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高中数学人教版选修2-2教学设计:1.7 定积分的应用和导数及其应用小结


1.7
一、 感悟要点

定积分的简单应用(共两课时)

1. 知识与技能 能利用定积分求曲边梯形的面积, 以及解决物理中的变速直线运动的路程, 变力做功问题。 2.过程与方法 通过利用定积分求曲边梯形的面积,体会定积分的基本思想,学会其方法,通过定积分在物 理中应用,学会用数学工具解决物理问题,进一步体会定积分的价值。 3.情感

态度与价值观 通过本节学习,进一步感受数学的应用价值,提高数学的应用意识,坚定学好数学的信心。 二、 学习重难点

1.重点:应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题,使学生 在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2.难点:将实际问题化归为定积分的问题。 三、 温习旧知

1. 定积分的几何意义和微积分基本定理分别是什么?

2. 曲边梯形的面积表达式是什么?

3. 匀变速直线运动中,s 与 v,t 间的关系是什么?

4.如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,那么如何计算变力 F(x)所做的功 W 呢?

四、

例题精析
2

例 1 计算由两条抛物线 y

? x和 y ? x

2

所围成的图形的面积.

-1-

解析:

【教学札记】

合作探究:由例 1 总结求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤是什么? (1) 画出图形; (2) 确定图形范围,通过解方程组求出交点的横坐标,定出积分上下限; (3) 确定被积函数,特别是要分清被积函数的上下位置; (4) 写出平面图形的面积的定积分表达式; (5) 运用微积分基本公式计算定积分,求出平面图形的面积。 例 2 计算由曲线 y ? 解析:

2 x ,直线 y ? x ? 4 以及 x 轴所围成的图形的面积.

【教学札记】

探究:这道题还有其它解法吗? 解法二:将所求平面图形的面积看成一个曲边梯形与一个三角形的面积之差:

-2-

解法三:将所求平面图形的面积看成位于 y 轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差,因 此可以取 y 为积分变量,还需把函数 y=x-4 变形为 x=y-4,,函数 y ?

2 x 变形为 x ?

y2 . 2

变式训练:计算有曲线 y 2 ? 2 x 和直线 y=x-4 所围成的图形面积.

作业: P 58 练习, P 60 A 组第 1 题. 例 3 一辆汽车的速度-时间曲线如图所示,求汽车在这 1min 行驶的路程。 解析:

v/m/s
30

A

B

【教学札记】

O

10

40

60

C t/s

合作探究:这道题还有其他解法吗?

针对训练:一物体沿直线以 v ? 2t ? 3 (t 的单位是:s,v 的单位是:m/s)的速度运动,求该 物体在 3 到 5 秒间行进的路程。

例 4:如图:在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置 L 米处,求克服弹力所作的 功. 解析:

-3-

【教学札记】

针对训练:一物体在力 F ( x) ? 3x ? 4 (x 的单位:m,F 的单位:N)的作用下,沿着与里 F 相 同的方向,从 x=0 处运动到 x=4 处,求力 F(x)所做的功。

练习: 1(08 年高考宁夏/海南卷)第 10 题 由直线 x ?

A.

15 4

1 1 , x ? 2, 曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积为( 2 x 17 1 D.2 ln 2 C. ln 2 B. 2 4



2(05 年湖南卷)函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? a, x ? b 及 x 轴所围成的面积称为函数 f ( x )

2 ] 上的面积为 ( n ? N ? ).则①函数 y ? sin 3 x n n 2π π 4π ] 上的面积为_____.②函数 y ? sin(3x ? π ) +1在 [ , ] 上的面积为___ 在 [0, 3 3 3
在 [ a, b] 上的面积, 已知函数 y ? sin x 在 [0, __.

π

一、

第一章 本章知识结构

导数及其应用复习小结(共两课时)

-4-

二、

本章知识点

三、关于导数应用的几个题型: 一、利用公式求导: 1、 幂函数求导 2、 整式函数求导 3、 分式函数求导 4、 复合函数求导 例1. 求函数 f ( x) ? ?

1 2 x ? tan x 的导函数。 2

例2. 求函数 f ( x) ? (? x ? 14 x ? 40)e
2

1 x 4

? 50 的导函数。

例3. 求函数 f ( x) ?

1 的导函数。 x ln x

-5-

例4. 求函数 f ( x) ?

x ?1 的导函数。 x ?1

二、利用导数几何意义解题——切点待定法(设出切点,写出切线表达式) 1、求切线方程 2、已知切线方程求曲线参数 例 1、若曲线 y ? x4 ? 2 x 的一条切线 l 的斜率为-2,则 l 的方程为________________.

例 2、 曲线 y ? ln x 在点 M(e,1)处的切线方程为_________________.

例 3、求过点(2,0)且与曲线 y ?

1 相切的直线方程。 x

例 4、若直线 y ? 3x ? 1 与曲线 C: y ? ax (a ? 0) 相切,则 a =___________.
3

三、导函数与原函数图象关系 例 1、设 f ?( x) 是函数 f ( x ) 的导函数, y ? f ?( x ) 的图象 如图所示,则 y ? f ( x) 的图象最有可能的是 ( )

-6-

四、利用导数求函数的单调区间——三行表格法(求出使得 f '( x) =0 的根,分出区间) 1、 不含参 2、 含参 例1、 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ,求 f ( x ) 的单调区间。

例2、 已知函数 f ( x) ? x ?

b (b ? 0) ,求 f ( x) 的单调区间。 x

五、导数与函数极值 1、 已知函数表达式,求极值 2、 已知极值,求函数表达式 例1、 求函数 f ( x) ? x ? 27 x 的极值。
3

例2、 若函数 f ( x ) = x ( x - c ) 在 x ? 2 处有极值,则常数 c 的值为_________。

2

-7-

六、导数与函数最值 1、 已知函数表达式求最值 2、 已知函数的其中一个最值,求另外一个 例 1、求函数 f ( x) ? ? 最小值。

1 3 x ? 2 x 2 ? 3x 在区间[0,4]上的最大值和 3

例 2、已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9x ? a (1) 求 f ( x ) 的单调减区间。 (2) 若 f ( x ) 在区间[-2,2]上的最大值为 20,求函数在该区间上的最小值。

七、导数中的两类恒成立问题 1、 在 R 上恒成立 2、 在某个区间[a,b](或(a,b)) 上恒成立 例1、 若函数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 1 是 R 上的单调递增函数,则 m 的取值范围是
3 2

_________________.

例 2、若 f ( x) ? ?

1 2 x ? b ln( x ? 2) 在 (?1, ??) 上是减函数,求 b 的取值范围。 2

-8-

八、生活优化问题 例、用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方 形,然后把四边翻转 90 角,再焊接而成,问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容 积是多少?
0

-9-


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