函数 2? x ?

h ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 2 ? t 的最小值都是函数 f ? x ? ? ?x3 ? ax2 ? bx (a, b ? R ) 的零点.
(1)用含 a 的式子表示 b ,并求出 a 的取值范围; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上的最大值和最小值.

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同, 可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分 正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 A 5 B 6 C 7 C 8 A 9 C 10 A

二、 填空题: 本大题考查基本知识和基本运算, 体现选择性. 共 5 小题, 每小题 5 分, 满分 20 分. 其 中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11.

? 2, ???

12. 2e

13.

2015 2016

14. ? 2,

? ?

??
? 4?

15.

3

说明: 第 14 题答案可以是 ? 2, 2k? ?

? ?

??

? , k ?Z. 4?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数图象的周期性、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换等知识,考 查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)

(1)解: f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

??
?
6

? ? cos x 6?
? cos x sin

? sin x cos

?
6

? cos x

??????????1 分

?

3 1 sin x ? cos x 2 2

??????????2 分

? sin x cos

?
6

? cos x sin

?
6

??????????3 分

?? ? ? sin ? x ? ? . 6? ?
∴ 函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? . (2)解:∵ f ? ? ?

??????????4 分

??????????5 分

? ?

??

4 ? ?? 4 ? ? ? , ∴ sin ? ? ? ? ? ? . 3? 5 3 6? 5 ? 4 ?? . 2? 5

??????????6 分

∴ sin ? ? ? ∴ cos ? ? ∵

? ?

??

4 . 5 3 . 5

??????????7 分

? 是第一象限角,
2

∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? ∴ tan ? ?

??????????8 分 ??????????9 分

sin ? 3 ? . cos ? 4

∴ tan ? ? ?

? ?

??

4 ?? 4 ? 1 ? tan ? ? tan ? 4 3 ?1 ? 4 3 1 ? ?1 4 1 ?? . 7

tan ? ? tan

?
??????????10 分

??????????11 分

??????????12 分

17. (本小题满分 12 分)

(本小题主要考查古典概型、分层抽样等基础知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及数据 处理能力与应用意识) (1)解: 由 0.05 ? c ? 0.35 ? 0.20 ? 0.10 ? 1.00 ,得 c ? 0.30 . ??????????1 分 由

a ? 0.30 ,得 a ? 30 , 100

??????????2 分 ??????????3 分

由 5 ? 30 ? 35 ? b ? 10 ? 100 ,得 b ? 20 .

(2)解:依据分层抽样的方法,抽取的 20 名志愿者中身高在区间 ?175,180? 上的有

0.20 ? 20 ? 4 名,记为 A, B, C , D ;

????????????????5 分

而身高在区间 ?180,185? 上的有 0.10 ? 20 ? 2 名,记为 E , F . ????????7 分 记“这 2 名担任迎宾工作的志愿者中至少有 1 名的身高不低于 180 cm”为事件 M , 从身高不低于 175 cm 的志愿者中随机选出 2 名担任迎宾工作,共有 15 种不同取法:

{ A, B},{ A, C},{ A, D},{ A, E},{ A, F} , {B, C},{B, D},{B, E},{B, F} , {C, D},{C, E},{C, F} , {D, E},{D, F } , {E , F } . ??????????9 分
事件 M 包含的基本事件有 9 种: { A, E},{ A, F} , {B, E},{B, F} , {C , E},{C , F}

{D, E},{D, F } , {E , F } .
∴ P?M ? ?

??????????11 分 ??????????12 分

9 3 ? 为所求. 15 5

18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想 方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:∵ 点 E , F 分别是边 CD , CB 的中点, ∴BD ∥EF . ????????1 分

P

∵ 菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴BD ? AC . ∴EF ? AC . ?????????2 分 ?????????3 分

D A B E H F O

∴EF ? AO , EF ? PO .????4 分

∵AO ? 平面 POA , PO ? 平面 POA , AO ∴EF ? 平面 POA . ∴BD ? 平面 POA . (2)解:设 AO

PO ? O ,

??????????5 分 ??????????6 分

BD ? H ,连接 BO ,
?

∵?DAB ? 60 , ∴ △ABD 为等边三角形. ??????????7 分 ∴BD ? 4 , BH ? 2 , HA ? 2 3 , HO ? PO ? 3 . ????????8 分 在 R t△ BHO 中, BO ?
2

BH 2 ? HO2 ? 7 ,
2 2

??????????9 分 ??????????10 分 ??????????11 分

在△ PBO 中, BO ? PO ? 10 ? PB , ∴PO ? BO . ∵PO ? EF , EF ∴PO ? 平面 BFED . 梯形 BFED 的面积为 S ?

BO ? O , EF ? 平面 BFED , BO ? 平面 BFED ,
??????????12 分

1 ? EF ? BD ? ? HO ? 3 3 ,?????????13 分 2 1 1 ∴ 四棱锥 P ? BFED 的体积 V ? S ? PO ? ? 3 3 ? 3 ? 3 .??????14 分 3 3

19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等差数列、等比数列等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解 能力和创新意识) (1)解:∵ a1 ? 1 , nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ? ∴ S 2 ? 2 S1 ?

n ? n ? 1? , 2
??????????1 分 ??????????2 分 ??????????3 分

1? 2 ?1. 2

∴ S2 ? 1 ? 2S1 ? 1 ? 2a1 ? 3 . ∴ a2 ? S2 ? a1 ? 2 . (2)解法 1: 由 nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ?

n ? n ? 1? S S 1 , 得 n ?1 ? n ? . ????????4 分 n ?1 n 2 2

∴ 数列 ? ∴

S1 1 ? Sn ? ? 是首项为 ? 1 , 公差为 的等差数列. 1 2 ?n?
??????????5 分

Sn 1 1 ? 1 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? . n 2 2

∴ Sn ?

n ? n ? 1? . 2

??????????6 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

??????????7 分

?

n ? n ? 1? ? n ? 1? n ? 2 2
??????????8 分

? n.
而 a1 ? 1 适合上式, ∴ an ? n . 解法 2: 由 nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ?

??????????9 分

n ? n ? 1? n ? n ? 1? , 得 n ? Sn ?1 ? Sn ? ? Sn ? , 2 2
??????????4 分

∴ nan ?1 ? Sn ?

n ? n ? 1? . ① 2 n ? n ? 1? ,② 2

当 n ? 2 时, ? n ? 1? an ? Sn ?1 ?

① ? ②得 nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? Sn ? Sn ?1 ? ? ∴ nan?1 ? nan ? n . ∴ an?1 ? an ? 1 .

n ? n ? 1? n ? n ? 1? ? , 2 2
??????????5 分 ??????????6分

∴ 数列 ?an ? 从第2项开始是以 a2 ? 2 为首项, 公差为 1 的等差数列. ???7分 ∴ an ? 2 ? ? n ? 2? ? n . 而 a1 ? 1 适合上式, ??????????8分

∴ an ? n . (3)解:由(2)知 an ? n , Sn ?

??????????9 分

n ? n ? 1? . 2

假设存在正整数 k , 使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列,
2 则 S2 k ? ak ? a4 k .

??????????10 分
2

? 2k ? 2k ? 1? ? 即? ? ? k ? 4k . 2 ? ?
∵ k 为正整数, ∴ ? 2 k ? 1? ? 4 .
2

??????????11 分

得 2k ? 1 ? 2 或 2k ? 1 ? ?2 , 解得 k ?

??????????12 分 ??????????13 分

1 3 或 k ? ? , 与 k 为正整数矛盾. 2 2

∴ 不存在正整数 k , 使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列. ??????????14 分

20.(本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,考查数形结 合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解法 1: ∵ 双曲线 C2 :

x2 ? y 2 ? 1 的顶点为 F1 (? 2, 0) , F2 ( 2, 0) , ????1 分 2

∴ 椭圆 C1 两焦点分别为 F 1 (? 2, 0) , F 2 ( 2, 0) . 设椭圆 C1 方程为

x2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2

∵ 椭圆 C1 过点 A (? 2, 1) ,

a ? 2. ∴ 2a ? AF 1 ? AF 2 ? 4 ,得
∴ b ?a ?
2 2

?????????2 分 ?????????3 分

? 2?

2

? 2.

x2 y 2 ∴ 椭圆 C1 的方程为 ? ? 1. 4 2
解法 2: ∵ 双曲线 C2 :

?????????4 分

x2 ? y 2 ? 1 的顶点为 F1 (? 2, 0) , F2 ( 2, 0) , ???????1 分 2

∴ 椭圆 C1 两焦点分别为 F 1 (? 2, 0) , F 2 ( 2, 0) . 设椭圆 C1 方程为

x2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2

∵ 椭圆 C1 过点 A (? 2, 1) , ∴

2 1 ? ? 1. a 2 b2
2 2

① ②
2

?????????2 分 ?????????3 分

. ∵ a ?b ?2,
2

由①②解得 a ? 4 , b ? 2 .

x2 y 2 ? ? 1. ∴ 椭圆 C1 的方程为 4 2
(2)解法 1:设点 Q( x, y ) ,点 P( x1 , y1 ) , 由 A (? 2, 1) 及椭圆 C1 关于原点对称可得 B ( 2, ?1) , ∴ AQ ? ( x ? 2, y ?1) , AP ? ( x1 ? 2, y1 ?1) ,

?????????4 分

BQ ? ( x ? 2, y ?1) , BP ? ( x1 ? 2, y1 ?1) .
由 AQ ? AP ? 0 , 得 ( x ? 2)( x1 ? 2) ? ( y ?1)( y1 ?1) ? 0 , ????????5 分 即 ( x ? 2)( x1 ? 2) ? ?( y ?1)( y1 ?1) . ① ② ?????6 分

同理, 由 BQ ? BP ? 0 , 得 ( x ? 2)( x1 ? 2) ? ?( y ?1)( y1 ?1) . ① ? ②得 ( x ? 2)( x1 ? 2) ? ( y ?1)( y1 ?1) .
2 2 2 2



?????????7 分

由于点 P 在椭圆 C1 上, 则

x12 y12 ? ? 1 ,得 x12 ? 4 ? 2 y12 , 4 2

2 代入③式得 ?2( y1 ?1)( x2 ? 2) ? ( y2 ?1)( y12 ?1) . 2 当 y1 ?1 ? 0 时,有 2 x2 ? y 2 ? 5 ,

2 当 y1 ?1 ? 0 ,则点 P(? 2, ?1) 或 P( 2,1) ,此时点 Q 对应的坐标分别为 ( 2,1) 或

(? 2, ?1) ,其坐标也满足方程 2 x2 ? y 2 ? 5 .

?????????8 分

当点 P 与点 A 重合时,即点 P (? 2, 1) ,由②得 y ? 2x ? 3 , 解方程组 ?

? 2 x 2 ? y 2 ? 5, ? ? ? y ? 2 x ? 3,

得点 Q 的坐标为

?

? 2 ? 2, ?1 或 ? , ? 2 ? ? 2 ?. ? ?

?

同理, 当点 P 与点 B 重合时,可得点 Q 的坐标为 ? 2,1 或 ? ?

?

?

? ? ?

2 ? ,2? ?. 2 ?

∴点 Q 的轨迹方程为 2 x2 ? y 2 ? 5 , 除去四个点

?

? 2 ? 2, ?1 , ? , ? 2 ? ? 2 ? , ? 2,1 , ? ?

?

?

?

? 2 ? ? ? ? 2 ,2? ?. ? ?
解法 2:设点 Q( x, y ) ,点 P( x1 , y1 ) , 由 A (? 2, 1) 及椭圆 C1 关于原点对称可得 B ( 2, ?1) , ∵ AQ ? AP ? 0 , BQ ? BP ? 0 , ∴ AP ? AQ , BP ? BQ . ∴

?????????9 分

y1 ? 1 y ?1 ? ? ?1 x1 ? ? 2 ,① x1 ? 2 x ? 2

?

?

????????5 分

y1 ? 1 y ?1 ? ? ?1 x1 ? 2 . ② x1 ? 2 x ? 2

?

?

????????6 分

①?② 得

y12 ? 1 x12 ? 2

?

y2 ?1 ? 1 . (*) x2 ? 2

?????????7 分

∵ 点 P 在椭圆 C1 上,

x12 y12 x12 2 ? ? 1 ,得 y1 ? 2 ? , ∴ 4 2 2

1 2 x1 y2 ?1 ?1 y 2 ? 1 2 ? ? 1 ,即 ? 2 ? 1, 代入(*)式得 2 x1 ? 2 x 2 ? 2 2 x ?2 1?
化简得 2 x2 ? y 2 ? 5 . 若点 P(? 2, ?1) 或 P( 2,1) , 此时点 Q 对应的坐标分别为 ( 2,1) 或

(? 2, ?1) ,其坐标也满足方程 2 x2 ? y 2 ? 5 .

?????????8 分

当点 P 与点 A 重合时,即点 P (? 2, 1) ,由②得 y ? 2x ? 3 ,

? 2 x 2 ? y 2 ? 5, ? 解方程组 ? 得点 Q 的坐标为 ? ? y ? 2 x ? 3,

?

? 2 ? 2, ?1 或 ? ? 2 , ?2 ? ?. ? ?

?

同理, 当点 P 与点 B 重合时,可得点 Q 的坐标为 ? 2,1 或 ? ?

?

?

? ? ?

2 ? ,2? ?. 2 ?

∴点 Q 的轨迹方程为 2 x ? y ? 5 , 除去四个点
2 2

?

? 2 ? 2, ?1 , ? , ? 2 ? ? 2 ? , ? 2,1 , ? ?

?

?

?

? 2 ? ? ? ? 2 ,2? ?. ? ?
(3) 解法1:点 Q ? x, y ? 到直线 AB : x ? 2 y ? 0 的距离为

?????????9 分

x ? 2y 3

.

△ ABQ 的面积为 S ?

x ? 2y 1 ( 2 ? 2) 2 ? (?1 ? 1) 2 ? ?????????10 分 2 3
?????????11 分

? x ? 2 y ? x 2 ? 2 y 2 ? 2 2 xy .
而 2 2 xy ? 2 ? (2 x) ? (

y y y2 时等号成立) ) ? 4 x 2 ? (当且仅当 2 x ? 2 2 2

∴S ?

x 2 ? 2 y 2 ? 2 2 xy ? x 2 ? 2 y 2 ? 4 x 2 ?
y 时, 等号成立. 2

5 2 y2 5 . ??12 分 ? 5x 2 ? y 2 ? 2 2 2

当且仅当 2 x ?

y ? ? ? 2 2 , ?2 x ? , ?x ? ? , ?x ? 由? 解得 或 2 ? ? 2 2 ?2 x 2 ? y 2 ? 5, ? y ? 2, ? y ? ?2. ? ? ?
∴△ ABQ 的面积最大值为 解法2:由于 AB ?

?????????13 分

? 2 ? ? ? 2 5 2 ,2? , ?2 ? , 此时,点 Q 的坐标为 ? 或?? ? ? ? ? .?14 分 2 ? 2 ? ? 2 ?

?

2? 2

?

2

? ? ?1 ? 1? ? 2 3 ,
2

故当点 Q 到直线 AB 的距离最大时,△ ABQ 的面积最大. ?????????10 分 设与直线 AB 平行的直线为 x ? 2 y ? m ? 0 , 由?

? x ? 2 y ? m ? 0, ? 消去 x ,得 5 y 2 ? 4 2my ? 2c2 ? 5 ? 0 , 2 2 ? ? 2 x ? y ? 5,

2 2 由 ? ? 32m ? 20 2m ? 5 ? 0 ,解得 m ? ?

?

?

5 2 . 2

?????????11 分

若m ?

5 2 2 5 2 2 ,则 y ? ?2 , x ? ? ;若 m ? ? ,则 y ? 2 , x ? . ?12 分 2 2 2 2
? 2 ? ? ? 2 ? 2 ,2? ? 或? ? ? 2 , ?2 ? ? 时,△ ABQ 的面积最大,其值为 ? ? ? ?

故当点 Q 的坐标为 ?

S?

1 AB ? 2

2 ? 2?2 2 1 ?
2

? 2?

2

?

5 2 . 2

?????????14 分

21. (本小题满分14分) (本小题主要考查函数的最值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识,考查数形结合、化归 与转化、分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识) (1)解: 由于 0 ? t ? 1 , x ? 0 ,则 g ? x ? ? 当且仅当 x ?

1 ? 1? t ? 1 1? t ? 1? t , ?x? ? ? ?2 x? 2? x ? 2 x

1? t ,即 x ? 1 ? t 时, ? ? g ? x ?? ? min ? 1 ? t . ???????1 分 x

h ? x ? ? x2 ? 2x ? 2 ? t ?

? x ? 1?

2

? 1 ? t ,当 x ? 1 时, ? ?h ? x ?? ? min ? 1 ? t .
?????????2分

∵0 ? t ? 1 , ∴1 ? 1 ? t ? 2 , 0 ? 1 ? t ? 1 .
2 由于 f ? x ? ? ?x3 ? ax2 ? bx ? x ? x ? ax ? b ,结合题意,可知,

?

?

方程 ? x ? ax ? b ? 0 的两根是 1 ? t , 1 ? t ,
2

?????????3 分 ?????????4 分

故 1 ? t ? 1 ? t ? a , 1 ? t ? 1 ? t ? ?b . ∴a ? 2 ? 2 1 ? t ? 1 ? t ? 2 ? 2b .
2

∴b ? 1 ?

1 2 a . 2
2

?????????5 分

而方程 ? x ? ax ? b ? 0 的一个根在区间 1, 2 上,另一个根在区间 ? 0,1? 上. 令 ? ? x ? ? ?x ? ax ? b ,
2

?

?

? ?? ? 0 ? ? b ? 0, ? 则 ?? ?1? ? ?1 ? a ? b ? 0, ? ? 2 ? ?2 ? 2a ? b ? 0. ? ?

?????????6 分

? ?

? 1 2 ?1 ? 2 a ? 0, ?a ? ? 2或a ? 2, ? ? 1 2 ? 即 ? ?1 ? a ? 1 ? a ? 0, 解得 ?0 ? a ? 2, ?????????7 分 2 ? ? ?a ? 2. 1 2 ? ? ?2 ? 2a ? 1 ? 2 a ? 0. ?
∴ 2 ?a?2. ∴b ? 1 ? ?????????8 分

1 2 a , 2 ?a?2. 2

求 a 的取值范围的其它解法: 另法 1:由 a ? 1 ? t ? 1 ? t ,得 a2 ? 2 ? 2 1 ? t 2 , ∵0 ? t ? 1 , ?????????6 分

∴2 ? a ? 4 .
2

?????????7分

∵a ? 1 ? t ? 1 ? t ? 0 , ∴ 2 ?a?2. 另法 2:设 ? ? t ? ? 1 ? t ? 1 ? t , 0 ? t ? 1 , 则 ?? ?t ? ? ?????????8 分

1 1 1? t ? 1? t ? ? ? 0, 2 1? t 2 1? t 2 1? t 2

?????????6 分

故函数 ? ? t ? 在区间 ? 0,1? 上单调递减. ∴? ? t ? ?

?

2, 2 .

?

?????????7分 ?????????8 分
3 2

∴ 2 ?a?2. (2)解:由(1)得 f ? x ? ? ? x ? ax ? ?1 ? 则 f ? ? x ? ? ?3x ? 2ax ? 1 ?
2

? ?

1 2? a ?x, 2 ?
?????????9 分

1 2 a . 2

∵ 2 ?a?2, ∴ 二次函数 f ? ? x ? ? ?3x ? 2ax ? 1 ?
2

1 2 a 2 a 的开口向下,对称轴 x ? ? . 2 3 3
?????????10 分 ?????????11 分

故函数 f ? ? x ? 在区间 ?1, 2? 上单调递减. 又 f ? ?1? ? ?3 ? 2a ? 1 ?

1 2 1 2 a ? ? ? a ? 2? ? 0 , 2 2

∴ 当 x ??1, 2? 时, f ? ? x ? ? f ? ?1? ? 0 . ∴ 函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上单调递减. ∴ 函数 f ? x ? 的最大值为 f ?1? ? a ? ?????????12 分

1 2 a ,最小值为 f ? 2? ? ?a2 ? 4a ? 6 . 2
?????????14 分


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